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2014全国名校真题模拟专题训练8-圆锥曲线解答题1(数学)


2009 届全国名校真题模拟专题训练 08
三、解答题(第一部分)

圆锥曲线

1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设 F1 、 F2 分别是

椭圆

x2 y 2 + = 1 的左、右焦点. 5 4

(Ⅰ)若 P 是该椭圆上的一个动

点,求 PF1 ? PF2 的最大值和最小值; (Ⅱ)是否存在过点 A(5,0)的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、D,使得|F2C|=|F2D|? 若存在,求直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解: (Ⅰ)易知 a ?

5 , b ? 2, c ? 1,? F1 ? (?1,0), F2 (1,0)
2 2

设 P(x,y) ,则 PF1 ? PF2 ? (?1 ? x,? y ) ? (1 ? x,? y ) ? x ? y ? 1

x2 ? 4 ?

4 2 1 x ?1 ? x2 ? 3 5 5

? x ? [? 5 , 5 ] ,

?当x ? 0 ,即点 P 为椭圆短轴端点时, PF1 ? PF2 有最小值 3;
当 x ? ? 5 ,即点 P 为椭圆长轴端点时, PF1 ? PF2 有最大值 4 (Ⅱ)假设存在满足条件的直线 l 易知点 A(5,0)在椭圆的外部,当直线 l 的斜率不 存在时,直线 l 与椭圆无交点,所在直线 l 斜率存在,设为 k 直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 5)

? x2 y 2 ?1 ? ? 由方程组 ? 5 ,得(5k 2 ? 4) x 2 ? 50k 2 x ? 125k 2 ? 20 ? 0 4 ? y ? k ( x ? 5) ?
依题意 ? ? 20(16 ? 80k 2 ) ? 0,得 ?

5 5 ?k? 5 5

当?

5 5 时,设交点 C ( x1 , y1 )、D( x2 , y 2 ) ,CD 的中点为 R ( x 0 , y 0 ) , ?k? 5 5

x1 ? x 2 50 k 2 25k 2 , x0 ? ? 2 则 x1 ? x 2 ? 2 5k 2 ? 4 5k ? 4
? y 0 ? k ( x0 ? 5) ? k ( 25k 2 ? 20 k ? 5) ? 2 . 5k 2 ? 4 5k ? 4

又|F2C|=|F2D| ? F2 R ? l ? k ? k F2 R ? ?1

? k ? k F2 R

20 k ) 2 5k 2 ? 4 ? 20 k ?k? ? ?1 25k 2 4 ? 20 k 2 1? 2 5k ? 4 0 ? (?

∴20k2=20k2-4,而 20k2=20k2-4 不成立, 所以不存在直线 l ,使得|F2C|=|F2D| 综上所述,不存在直线 l,使得|F2C|=|F2D| 2、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知动圆过定点P(1,0) ,且与定直线L:x=-1相切,点 C在l上. (1)求动圆圆心的轨迹M的方程;

(2)设过点P, 且斜率为 ? 3 的直线与曲线M相交于A, B两点.
(i)问:△ABC能否为正三角形?若能,求点C的坐标;若不能,说明理由 (ii)当△ABC 为钝角三角形时,求这种点 C 的纵坐标的取值范围. 解:(1)依题意,曲线M是以点P为焦点,直线l为准线的抛物线,所以曲线M的方程为y2=4x.

? (2)(i)由题意得, 直线AB的方程为: y ? ? 3 ( x ? 1)由?y 2? ? 3 ( x ? 1) 消去 y 得 : ?y ? 4x
1 1 2 3 16 3x 2 ? 10x ? 3 ? 0, 解得x1 ? , x 2 ? 3.所以A( , ), B(3,?2 3 ),| AB |? x1 ? x 2 ? 2 ? . 3 3 3 3 假设存在点C(-1,y) ,使△ABC为正三角形,则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|,即

16 2 ? 2 2 ?(3 ? 1) ? ( y ? 2 3 ) ? ( 3 ) , 4 2 2 3 2 14 3 2 2 ?1 2 2 16 2 相减得 : 4 ? ( y ? 2 3 ) ? ( 3 ) ? ( y ? 3 ) , 解得y ? ? 9 (不符, 舍) 2 ) ?( ) ?( ? 1) ? ( y ? 3 3 3 ?
因此,直线l上不存在点C,使得△ABC是正三角形. (ii)解法一:设C(-1,y)使△ABC成钝角三角形,

? 由?y ? ? 3 ( x ? 1) 得 y ? 2 3 , 此时A, B, C三点共线, 故y ? 2 3. ?x ? ?1 , 1 2 3 2 28 4 3y 16 256 又 | AC | 2 ? (?1 ? ) 2 ? ( y ? ) ? ? ? y 2 , | AB | 2 ? ( ) 2 ? 3 3 9 3 3 9 , 当 | BC | 2 ?| AC | 2 ? | AB | 2 , 即28 ? 4 3y ? y 2 ?
∠CAB为钝角.

28 4 3 256 2 ? y ? y2 ? , 即y ? 3 时, 9 3 9 9

当 | AC |2 ?| BC |2 ? | AB |2 ,即

28 4 3 256 ? y ? y 2 ? 28 ? 4 3y ? y2 ? 9 3 9

y??

10 3 时?CBA为钝角. 3

又 | AB |2 ?| AC |2 ? | BC |2 ,即 即 : y2 ?

256 28 4 3y ? ? ? y2 ? 28 ? 4 3y ? y2 9 9 3

4 4 2 2 3y ? ? 0, ( y ? ) ?0 3 3 3 .

该不等式无解,所以∠ACB不可能为钝角. 因此,当△ABC为钝角三角形时,点C的纵坐标y的取值范围是:
y?? 10 3 2 3 或y ? ( y ? 2 3) 3 9 .

解法二: 以AB为直径的圆的方程为:

5 2 8 5 2 8 ( x ? )2 ? ( y ? 3 )2 ? ( )2圆心( ,? 3 )到直线L : x ? ?1 的距离为 3 3 3 3 3 3.
2 3 ). 3 当直线l上的C点与G重合时,∠ACB为直角,当C与G 点不重合,且A, B,C三点不共线时, ∠ACB为锐角,即△ABC中∠ACB不可能是钝角. 因此,要使△ABC为钝角三角形,只可能是∠CAB或∠CBA为钝角. 所以,以AB为直径的圆与直线L相切于点G(?1,? 过点A且与AB垂直的直线为: y ? 2 3 3 1 2 3 ? ( x ? ).令x ? ?1得y ? 3 3 3 9 . 3 10 ( x ? 3), 令x ? ?1得y ? ? 3 3 3 .

过点B且与AB垂直的直线为: y ? 2 3 ?

? 又由?y ? ? 3 ( x ? 1)解得y ? 2 3 , 所以, 当点C的坐标为(?1,2 3 )时, ?x ? ?1 A,B,C三点共 线,不构成三角形. 因此,当△ABC为钝角三角形时,点C的纵坐标y的取值范围是:
y?? 10 3 2 3 或y ? ( y ? 2 3 ). 3 9

3、(江苏省启东中学高三综合测试三)(1)在双曲线 xy=1 上任取不同三点 A、B、C,证明: ⊿ABC 的垂心 H 也在该双曲线上; (2)若正三角形 ABC 的一个顶点为 C(―1,―1),另两个顶点 A、B 在双曲线 xy=1 另一支 上,求顶点 A、B 的坐标。 解: (1)略; (2)A(2+ 3 ,2- 3 ), B(2- 3 ,2+ 3 )或 A(2- 3 ,2+ 3 ), B(2+ 3 ,2- 3 ) 4、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知以向量 v=(1,
2

1 5 )为方向向量的直线 l 过点(0, ), 2 4

抛物线 C: y ? 2 px (p>0)的顶点关于直线 l 的对称点在该抛物线上. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)设 A、B 是抛物线 C 上两个动点,过 A 作平行于 x 轴的直线 m,直线 OB 与直线 m 交 于点 N,若 OA ? OB ? p ? 0 (O 为原点,A、B 异于原点),试求点 N 的轨迹方程.
2

解: (Ⅰ)由题意可得直线 l: y ?

