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辽宁省沈阳二中2013届高三第六次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案


沈阳二中 2013 届第六次模拟考试 数学试题(文)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分, 满分 150 分, 考试时间 120 分钟. 考试注意: 1.答题前,考生在答题卡上务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考试要认真 核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考试本人的准考证 号、姓名是否一致. 2.第 I 卷每小题选出答案

后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,.第 II 卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔 在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效. 3.考试结束后,监考员将试题卷、答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的. (1)若全集 U ? R ,集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | x 2 ? 1 ? 0} ,则 A ? ?U B ?( (A) {x | 0 ? x ? 1} (B) {x | 0 ? x ? 1} (C) {x |1 ? x ? 2} (D) {x |1 ? x ? 2} )

(2)若复数 (A) ?1

a?i 的实部与虚部相等,则实数 a ? ( 2i
(B) 1 (C) ?2 (D) 2



(3)设 Sn 为等比数列 ?an ? 的前 n 项和, 2a3 ? a4 ? 0 ,则 (A)2 (B)3 (C)4 (D)5

S3 ?( a1



(4)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形, 则这个几何体的体积为(
1 (A) 3

) (C)1 (D)

(B) 3

3 3


? (5)已知 x 、 y 的取值如下表所示:若 y 与 x 线性相关,且 y ? 0.95 x ? a ,则 a ?(

x
y
(A) 2.6

0 2.2

1 4.3 (B) 2.9

3 4.8 (C) 2.8

4 6.7 (D) 2.2

(6)下列有关命题的说法中错误的是( ....



(A)若“ p或q ”为假命题,则 p 、 q 均为假命题 (B)“ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的充分不必要条件 (C) sin x ? 1 ”的必要不充分条件是“ x ? ? ” “ 2 6 (D)若命题 p: ? 实数 x 使 x ? 0 ” “ ,则命题 ? p 为“对于 ?x ? R 都有 x ? 0 ”
2 2

(7)某程序框图如图所示,该程序运行后,输出的 x 值 为 31,则 a 等于( (A) 4 ) (C)2 (D) 3

(B) 1

(8)若 a,b∈ R,且 a>b,则下列不等式中恒成立的是 (
2


2

(A) a ? b

(C) lg(a ? b) ? 0

1 a 2 a (D) ? 1 b

(B) ( ) ? ( )

1 2

b

(9) 已知函数 f ( x) ? A sin ??x ? ? ? A ? 0, ? ? 0,? ( 对称,它的周期是 ? ,则( (A) f (x) 的图象过点 ? 0, ? )

?
2

?? ?

?
2

) 的图像关于直线 x ?

2? 3

? ?

1? 2?
? 5? ? ,0 ? ? 12 ?

(B) f (x) 在 ?

? ? 2? ? 上是减函数 , ?12 3 ? ?

(C) f (x) 的一个对称中心是 ?

(D) f (x) 的最大值是 4

(10)已知抛物线关于

y 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M ( x0 ,1) ,若点 M


到该抛物线的焦点距离为 3,则 OM ? ( (B) 3 ??? ??? ? ? (11) 如图, 平面内有三个向量 OA , OB , ??? ? ??? 3 ? 的夹角为 30? ,且 | OA |? 2 , | OB |? , 2 ???? ??? ? ??? ? 若 OC ? ?OA ? ?OB (? , ? ?R) ,则( (A) ? ? 4 , ? ? 2 (C) ? ? 2 , ? ? (A) 2 3

(C) 2 2 (D) 4 ???? ? ??? ??? ? ??? ???? ? OC ,其中 OA 与 OB 的夹角为 120? , OA 与 OC ???? | OC |? 2 3 , )
B C

4 3

8 3 (B) ? ? , ? ? 3 2 3 4 (D) ? ? , ? ? 2 3

O

A

(12)若函数 f ( x) ? a ? 2 ? 1(a ? 0) ,定义函数 F ( x) ? ?
x

? f ( x), x ? 0, 给出下列命题: ?? f ( x), x ? 0.

