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同角三角函数的基本关系与诱导公式--教师


同角三角函数的基本关系与诱导公式
A级 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 3 ? π π? 1.α∈?-2,2?,sin α=-5,则 cos(-α)的值为 ? ? 4 A.-5 4 B.5 3 C.5 3 D.-5 ( ). 基础演练

3 4 4 ? π π? 解析 因为 α∈?-2,2?,sin α=-5,所以 cos α=5,即 c

os(-α)=5,故选 B. ? ? 答案 B 2.已知 tan θ=2,则 sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ= 4 A.-3 解析 5 B.4 3 C.-4
2

(

).

4 D.5
2

sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ 由 于 tan θ = 2 , 则 sin θ + sin θcos θ - 2cos θ = = sin2θ+cos2θ

tan2θ+tan θ-2 22+2-2 4 = 2 =5. tan2θ+1 2 +1 答案 D 3.若 sin α+cos α 1 = ,则 tan 2α= sin α-cos α 2 3 B.4 4 C.-3 4 D.3 ( ).

3 A.-4 解析 由 答案 B

sin α+cos α 1 tan α+1 1 2tan α 3 =2,得 =2,所以 tan α=-3,所以 tan 2α= 2 = . sin α-cos α tan α-1 1-tan α 4

sin 2α 4.若 tan α=3,则 cos2α 的值等于 A.2 解析 B.3 C.4 D.6

(

).

sin 2α 2sin αcos α 2sin α sin 2α = = 2tan α ,又 tan α = 3 ,故 2 = 2 cos α cos α cos α cos2α =6.

答案 D 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 1 π π 5.已知 sin αcos α=8,且4<α<2,则 cos α-sin α 的值是________.
1

3 解析 1-2sin αcos α=(sin α-cos α)2=4, π π 3 又∵4<α<2,sin α>cos α.∴cos α-sin α=- 2 . 3 答案 - 2 1 ? π ? 6. (已做)若 sin(π-α)=log84,且 α∈?-2,0?,则 cos(2π-α)的值是________. ? ? 1 2 解析 ∵sin(π-α)=log84,∴sin α=log232-2=-3. 5 ∴cos(2π-α)=cos α= 1-sin2α= 3 . 答案 5 3

三、解答题(共 25 分) 7.(12 分)已知 f(α)= (1)化简 f(α); 3π? 1 ? (2)若 α 是第三象限角,且 cos?α- 2 ?=5,求 f(α)的值. ? ? 解 (1)f(α)= sin α· cos α· ?-tan α? =-cos α. tan α· sin α sin?π-α?cos?2π-α?tan?-α+π? . -tan?-α-π?sin?-π-α?

3π? 1 ? (2)∵cos?α- 2 ?=5,α 是第三象限角. ? ? 1 ∴sin α=-5. 2 6 ∴cos α=- 1-sin2α=- 5 , 2 6 ∴f(α)=-cos α= 5 . ?3π ? 8.(13 分)已知 sin(3π+α)=2sin? 2 +α?,求下列各式的值: ? ? (1) 解 sin α-4cos α ;(2)sin2α+sin 2α. 5sin α+2cos α ?3π ? 法一 由 sin(3π+α)=2sin? 2 +α?,得 tan α=2. ? ?

2

(1)原式=

tan α-4 2-4 1 = =-6. 5tan α+2 5×2+2 sin2α+2sin αcos α sin2α+cos2α

(2)原式=sin2α+2sin αcos α= = tan2α+2tan α 8 =5. tan2α+1

法二 由已知得 sin α=2cos α. (1)原式= 2cos α-4cos α 1 =-6. 5×2cos α+2cos α

sin2α+2sin αcos α sin2α+sin2α 8 (2)原式= = 1 2 =5. sin2α+cos2α 2 sin α+4sin α

B级

能力突破(时间:30 分钟 满分:45 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.若 sin α 是 5x2-7x-6=0 的根,则 3π? ?3π ? ? sin?-α- 2 ?sin? 2 -α?tan2?2π-α? ? ? ? ? = π π ? ? ? ? cos?2-α?cos?2+α?sin?π+α? ? ? ? ? 3 A.5 5 B.3 4 C.5 5 D.4