1 5 x? 2 4




过原点垂直于 l 的直线方程为 y ? ?2 x 解①②得 x ? ?

1 . 2

∵抛物线的顶点关于直线 l 的对称点在该抛物线的准线上. ∴?

p 1 ? ? ?2, p ? 2 2 2
2

∴抛物线 C 的方程为 y ? 4 x . (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , N ( x, y ) , 由 OA ? OB ? p ? 0 ,得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 4 ? 0 .
2

又 y1 ? 4x1 , y 2 ? 4x 2 .
2

2

解得 y1 y 2 ? ?8 直线 ON: y ?



y2 4 x ,即 y ? x x2 y2



由③、④及 y ? y1 得, 点 N 的轨迹方程为 x ? ?2 ( y ? 0) . 5、 (安徽省皖南八校 2008 届高三第一次联考)已知线段 AB 过 y 轴上一点 P(0, m) , 斜率为 k , 两端点 A,B 到 y 轴距离之差为 4k (k ? 0) , (1)求以 O 为顶点, y 轴为对称轴,且过 A,B 两点的抛物线方程; (2)设 Q 为抛物线准线上任意一点,过 Q 作抛物线的两条切线,切点分别为 M,N, 求证:直线 MN 过一定点; 解: (1)设抛物线方程为 x ? 2 py( p ? 0) ,AB 的方程为 y ? kx ? m ,
2

联立消 y 整理,得 x ? 2 pkx ? 2 pm ? 0 ;∴ x1 ? x 2 ? 2 pk ,
2

又依题有 | x1 ? x2 |? 4k ? 2 pk ,∴ p ? 2 ,∴抛物线方程为 x ? 4 y ;
2

2 x x12 x2 ) , N ( x 2 , ) , Q( x0 ,?1) ,∵ k MQ ? 1 , (2)设 M ( x1 , 4 4 2

∴ MQ 的方程为 y ?

x12 x1 ? ( x ? x1 ) ? x12 ? 2 x1 x ? 4 y ? 0 ; 4 2

2 ∵ MQ 过 Q ,∴ x12 ? 2 x1 x0 ? 4 ? 0 ,同理 x 2 ? 2 x 2 x0 ? 4 ? 0

∴ x1 , x 2 为方程 x 2 ? 2 x0 x ? 4 ? 0 的两个根;∴ x1 x2 ? ?4 ; 又 k MN ?

x1 ? x 2 x 2 x ? x2 ,∴ MN 的方程为 y ? 1 ? 1 ( x ? x1 ) 4 4 4

∴y? 6 、

x1 ? x2 x ? 1 ,显然直线 MN 过点 (0,1) 4
( 江 西 省 五 校 2008 届 高 三 开 学 联 考 ) 已 知 圆

M : ( x ? 5 ) 2 ? y 2 ? 36, 定点N ( 5 ,0), 点P为圆M 上的动点,点 Q 在 NP 上,点 G 在
MP 上,且满足 NP ? 2 NQ, GQ ? NP ? 0 . (I)求点 G 的轨迹 C 的方程; (II) (2, 作直线 l , 过点 0) 与曲线 C 交于 A、 两点, 是坐标原点, OS ? OA ? OB, B O 设 是否存在这样的直线 l ,使四边形 OASB 的对角线相等(即|OS|=|AB|)?若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,试说明理由. 解: (1)

NP ? 2 NQ ? ? ? ? Q 为 PN 的中点且 GQ⊥PN GQ ? PN ? 0? ? ? GQ 为 PN 的中垂线 ? |PG|=|GN|
x2 y2 ? ? 1 ???5 分 9 4

∴|GN|+|GM|=|MP|=6,故 G 点的轨迹是以 M、N 为焦点的椭圆,其长半轴长 a ? 3 , 半焦距 c ?

5 ,∴短半轴长 b=2,∴点 G 的轨迹方程是

(2)因为 OS ? OA ? OB ,所以四边形 OASB 为平行四边形 若存在 l 使得| OS |=| AB |,则四边形 OASB 为矩形? OA ? OB ? 0
?x ? 2 ?x ? 2 ? 若 l 的斜率不存在,直线 l 的方程为 x=2,由 ? 2 2 得? ?x y 2 5 ? 1 ?y ? ? ? ? 4 ?9 3 ?

? OA ? OB ?

16 ? 0, 与OA ? OB ? 0 矛盾,故 l 的斜率存在. ???7 分 9

设 l 的方程为 y ? k ( x ? 2), A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )

? y ? k ( x ? 2) ? 由? x 2 y 2 ? (9k 2 ? 4) x 2 ? 36 k 2 x ? 36 (k 2 ? 1) ? 0 ?1 ? ? 4 ?9

? x1 ? x 2 ?

36 k 2 36(k 2 ? 1) , x1 x 2 ? 9k 2 ? 4 9k 2 ? 4



y1 y 2 ? [k ( x1 ? 2)][ k ( x2 ? 2)]
? k 2 [ x1 x 2 ? 2( x1 ? x 2 ) ? 4] ? ? 20 k 2 9k 2 ? 4
3 2
② ?????9 分

把①、②代入 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0得k ? ?

∴存在直线 l : 3x ? 2 y ? 6 ? 0或3x ? 2 y ? 6 ? 0 使得四边形 OASB 的对角线相等. 7、(安徽省淮南市 2008 届高三第一次模拟考试)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上, 它的一个顶点恰好是抛物线 y=

1 2 x 的焦点,离心率等于 2 5 . 4 5

(1)求椭圆 C 的方程;

(2) 过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 A、 两点, y 轴于 M 点, MA =λ1 AF , B 交 若
MB =λ2 BF ,求证 λ1+λ2 为定值.

解: (I)设椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,则由题意知 b = 1. a2 b2

?

a2 ? b2 2 5 1 2 5 ? .即 1 ? 2 ? . ? a 2 ? 5. 2 5 5 a a

∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. ???????????????????5 分 5

(II)方法一:设 A、B、M 点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), M (0, y 0 ). 易知 F 点的坐标为(2,0).

? MA ? ?1 AF ,? ( x1 , y1 ? y 0 ) ? ?1 (2 ? x1 ,? y1 ). ? x1 ? y0 2?1 , y1 ? . 1 ? ?1 1 ? ?1 ??????????8分

将 A 点坐标代入到椭圆方程中,得 (

y 1 2?1 2 ) ? ( 0 ) 2 ? 1. 5 1 ? ?1 1 ? ?1

2 2 去分母整理得 ?1 ? 10?1 ? 5 ? 5 y 0 ? 0. ????????????????10 分

2 同理,由MB ? ? 2 BF可得 : ?2 ? 10 ? 2 ? 5 ? 5 y 0 ? 0. 2 2 ? ?1 , ? 2 是方程x 2 ? 10 x ? 5 ? 5 y 0 ? 0的两个根,

? ?1 ? ?2 ? ?10.

??????????????????????12 分

方法二:设 A、B、M 点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), M (0, y 0 ). 又易知 F 点的坐 标为(2,0). 显然直线 l 存在的斜率,设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程是 y ? k ( x ? 2).

将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中,消去 y 并整理得

(1 ? 5k 2 ) x 2 ? 20 k 2 x ? 20 k 2 ? 5 ? 0.

