当前位置:首页 >> 英语 >> 江苏省常州中学2012届高三内部模拟试卷(一)

江苏省常州中学2012届高三内部模拟试卷(一)


2012 江苏数学模拟试卷(一)
说明:1. 以下题目的答案请全部填写在答卷纸上; 2. 本卷总分 160 分,考试时间 120 分钟. 一、 填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.若复数 z 满足 (1 ? i ) z ? 1 ? 3i ,则复数 z 在复平面上的对应点在第 2.左面伪代码的输出结果为 . 象限.

3.

从长度分别为 2,3,4,5 的四条线段中任意取出三条, 则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是 .

4.若圆 C: ( x ? h ) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 1 在不等式 x ? y ? 1 ≥ 0 所表示 的平面区域内,则 h 的最小值为 .

5 . 已 知 奇 函 数 f ( x ) 是 R 上 的 增 函 数 , 且 f (2) ? 1 , 设 集 合 P ? ? x f( x? ) ? 1 , t ?
Q ? { x | f ( x ? t ) ? ? 1} ,若“ x ? P ”是“ x ? Q ”的充分不必要条件,则实数 t 的

取值范围是



6.如图,用半径为 2 的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒, 那么这个圆锥筒的容积是 7.若 tan 20 ? m sin 20 ?
? ?


3 ,则 m 的值为



(第 6 题图)

8.设 a , b 为不重合的两条直线, ? , ? 为不重合的两个平面,给出下列命题: (1)若 a ∥ ? 且 b ∥ ? ,则 a ∥ b ; (2)若 a ? ? 且 a ? ? ,则 ? ∥ ? ; (3)若 ? ? ? ,则一定存在平面 ? ,使得 ? ? ? , ? ? ? ; (4)若 ? ? ? ,则一定存在直线 l ,使得 l ? ? , l // ? . 上面命题中,所有真命题的序号是 ... 9. A , B , C 是直线 l 上的三点,P 是直线 l 外一点,
? ?

. A

P C .

B

已知 AB ? BC ? a , ? APB ? 90 , ? BPC ? 45 .则 PA ? PC ? 10.已知抛物线 y
2

? 2 px ( p ? 0 ) 与双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 有相同的焦点 F,点 A 是两曲线的

交点,且 AF⊥ x 轴,则双曲线的离心率为
2



11. 已知函数 f ( x ) ? m x ? 2, g ( x ) ? x ? 2 x ? m .若存在整数 a , b , 使得 a ? f ( x ) ? g ( x ) ? b 的解集恰好是 ? a , b ? ,则 a ? b 的值为 .

12.已知 a ? b ? c ? 0 ,且 2 a 2 ?

1 ab

?

1 a (a ? b )

? 4 ac ? 4 c ? 4 , 则 a ? b ? c ?
2



13.一个数列中的数均为奇数时,称之为“奇数数列” .给定以下法则来构造一个奇数数列

? a n ? ,对于任意正整数 n,当 n 为奇数时, a n
n

? n ;当 n 为偶数时, a n ? a n .
2

则该数列的前 2 项的和为____________________. 14.已知正方形 ABCD 的中心在原点,四个顶点都在函数 f ( x ) ? x 3 ? bx 图象上.若正方形
ABCD 唯一确定,则实数 b 的值为



二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分. 15. (本小题满分 14 分) 设函数 f

? x? ?

? x ? 2
2

x? a 0 ?

? x3 的最大值为 m ,最小值为 n ,其中 ? ?

a ? 0 ,a?R.

(1)求 m 、n 的值(用 a 表示) ; (2)已知角 ? 的顶点与平面直角坐标系 xO y 中的原点 O 重合,始边与 x 轴的正半轴重合, 终边经过点 A ? m ? 1 , n ? 3 ? .求 sin( ? ?

?
6

) 的值.

16. (本小题满分 14 分) 如图,设 M 、 N 是直角梯形 ABCD 两腰 A D 、 BC 的中点, D E ? A B 于 E .现将
△ A D E 沿 D E 折起,使二面角 A ? D E ? B 为 45 ,此时点 A 在平面 BCDE 内的射影恰为点
?

B.

