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第二节空间点线面的位置关系


第二节

空间点、直线、平面之间的位置关系

一、填空题 1. 在空间中,可以确定一个平面的条件是________(填写相应的序号). ①一条直线;②不共线的三个点;③一条直线和一个点;④两条直线. 2. 三个平面两两相交, 且三条交线互相平行, 则这三个平面把空间分成________个部分. 3. 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,

AA1 与 BC1 所成的角为________. 4. 若 OA∥O1A1,OB∥O1B1,则∠AOB 与∠A1O1B1 的关系是________. 5. 空间四个点,如果其中任意三点都不在同一直线上,那么经过其中三点的平面有 ________个. 6. 已知 a∥c,b 与 c 不平行,那么 a 与 b 的位置关系为__________. 7. 下列命题中,正确的结论有________个. ①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等; ②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角) 相等; ③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补; ④如果两条直线同时垂直于第三条直线,那么这两条直线不可能异面. 8. (2010· 江西改编)过正方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l,使 l 与棱 AB,AD,AA1 所成的角都相等,这样的直线 l 可以作________条.

9. (2011· 常州高三上学期期末)给出下列命题: ①若线段 AB 在平面 α 内,则直线 AB 上的点都在平面 α 内; ②若直线 a 在平面 α 外,则直线 a 与平面 α 没有公共点; ③两个平面平行的充分条件是其中一个平面内有无数条直线平行于另一个平面; ④设 a,b,c 是三条不同的直线,若 a⊥b,a⊥c,则 b∥c. 上面命题中,假命题的序号是________. 二、解答题 10. 在正方体 ABCDA1B1C1D1 中,E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点,求证:四边形 ECD1F 是梯形.

11. 在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点,求异面 直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值.

12. 已知三个平面 α,β,γ 两两相交,a,b,c 为三条交线. (1)若 a∩b=P,求证:a,b,c 三线共点; (2)若 a∥b,试用反证法证明 a,b,c 三条直线互相平行.

参考答案
1. ② 解析:根据公理 3 及其推论,知仅②是正确的. 2. 7 3. 45? 解析: 由 AB 綊 C1D1 知四边形 ABC1D1 是平行四边形, 则 BC1∥AD1, 则∠A1AD1 或其邻补角为直线 AA1 与 BC1 所成的角,又在正方形 ADD1A1 中,∠A1AD1=45?,所以 AA1 与 BC1 所成的角为 45?. 4. 相等或互补 解析:由等角定理可知,若∠AOB 与∠A1O1B1 方向相同,则∠AOB= ∠A1O1B1;若∠AOB 与∠A1O1B1 方向相反,则∠AOB+∠A1O1B1=180?. 5. 1 或 4 解析:当这四个点在同一个平面上时,则经过其中三点的平面只有 1 个;若 这四个点不在同一个平面上,则每三个点就能确定一个平面,所以经过其中三点能确定 4 个平面. 6. 相交或异面 解析:由 b 与 c 不平行知,a 与 b 不平行,而相交,异面都有可能. 7. 1 解析:仅②正确. 8. 4 解析:考查空间感和线线夹角的计算和判断,重点考查学生分类、划归转化的能 力.第一类:通过点 A 位于三条棱之间的直线有一条体对角线 AC1;第二类:在图形外部和 每条棱的外角和另两条棱夹角相等,有 3 条,合计 4 条. 9. ②③④ 解析:根据公理 1 知①是正确的;②错,直线在平面外包括直线与平面平 行和直线与平面有且只有一个公共点; ③错, 两个平面平行的充分条件是其中一个平面有两 条相交直线与另一个平面平行,无数条直线可以是互相平行的直线;④错,a,b,c 是同一 平面内三条直线时,这个结论才正确. 10.

1 ∵E、F 分别是 AB 和 AA1 的中点,∴EF 綊 A1B. 2 ∵A1D1 綊 BC,∴四边形 A1D1CB 是平行四边形, 1 ∴A1B 綊 D1C,∴EF 綊 D1C, 2 ∴四边形 ECD1F 是梯形. 11. 因为 C1D1∥B1A1,所以∠MA1B1 为异面直线 A1M 与 C1D1 所成的角. 2 因为 A1B1⊥平面 BCC1B1,所以∠A1B1M=90?,而 A1B1=1,B1M= B1C2 1+MC1= 2,故 tan B 1M ∠MA1B1= = 2,即异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值为 2. A1B1 12. (1)设平面?∩平面?=a, 平面?∩平面 γ=b, 平面?∩平面 γ=c.∵a∩b=P, ∴P∈平面?, 且 P∈平面 γ,∵?∩γ=c,则 P∈c,a,b,c 三线交于点 P,即 a,b,c 三线共点. (2)假设 a,b,c 三条直线不互相平行,不妨设 a 不平行于 c,则 a,c 相交或异面,若 a, c 相交, 由(1)得 a, b, c 三线共点, 与条件“a∥b”矛盾; 若 a, c 异面, ∵平面?∩平面?=a, ∴a?平面?,∵平面?∩平面 γ=c,∴c?平面?,∴a,c 共面,矛盾,故假设不成立,a,b, c 三条直线互相平行.

如图,连结 EF、A1B、D1C,D1F,EC.


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