??????????????7 分

20 k 2 20 k 2 ? 5 ? x1 ? x2 ? , x1 x 2 ? . 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2

??????????????8 分

又? MA ? ?1 AF , MB ? ? 2 BF , 将各点坐标代入得?1 ?

x1 x2 , ?2 ? . 2 ? x1 2 ? x2

? ?1 ? ?2 ?

x1 x2 2( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 ? ? ? ? ? ?10. 2 ? x1 2 ? x 2 4 ? 2( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2

8、(安徽省巢湖市 2008 届高三第二次教学质量检测)已知点 R(-3,0),点 P 在 y 轴 上,点 Q 在 x 轴的正半轴上,点 M 在直线 PQ 上 ,且满足 2 PM ? 3 MQ ? 0 , RP ? PM ? 0 . (Ⅰ)⑴当点 P 在 y 轴上移动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 ) 为轨迹 C 上两点,且 x1 ? 1, y1 ? 0 ,N(1,0),求实数 ? , 使 AB ? ? AN ,且 ? AB ??
??? ? ????
16 . 3
???? ? ???? ? ?

??? ???? ? ?

???? ???? ? ? ? y x 解:(Ⅰ)设点 M(x,y),由 2 PM ? 3 MQ ? 0 得 P(0, ? ),Q( , 0 ). 2 3

由 RP ? PM ? 0, 得(3, ?

??? ???? ? ?

y 3y 2 )·( x , )=0,即 y ? 4 x 2 2

又点 Q 在 x 轴的正半轴上,? x ? 0 故点 M 的轨迹 C 的方程是
y 2 ? 4 x( x ? 0) .??6 分

(Ⅱ)解法一:由题意可知 N 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,且 A、B 为过焦点 N 的 直线与抛物线 C 的两个交点。 当直线 AB 斜率不存在时,得 A(1,2),B(1,-2),|AB| ? 4 ? 分 当 直 线 AB 斜 率 存 在 且 不 为 0 时 , 设 lAB : y ? k x ( ?
k 2 x 2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0

16 ,不合题意;???7 3

, 代 入 y2 ? 4x 得 1)

则 |AB| ? x1 ? x2 ? 2 ? 10 分

2(k 2 ? 2) 4 16 ,解 得 k 2 ? 3 ?2 ? 4? 2 ? 2 3 k k
1 3

???????

代入原方程得 3x 2 ? 10 x ? 3 ? 0 ,由于 x1 ? 1 ,所以 x1 ? 3, x2 ? ,
??? ? ???? 由 AB ? ? AN , 得

1 3? x2 ? x1 3?4. ?? ? xN ? x1 3 ? 1 3

????????13

分 解法二:由题设条件得

? ? y12 ? 4 x1 ? 2 ? y 2 ? 4 x2 ? ? x2 ? x1 ? ? (1 ? x1 ) ? y ? y ? ??y 1 ? 2 1 16 ? 2 2 ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? 3 ?

(1) ( 2) (3) ( 4) (5)

? x 2 ? x1 ? ? (1 ? x1 ) 由(3)、(4)得? ? y 2 ? (1 ? ? ) y1 代入(2)得 (1 ? ? ) 2 y12 ? 4 x1 ? 4? (1 ? x1 ) 再把( )代入上式并化简得 1 (? ? 1) x1 ? 1 化简后可得 (1 ? x1 )? ? 16 3 (6) ?? 9分 同样把(3)、(4)代入(5)并结合( ) 1 (7) ?? 11分

4 ?? ? 4 ? 4 ?? ? ? 由(6)(7)解得 ? 、 3 或? 1 ,又 x1 ? 1 ,故 ? ? . 3 ? x1 ? 3 ? x1 ? 3 ? ?
9、(北京市朝阳区 2008 年高三数学一模)已知椭圆 W 的中心在原点,焦点在 x 轴上,离 心率为

6 ,两条准线间的距离为 6. 椭圆 W 的左焦点为 F ,过左准线与 x 轴的交点 M 任 3

作一条斜率不为零的直线 l 与椭圆 W 交于不同的两点 A 、 B ,点 A 关于 x 轴的对称点为 C . (Ⅰ)求椭圆 W 的方程; (Ⅱ)求证: CF ? ? FB ( ? ?R ); (Ⅲ)求 ?MBC 面积 S 的最大值. 解: (Ⅰ)设椭圆 W 的方程为

??? ?

??? ?

x2 y 2 ? ? 1 ,由题意可知 a 2 b2
y A B M F C O x

? c 6 ? , ? a 3 ? 2 ? 2 2 ? a ? b ? c , 解得 a ? 6 , c ? 2 , b ? 2 , ? 2 ? 2 ? a ? 6, ? c ?
所以椭圆 W 的方程为

x2 y2 ? ? 1 .?????????????????4 分 6 2 a2 ? ?3 ,所以点 M 坐标为 (?3,0) .于是可设直线 l c

(Ⅱ)解法 1:因为左准线方程为 x ? ? 的方程为 y ? k ( x ? 3) .

? y ? k ( x ? 3), ? 2 2 2 2 2 得 (1 ? 3k ) x ? 18k x ? 27k ? 6 ? 0 . ?x y2 ? ?1 ? 2 ? 6
由直线 l 与椭圆 W 交于 A 、 B 两点,可知

? ? (18k 2 )2 ? 4(1 ? 3k 2 )(27k 2 ? 6) ? 0 ,解得 k 2 ?
设点 A , B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,

2 . 3

?18k 2 27k 2 ? 6 则 x1 ? x2 ? , x1 x2 ? , y1 ? k ( x1 ? 3) , y2 ? k ( x2 ? 3) . 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
因为 F (?2, 0) , C ( x1 , ? y1 ) ,

所以 FC ? ( x1 ? 2, ? y1 ) , FB ? ( x2 ? 2, y2 ) . 又因为 ( x1 ? 2) y2 ? ( x2 ? 2)(? y1 )

??? ?

??? ?

? ( x1 ? 2)k ( x2 ? 3) ? ( x2 ? 2)k ( x1 ? 3) ? k[2 x1 x2 ? 5( x1 ? x2 ) ? 12]

54k 2 ? 12 ?90k 2 ? k[ ? ? 12] 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2 ? k (54k 2 ? 12 ? 90k 2 ? 12 ? 36k 2 ) ? 0, 1 ? 3k 2

所以 CF ? ? FB .

??? ?

??? ?

???????????????????????10 分

解法 2:因为左准线方程为 x ? ?

a2 ? ?3 ,所以点 M 坐标为 (?3,0) . c

于是可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 3) ,点 A , B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , 则点 C 的坐标为 ( x1 , ? y1 ) , y1 ? k ( x1 ? 3) , y2 ? k ( x2 ? 3) . 由椭圆的第二定义可得

| FB | x2 ? 3 | y2 | , ? ? | FC | x1 ? 3 | y1 |
所以 B , F , C 三点共线,即 CF ? ? FB .?????????????10 分 (Ⅲ)由题意知

??? ?

??? ?

S?

1 1 | MF || y1 | ? | MF || y2 | 2 2 1 ? | MF | ? | y1 ? y2 | 2 1 ? | k ( x1 ? x2 ) ? 6k | 2

?

3 3 3 3 |k | ? ? ? , 2 1 2 1 ? 3k 2 3 ?3| k | |k|
1 时“=”成立, 3

当且仅当 k 2 ?

3 所以 ?MBC 面积 S 的最大值为 2 .

10、(北京市崇文区 2008 年高三统一练习一)已知抛物线 C : y ? ax ,点 P(1,-1)在抛
2

物线 C 上,过点 P 作斜率为 k1、k2 的两条直线,分别交抛物线 C 于异于点 P 的两点 A (x1,y1) ,B(x2,y2) ,且满足 k1+k2=0. (I)求抛物线 C 的焦点坐标; (II)若点 M 满足 BM ? MA ,求点 M 的轨迹方程. 解: (I)将 P(1,-1)代入抛物线 C 的方程 y ? ax 得 a=-1,
2

∴抛物线 C 的方程为 y ? ? x ,即 x ? ? y.
2 2

焦点坐标为 F(0,-

1 ).??????????????4 分 4

(II)设直线 PA 的方程为 y ? 1 ? k1 ( x ? 1) , 联立方程 ?