D

C

A

(1)证明: M N // 平面 A B E ; (2) 证明: 平面 ADN ? 平面 A D E .
M M N D N A E B E B C

17. (本小题满分 14 分) 某市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示.经规划调研确定,棚改规划建筑用地区 域是半径为 R 的圆面. 该圆面的内接四边形 ABCD 是原棚户建筑用地, 测量可知边界 AB = AD = 4 千米,BC = 6 千米,CD = 2 千米, (1)请计算原棚户区建筑用地 ABCD 的面积及圆面的半径 R 的值;

(2)因地理条件的限制,边界 AD、DC 不能变更,而边界 AB、BC 可以调整,为了提高棚 户区改造建筑用地的利用率,请在圆弧 ABC 上设计一点 P,使得棚户区改造的新建筑用地 APCD 的面积最大,并求最大值. A

B O C 18.(本小题满分 16 分) 已知椭圆
x a
2 2

D

P

?

y b

2 2

短轴两个端点为 A, B , 且四 ? 1( a ? b ? 0 ) 的左右焦点分别为 F1 , F 2 ,

边形 F1 AF 2 B 是边长为 2 的正方形. (1)求椭圆的方程; (2)若 C , D 分别是椭圆长轴的左右端点,动点 M 满足 MD ? CD ,连接 CM ,交椭圆于 点 P .证明: O M ? O P 为定值; (3)在(2)的条件下,试问 x 轴上是否存在异于点 C 的定点 Q ,使得以 MP 为直径的圆 恒过直线 DP , MQ 的交点,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
???? ??? ? ?

y
A P M

C

F1

O

F2

D

x

B

19. (本小题满分 16 分) 已知直线 x ? y ? 1 ? 0 为曲线 f ( x ) ? log a x ? b 在点 (1, f (1)) 处的一条切线. (1)求 a,b 的值; (2)若函数 y ? f ( x ) 的图象 C 1 与函数 g ( x ) ? m x ? (n>0)的图象 C 2 交于 P ( x1 , y1 ) , x 线 别 Q ( x 2 , y 2 ) 两点,其中 x1 < x 2 ,过 PQ 的中点 R 作 x 轴的垂 分 交 C 1 , C 2 于点 M、N,
n

设 C1 在点 M 处的切线的斜率为 k1 ,C2 在点 N 处的切线的斜率为 k 2 ,求证: k1 < k 2 .

20.(本小题满分 16 分) 已知等比数列 { a n } 的首项 a1 ? 2012 ,公比 q ? ? 积记为 T n . (1)证明: S 2 ? S n ? S 1 ; (2)求 n 为何值时, T n 取得最大值; (3)证明:若数列 { a n } 中的任意相邻三项按从小到大排列,则总可以使其成等差数列;若 所有这些等差数列的公差按从大到小的顺序依次记为 d 1 , d 2 , ? , d n ,则数列 { d n } 为等比 数列.
1 2

,数列 { a n } 前 n 项和记为 S n ,前 n 项

数学Ⅱ(理科附加题)
21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分. A.选修 4—1:几何证明选讲
P D C l

如图,设 AB 为⊙O 的任一条不与直线 l 垂直的直径,
P 是⊙O 与直线 l 的公共点, AC ? l , BD ? l ,垂足分别

A

为 C、D,且 PC=PD,求证:BP 平分 ? A B D . B.选修 4—2:矩阵与变换 设 M= ?
?1 ?0
?1 0? ,N= ? 2 ? ? 2? ?0 ? 0?

O

B

? 1?

,试求曲线 y=sinx 在矩阵 MN 变换下的曲线方程.

C.选修 4—3:坐标系与参数方程 已知⊙O1 和⊙O2 的极坐标方程分别是 ? ? 2 cos ? 和 ? ? 2 a sin ? (a 是非零常数). 若两圆的圆心距为 5,求 a 的值.

D.选修 4—4:不等式选讲 已知 x、 y、 z 均为正数,求证:
3 1 1 1 ( ? ? )? 3 x y z 1 x
2

?

1 y
2

?

1 z
2



【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.在一次电视节目的抢答中,题型为判断题,只有“对”和“错”两种结果,其中某明星 判断正确的概率为 p ,判断错误的概率为 q ,若判断正确则加 1 分,判断错误则减 1 分,现 记“该明星答完 n 题后总得分为 S n ” . (1)当 p ? q ? (2)当 p ?
1 3 1 2 ,q ?

