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线面面面垂直的性质


一.复习引入
判定定理 如果一条直 a 线垂直于一个 平面内的两条m 相交直线,那 ? O n 么此直线垂直 于这个平面。 m ? ?,n ? ? ? ? m n?O ??a ?? a ? m, a ? n ? ?

直线与平面 垂直

定义法 如果一条直 A b 线垂直于一个 α 平面内的任何 一条直线,那 注 :若 l ?

? , b ? ? 么此直线垂直 则 l ? b . 于这个平面。

l

二、新知探究

思考1:如图,长方体ABCD—A1B1C1D1
中,棱AA1,BB1,CC1,DD1 所在直线与底面 ABCD的位置关系如何?它们彼此之间具 有什么位置关系?
C1 D1 A1 C B A D B1

思考2:如果直线a,b都垂直于同一 条直线l,那么直线a,b的位置关系 如何?
l
a b a b

l

b

l
a

思考3:如果直线a,b都垂直于平面 α ,那么直线a,b的位置关系怎样?
a b

a//b

α

从理论上如何证明这个结论?

线面垂直的性质定理:

垂直于同一个平面的两条直线平行 反证法 已知:a⊥α, b⊥α, 求证:a // b
证明: 假设 a与b不平行. 记直线b和α的交点为o, 则可过o作 b’∥a. ∵a⊥α , ∴b’⊥α. ∴过点o的两条直线 b和 b’都垂直平面α , 这不可能! ∴a∥b .

否定结论b’
a b

α

正确推理
o

导出矛盾

肯定结论

线面垂直的性质定理: 垂直于同一平面的两直线互相平行。
图形语言:
a b

α
符号语言:

a ? ?,b ? ? ? a // b

随堂测试 1.判断下列命题是否正确: ①平行于同一条直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一条直线的两条直线互相平行 ③平行于同一个平面的两条直线互相平行 ④垂直于同一个平面的两条直线互相平行
正确的是:①④

2.教材P71 2题

?
?

?

提出问题:
1、平面与平面垂直的定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是 直二面角,就说这两个平面互相垂直。 2、平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂 线,则这两个平面垂直。 该命题正确吗?
符号表示:

?

b

b ? ?? ? ? ? ? ? b ???

?

平面与平面垂直的性质定理
Ⅰ. 观察实验 ,则一个平 两个平面垂直 观察两垂直平面中,一 面内垂直于交线的直线 个平面内的直线与另 与另一个平面垂直 .
一个平面的有哪些位 符号表示: 置关系?
?

?
b

l

Ⅱ.概括结论

? ? ?? ?l ? b?l ?

? ? ? ? ? ? ?? 该命题正确吗? ? b ? ? ? b??? b ?? b 简述为: ??
面面垂直 线面垂直

判断正误
已知平面α⊥平面β,α∩ β=l 下列命题

(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β (× ) (2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β (× ) (3)过平面α内任意一点作交线的垂线,则 此垂线必垂直于平面β (√ )

例1:如图,已知PA⊥平面ABC, 平面PAB⊥平面PBC,求证:BC⊥平面PAB
证明:过点A作AE⊥PB,垂足为E, ∵平面PAB⊥平面PBC, 平面PAB∩平面PBC=PB, A ∴AE⊥平面PBC ∵BC ? 平面PBC ∴AE⊥BC
P

C

∵PA⊥平面ABC,BC? 平面ABC ∴PA⊥BC ∵PA∩AE=A,∴BC⊥平面PAB

B

例2 已知平面?,?,? ? ?,直线a ? ?, a ? ?,试判断直线a与平面?的位置关系.
(教材P72)
b
?

a

?

探究:已知平面 ?,?,直线a, 且? ? ? , ? ? ? ? AB a // ? , a ? AB, 试判断直线a与平面?的位置关系。

α
b A

a

β
?

B


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