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2011高中数学竞赛辅导


竞赛专题

排列

组合

{1,2,3,4};(2)a≠b,b≠c,c≠d,d≠a;(3)a 是 a,b,c,d 中的最小值,那么,可以组成的 不同的四位数 abcd 的个数是 .

【知识精要】 知识精要】 1.基本原理:加法和乘法原理。解决此类问题常见要点: (1)不重复,不 遗漏; (2)正面

考虑比较麻烦时,考虑间接法; (2)特殊位置、元素优先 考虑; (3)转化思想,对于陌生问题,尽量转化为熟悉模型。 2.隔板法模型:将 m 个名额分给 k 个人 ( m ≥ k ) ,每人至少一个的方法是
k Cm?1 ;引申 1:方程 x1 + x2 + ??? + xk = m ( xi ≥ 1, xi ∈ Z , m ∈ Z + ) 的解有 ?1

例 2:使直线 ax + by = 1 和圆 x 2 + y 2 = 50 只有整数公共点的有序实数对

(a, b) 的个数为: (



A、72

B、74

C、78

D、82

k Cm?1 组;2:方程 x1 + x2 + ??? + xk = m ( xi ≥ 0, xi ∈ Z , m ∈ Z + ) 的解有 ?1 k Cm?1k ?1 组。 +

解:第一象限圆上有 (7,1), (5, 5), (1, 7) 三个整点,故平面上有 12 个整点, 割线和切线共 C12 + 12 = 78 条,减去 6 条过原点直线,共有 72 条,选 A。
2

3.圆排列模型:n 个不同元素中取出 r 个元素按照某种顺序(如逆时针) 排成一个圆圈,称这样的排列为圆排列。需要注意的是:若一个圆排列经 旋转后可得另一个圆排列,则这两个圆排列是相同的。n 个不同元素中取 出 r 个元素的圆排列数为:
r An n! = r r (n ? r )!

练习 2: (05 年江苏高中数学竞赛)由三个数字 1 、 2 、 3 组成的 5 位 数中, 1 、 2 、 3 都至少出现 1 次, 这样的 5 位数共有 .

【例题精讲】+【习题精练】 例题精讲】 习题精练】 例 1:3 个人传球,由甲发球,5 次传球之后,仍回到甲手中,有多少种 传球方法? 解:将问题转化为右图填图问题。中间可能有甲或 无甲,则有 C2C2 A2 + A2 = 10 种不同的传球方法。
1 1 2 2

(2005 全国高考试题改编)过三棱柱任意两个顶点的直线共 15 条, 例 3: 任选两条为异面直线的概率是: 。 解: “15 条直线中任选两条为异面直线” 记 为事件 A, 而要使两直线异面, 只需四点不共面,且不共面的四点可连成 3 组异面直线,则事件 A 的可能 情况有 3(C6 ? 3) = 36 种, P ( A) = 故
4

36 12 = 。 即任选两条为异面直线的 105 35





概率为

12 。 35

练 习 1 : 2000 全 国 高 中 数 学 联 赛 ) 如 果 : (1)a,b,c,d 都 属 于 (

练习 3: (02 年全国联赛)已知点 P1 , P2 , ? , P 分别是四面体的顶点或棱 10

的中点,那么在同一平面上四点组有

个.

练习 8:把 10 个儿童平均分成两组,每组都围成一个圆圈,围法总数为多 少个?

练习 4: (09 安徽高考)考察正方体 6 个面的中心,甲 从这 6 个点中任意选两个点连成直线,乙也从这 6 个点 中任意选两个点连成直线,则所得的两条直线相互平行 但不重合的概率等于 。

练习 9:n (n > 6 ) 个人围圆桌而坐,设甲乙是这 n 个人中的两个,求: (1) 甲乙相邻的就坐方法数; (2)甲乙之间恰有一人的就坐方法数; (3)甲乙 之间恰有两个人的就坐方法数。

例 4:方程 x1 + x 2 + x3 + x 4 + x5 = 18 共有多少组正整数解?

练习 5:将 (a + b + c + d ) 展开合并同类项后,共有多少项?
30

例 5:整数 1,2,3……,n 的排列满足:每个数或者大于它之前的所有数, 或者小于它之前的所有数,试问有多少种这样的排列? 解:记所有的排列的个数为 a n 。显然, a1 = 1 ,对于 n ≥ 2 ,考虑最大的 数 n,如果 n 排在第 i 位,则它之后的 n-i 个数排序完全确定;而它之前的 i-1 个数有 a i ?1 个排法。考虑到所有不同的位置,由分类计数原理知:

练习 6:方程 2 x1 + x 2 + x3 + …… x10 = 3 的非负整数解共有多少个?

练习 7:桌子上有 6 个空钱包,将 12 枚壹元的硬币放进这些钱包里,以使 至多剩下一个空钱包,问有多少种方法?

a n = 1 + a1 + a 2 + … + a n ?1 , 于 是 a n?1 = 1 + a1 + a 2 + … + a n ?2 , 所 以
a n = 2 n ?1 。

例 5: (1)有 8 个人围圆桌就餐,问有多少种就座方式?如果有两人不愿 坐在一起,又有多少种就座方式?(2)4 男 4 女围圆桌交替就座有多少种 方式?

练习 10:一段楼梯有 12 级台阶。某人上楼时,有时一步迈一级台阶,有 时一步迈两级台阶。问此人共有多少种上楼的方法。


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