时,记 ? ? | S 3 | ,求 ? 的分布列及数学期望;
2 3

w.w.w. .c.o.m

时,求 S 8 ? 2 且 S i ? 0 ( i ? 1, 2 ,3, 4 ) 的概率.

23. (1)设函数 f ( x ) ? x log 求证: p 1 log

2

x ? (1 ? x ) log 2 (1 ? x )( 0 ? x ? 1) ,求 f ( x ) 的最小值;
n n

(2)设正数 p 1 , p 2 , p 3 , ? , p 2 满足 p 1 ? p 2 ? p 3 ? ? ? p 2 ? 1 ,
2

p 1 ? p 2 log

2

p 2 ? p 3 log

2

p 3 ? ? ? p 2 n log

2

p 2 n ? ? n.

2012 江苏数学模拟试卷(一)答案
1.三 2.26 3.
3 4 4

4. ? 2 ?
a
2

2

5. t ? ? 2 11.? 2

6.

3 3

?

7.4 13.T 2 ?
n

8. (3) (2) (4) 9.?

10. 2 ? 1

12.2 2

1

(4 ? 2)
n

3 5 14.设正方形 ABCD 对角线 AC 所在的直线方程为 y ? kx ( k ? 0) ,则对角线 B D 所在的直

线方程为 y ? ?
2 2

1 k

x .
2

? y ? kx , k ?b 2 由? 解得 x ? , 3 a ? y ? ax ? bx ,
2 2 2

所以 A O ? x ? y ? (1 ? k ) x ? (1 ? k ) ?
? ) ]?
2

k ?b a 1



1 k a

同理, B O ? [1 ? ( ?
2

1 k

?b ??
2

1? k k
2

2

?b

?k a



又因为 AO ? BO ,所以 k ? k b ?
2 2
3

1 k

? b ? 0 .???????????10 分

即k ?
2

1 k
2

? b(k ?
2

1 k

) ? 0 ,即 ( k ?

1 k

) ? b(k ?
2

1 k

)?2 ? 0 .

令k ?

1 k

?t

得 t ? bt ? 2 ? 0
1 k

因为正方形 ABCD 唯一确定,则对角线 AC 与 B D 唯一确定,于是 k ? 所以关于 t 的方程 t ? bt ? 2 ? 0 有且只有一个实数根,又 k ?
2

值唯一确定,

1 k

? t?R .

2 所以 ? ? b ? 8 ? 0 ,即 b ? ? 2 2 .???????????????14 分

因为 x ?
2

k ?b a

?

1 k a

?b ? 0 ,所以 b ? ?

? 0 , a ? 0 ,所以 b ? k ;又

1 k

,故 b ? 0 .

因此 b ? ? 2 2 ; 反过来 b ? ? 2 2 时, t ? ? 2 , k ? 于是 k ?
? 2? 2 6

1 k

?? 2,
? 2? 2 6

,?

1 k

?

? 2? 2

6

;或 k ?

,?

1 k

?

? 2? 2

6

于是正方形 ABCD 唯一确定.????????????????????16 分 15.解(1) 由题可得 f ? x ? ? ? ? x ? 1 ? ? 1 ? a
2

而 0 ? x ? 3 .........2 分 ........ ...........5 分 ..........

所以, m ? f ?1 ? ? 1 ? a , n ? f ? 3 ? ? a ? 3 (2) 角 ? 终边经过点 A ? a , a ? 当 a ? 0 时, r ?
a ?a ?
2 2

2a ,

则 sin ? ?

a 2a

?

2 2

, cos ? ?

a 2a

?

2 2

? ? ? ? ? 所以, sin ? ? ? ? ? sin ? cos ? cos ? sin ? 6? 6 6 ?
当 a ? 0 时, r ? 则 sin ? ?
a ? 2a
a ? a ? ? 2a
2 2

2? 4

6

.........9 分 ........

??

2 2

, cos ? ?

a ? 2a

??

