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2013年哈尔滨市高三第一次联考理数试卷


2013 年哈尔滨市高三第一次联考 数学试卷(理科)
考试时间:120 分钟 卷面分值:150 分

? ???? ? ? ??? ? ??? ? ? ??? ??? ? AB AC ? ??? 4.已知非零向量 AB , AC 和 BC 满足 ? ??? + ???? · AC =0,且 ? ? AB AC ? ? ?
为 ( ) B.等腰非直角三角形 D.等腰直角三角形 A.等边三角形 C.非等腰三角形

???? ???? AC AC 2 ???? ·??? = 2 ,则△ABC ? AC BC

命题人:高艳云
注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、考号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时,必须将答案书写在专设答题页规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答.在试题卷上答题无效。 5.考试结束后,只交试卷答题卡。;

π 5.给定性质:①最小正周期为 π;②图象关于直线 x= 对称.则下列四个函数中,同时具有性质 3 ①②的是 ( ) π B.y=sin(2x+ ) 6 π D.y=sin(2x- ) 6

x π A.y=sin( + ) 2 6 C.y=sin|x| 6.给出下列四个命题: ① ? α>β,使得 tanα<tanβ;

第 I 卷 (共 60 分)
一、选择题(本题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每题只有一个选项符合题意) x 1.设集合 A={x| <0},B={x|x2-4x<0},那么“m∈A”是“m∈B”的( ) x-1 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

π π ②若 f(x)是定义在[-1,1]上的偶函数,且在[-1,0]上是增函数,θ∈( , ),则 f(sinθ)>f(cosθ); 4 2 π 1 ③在△ABC 中,“A> ”是“sinA> ”的充要条件; 6 2 1 ④若函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y= x+2, 2 则 f(1)+f′(1)=其中所有正确命题的个数是( A.1 B.2 ) C.3 D.4 )

z2-2z 2.已知复数 z=1+i,则 等于 ( z-1 A.2i B.-2i

7.曲线 y=x3 在点(1,1)处的切线与 x 轴及直线 x=1 所围成的三角形的面积为 ( ) C.2 D.-2 1 A.. 12 1 B.. 6 1 C.. 3 1 D.. 2

8.函数 y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若 A 在直线 mx+ny+1=0 上,其中 m、 1 2 n 均为正数,则 + 的最小值为 ( m n A.2 B.4 ) C.6 D.8 )

3.下列说法错误的是 (

)

A.命题:“已知 f(x)是 R 上的增函数,若 a+b≥0,则 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”的逆否命题为真 命题 B.“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件 C.若 p 且 q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.命题 p:“ ? x∈R,使得 x2+x+1<0”,则 ? p:“ ? x∈R,均有 x2+x+1≥0”
高三数学(理)

9.已知 P(x,y)是函数 y=ex+x 图象上的点,则点 P 到直线 2x-y-3=0 的最小距离为( A. 5 5 2 5 B. 5 3 5 C. 5 4 5 D. 5

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? 4 x ? 3 y ? 25 ? 0 ? 10.已知 O 为直角坐标系原点,P、Q 两点的坐标均满足不等式组 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 则 tan∠POQ ? x ?1 ? 0 ?
的最大值等于 ( 1 A. 2 ) B.1 3 C.. 2 D.0

三、解答题(共 6 个小题,共计 70 分) 17. (本小题满分 10 分)已知函数 f ( x ) ?| 2 x ? 1 | ? | 2 x ? 3 | . (I)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (II)若关于 x 的不等式 f ( x) ? a 恒成立,求实数 a 的取值范围。 18. (本题满分 12 分)已知数列{an}中,其前 n 项和为 Sn,且 n,an,Sn 成等差数列(n∈N*).

11.已知函数 f(x)=x|x-4|-5,则当方程 f(x)=a 有三个根时,实数 a 的取值范围是( A.-5<a<-1 B.-5≤a≤-1 C.a<-5 D.a>-1

).

(1)求数列{an}的通项公式; (2)求 Sn>57 时 n 的取值范围. π 3 19. (本题满分 12 分)已知函数 f(x)=2cosxsin(x+ )- . 3 2 (1)求函数 f(x)的最小正周期 T; (2)若△ABC 的三边 a,b,c 满足 b =ac,且边 b 所对角为 B,试求 cosB 的取值范围,并确定此时
2

12.f(x)的定义域为 R,且 f(x)= ? 范围为 ( A.(-∞,1) )

?2

?x

?1

( x ≤ 0)

? f ( x ? 1) ( x >0)

若方程 f(x)=x+a 有两不同实根,则 a 的取值

B.(-∞,1]

C.(0,1)

D.(-∞,+∞)

f(B)的最大值.

第Ⅱ卷 (共 90 分)
二、填空题(共 4 个小题,每题 5 分,共计 20 分) 1 13.已知数列{an}中,a3=2,a7=1,若{ }为等差数列,则 a11= ________. an+1

20.如图,扇形 AOB,圆心角 AOB 等于 60° ,半径为 2, 在弧 AB 上有一动点 P,过 P 引平行于 OB 的直线和 OA 交于点 C,设∠AOP=θ,求△POC 面积的最大值及此时 θ 的值.

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=x4+ax3+2x2+b(x∈R),其中 a,b∈R. 10 (1)当 a=- 时,讨论函数 f(x)的单调性; 3 (2)若函数 f(x)仅在 x=0 时处有极值,求 a 的取值范围;

14.在△ABC 中,sin2A+cos2B=1,则 cosA+cosB+cosC 的最大值为________

1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 15.观察下列不等式:1> ,1+ + >1,1+ + +?+ > ,1+ + +?+ >2,1+ + +? 2 2 3 2 3 7 2 2 3 15 2 3 + 1 5 > ,?,由此猜测第 n 个不等式为________(n∈N*). 31 2

(3)若对于任意的 a ? [?2, 2] ,不等式 f(x)≤1 在[-1,1]上恒成立,求 b 的取值范围.

? log 1 ( x ? 1), x ? ? 0,1? ? 2 , 16.定义在 R 上的奇函数 f(x),当 x≥0 时,f(x)= ? ?1 ? x ? 3 , x ? ?1, ?? ? ?
1 则方程 f(x)= 的所有解之和为 2
.
高三数学(理)

1 2 ax ? (2a ? 1) x ? 2 ln x(a ? R) . 2 (1)若曲线 y ? f ( x ) 在 x ? 1 和 x ? 3 处的切线互相平行,求 a 的值;

22. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ?

(2)求 f ( x ) 的单调区间; (3)设 g( x ) ? x 2 ? 2 x, ,若对任意 x 1 ? (0,2] ,均存在 x 2 ? (0,2] ,使得 f ( x1 ) ? g( x 2 ) ,求 a 的取值 范围.
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