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52 曲线与方程(含轨迹问题)


【2012 高考数学理科苏教版课时精品练】 作业52 第八节 曲线与方程(含轨迹问题) 1.若直线 y=kx+2 与双曲线 x2-y2=6 的右支交于不同的两点,求 k 的取值范围. ?y=kx+2 ? 解:由? 2 2 ,得(1-k2)x2-4kx-10=0. ? x - y = 6 ?

? ?Δ=16k -44k?1-k ?×?-10?>0, ∴?

x +x = >0, 1-k 10 ? >0, ?x x =1- -k
2 2 1 2 2 1 2 2

1-k2≠0,

由直线与双曲线右支有两个不同交点,解得-

15 <k<-1. 3

2.已知抛物线 y2=4x,过焦点的弦 AB 被焦点分成长为 m、n(m≠n)的两段,求 m、n 的关系. 解:由题意设直线 AB 的方程为 y=k(x-1), ?y=k?x-1? ? 由? 2 ,得 k2x2-(2k2+4)x+k2=0, ? y = 4 x ? 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2=1, mn=(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1 =x1+x2+2=m+n. ∴mn=m+n 3.(2011 年南通市质检)平面直角坐标系 xOy 中,已知以 M 为圆心的⊙M 经过 F1(0,- c),F2(0,c),A( 3c,0)三点,其中 c>0. (1)求⊙M 的标准方程(用含 c 的式子表示); y2 x2 (2)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)(其中 a2-b2=c2)的左、右顶点分别为 D,B,⊙M 与 x a b 轴的两个交点分别为 A,C,且 A 点在 B 点右侧,C 点在 D 点右侧. ①求椭圆离心率的取值范围; ②若 A,B,M,O,C,D(O 为坐标原点)依次均匀分布在 x 轴上,问直线 MF1 与直线 DF2 的交点是否在一条定直线上?若是,请求出这条定直线的方程;若不是,请说明理由. 解:(1)设⊙M 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,

?c -Ec+F=0, ?2 则由题设,得?c +Ec+F=0, ? ?3c2+ 3Dc+F=0.

2

2 3 D=- c, ? 3 ? 解得? E=0, ? ?F=-c .
2

2 3 ⊙M 的方程为 x2+y2- cx-c2=0, 3 3 4 ⊙M 的标准方程为(x- c)2+y2= c2. 3 3 (2)①⊙M 与 x 轴的两个交点为 A( 3c,0),C(- 又 B(b,0),D(-b,0), 3 c,0), 3

1

3c>b, 3c>b, 3c >a -c , ? ? ? ? ? ? 由题设? 即? 3 所以?1 2 2 2 3 - c>-b, c<b. ? ? ? ?3c <a -c . ? 3 ?3 1 c 3 1 3 解得 < < ,即 <e< . 2 a 2 2 2 1 3 所以椭圆离心率的取值范围为( , ). 2 2 3 ②由(1)得 M( c,0). 3 3 3 由题设,得 3c-b=b- c= c. 3 3 2 3 2 3 ∴b= c,D(- c,0). 3 3 x y ∴直线 MF1 的方程为 - =1, ① 3 c c 3 x y 直线 DF2 的方程为- + =1. ② 2 3 c c 3 4 3 3 3 由①②,得直线 MF1 与直线 DF2 的交点 Q( c,3c),易知 kOQ= 为定值, 3 4 3 3 ∴直线 MF1 与直线 DF2 的交点 Q 在定直线 y= x 上. 4 y2 x2 4.设双曲线 2- =1 的焦点分别为 F1、F2,离心率为 2. a 3 (1)求此双曲线的渐近线 l1、l2 上的方程; (2)设 A、B 分别为 l1、l2 上的动点,且 2AB=5F1F2,求线段 AB 中点 M 的轨迹方程,并 说明是什么曲线. a2+3 解:(1)∵ =2,∴a2=1, |a| x2 ∴双曲线方程为 y2- =1, 3 ∴渐近线方程为 3y-x=0 和 3y+x=0. (2)∵F1F2=4,2AB=5F1F2, ∴AB=10,设 A 在 l1 上,B 在 l2 上, 设 A( 3y1,y1),B(- 3y2,y2), ∴ 3?y1+y2?2+?y1-y2?2=10.① 3y1- 3y2 y1+y2 设 AB 中点(x,y),则 x= ,y= , 2 2 2x ∴y1-y2= ,y1+y2=2y, 3 4 x2 3y2 代入①得 12y2+ x2=100,即 + =1. 3 75 25 即所求轨迹为焦点在 x 轴上中心在原点的椭圆. x2 y2 2 5.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)经过点 P(1, ),且两焦点与短轴的一个端点构成 a b 2 等腰直角三角形. (1)求椭圆的方程;