? y ? 1 ? k1 ( x ? 1), ?y ? ?x .
2

消去 y 得 x ? k1 x ? k1 ? 1 ? 0,
2

则 1 ? x1 ? ?k1 ? 1,即x1 ? ?k1 ? 1. 由 ? ? k1 ? 4(?k1 ? 1) ? (k1 ? 2) ? 0, 得k1 ? ?2. ??????7 分
2 2

同理直线 PB 的方程为 y ? 1 ? k 2 ( x ? 1), 联立方程 ?

? y ? 1 ? k 2 ( x ? 1), ?y ? ?x .
2

消去 y 得 x ? k 2 x ? k 2 ? 1 ? 0,
2

则 1 ? x2 ? ?k 2 ? 1,即x2 ? ?k 2 ? 1.且k 2 ? ?2. 又? k1 ? k 2 ? 0,? k1 ? 2. ??????????9 分 设点 M 的坐标为(x,y) ,由 BM ? MA, 则x ?

x1 ? x2 . 2

x?

? k1 ? 1 ? k 2 ? 1 ? 2 ? (k1 ? k 2 ) ? . 2 2

又? k1 ? k 2 ? 0,? x ? ?1. ????????????????11 分
2 y1 ? y 2 ? x12 ? x 2 ? (k1 ? 1) 2 ? (? k 2 ? 1) 2 ? (? k1 ? 1) 2 ? (k1 ? 1) 2 y? ? ? ? 2 2 2 2 2 ? ?(k1 ? 1) ? ?1,

又k1 ? ?2,? y ? ?5.

∴所求 M 的轨迹方程为: x ? ?1( y ? ?1且y ? ?5). 11、(北京市东城区 2008 年高三综合练习一)已知定圆 A : ( x ? 1) ? y ? 16, 圆心为 A,动
2 2

圆 M 过点 B(1,0)且和圆 A 相切,动圆的圆心 M 的轨迹记为 C. (I)求曲线 C 的方程; (II)若点 P( x0 , y 0 ) 为曲线 C 上一点,求证:直线 l : 3x0 x ? 4 y 0 y ? 12 ? 0 与曲线 C 有 且只有一个交点. 解: (I)圆 A 的圆心为 A(?1,0), 半径r1 ? 4 , 设动圆 M 的圆心 M ( x, y), 半径为r2 , 依题意有, r2 ?| MB | . 由|AB|=2,可知点 B 在圆 A 内,从而圆 M 内切于圆 A, 故|MA|=r1—r2,即|MA|+|MB|=4, 所以,点 M 的轨迹是以 A,B 为焦点的椭圆, 设椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,由 2a ? 4,2c ? 2, 可得a 2 ? 4, b 2 ? 3. a2 b2
????6 分

x2 y2 故曲线 C 的方程为 ? ? 1. 4 3
(II)当 y 0 ? 0时,由
4 2 x0 y 0 ? ? 1, 可得x0 ? ?2 , 4 3

当x0 ? 2, y 0 ? 0时, 直线l的方程为x0 ? 2, 直线l与曲线C有且只有一个交点(2,0). 当x0 ? ?2, y 0 ? 0时, 直线l的方程为x0 ? ?2, 直线l与曲线C有且只有一个交点(?2,0). 当y 0 ? 0时, 直线l的方程为y ? 12 ? 3 x0 x ? , ?y ? 4y ? 0 联立方程组 : ? 2 2 ? x ? y ? 1. ?4 3 ?
2 3 2 2 消去 y, 得(4 y 0 ? 3x0 ) x ? 24 x0 x ? 48 ? 16 y 0 ? 0.

12 ? 3 x0 x , 4 y0



由点 P( x0 , y 0 ) 为曲线 C 上一点,



2 2 x0 y 0 2 2 ? ? 1. 可得4 y 0 ? 3x0 ? 12. 4 3

2 于是方程①可以化简为 x 2 ? 2 x0 x ? x0 ? 0. 解得 x ? x0 ,

将x ? x 0 代入方程y ?

12 ? 3 x0 x 可得y ? y 0 , 4 y0

故直线l与曲线C有且有一个交点P ( x 0 , y 0 ),
综上,直线 l 与曲线 C 有且只有一个交点,且交点为 P( x0 , y 0 ) .

x2 y2 12、 (北京市东城区 2008 年高三综合练习二)已知双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐 a b
近线方程为 y ?

3 x ,两条准线的距离为 l.

(1)求双曲线的方程; (2)直线 l 过坐标原点 O 且和双曲线交于两点 M、N,点 P 为双曲线上异于 M、N 的一 点,且直线 PM,PN 的斜率均存在,求 kPM·kPN 的值.

?b ? a ? 3, ? 2 ? 2a ? 1, ? (1)解:依题意有: ? c ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? ? 解得a 2 ? 1, b 2 ? 3.
可得双曲线方程为 x ?
2

y2 ? 1. ??????????????????6 分 3

(2)解:设 M ( x0 , y 0 ),由双曲线的对称性, 可得N (? x0 ,? y 0 ).

设P( x P , y P ), 则k PM ? k PN ?
2 又x0 ? 2 2 y P ? y0 y P ? y0 y P ? y0 ? ? 2 . 2 x P ? x0 x P ? x0 x P ? x0

2 y0 ? 1, 3 2 2 所以y 0 ? 3 x0 ? 3, 2 2 同理y P ? 3 x P ? 3,

所以 k PM ? k PN ?

2 2 3x P ? 3 ? 3x0 ? 3 ? 3. 2 2 x P ? x0

13、(北京市丰台区 2008 年 4 月高三统一练习一)在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-1, 0)、 B(1, 0), 动点 C 满足条件:△ABC 的周长为 2+2 2.记动点 C 的轨迹为曲线 W. (Ⅰ)求 W 的方程;

(Ⅱ)经过点(0, 求 k 的取值范围;

2)且斜率为 k 的直线 l 与曲线 W 有两个不同的交点 P 和 Q,

(Ⅲ)已知点 M( 2,0) ,N(0, 1) ,在(Ⅱ)的条件下,是否存在常数 k,使得向量 ??? ???? ???? ? ? OP ? OQ 与 MN 共线?如果存在,求出 k 的值;如果不存在,请说明理由. 解:(Ⅰ) 设 C(x, y), ∵ AC ? BC + AB ? 2 ? 2 2 , AB ? 2 , ∴ AC ? BC ? 2 2 ? 2 , ∴ 由定义知,动点 C 的轨迹是以 A、B 为焦点,长轴长为 2 2的椭圆除去与 x 轴的两个交点. ∴ a ? 2, c=1 . ∴ b2 ? a 2 ? c 2 ? 1 .
2 ∴ W: x ? y 2 ? 1

. ( y ? 0 ) ????????????????? 2 分
2

2

(Ⅱ) 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,代入椭圆方程,得 x ? (kx ? 2)2 ? 1 .
2

整理,得 ( 1 ? k 2 ) x 2 ? 2 2kx ? 1 ? 0 . 2

①?????????? 5 分

因为直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于
2或 2. 1 k? ? ?8k 2 ?4 ( ? 2 ) ? 4 2 ? 2 ,解得 k ? ? k k ?0 2 2 2

∴ 满足条件的 k 的取值范围为 k ? ? ?, ? (

2 2 )?( , ??) ???? 7 分 2 2

??? ???? ? (Ⅲ)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),则 OP ? OQ =(x1+x2,y1+y2),

由①得 x1 ? x2 ? ? 4 2k2 . 1 ? 2k 又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2
???? ?

② ③

因为 M ( 2, 0) , N (0, 1) , 所以 MN ? (? 2, 1) .????????? 11 分
??? ???? ???? ? ? 所以 OP ? OQ 与 MN 共线等价于 x1 ? x2 =- 2 ( y1 ? y2 ) .

将②③代入上式,解得 k ? 2 . 2 ??? ???? ???? ? ? 所以不存在常数 k,使得向量 OP ? OQ 与 MN 共线. 14、(北京市海淀区 2008 年高三统一练习一)已知点 A, B 分别是射线 l1 : y ? x ? x ≥ 0 ? ,

l2 : y ? ? x ? x ≥ 0 ? 上的动点, O 为坐标原点,且 ?OAB 的面积为定值 2.