(

).

cos α?-cos α?· tan2α 3 3 解析 由 5x2-7x-6=0 得 x=-5或 x=2.∴sin α=-5.∴原式= = sin α· ?-sin α?· ?-sin α? 1 5 =3. -sin α 答案 B π 2π nπ 2.若 Sn=sin 7+sin 7 +…+sin 7 (n∈N*),则在 S1,S2,…,S100 中,正数的个数是 ( A.16 B.72 C.86 ).

D.100

π 8π 2π 9π 6π 13π 7π 14π 解析 由 sin 7=-sin 7 ,sin 7 =-sin 7 ,…,sin 7 =-sin 7 ,sin 7 =sin 7 = 0,所以 S13=S14=0. 同理 S27=S28=S41=S42=S55=S56=S69=S70=S83=S84=S97=S98=0,共 14 个,所以在 S1, S2,…,S100 中,其余各项均大于 0,个数是 100-14=86(个).故选 C.
3

答案 C 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) π? 1 cos 2α ? 3.已知 sin α=2+cos α,且 α∈?0,2?,则 π?的值为________. ? ? ? sin?α-4? ? ? 1 解析 依题意得 sin α-cos α=2,又(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2,即(sin α+cos α)2 π? 7 7 cos 2α ?1? ? +?2?2=2, 故(sin α+cos α)2=4; 又 α∈?0,2?, 因此有 sin α+cos α= 2 , 所以 π?= ? ? ? ? ? sin?α-4? ? ? cos2α-sin2α 14 =- 2(sin α+cos α)=- 2 . 2 ?sin α-cos α? 2 14 答案 - 2 4. f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4(a,b,α,β 均为非零实数),若 f(2 012)=6,则 f(2 013) =________. 解析 f(2 012)=asin(2 012π+α)+bcos(2 012π+β)+4=asin α+bcos β+4=6,∴asin α+ bcos β=2,∴f(2 013)=asin(2 013π+α)+bcos(2 013π+β)+4=-asin α-bcos β+4=2. 答案 2 三、解答题(共 25 分) ? π π? ?π ? 5.(12 分)是否存在 α∈?-2,2?,β∈(0,π),使等式 sin(3π-α)= 2cos?2-β?, 3cos(-α) ? ? ? ? =- 2cos(π+β)同时成立?若存在,求出 α,β 的值;若不存在,请说明理由. 解 假设存在角 α,β 满足条件, ① ②

?sin α= 2sin β, 则由已知条件可得? ? 3cos α= 2cos β. 由①2+②2,得 sin2α+3cos2α=2.

1 2 π ? π π? ∴sin2α=2,∴sin α=± 2 .∵α∈?-2,2?,∴α=± 4. ? ? π 3 当 α=4时,由②式知 cos β= 2 , π 又 β∈(0,π),∴β=6,此时①式成立; π 3 当 α=-4时,由②式知 cos β= 2 ,
4

π 又 β∈(0,π),∴β=6,此时①式不成立,故舍去. π π ∴存在 α=4,β=6满足条件. π? ? 6.(13 分)已知函数 f(x)=tan?2x+4?. ? ? (1)求 f(x)的定义域与最小正周期; π? ? ?α? (2)设 α∈?0,4?,若 f?2?=2cos 2α,求 α 的大小. ? ? ? ? 解 π π π kπ (1) 由 2x + 4 ≠ 2 + kπ , k ∈ Z , 得 x≠ 8 + 2 , k ∈ Z. 所 以 f(x) 的 定 义 域 为

? ? π kπ π ?x∈R|x≠ + ,k∈Z?,f(x)的最小正周期为 . 8 2 2 ? ?