① F ( x) ? f ( x) ; ②函数 F ( x) 是奇函数;③当 a ? 0 时,若 mn ? 0 , m ? n ? 0 , 总有 F (m) ? F (n) ? 0 成立,其中所有正确命题的序号是( (A)② (B)①② (C)③ ) (D)②③

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。 第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分把答案填在题中横线上 (注意:在试 .. 卷上作答无效) ...... (13)函数 f ( x) ? loga (2 ? x) 必过定点



? 2 x ? y ? 4, ? (14)已知 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4, 则 z ? x ? y 的最小值为 ? x ? 0,y ? 0 ?



(15)空间直角坐标系中,点 A( 3, 4sin ? , ?3sin ? ), B(0,3cos ? , 4cos ? ) ,则 A、B 两点 间距离的最小值为 。 y A

x2 y 2 (16)如图, F1 和 F2 分别是双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0,b ? 0) a b
的两个焦点, A 和 B 是以 O 为圆心,以 OF1 为半径的圆与 该双曲线左支的两个交点,且 △F2 AB 是等边三角形,则双 曲线的离心率为 。

F1
B

O

F2

x

三、解答题:本大题共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17)(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b , c ,向量 m ? (2 sin B,

2 cos B) ,

n ? ( 3 cos B, ? cos B) ,且 m ? n ? 1 .
(Ⅰ)求角 B ; (Ⅱ)若 a , b , c 成等差数列,且 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积.

(18)(本小题满分 12 分) 为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况, 从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进 行“掷实心球”的项目测试.成绩低于 6 米为不合格,成绩在 6 至 8 米(含 6 米不含 8 米) 的为及格,成绩在 8 米至 12 米(含 8 米和 12 米,假定该市初二学生掷实心球均不超过 12 米)为优秀.把获得的所有数据,分成 [2, 4),[4,6),[6,8),[8,10),[10,12] 五组,画出的频率 分布直方图如图所示.已知有 4 名学生的成绩在 10 米到 12 米之间. (Ⅰ)求实数 a 的值及参加“掷实心球”项目测试的人数; (Ⅱ)根据此次测试成绩的结果,试估计从该市初二年 级男生中任意选取一人, “掷实心球”成绩为优秀 的概率; (Ⅲ)若从此次测试成绩最好和最差的两组男生中随机抽 取 2 名学生再进行其它项目的测试,求所抽取的 2 名学生来自不同组的概率.
0.075 a 0.025 2 4 6 8 10 12
米 频率 组距

频率分布直方图

0.200

0.150

(19)(本小题满分 12 分) 如 图 , 已 知 四 边 形 ABCD 是 正 方 形 , EA ? 平 面 A B C D PD ? EA , ,

AD ? PD ? 2 EA ? 2 , F , G , H 分别为 BP , BE , PC 的中点.
(Ⅰ)求证: FG ? 平面 PDE ; (Ⅱ)求证:平面 FGH ? 平面 AEB ; (Ⅲ)在线段 PC 上是否存在一点 M ,使 PB ? 平面 EFM ? 若存在,求出线段 PM 的长;若不存在,请说明理由. F E D G A B C H P

(20)(本小题满分 12 分)

已知椭圆 C :

x2 y 2 3 1 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 经过点 M (1, ), 其离心率为 . 2 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 相交于 A、B 两点,以线段 OA, OB 为邻边作平行四边形 OAPB,其 中顶点 P 在椭圆 C 上, O 为坐标原点. 求 O 到直线距离的 l 最小值.

(21)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ex ( x3 ? 6x2 ? 3x ? a) , (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数在 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 有三个极值点,求实数 a 的取值范围; (Ⅲ)定义:如果曲线 C 上存在不同点的两点 A(x 1, y 1 ),B(x 2, y 2 ),过 AB 的中点且垂直于 x 轴的直线交曲线 C 于点 M,使得直线 AB 与曲线 C 在 M 处的切线平行,则称曲线 C 有“平衡切线”. 试判断函数 G( x) ? [ f ?( x) ? f ( x)] ? e? x ? e x 的图像是否有“平衡切线” ,为什么?