(I)求线段 AB 中点 M 的轨迹 C 的方程; (II)过点 N ? 0, 2 ? 作直线 l ,与曲线 C 交于不同的两点 P, Q ,与射线 l1 , l2 分别交于 点 R , S ,若点 P, Q 恰为线段 RS 的两个三等分点,求此时直线 l 的方程. 解: (I)由题可设 A ? x1 , x1 ? , B ? x2 , ? x2 ? , M ? x, y ? ,其中 x1 ? 0, x2 ? 0 .

x1 ? x2 ? ?x ? 2 , ? 则? ? y ? x1 ? x2 , ? ? 2

(1)
1分

(2)

∵ ?OAB 的面积为定值 2, ∴ S?OAB ?

1 1 OA ? OB ? 2 2

?

2 x1

??

2 x2 ? x1 x2 ? 2 .

?

2分 4分
2 2

(1)2 ? (2)2 ,消去 x1 , x2 ,得: x 2 ? y 2 ? 2 .

由于 x1 ? 0, x2 ? 0 ,∴ x ? 0 ,所以点 M 的轨迹方程为 x ? y ? 2 (x>0) . 5分 (II)依题意,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 . 由?

? y ? kx ? 2,
2 2 ? x ? y ? 2,

2 2 消去 y 得: 1 ? k x ? 4kx ? 6 ? 0 ,

?

?

6分

设点 P 、 Q 、 R 、 S 的横坐标分别是 xP 、 xQ 、 xR 、 xP ,

?1 ? k 2 ? 0, ? 2 2 ?? ? 16k ? 24 ?1 ? k ? ? 0, ? 4k ∴由 xP , xQ ? 0 得 ? xP ? xQ ? ? 0, ? 1? k 2 ? ?6 ? xP xQ ? ? 0, ? 1? k 2 ?
解之得: ? 3 ? k ? ?1 . ∴ xP ? xQ ?

8分

?x

P ? xQ ? ? 4 xP xQ ? 2

2 6 ? 2k 2 . k 2 ?1

9分

由?

? y ? kx ? 2, 2 消去 y 得: xR ? , 1? k ? y ? x, ? y ? kx ? 2, 2 消去 y 得: xS ? , ?1 ? k ? y ? ? x,

由?

∴ xR ? xS ?

4 . k ?1
2

10 分 11 分 12 分

由于 P, Q 为 RS 的三等分点,∴ xR ? xS ? 3 xP ? xQ . 解之得 k ? ?

5 . 3 5 x?2. 3

经检验,此时 P, Q 恰为 RS 的三等分点,故所求直线方程为 y ? ?

15、(北京市十一学校 2008 届高三数学练习题)如图,椭圆的中心在原点,其 左焦点 F1 与抛物线 y ? ?4 x 的焦点重合,过 F1 的直线 l 与椭圆交于 A、B 两
2

y

C A

点,与抛物线交于 C、D 两点.当直线 l 与 x 轴垂直时, (Ⅰ)求椭圆的方程;

CD AB

?2 2.
F1

O

F2

x

B

(II)求过点 O、 F1 ,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程; (Ⅲ)求 F2 A ? F2 B 的最大值和最小值. 解: (Ⅰ)由抛物线方程,得焦点 F1 (?1, 0) .

???? ???? ? ?

D

设椭圆的方程:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) . a2 b2

? y 2 ? ?4 x 解方程组 ? 得 C(-1,2) ,D(1,-2) . ? x ? ?1
由于抛物线、椭圆都关于 x 轴对称, ∴

2 2 | F1C | | CD | , ∴ A(1, ) . ? ? 2 2 , | F1 A |? 2 2 | F1 A | | AB |

????2 分

1 1 ? 2 ? 1又 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 , 2 a 2b 1 1 因此, 2 ? 2 ? 1 ,解得 b2 ? 1 并推得 a 2 ? 2 . b ? 1 2b
∴ 故椭圆的方程为 (Ⅱ)? a ?

x2 ? y2 ? 1 . 2

????4 分

2, b ? 1, c ? 1 ,

?圆过点 O、 F1 ,
1 ?圆心 M 在直线 x ? ? 上. 2

设 M (?

1 , t ), 则圆半径,由于圆与椭圆的左准线相切, 2
1 2 3 . 2
2 2

∴ r ? (? ) ? (?2) ?

由 OM ? r , 得 ( ? ) ? t ?

1 2

3 , 解得 t ? ? 2. 2

1 9 ?所求圆的方程为 ( x ? )2 ? ( y ? 2)2 ? . ??????????8 分 2 4
(Ⅲ) 由 点F1 (?1, 0), F2 (1, 0) ①若 AB 垂直于 x 轴,则 A(?1,

2 2 ), B(?1,? ), 2 2

???? ? ? 2 ???? 2 ? F2 A ? (?2, ), F2 B ? (?2, ? ), 2 2

???? ???? ? ? 1 7 F2 A ? F2 B ? 4 ? ? ????????????????9 分 2 2 ②若 AB 与 x 轴不垂直,设直线 AB 的斜率为 k ,则直线 AB 的方程为
y ? k ( x ? 1)
由?

?
2

y ? k ( x ? 1)
2

?x ? 2 y ? 2 ? 0



(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ? 1) ? 0

? ? ? 8k 2 ? 8 ? 0 ,?方程有两个不等的实数根.
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) .

x1 ? x2 ? ?

4k 2 , 1 ? 2k 2

x1 ? x 2 ?

2(k 2 ? 1) ????????????11 分 1 ? 2k 2

? F2 A ? ( x1 ? 1, y1 ), F2 B ? ( x2 ? 1, y 2 ) F2 A ? F2 B ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? y1 y 2 ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? k 2 ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (k 2 ? 1)( x1 ? x2 ) ? 1 ? k 2

2(k 2 ? 1) 4k 2 2 ? (1 ? k ) ? (k ? 1)( ? ) ?1? k 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k
2

=

7k 2 ? 1 7 9 ? ? 2 2 2(1 ? 2k 2 ) 1 ? 2k

k 2 ? 0,1 ? 2k 2 ? 1,0 ?

1 ?1 1 ? 2k 2

7 7 ? F2 A ? F2 B ? [?1, ] ,所以当直线 l 垂于 x 轴时, F2 A ? F2 B 取得最大值 2 2
当直线 l 与 x 轴重合时, F2 A ? F2 B 取得最小值 ? 1 16、(北京市西城区 2008 年 4 月高三抽样测试)已知定点 C (?1 0) 及椭圆 x ? 3 y ? 5 , ,
2 2

过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,B 两点. (Ⅰ)若线段 AB 中点的横坐标是 ?

1 ,求直线 AB 的方程; 2

(Ⅱ)在 x 轴上是否存在点 M ,使 MA? MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若 不存在,请说明理由. (Ⅰ)解: 依题意,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , 将

y ? k ( x ? 1)





x2 ? 3 y 2 ? 5
………….. 2 分







y







(3k 2 ? 1) x 2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0.


A( x1,y1 ),B( x2,y2 ),



?? ? 36k 4 ? 4(3k 2 ? 1)(3k 2 ? 5) ? 0, ? ? 6k 2 x1 ? x2 ? ? 2 . ? 3k ? 1 ?
由线段 AB 中点的横坐标是 ?

(1)
………….. 4 分

(2)

1 , 2



x1 ? x2 3k 2 1 ?? 2 ?? , 2 3k ? 1 2
…………..

解得 k ? ? 5分

3 , 适合 (1) . 3

所以直线 AB 的方程为 x ? 3 y ? 1 ? 0 , x ? 3 y ? 1 ? 0 . 或 6分 (Ⅱ)解: 假设在 x 轴上存在点 M (m, 0) ,使 MA? MB 为常数. ① 当 直 线

…………..

AB



x























x1 ? x2 ? ?