π? ?α? ? (2)由 f?2?=2cos 2α,得 tan?α+4?=2cos 2α, ? ? ? ? π? ? sin?α+4? ? ? 2 2 π?=2(cos α-sin α), ? cos?α+4? ? ? sin α+cos α 整理得 =2(cos α+sin α)(cos α-sin α). cos α-sin α π? ? 因为 α∈?0,4?,所以 sin α+cos α≠0. ? ? 1 1 因此(cos α-sin α)2=2,即 sin 2α=2. π? π? π π ? ? 由 α∈?0,4?,得 2α∈?0,2?.所以 2α=6,即 α=12. ? ? ? ? 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资 源见《创新设计· 高考总复习》光盘中内容.

任意角、弧度制及任意角的三角函数
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.θ 是第二象限角,则下列选项中一定为正值的是 θ A.sin 2 θ B.cos 2 θ C.tan 2 D.cos 2θ ( ).

θ θ 解析 因为 θ 是第二象限角,所以2为第一或第三象限角,所以 tan 2>0,故选 C.
5

答案 C 2.已知角 θ 的顶点与原点重合,始边与 x 轴的正半轴重合,终边在直线 y=2x 上,则 cos 2θ = 4 A.-5 3 B.-5 3 C.5 ( ). 4 D.5

1 解析 由题意知,tan θ=2,即 sin θ=2cos θ,将其代入 sin2θ+cos2θ=1 中可得 cos2θ=5, 3 故 cos 2θ=2cos2θ-1=-5. 答案 B 3.若一扇形的圆心角为 72° ,半径为 20 cm,则扇形的面积为 A.40π cm2 B.80π cm2 C.40cm2 D.80cm2 ( ).

2π 1 1 2π 解析 72° = 5 ,∴S 扇形=2αR2=2× 5 ×202=80π(cm2). 答案 B

4.给出下列命题: ①第二象限角大于第一象限角; ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角; ③不论用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形所对半径的大小无关; ④若 sin α=sin β,则 α 与 β 的终边相同; ⑤若 cos θ<0,则 θ 是第二或第三象限的角. 其中正确命题的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 ( ).

解析 由于第一象限角 370° 不小于第二象限角 100° ,故①错;当三角形的内角为 90° 时, 其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于 sin π 5π π 5π =sin ,但 与 6 6 6 6

的终边不相同, 故④错; 当 θ=π,cos θ=-1<0 时既不是第二象限角,又不是第三象限角, 故⑤错.综上可知只有③正确. 答案 A 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5. 如图所示, 在平面直角坐标系 xOy 中, 角 α 的终边与单位圆交于点 A,

6

4 点 A 的纵坐标为5,则 cos α=________. 4 解析 因为 A 点纵坐标 yA=5,且 A 点在第二象限,又因为圆 O 为单位圆,所以 A 点横坐 3 3 标 xA=-5,由三角函数的定义可得 cos α=-5. 3 答案 -5 α? α α ? 6.设角 α 是第三象限角,且?sin 2?=-sin 2,则角2是第________象限角. ? ? 3π π α 3π α 解析 由 α 是第三象限角,知 2kπ+π<α<2kπ+ 2 (k∈Z),kπ+2<2<kπ+ 4 (k∈Z),知2是 α? α α α ? 第二或第四象限角,再由?sin 2?=-sin 2知 sin 2≤0,所以2只能是第四象限角. ? ? 答案 四

三、解答题(共 25 分) 7.(12 分)(1)写出与下列各角终边相同的角的集合 S,并把 S 中适合不等式-360° ≤α<720° 的 元素 α 写出来: ①60° ;②-21° . (2)试写出终边在直线 y=- 3x 上的角的集合 S,并把 S 中适合不等式-180° ≤α<180° 的 元素 α 写出来. 解 (1)①S={α|α=60° +k· 360° ,k∈Z},其中适合不等式-360° ≤α<720° 的元素 α 为-