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。做 答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4 ? 1:几何证明选讲 如图,C 是以 AB 为直径的半圆 O 上的一点,过 C 的直线交直线 AB 于 E,交过 A 点的切线 于 D,BC∥OD . (Ⅰ)求证:DE 是圆 O 的切线; (Ⅱ)如果 AD =AB = 2,求 EB 的长。

(23)(本小题满分 10 分)选修 4 ? 4:坐标系与参数方程 在极坐标系内,已知曲线 C1 的方程为 ? 2 ? 2? (cos? ? 2sin ? ) ? 4 ? 0 ,以极点为原点, 极轴方向为 x 正半轴方向,利用相同单位长度建立平面直角坐标系,曲线 C2 的参数方

?5x ? 1 ? 4t ( t 为参数). ?5 y ? 18 ? 3t (Ⅰ)求曲线 C1 的直角坐标方程以及曲线 C 2 的普通方程; (Ⅱ)设点 P 为曲线 C 2 上的动点,过点 P 作曲线 C1 的两条切线,求这两条切线所成
程为 ? 角余弦的最小值.

(24)(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5:不等式选讲 已知函数 f ( x ) = 2 | x ? 2 | ? x ? 5 ,若函数 f ( x ) 的最小值为 m (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)若不等式 | x ? a | ? | x ? 2 |? m 恒成立,求实数 a 的取值范围.

沈阳二中 2013 届第六次模拟考试数学试题(文)参考答案
一.选择题: (1)B (7)D (2)A (8)C (3)B (9)C (4)D (5)A (6)C (10)B (11)C (12)D

二.填空题: (13) (1, 0) 三.解答题: (17)解: (Ⅰ)? m ? n ? 1 ,? 2 sin B ? 3 cos B ? 2 cos2 B ? 1 , (14) ?2 (15) 2 (16) 1 ? 3

) ? 1, ???????????4 分 6 ? ? ? 11? ? ? 又 0 ? B ? ? ,? ? ? 2 B ? ? ,? 2 B ? ? ,? B ? ?????6 分 3 6 6 6 6 2 (Ⅱ)? b ? 2 , 2b ? a ? c ,? a ? c ? 4 .
2 2 2 又 b ? a ? c ? 2ac ? cos B ,? 4 ? a ? c ? 2ac ? cos
2 2

3 sin 2B ? cos2B ? 2 , sin( 2 B ?

?

?

3

,即 4 ? a ? c ? ac
2 2

将 a ? c ? 4 代入得 a 2 ? 4a ? 4 ? 0 ,得 a ? 2 ,从而 c ? 2 ,三角形为等边三角形

? S? ?

1 ac sin B ? 3 2

???????????12 分

(18)解: (Ⅰ)由题意可知 (0.2 ? 0.15 ? 0.075 ? a ? 0.025) ? 2 ? 1 ,解得 a ? 0.05 . 所以此次测试总人数为

4 ? 40 . 0.05 ? 2
????????4 分

答:此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为 40 人.

( Ⅱ)由图可知 ,参加此次“掷 实心球”的项目测试的 初二男生,成绩优秀的 频率为

(0.15 0.05) 2 0.4 ? ? ? ,则估计从该市初二年级男生中任意选取一人, “掷实心球”
成绩为优秀的概率为 0.4 . ????????8 分

(Ⅲ)设事件 A:从此次测试成绩最好和最差的两组男生中随机抽取 2 名学生来自不同组. 由已知,测试成绩在 ? 2, 4 ? 有 2 人,记为 a , b ;在 [10,12] 有 6 人,记为 A, B, C , D . 从这 6 人中随机抽取 2 人有

ab, aA, aB, aC, aD, bA, bB, bC, bD, AB, AC, AD, BC, BD, CD ,共 15 种情况.
事件 A 包括 aA, aB, aC, aD, bA, bB, bC, bD, 共 8 种情况. 答:随机抽取的 2 名学生来自不同组的概率为 所以 P ( A) ?

8 . 15

8 . 15

???????????12 分

(19) (Ⅰ)证明:因为 F , G 分别为 PB , BE 的中点, 所以 FG ? PE . 又因为 FG ? 平面 PED , PE ? 平面 PED , 所以 FG ? 平面 PED . ?????4 分

P

H F E D G A B M C

(Ⅱ)因为 EA ? 平面 ABCD ,所以 EA ? CB . 又因为 CB ? AB , AB ? AE ? A , 所以 CB ? 平面 ABE . 由已知 F , H 分别为线段 PB , PC 的中点, 所以 FH ? BC . 则 FH ? 平面 ABE .而 FH ? 平面 FGH , 所以平面 FGH ? 平面 ABE .