6k 2 3k 2 ? 5 , x1 x2 ? 2 . 3k 2 ? 1 3k ? 1

(3)

所以 MA ? MB ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? y1 y2 ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? k ( x1 ? 1)( x2 ? 1)
2

???? ????

2 ? (k 2 ? 1 )x x ? (k ? m) ( x ? 2x )?2 k ? 2 m . 1 2 1

………….. 8 分

1 14 (2m ? )(3k 2 ? 1) ? 2m ? ???? ???? (6m ? 1)k 2 ? 5 3 3 ? m2 将 (3) 代入,整理得 MA ? MB ? ? m2 ? 2 2 3k ? 1 3k ? 1
1 6 ? 14 m ? m 2 ? 2m ? ? . 3 3(3k 2 ? 1)
注 意 到 MA? MB 是 与 k 无 关 的 常 数 , 从 而 有 6m ? 14 ? 0,m ? ?

???? ???? 4 M A? M B . .. 11 分 ? 9
② 当直线 AB 与 x 轴垂直时,此时点 A,B 的坐标分别为 ? ?1,

7 , 此时 3

? ?

2 ? ? 2 ? ? ? 、?1, ? ?, 3? ? 3?
…………..

当m ? ? 13 分

???? ???? 4 7 时, 亦有 MA ? MB ? . 3 9
? 7 ? 3 ? ?

综上,在 x 轴上存在定点 M ? ? ,? ,使 MA? MB 为常数. 0 17、(北京市西城区 2008 年 5 月高三抽样测试)已知抛物线的方程为 x 2 ? 2 py ? p ? 0 ? ,过点
P ? 0, p ? 的直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点,分别过点 A、B 作抛物线的两条切线 l1 和 l 2 的

斜率之积为定值; (Ⅰ)证明:直线 l1 和 l 2 的斜率之积为定值; (Ⅱ)求点 M 的轨迹方程。 解:(I)依题意,直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y=kx+p

18、(北京市宣武区 2008 年高三综合练习一)在面积为 9 的 ?ABC 中,

4 tan ?BAC ? ? ,且 CD ? 2 DB 。现建立以 A 点为坐标原点,以 ?BAC 3
的平分线所在直线为 x 轴的平面直角坐标系,如图所示。 (1)求 AB、AC 所在的直线方程; (2)求以 AB、AC 所在的直线为渐近线且过点 D 的双曲线的方程; (3)过 D 分别作 AB、AC 所在直线的垂线 DF、DE(E、F 为垂足) ,求

y

C

DE ? DF 的值。
解: (1)设 ?CAx ? ? 则由 tan ?BAC ? tan 2? ?

A x E

? ? 为锐角, ? tan? ? 2 ,

2 tan? 4 ?? 2 3 1 ? tan ?

D F

B

?AC 所在的直线方程为 y=2x
AB 所在的直线方程为 y= -2x…………………………………………….4 分 (2)设所求双曲线为 4 x ? y ? ? , ?? ? 0?
2 2

设 C ?x1 , y1 ? , B?x2 , y 2 ? , ?x1 ? 0, x2 ? 0? , 由 CD ? 2 DB 可得: D?
2

? x1 ? 2 x 2 2 x1 ? 4 x 2 ? , ? 3 3 ? ?
2

? x ? x 2 ? ? 2 x1 ? 4 x 2 ? ? 4? 1 ? ?? ? ??, 3 ? 3 ? ? ?


32 x1 x 2 ? ? 9 4 4 ,可得 sin ?BAC ? , 3 5

由 tan ?BAC ? ? 又? AB ?

5x1 , AC ? 5x 2 , ?x1 x2 ? 0?

? S ?ABC ?
即 x1 x 2 ?

1 1 4 AB AC sin ?BAC ? ? 5 ? x1 x2 ? ? 2 x1 x2 ? 9 , 2 2 5

9 ,代入(1)得 ? ? 16 , 2

双曲线方程为

x2 y2 ? ? 1 …………………………………………………9 分 4 16

(3)由题设可知, ? DE , DF ?? ? ? ?BAC ,

? cos ? DE , DF ?? cos(? ? ?BAC) ?
x y 设点 D 为 ? x 0 , y 0 ? ,则 0 ? 0 ? 1 4 16
又点 D 到 AB,AC 所在直线距离
2 2

3 5

DF ?

2 x0 ? y 0 5

, DE ?

2 x0 ? y 0 5



而 DE ? DF ? DE ? DF ? cos ? DE, DF ? =

2 x0 ? y 0 5

?

2 x0 ? y 0 5

?

3 48 ? 5 25

x2 y2 19、 (北京市宣武区 2008 年高三综合练习二)已知椭圆 2 ? 2 ? 1 a b

?a ? b ? 0? 的离心率为

1 2,且其焦点 F(c,0)(c>0)到相应准线 l 的距离为 3,过焦点 F 的直线与椭圆交于 A、

B 两点。 (1)求椭圆的标准方程; (2)设 M 为右顶点,则直线 AM、BM 与准线 l 分别交于 P、Q 两点, (P、Q 两点不重合) , 求证: FP ? FQ ? 0

? c 1 ? ? ?a ? 2 ? 解: (1)由题意有 ? 2a 2 解得 ? ?c ?1 ?a ? c ? 3 ?c ?
∴椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 ??????????????5 分 4 3

(2)①若直线 AB 与 x 轴垂直,则直线 AB 的方程是 x ? 1 ∵该椭圆的准线方程为 x ? 4 , ∴ P(4,?3) , Q(4,3) , ∴ FP ? (3,?3) , FQ ? (3,3) ∴ FP ? FQ ? 0 ∴当直线 AB 与 x 轴垂直时,命题成立。 ②若直线 AB 与 x 轴不垂直,则设直线 AB 的斜率为 k , ∴直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1), k ? 0 又设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), P( x3 , y3 ), Q( x4 , y4 )

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 联立 ? x 2 y 2 消 y 得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 ? 4 ? 3 ?1 ?
8k 2 4k 2 ? 12 , x1 x2 ? ∴ x1 ? x2 ? 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2
又∵A、M、P 三点共线,∴ y3 ?

? 9k 2 ∴ y1 y2 ? k ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 3 ? 4k 2
2

2 y1 2 y2 同理 y4 ? x1 ? 2 x2 ? 2

∴ FP ? (3,

2 y2 2 y1 ) , FQ ? (3, ) x2 ? 2 x1 ? 2 4 y1 y2 ?0 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

∴ FP ? FQ ? 9 ?

综上所述: FP ? FQ ? 0

20、(四川省成都市 2008 届 高 中 毕 业 班 摸 底 测 试 )设双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1 的左、右 2

顶点分别为 A1、A2,垂直于 x 轴的直线 m 与双曲线 C 交于不同的两点 P、Q。 (Ⅰ)若直线 m 与 x 轴正半轴的交点为 T,且 A1 P ? A2 Q ? 1 ,求点 T 的坐标; (Ⅱ)求直线 A1P 与直线 A2Q 的交点 M 的轨迹 E 的方程; (Ⅲ) 过点 F (1, 作直线 l 与 0) (Ⅱ) 中的轨迹 E 交于不同的两点 A、 设 FA ? ? FB , B, 若 ? ? [?2,?1], 求 | TA ? TB | (T 为(Ⅰ)中的点)的取值范围。 解: (Ⅰ)由题,得 A1 (? 2 ,0), A2 ( 2 ,0) ,设 P( x0 , y 0 ), Q( x0 ,? y 0 ) 则 A1 P ? ( x0 ?