300° ,60° ,420° ; ②S={α|α=-21° +k· 360° ,k∈Z},其中适合不等式-360° ≤α<720° 的元素 α 为-21° , 339° ,699° . (2)终边在 y=- 3x 上的角的集合是 S={α|α=k· 360° +120° , k∈Z}∪{α|α=k· 360° +300° , k∈Z}={α|α=k· 180° +120° ,k∈Z},其中适合不等式-180° ≤α<180° 的元素 α 为-60° , 120° . 8.(13 分)已知角 θ 的终边上有一点 P(x,-1)(x≠0),且 tan θ=-x,求 sin θ,cos θ. 解 ∵θ 的终边过点(x,-1),

1 ∴tan θ=-x, 又∵tan θ=-x,∴x2=1,∴x=± 1.
7

2 2 当 x=1 时,sin θ=- 2 ,cos θ= 2 ; 2 2 当 x=-1 时,sin θ=- 2 ,cos θ=- 2 .

B级

能力突破(时间:30 分钟 满分:45 分)

一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1.已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴.若 P(4,y)是角 θ 终边上一点,且 sin 2 5 θ=- 5 ,则 y= A.-8 B.8 C.-4 ( ).

D.4

2 5 解析 根据题意 sin θ=- 5 <0 及 P(4,y)是角 θ 终边上一点,可知 θ 为第四象限角.再 由三角函数的定义得, 知 y=-8. 答案 A 2.已知锐角 α 的终边上一点 P(sin 40° ,1+cos 40° ),则锐角 α= ( A.80° B.70° C.20° ). D.10° y 2 5 2=- 5 ,又∵y<0,∴y=-8(合题意),y=8(舍去).综上 4 +y
2

1+cos 40° 2cos220° 解析 据三角函数定义知,tan α= sin 40° =2sin 20° =tan 70° .故锐角 α=70° . cos 20° 答案 B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 3.设扇形的周长为 8 cm,面积为 4 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是________. 1 l 解析 由题意得 S=2(8-2r)r=4, 整理得 r2-4r+4=0, 解得 r=2.又 l=4, 故|α|=r=2(rad). 答案 2 4.函数 y= 2cos x-1的定义域为________. 1 解析 ∵2cos x-1≥0,∴cos x≥2. 由三角函数线画出 x 满足条件的终边的范围(如图阴影所示). π π? ? ∴x∈?2kπ-3,2kπ+3?(k∈Z). ? ?

8

π π? ? 答案 ?2kπ-3,2kπ+3?(k∈Z) ? ? 三、解答题(共 25 分) 5.(12 分)一个扇形 OAB 的面积是 1 cm2,它的周长是 4 cm,求圆心角的弧度数和弦长 AB. 解 设圆的半径为 r cm,弧长为 l cm, ?r=1, l 解得? ∴圆心角 α=r=2. ?l=2.

1 ? ? lr=1, 则?2 ? ?l+2r=4,

如图,过 O 作 OH⊥AB 于 H,则∠AOH=1 rad. ∴AH=1· sin 1=sin 1 (cm),∴AB=2sin 1 (cm). 6.(13 分)如图所示,A,B 是单位圆 O 上的点,且 B 在 ?3 4? C 是圆与 x 轴正半轴的交点,A 点的坐标为?5,5?, ? ? 三角形. (1)求 sin∠COA;(2)求 cos∠COB. 解 4 (1)根据三角函数定义可知 sin∠COA=5. 第二象限, △AOB 为正

(2)∵△AOB 为正三角形,∴∠AOB=60° , 4 3 又 sin∠COA=5,cos∠COA=5, ∴cos∠COB=cos(∠COA+60° ) =cos∠COAcos 60° -sin∠COAsin 60° 3 1 4 3 3-4 3 =5· 2-5·2 = 10 . 特别提醒:教师配赠习题、课件、视频、图片、文档等各种电子资源见 《创新设计· 高考总复习》光盘中内容.

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