2

2

2

2

1 (2)动直线 l:mx+ny+ n=0(m,n∈R)交椭圆 C 于 A、B 两点,求证:以 AB 为直径的 3 动圆恒经过定点(0,1). x2 y2 解:(1)∵椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角 a b

三角形, ∴a= 2b. x2 y2 ∴ 2+ 2=1. 2b b 2 ),代入可得 b=1, 2 x2 ∴a= 2.故所求椭圆方程为 +y2=1. 2 1 (2)证明:易得动直线过点(0,- ). 3 又∵椭圆经过点 P(1, 1 4 当 l 与 x 轴平行时,以 AB 为直径的圆的方程为 x2+(y+ )2=( )2,此圆过点(0,1); 3 3 当 l 与 x 轴垂直时,以 AB 为直径的圆的方程为 x2+y2=1,此圆过点(0,1). 1 y=kx- 3 由 2 ,消去 y 得(18k2+9)x2-12kx-16=0. x +y2=1 2

? ? ?

? ?x +x =18k +9, 设点 A(x ,y )、B(x ,y ),则? -16 ?x x =18k +9. ?
1 2 2 1 1 2 2 1 2 2

12k

→ → ∵TA=(x1,y1-1),TB=(x2,y2-1), →→ ∴TA· TB=x1x2+(y1-1)(y2-1) -16 4 4 4 16 4 12k =x1x2+(kx1- )(kx2- )=(1+k2)x1x2- k(x1+x2)+ =(1+k2)· 2 - k· + 3 3 3 9 18k +9 3 18k2+9 16 =0. 9 ∴TA⊥TB,即以 AB 为直径的圆恒过定点(0,1). y2 x2 6 6.(探究选做)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,过右顶点 A 的直线 l 与 a b 3 椭圆 C 相交于 A、B 两点,且 B(-1,-3). (1)求椭圆 C 和直线 l 的方程; (2)记曲线 C 在直线 l 下方的部分与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)为 D.若曲线 x2 -2mx+y2+4y+m2-4=0 与 D 有公共点,试求实数 m 的最小值. a2-b2 6 6 解:(1)由离心率 e= ,得 = ,即 a2=3b2. ① 3 a 3 ?-3?2 ?-1?2 y2 x2 又点 B(-1, -3)在椭圆 C: 2+ 2=1 上, 即 2 + 2 =1. ② a b a b 解①②得 a2=12,b2=4, y2 x2 故所求椭圆方程为 + =1. 12 4 由 A(2,0),B(-1,-3)得直线 l 的方程为 y=x-2.

3

(2)曲线 x2-2mx+y2+4y+m2-4=0, 即圆(x-m)2+(y+2)2=8,其圆心坐标为 G(m,-2), 半径 r=2 2,表示圆心在直线 y=-2 上, 半径为 2 2的动圆. 由于要求实数 m 的最小值,由图可知,只需考虑 m<0 的情形. 设⊙G 与直线 l 相切于点 T, |m+2-2| 则由 =2 2,得 m=± 4, 2 当 m=-4 时,过点 G(-4,-2)与直线 l 垂直的直线 l′的方程为 x+y+6=0, ? ?x+y+6=0, 解方程组? 得 T(-2,-4). ?x-y-2=0, ? 因为区域 D 内的点的横坐标的最小值与最大值分别为-1,2, 所以切点 T?D.由图可知当⊙G 过点 B 时,m 取得最小值,即(-1-m)2+(-3+2)2=8, 解得 mmin=- 7-1.

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