2 2

? ? ? ? ? 所以, sin ? ? ? ? ? sin ? cos ? cos ? sin ? ? 6? 6 6 ?
综上所述

2? 4

6

...... ......13 分

2? 6 ? ? 2? 6 ? 或 .........14 分 ........ sin ? ? ? ? ? ? 4 6? 4 ? 16. (1)在折起后的图中,取 A E 中点 F ,连结 M F 、 F B .由题意, BCDE 为矩形. ∵ M 为 A D 中点, F 为 A E 中点, A D C 1 ∴ M F // DE ,且 M F ? D E . 2 M 又∵ N 为 BC 中点, BC // DE 且 BC ? DE , M N ∴ M F // BN 且 MF ? BN . D ∴四边形 BNMF 为平行四边形. ∴ M N // BF .???????4 分 B E A E B 又∵ M N ? 平面 A B E , BF ? 平面 A D E , ∴ M N // 平面 A B E .?????6 分 (2) 在折起后的图中,∵ A E ? D E , B E ? D E , ∴ D E ? 平面 A B E ,且 ? A E B 即为二面角 A ? D E ? B 的平面角.

C N

∴ ? AEB ? 45 .????????????9 分 ∵ AB ? 平面 BCDE ,∴ A B ? B E . 又∵ F 为 A E 中点,∴在等腰 Rt △ ABE 中,有 B F ? A E , ∵ M N // BF ,∴ MN ? AE .???????????????11 分 ∵ D E ? 平面 A B E , BF ? 平面 A B E ,∴ D E ? B F . ∵ M N // BF ,∴ MN ? DE . ∵ A E ? D E ? E ,∴ M N ? 平面 A D E .????????????13 分 ∵ M N ? 平面 ADN ,∴平面 ADN ? 平面 A D E .?????????14 分
?

17. 解:(1) ? ABC ? ? AD C ? 180 ? ,由余弦定理得:
AC
2

? 4 ? 6 ? 2 ? 4 ? 6 cos ? A B C ? 4 ? 2 ? 2 ? 2 ? 4 cos ? A D C
2 2 2 2

∴ cos ? A B C ?

1 2

????????????2 分 ∴ ? ABC ? 60 ? , ? A D C ? 120 ?
1 2 ? 2 ? 4 ? sin 120 ? ? 8 3

∵ ?ABC ? ( 0 , ? )
1 2

S 四边形 ABCD = ? 4 ? 6 ? sin 60 ? ?
2 2 2

(平方千米)??5 分

A C ? A B ? B C ? 2 A B ?B C ?cos ? A B C ? 28

∴ AC ? 2 7
2 21 3

由正弦定理得: 2 R ?

AC sin B

?

2 7 3 2

?

4 21 3

(千米) R ?

(千米)

????????????8 分 (2) S 四边形 APCD = S ? ADC ? S ? APC ,又 S ? A D C ? 设 AP = x,CP = y,则 S ? A P C ?
1 2 A D ?C D ?sin 120 ? ? 2 3

????9 分

1 2

xy sin 60 ? ?

3 4

xy

???????10 分

由余弦定理得: A C 2 ? x 2 ? y 2 ? 2 xy cos 60 0 ? x 2 ? y 2 ? xy ? 28
x ? y ? xy ? 2 xy ? xy ? xy
2 2

∴ xy ? 28 ,当且仅当 x = y 时取“=”????????????12 分 ∴S 四边形 APCD = 2 3 ?
3 4 xy ? 2 3 ? 3 4 ? 28 ? 9 3

(平方千米)

∴ 作 AC 的垂直平分线与圆弧 ABC 的交点即为点 P,最大面积为 9 3 平方千米 ??14 分 18. 解: (1) a ? 2 , b ? c , a 2 ? b 2 ? c 2 ,? b 2 ? 2 ,? 椭圆方程为
?

x

2

?

y

2

? 1 .?4 分

4
?

2

(2) C ( ? 2 , 0 ), D ( 2 , 0 ) ,设 M ( 2 , y 0 ), P ( x 1 , y 1 ) ,则 OP ? ( x 1 , y 1 ), OM ? ( 2 , y 0 ) . 直线 CM :
x?2 4
2 2

?

y ? y0 y0

,即 y ?

y0 4

x?