???????????????????8 分

(Ⅲ)在线段 PC 上存在一点 M ,使 PB ? 平面 EFM .证明如下: 在直角三角形 AEB 中,因为 AE ? 1 , AB ? 2 ,所以 BE ? 5 . 在直角梯形 EADP 中,因为 AE ? 1 , AD ? PD ? 2 ,所以 PE ? 5 , 所以 PE ? BE .又因为 F 为 PB 的中点,所以 EF ? PB . 要使 PB ? 平面 EFM ,只需使 PB ? FM . 因为 PD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? CB ,又因为 CB ? CD , PD ? CD ? D , 所以 CB ? 平面 PCD ,而 PC ? 平面 PCD ,所以 CB ? PC . 若 PB ? FM ,则 ?PFM ∽ ?PCB ,可得

PM PF ? . PB PC

可求得 PB ? 2 3 , PF ? 3 , PC ? 2 2 ,所以 PM ?

3 2 . ?????12 分 2

(20)解: (Ⅰ)由已知, e ?
2

a 2 ? b2 1 ? ,所以 3a 2 ? 4b2 , ① a2 4
1 9 ? 2 ?1 , 2 a 4b
故椭圆 C 的方程为 ② ………………2 分

又点 M (1, ) 在椭圆 C 上,所以 由①②解之,得 a ? 4, b ? 3 .
2 2

3 2

x2 y 2 ? ? 1 .……………4 分 4 3

(Ⅱ) 当直线 l 有斜率时,设 y ? kx ? m 时,

则由 ?

? y ? kx ? m, ? x2 y 2 ? 1. ? ? 3 ?4

消去 y 得, (3 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m2 ?12 ? 0 ,

? ? 64k 2m2 ? 4(3 ? 4k 2 )(4m2 ?12) ? 48(3 ? 4k 2 ? m2 ) ? 0 , ③
设 A、B、 P 点的坐标分别为 ( x1 , y1 )、x2 , y2 )、x0 , y0 ) ,则: ( (

x0 ? x1 ? x2 ? ?

8km 6m , y0 ? y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2m ? …………6 分 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2 ,
2 2 x0 y0 ? ?1 . 4 3

由于点 P 在椭圆 C 上,所以

从而

16k 2 m2 12m2 ? ? 1 ,化简得 4m2 ? 3 ? 4k 2 ,经检验满足③式. …8 分 2 2 2 2 (3 ? 4k ) (3 ? 4 k )

点 O 到直线 l 的距离为:

d?

|m| 1? k2

?

3 2 ?k 1 1 3 4 ? 1? ? 1? ? 2 4(1 ? k ) 4 2 1? k2
………………………10 分

当且仅当 k ? 0 时等号成立 当直线 l 无斜率时,由对称性知,点 P 一定在 x 轴上,

从而 P 点为 (?2,0),(2,0) ,直线 l 为 x ? ?1 ,所以点 O 到直线 l 的距离为 1

所以点 O 到直线 l 的距离最小值为

3 2

………………………12 分

(21)解(Ⅰ):

f ?( x) ? ex ( x3 ? 3x2 ? 9x ? a ? 3) ,当 a ? 1 时 f ?(0) ? 4 , f (0) ? 1
……………………3 分

函数在 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? 4 x ? 1 (Ⅱ)

f ?( x) ? ex ( x3 ? 3x2 ? 9x ? a ? 3) 设 g ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? a ? 3

g?( x) ? 3x2 ? 6x ? 9 ? 3( x ? 3)( x ? 1)
? g ( x) 的极大值为 g (?1) ? a ? 8 ,极小值为 g (3) ? a ? 24 , f ( x) 有三个极值点? f ?( x ) 有三个零点? g ( x) 有三个零点

? g ( x) 的极大值为正,且极小值为负,即 a ? 8 ? 0, a ? 24 ? 0
可得 ?8 ? a ? 24
. . . …. . …. . … . ……7 分

(Ⅲ)由题 G( x) ? [ f ?( x) ?