2 , y 0 ), A2 Q ? ( x0 ? 2 ,? y 0 ).
2 2 2 2

由 A1 P ? A2 Q ? 1 ? x0 ? y 0 ? 2 ? 1, 即x0 ? y 0 ? 3. 又 P( x0 , y 0 ) 在双曲线上,则 联立①、②,解得
2 x0 2 ? y 0 ? 1. 2

????①

????②

x0 ? ?2

由题意, x0 ? 0, ? x0 ? 2. ∴点 T 的坐标为(2,0) ????3 分 (Ⅱ)设直线 A1P 与直线 A2Q 的交点 M 的坐标为(x,y) 由 A1、P、M 三点共线,得

( x0 ? 2 ) y ? y 0 ( x ? 2 )
由 A2、Q、M 三点共线,得

????③ ????1 分

( x0 ? 2 ) y ? ? y 0 ( x ? 2 )
联立③、④,解得 x0 ?

????④ ????1 分

2 , y0 ? x

2y . x

????1 分

∵ P( x0 , y 0 ) 在双曲线上,
2 ( )2 ∴ x ? ( 2 y ) 2 ? 1. 2 x

∴轨迹 E 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ( x ? 0, y ? 0). ????1 分 2

(Ⅲ)容易验证直线 l 的斜率不为 0。 故可设直线 l 的方程为

x ? ky ? 1,代入

x2 ? y 2 ? 1 中,得 2

(k 2 ? 2) y 2 ? 4ky ? 2 ? 0.
设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), y1 ? 0且y 2 ? 0 则由根与系数的关系,得 y1 ? y 2 ? ? 2k k2 ? 2 ??⑤

y1 y 2 ? ?

2 . k ?2
2

??⑥

????2 分

∵ FA ? ? FB,∴有 y1 ? ?,且? ? 0.
y2

将⑤式平方除以⑥式,得

y1 y 2 4k 2 1 4k 2 ? ?2?? 2 ??? ?2?? 2 y2 y2 ? k ?2 k ?2
由 ? ? [?2,?1] ? ?

????1 分

5 1 1 ? ? ? ? ?2 ? ? ? ? 2 ? 0 2 ? ?
????1 分

??

1 4k 2 2 2 ?? 2 ? 0 ? k2 ? ? 0 ? k2 ? 2 7 7. k ?2

∵ TA ? ( x1 ? 2, y1 ), TB ? ( x 2 ? 2, y 2 ),? TA ? TB ? ( x1 ? x 2 ? 4, y1 ? y 2 ). 又 y1 ? y 2 ? ?
2

2k 4(k 2 ? 1) ,? x1 ? x2 ? 4 ? k ( y1 ? y 2 ) ? 2 ? ? 2 . k2 ? 2 k ?2
2 2

故 | TA ? TB | ? ( x1 ? x 2 ? 4) ? ( y1 ? y 2 )

?

15(k 2 ? 1) 2 4k 2 16(k 2 ? 2) 2 ? 28(k 2 ? 2) ? 8 ? 2 ? (k 2 ? 2) 2 (k ? 2) 2 (k 2 ? 2) 2
28 8 ? 2 k ? 2 (k ? 2) 2
2

? 16 ?
令t ?

7 1 1 7 1 ? 2 ? ,即 t ? [ , ]. 16 k ? 2 2 16 2 7 17 ∴ | TA ? TB | 2 ? f (t ) ? 8t 2 ? 28t ? 16 ? 8(t ? ) 2 ? . 4 2 7 1 169 而 t ? [ , ] , ∴ f (t ) ? [4, ]. 16 2 32
2

1 2 .? 0 ? k 2 ? 7 k ?2



∴ | TA ? TB |? [2,

13 2 ]. 8

21、(东北区三省四市 2008 年第一次联合考试)已知中心在原点,左、右顶点 A1、A2 在 x 轴 上,离心率为

21 的双曲线 C 经过点 P(6,6) ,动直线 l 经过△A1PA2 的重心 G 与双曲线 C 3

交于不同两点 M、N,Q 为线段 MN 的中点。 (1)求双曲线 C 的标准方程 (2)当直线 l 的斜率为何值时, QA2 ? PA2 ? 0 。 本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系,以及直线与双曲线的位置关系。 解(1)设双曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0? a2 b2

21 7 a2 ? b2 7 ,? e 2 ? , 即 ? , 3 3 3 a2 2 b 4 ? 2 ? , ① 3 a ?e ?
又 P(6,6)在双曲线 C 上,? 由①、②解得 a ? 9, b ? 12.
2 2

36 36 ? ?1 a2 b2

② ②

所以双曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1。 9 12

(2)由双曲线 C 的方程可得 A1 ?? 3,0?, A2 ?3,0?, 又P?6,6 ? 所以△A1PA2 的重点 G(2,2) 设直线 l 的方程为 y ? k ?x ? 2? ? 2 代入 C 的方程,整理得

又设M ? x1 , y1 ?, N ? x 2 , y 2 ?, Q? x0 , y 0 ?
x0 ? k PA2

?4 ? 3k ?x
2

2

? 12 k ?k ? 1?x ? 12 ?k 2 ? 2k ? 4 ? ? 0

x1 ? x 2 6k ?k ? 1? 8?k ? 1? ? ; y 0 ? k ?x0 ? 2? ? 2 ? 2 . 2 2 3k ? 4 3k ? 4 y0 8?1 ? k ? ? 2, k QA2 ? ? 2 . x0 ? 3 3k ? 6k ? 12

③ ③ ②

? QA2 ? PA2 ? 0,? k PA2 ? k QA2 ? ?1,?
整理得 3k 2 ? 10 k ? 4 ? 0 解得 k ?

16?1 ? k ? ? ?1 3k 2 ? 6k ? 12

5 ? 13 3

由③,可得 ?

2 ? ?4 ? 3k ? 0 2 ? ?? ? 48 ? 5k ? 8k ? 16 ? 0

④ ③ ②

?

?

解得 ?

4 6?4 4 6 ?4 2 3 ?k? , 且k ? ? 5 5 3 5 ? 13 3

⑤ ③ ②

由④、⑤,得 k ?

22、(东北三校 2008 年高三第一次联考)设椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点为 F, a2 b2

上顶点为 A,过点 A 作垂直于 AF 的直线交椭圆 C 于另外一点 P,交 x 轴正半轴于点 Q, 且

AP ?

8 PQ 5
y A P F O Q x

(1)求椭圆 C 的离心率; (2)若过 A、Q、F 三点的圆恰好与直线 l:

x ? 3 y ? 5 ? 0 相切,求椭圆 C 的方程.
解:⑴设 Q(x0,0) ,由 F(-c,0) A(0,b)知 FA ? (c, b), AQ ? ( x0 ,?b)

? FA ? AQ,? cx0 ? b 2 ? 0, x0 ?
设 P( x1 , y1 ),由AP ?

b2 ?2 分 c

8b 2 5 8 , y1 ? b ???4 分 PQ ,得 x1 ? 13c 13 5

8b 2 2 5 ) ( b) 2 ? 1 ???6 分 因为点 P 在椭圆上,所以 13c ? 13 2 a2 b (
1 整理得 2b2=3ac,即 2(a2-c2)=3ac, 2e2 ? 3e ? 2 ? 0 ,故椭圆的离心率 e=2???8 分 ⑵由⑴知 2b 2 ? 3ac,得

b2 3 ? a; c 2



c 1 1 ? ,得c ? a , a 2 2

1 3 于是 F(-2a,0) Q ( a ,0) ,

2

△AQF 的外接圆圆心为(

1 1 a,0) ,半径 r=2|FQ|=a????10 分 2

1 a ?5| 所以 2 ? a ,解得 a=2,∴c=1,b= 3 , 2 |
所求椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 4 3

23、(东北师大附中高 2008 届第四次摸底考试)已知双曲线 C 的中心在原点,对称轴为坐标 轴,其一条渐近线方程是 x ? y ? 0 ,且双曲线 C 过点 P (? 2 , 1) . (1)求此双曲线 C 的方程; (2)设直线 l 过点 A(0, 1) ,其方向向量为 e ? (1, k ) (k ? 0) ,令向量 n 满足 n ? e ? 0 .双曲 线 C 的右支上是否存在唯一一点 B ,使得 n ? AB ? n . 若存在,求出对应的 k 值和 B 的坐 标;若不存在,说明理由. 解: (1)设双曲线 C 的方程为 x ? y ? ? (? ? 0) ,将点 P (? 2 , 1) 代入可得 ? ? 1 ,
2 2

?