1 2

y 0 ,???????????5 分

代入椭圆 x ? 2 y ? 4 得
(1 ? y0 8
2

)x ?
2

1 2
2 0 2 0 2

y0 x ?
2

1 2

y 0 ? 4 ? 0 .?????????????????6 分
2

? x1 ( ? 2 ) ? ? OP ? ( ?
? ? ?

4 ( y ? 8) y ?8 2( y 0 ? 8) y ?8
2 0 2 2

,? x 1 ? ? 8 y0 y0 ? 8
2

2 ( y 0 ? 8)
2

y ?8
2 0

,? y 1 ?

8 y0 y0 ? 8
2



,

) ,??????????????????8 分 8 y0
2 2

? OP ? OM ? ?

4( y 0 ? 8) y0 ? 8

?

y0 ? 8

?

4 y 0 ? 32
2

y0 ? 8
2

. ? 4 (定值)

??????????????????????10 分 (3)设存在 Q (m , 0 ) 满足条件,则 MQ ? DP .
MQ ? ( m ? 2 , ? y 0 ) , DP ? ( ?
?
?

4 y0
2 0

2

y ? 8 y0 ? 8
2

,

8 y0

) ,??????????13 分
2

则由 MQ ? DP ? 0 得

?

?

?

4 y0
2

2

y0 ? 8

(m ? 2) ?

8 y0
2

y0 ? 8

? 0 ,从而得 m ? 0 .

? 存在 Q ( 0 , 0 ) 满足条件.??????????????????????16 分

19.解: (1)直线 x ? y ? 1 ? 0 的斜率为 1,且过 (1 , 0 ) 点, 又 f ?( x ) ?
1 x ln a

,∴ ? ln a

? 1 ?

? 1,

∴, a ? e , b ? 0 ;

???????5 分

? log 1 ? b ? 0 a ?
, 2 y1 ? y 2 ? ? , f ( x ) ? ln x , 2 ?

(2) P Q 的中点为 ?
?

? x1 ? x 2

???????6 分

∴ k 1 ? (ln x ) ? x ? x ? x ?
1 2

2 x1 ? x 2



???????????7 分
n ? x1 ? x 2 ? ? ? 2 ? ?
2

2

n ? k2 ? ? mx ? x ?

? ? ?

?
x? x1 ? x 2 2

n ? ? ? ?m ? 2 ? x ? ?
2

?m?
x? x1 ? x 2 2



?????8 分

由 x 2 ? x1 ? 0 ,∴ ?

n ? x1 ? x 2 ? , ? ? x1 x 2 ,则 k 2 ? m ? 2 x1 x 2 ? ?

则 ( x 2 ? x1 ) k 2 ? m ( x 2 ? x1 ) ?

n ( x 2 ? x1 ) x1 x 2

? m x2 ?
x2 x1

n x2

? ( m x1 ?

n x1

)

? y 2 ? y1 ? ln x 2 ? ln x1 ? ln
?x ? 2 ? 2 ? 1? 2( x 2 ? x1 ) ? x1 ? 又 ( x 2 ? x1 ) k 1 ? , ? x2 x1 ? x 2 1? x1



???????????11 分

法一:令 r ( t ) ? ln t ?

2( t ? 1) 1? t

,t ?

x2 x1

>1,则 r ?( t ) ? ?
t

1

4 ( t ? 1)
2

?

( t ? 1)

2 2

t ( t ? 1)



因为 t >1 时, r ?( t ) >0,所以 r ( t ) 在 [1, ? ? ) 上单调递增,故 r ( t ) > r (1) ? 0 , 则 k 2 > k1 . 法二:令 r ( t ) ? ( t ? 1) ln t ? 2( t ? 1) , t ? 因为 ? ln t ? ? ? ?
? t? t ? 1 ?? 1 1 t
2

???????????16 分
x2 x1

>1, 则 r ?( t ) ? ln t ? ? 1 ,
t
? ? 1 ?? t?

1

?

t ?1 t
2

,所以 t >1 时, ? ln t ? ? >0,
1 t

故 ln t ?