f ( x)]e? x ? ex ? ex ? 3x2 ?12x ? 3
x1 ? x2 x1 ? x2 ) ? e 2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 12 2

?G?( x) ? e x ? 6 x ?12
G ( x) 的图像在 M M 处的切线的斜率为 k0 ? G?(

直线 AB 的斜率 k AB

G( x1 ) ? G( x2 ) e x1 ? e x2 ? ? ? 3( x1 ? x2 ) ? 12 x1 ? x2 x1 ? x2
. . …. . …. . … . ……9 分
x1 ? x2 2 x2 ? x1 2

x1 ? x2 e x1 ? e x2 ?e 2 如果 k0 ? k AB ,则 x1 ? x2

则 令

e ?e ? e
x1 x2

x1 ? x2 2

( x1 ? x2 ) 可化为 e
t ?t

?e

? ( x1 ? x2 )

x1 ? x2
2

= t , 上式即为 e ? e

? 2t 构造函数 h( x) ? e x ? e? x ? 2 x

h?( x) ? ex ? e? x ? 2 ? 0 ,则 h( x) 在 R 上是增函数,
因为 h(0) ? 0 ,所以 h(t ) ? 0 的充要条件是 t ? 0 .此时 x 1 = x 2 与条件矛盾. 所以 G ( x) 的图像没有“平衡切线” . . . …. . …. . … . ……12 分

(22) (Ⅰ)证:连接 AC,AB 是直径,则 BC⊥ 由 BC∥OD ?OD⊥ AC AC 则 OD 是 AC 的中垂线? ∠OCA =∠OAC , ∠DCA =∠DAC , ∠OCD = ∠OCA +∠DCA =∠OAC +∠DAC =∠DAO = 90o .

D

C

?OC⊥ DE,

所以 DE 是圆 O 的切线

. ……5 分

(Ⅱ)BC∥OD?∠CBA = ∠DOA,∠BCA = ∠DAO

E

B

O

A

?△ABC∽ △AOD? ?

BC AB ? BC = OA ? AB = 1 ? 2 = 2 5 ? 5 OA OD OD 5
……10 分
[来源:Zxxk.Com]

2 BC 2 BE 2 BE 2 ? ? ? ? ? ? BE = 3 OD 5 OE 5 OB 3
2 2 2

(23)解: (Ⅰ)对于曲线 C1 的方程为 ? 2 ? 2? (cos? ? 2sin ? ) ? 4 ? 0 ,

可化为直角坐标方程 x ? y ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,即 ( x ?1) ? ( y ? 2)2 ? 1 ;

?5x ? 1 ? 4t 对于曲线 C2 的参数方程为 ? ( t 为参数) , ?5 y ? 18 ? 3t
可化为普通方程 3x ? 4 y ? 15 ? 0 . ……5 分 (Ⅱ)过圆心 (1, ?2) 点作直线 3x ? 4 y ? 15 ? 0 的垂线,此时两切线成角 ? 最大, 即余弦值最小. 则由点到直线的距离公式可知,

1 7 2? ? , ,因此 cos ? ? 1 ? 2sin 2 4 2 8 32 ? 42 7 因此两条切线所成角的余弦值的最小值是 . ……10 分 8

d?

| 3 ?1 ? 4 ? (?2) ? 15 |

? 4 ,则 sin

?

?

? x ? 1,( x ≥ 2) (24)解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 | x ? 2 | ? x ? 5 ? ? ??3x ? 9,( x ? 2)

显然,函数 f ( x) 在区间 (??, 2) 上单调递减,在区间 [2, ??) 上单调递增, 所以函数 f ( x) 的最小值 m ? f (2) ? 3. ……………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 m ? 3 , | x ? a | ? | x ? 2 |≥ 3 恒成立, 由于 | x ? a | ? | x ? 2 |≥| ( x ? a) ? ( x ? 2) |?| a ? 2 | , 等号当且仅当 ( x ? a)( x ? 2) ≤ 0 时成立,故 | a ? 2 |≥ 3 ,解之得 a ≥ 1 或 a ≤ ?5. 所以实数 a 的取值范围为 a ≥ 1 或 a ≤ ?5. ……………10 分


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