双曲线 C 的方程为 x ? y ? 1 .
2 2

(2)依题意,直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 (k ? 0) .设 B( x0 , y 0 ) 是双曲线右支上满足

n ? AB ? n 的点,结合 n ? e ? 0 ,得 k x0 ? y 0 ? 1 ? k 2 ? 1 ,
即点 B( x0 , y 0 ) 到直线 l 的距离

d?

k x0 ? y 0 ? 1 k 2 ?1

?1

①若 0 ? k ? 1 ,则直线 l 与双曲线 C 的右支相交,此时双曲线 C 的右支上有两个点到 直线 l 的距离为 1,与题意矛盾; ②若 k ? 1,则直线 l 在双曲线 C 右支的上方,故 y 0 ? kx0 ? 1 ,从而
2 2 y 0 ? k x0 ? 1 ? k 2 ? 1 . 又因为 x0 ? y 0 ? 1 ,所以
2 (k 2 ? 1) x0 ? 2k (1 ? k 2 ? 1) x0 ? k 2 ? 3 ? 2 k 2 ? 1 ? 0 .

当 k ? 1 时,方程有唯一解 x 0 ? 当 k ? 1 时,由 ? ? 0 得 k ?

2 ,则 B( 2 , 1) ;

5 ,此时方程有唯一解 x 0 ? 5 ,则 B( 5 , 2) 2 5 综上所述,符合条件的 k 值有两个:k ? 1 ,此时 B( 2 , 1) ;k ? ,此时 B( 5 , 2) . 2
1 x2 y2 3 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 过点 (1, ) ,且离心率 e=2. 2 a b 2

24、(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C : (Ⅰ)求椭圆方程;

(Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m(k ? 0) 与椭圆交于不同的两点 M 、 N ,且线段 MN 的垂 直平分线过定点 G ( ,0) ,求 k 的取值范围。 由题意椭圆的离心率

1 8

?e ?

c 1 ? a 2

? a ? 2c

?b2 ? a2 ? c2 ? 3c2

x2 y2 ? 2 ? 1 ??2 分 4c 2 3c 3 ( )2 1 3 又点 (1, ) 在椭圆上 ? 2 ? 2 2 ?1 2 4c 3c 2 2 x y ? ? 1 ??4 分 ∴椭圆的方程为 4 3
∴椭圆方程为

?c 2 ? 1

? x2 y 2 ?1 ? ? (Ⅱ)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) 由? 4 3 ? y ? k x? m ? 2 2 2 消去 y 并整理得 (3 ? 4k ) x ? 8kmx ? 4m ? 12 ? 0 ??6 分 ∵直线 y ? kx ? m 与椭圆有两个交点

? ? (8km)2 ? 4(3 ? 4k 2 )( 4m2 ? 12) ? 0 ,即 m2 ? 4k 2 ? 3 ??8 分 8km 4km 3m 又 x1 ? x2 ? ? ? MN 中点 P 的坐标为 (? , ) ??9 分 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2 1 1 设 MN 的垂直平分线 l ' 方程: y ? ? ( x ? ) k 8 3m 1 4km 1 即 4k 2 ? 8km ? 3 ? 0 ? ? ? (? ? ) ? p 在 l'上 2 2 3 ? 4k k 3 ? 4k 8 1 ? m ? ? (4k 2 ? 3) ??11 分 8k (4k 2 ? 3) 2 1 ? 4k 2 ? 3 将上式代入得 ?k2 ? 2 64 k 20
即k ?

5 5 或k ? ? 10 10

? k 的取值范围为 (??,?

5 5 ) ? ( ,??) 10 10

25、(福建省莆田一中 2007~2008 学年上学期期末考试卷)在平面直角坐标系 xOy 中,过定 点 C (0,p) 作直线与抛物线 x ? 2 py ( p ? 0 )相交于 A,B 两点.
2

(I)若点 N 是点 C 关于坐标原点 O 的对称点,求 △ANB 面积的最小值; (II)是否存在垂直于 y 轴的直线 l ,使得 l 被以 AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值?若存 在,求出 l 的方程;若不存在,说明理由. 解法 1: (Ⅰ)依题意,点 N 的坐标为 N (0, p) ,可设 A( x1,y1 ),B( x2,y2 ) , ?

? x 2 ? 2 p, y 直 线 AB 的 方 程 为 y ? kx ? p , 与 x ? 2 p y联 立 得 ? 消 去 y 得 x p ?y ? k ? .
2

x 2 ? 2 pkx ? 2 p 2 ? 0 .
2 由韦达定理得 x1 ? x2 ? 2 pk , x1 x2 ? ?2 p .

于是 S△ ABN ? S△BCN ? S△ ACN ? · 2 p x1 ? x2 .

1 2

y

? p x1 ? x2 ? p ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2
? p 4 p2k 2 ? 8 p2 ? 2 p2 k 2 ? 2 ,
C A O N

B

∴当 k ? 0 时, ( S△ ABN ) min ? 2 2 p 2 .

x

(Ⅱ)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? a ,

AC 的中点为 O? , l 与 AC 为直径的圆相交于点 P , Q,PQ 的中点为 H ,
则 O?H ? PQ , Q? 点的坐标为 ?

? x1 y1 ? p ? , ?. 2 ? ?2

y

∵ O?P ?

1 1 2 1 AC ? x1 ? ( y1 ? p)2 ? y12 ? p 2 , 2 2 2
y1 ? p 1 ? 2a ? y1 ? p , 2 2
2 2

B l A

O?H ? a ?
2

1 1 ∴ PH ? O?P ? O?H ? ( y12 ? p 2 ) ? (2a ? y1 ? p)2 4 4
p? ? ? ? a ? ? y1 ? a ( p ? a ) , 2? ?

?? p? ? 2 ∴ PQ ? (2 PH ) 2 ? 4 ?? a ? ? y1 ? a ( p ? a ) ? . 2? ?? ?
令a?

错 误 O ! 未 N 找 到 引 用 源 。

C

x

p p p 得 此时 PQ ? p 为定值, 故满足条件的直线 l 存在, 其方程为 y ? , ? 0, a ? , 2 2 2

即抛物线的通径所在的直线. 解法 2: (Ⅰ)前同解法 1,再由弦长公式得

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 1 ? k 2· ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2· 4 p 2 k 2 ? 8 p 2
? 2 p 1 ? k 2· k 2 ? 2 ,
又由点到直线的距离公式得 d ?

2p 1? k 2



从而 S△ ABN ? · d AB ? · 2 p 1 ? k 2· k 2 ? 2 · ·

1 2

1 2

2p 1? k
2

? 2 p2 k 2 ? 2 ,

∴当 k ? 0 时, ( S△ ABN ) min ? 2 2 p 2 .
(Ⅱ)假设满足条件的直线 l 存在,其方程为 y ? a ,则以 AC 为直径的圆的方程为

( x ? 0)( x ? x1 ) ? ( y ? p)( y ? y1 ) ? 0 ,
2 将直线方程 y ? a 代入得 x ? x1 x ? (a ? p)(a ? y1 ) ? 0 ,

则 △? x1 ? 4(a ? p )(a ? y1 ) ? 4 ?? a ?
2

?? ??

p? ? ? y1 ? a ( p ? a) ? . 2? ?

设直线 l 与以 AC 为直径的圆的交点为 P( x3,y3 ),Q( x4,y4 ) , 则有 PQ ? x3 ? x4 ? 令a?

?? p? ? p? ? 4 ?? a ? ? y1 ? a ( p ? a ) ? ? 2 ? a ? ? y1 ? a ( p ? a ) . 2? 2? ? ?? ?

p p p 得 此时 PQ ? p 为定值, 故满足条件的直线 l 存在, 其方程为 y ? , ? 0, a ? , 2 2 2

即抛物线的通径所在的直线.


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