1 t

在 [1, ? ? ) 上单调递增,从而 ln t ? ? 1 >0,即 r ?( t ) ? 0 ,

于是 r (t ) 在 [1, ? ? ) 上单调递增, 故 r ( t ) > r (1) ? 0 即 ( t ? 1) ln t > 2( t ? 1) , ln t >
a 2 [1 ? ( ? 1 ? (? 1 2 1 2 ) )
n ?1

2( t ? 1) t ?1
1 2

,则 k 2 > k1 .??16 分

] ? S1 ?

20. (1)证: S n ? S 1 ?

1 3

a1 [1 ? ( ?

)

n ?1

] ≤ S 1 ,当 n = 1

时,等号成立

??????2 分
a 3 [1 ? ( ? Sn ? S2 ? 1 ? (? 1 2 1 2 )
n?2

] ? S2 ?

1 6

a1 [1 ? ( ?

1 2

)

n?2

]≥ S2

,当 n = 2 时,等号成立

)

∴S2≤Sn≤S1. (2)解: ∵
2011 2
11

??????4 分
? | a1 a 2 ? a n a n ? 1 | | a1 a 2 ? a n | ? | a n ? 1 |? 2011 2
n

| Tn ?1 | | Tn |

?1?

2011 2
10

,∴当 n≤10 时,|Tn + 1| > |Tn|,当 n≥11 时,|Tn + 1| < |Tn|

故|Tn| max = |T11| ??????7 分 又 T10 < 0, 11 < 0,T9 > 0,T12 > 0,∴Tn 的最大值是 T9 和 T12 中的较大者 ,T ∵
T1 2 T9 ? a10 a11 a12 ? [2 0 1 1( ? 1 2 ) ] ? 1 ,∴T12 > T9
10 3

因此当 n = 12 时,Tn 最大. (3)证:∵ a n ? 2 0 1 1( ?
1 2 )
n ?1

??????10 分 ,∴| an |随 n 增大而减小,an 奇数项均正,偶数项均负

①当 k 是奇数时,设{an}中的任意相邻三项按从小到大排列为 a k ?1 ,a k ? 2 ,a k ,则
a k ? 1 ? a k ? a1 ( ? 1 2 ) ? a1 ( ?
k

1 2

)

k ?1

?

a1 2
k

, 2 a k ? 2 ? 2 a1 ( ?

1 2

)

k ?1

?

a1 2
k



∴ a k ?1 ? a k ? 2 a k ? 2 ,因此 a k ?1 ,a k ? 2 ,a k 成等差数列, 公差 d k ? a k ? 2 ? a k ? 1 ? a1 [( ?
1 2 a1 2
k

)

k ?1

? (?

1 2

) ]?
k

3 a1 2
k ?1

??????12 分

②当 k 是偶数时,设{an}中的任意相邻三项按从小到大排列为 a k ,a k ? 2 ,a k ?1 ,则
a k ? 1 ? a k ? a1 ( ? 1 2 ) ? a1 ( ?
k

1 2

)

k ?1

??

, 2 a k ? 2 ? 2 a1 ( ?

1 2

)

k ?1

??

a1 2
k



∴ a k ?1 ? a k ? 2 a k ? 2 ,因此 a k ,a k ? 2 ,a k ?1 成等差数列, 公差 d k ? a k ? 2 ? a k ? a1 [( ?
1 2 )
k ?1

? (?

1 2

)

k ?1

]?

3 a1 2
k ?1

??????14 分
3 a1 2
k ?1

综上可知,{ a n } 中的任意相邻三项按从小到大排列, 总可以使其成等差数列, d k ? 且 ∵
d n ?1 dn ? 1 2
?1 ?0

,∴数列{dn}为等比数列.
?1 0? ? ? 2 2? ? ?0 ?1 ? ?2 ? ? 1? ? 0 ? 0? ? 0? ? 2?

??????16 分

21.B.MN= ?



………………………………………………4 分

设 ? x , y ? 是曲线 y ? sin x 上的任意一点,在矩阵 MN 变换下对应的点为 ? x ?, y ? ? .
?1 则?2 ? ?0 ? 0 ? ? x ? ? x?? ? ? ? y ? ? y ?? 2? ? ? ? ? 1 ? ? x? ? x, ,所以 ? 2 ? y? ? 2 y, ?
1 2

? x ? 2 x ?, ? 即? 1 ? y ? y ?, ? 2

……………………………8 分

代入 y ? sin x 得:

y ? ? sin 2 x ? ,即 y ? ? 2 sin 2 x ? .

即曲线 y ? sin x 在矩阵 MN 变换下的曲线方程为 y ? 2 sin 2 x .………………10 分 C.解:由 ρ=2cosθ,得 ρ2=2ρcosθ. 所以⊙O1 的直角坐标方程为 x2+y2=2x. 即 (x-1)2+y2=1.(3 分) 由 ρ=2asinθ,得 ρ2=2aρsinθ. 所以⊙O2 的直角坐标方程为 x2+y2=2ay, 即 x2+(y-a)2=a2.(6 分) ⊙O1 与⊙O2 的圆心之间的距离为 12+a2= 5,解得 a=± 2.(10 分) 22. (1)? ? ? | S 3 | 的取值为 1,3,又 p ? q ?
1 2



1 故 P (? ? 1) ? 2 C 3 ( ) ? ( ) 2 ?

1

1

3 4

, P (? ? 3 ) ? ( ) 3 ? ( ) 3 ?
2 2

1

1

1 4


?
P

2

2

所以 ξ 的分布列为:--------------------3 分 且 E ? =1×
3 4

1
3 4

3
1 4

+3×

1 4

=

3 2

; --------------------5 分

(2)当 S8=2 时,即答完 8 题后,回答正确的题数为 5 题,回答错误 的题数是 3 题, 又已知 S i ? 0 ( i ? 1, 2 ,3, 4 ) ,若第一题和第二题回答正确,则其余 6 题可任意答对 3 题;若 第一题和第二题回答错误,第三题回答正确,则后 5 题可任意答对 3 题. 此时的概率为 P
1 5 2 3 30 ? 8 80 80 3 3 ? (C 6 ? C 5 ) ? ( ) ? ( ) ? ? 7 (或 ) 8 3 3 2187 3 3
2

. --------------------10 分

23.解: (Ⅰ)对函数 f ( x ) 求导数: f ?( x ) ? ( x log
? log
2

x ) ? ? [(1 ? x ) log 2 (1 ? x ) ] ?

1 x ? log 2 (1 ? x ). 于是 f ?( ) ? 0 . ln 2 ln 2 2 1 1 当 x ? 时 , f ?( x ) ? log 2 x ? log 2 (1 ? x ) ? 0 , f ( x ) 在区间 ( 0 , ) 是减函数, 2 2 1 1 当 x ? 时 , f ?( x ) ? log 2 x ? log 2 (1 ? x ) ? 0 , f ( x ) 在区间 ( ,1) 是增函数. 2 2 1 1 所以 f ( x ) 在 x ? 时取得最小值, f ( ) ? ? 1 , 2 2 x ? log 2 (1 ? x ) ? ? .
? log
2

1

1

(Ⅱ)证法一:用数学归纳法证明. (i)当 n=1 时,由(Ⅰ)知命题成立. (ii)假定当 n ? k 时命题成立,即若正数 p 1 , p 2 , ? , p 2 满足 p 1 ? p 2 ? ? ? p 2 ? 1 ,
k k

则 p 1 log

2

p 1 ? p 2 log

2

p 2 ? ? ? p 2 k log
k ?1

2

p 2k ? ? k .
k ?1

当 n ? k ? 1 时,若正数 p 1 , p 2 , ? , p 2 满足 p 1 ? p 2 ? ? ? p 2 令 x ? p1 ? p 2 ? ? ? p 2 , q1 ?
k

? 1,

p1

则 q1 , q 2 ,? , q 2
p 1 log

k

x x 为正数,且 q 1 ? q 2 ? ? ? q 2 k ? 1 .
k

, q2 ?

p2

,? , q 2k ?

p 2k x

.

由归纳假定知 q1 log 2 q1 ? p 2 log 2 q 2 ? ? ? q 2 log 2 q 2 ? ? k .
k

2

p 1 ? p 2 log

2

p 2 ? ? ? p 2 k log
2

2

p 2 k ? x ( q 1 log

2

q 1 ? q 2 log

2

q 2 ? ? ? q 2 k log

2

q 2k

? log

2

x ) ? x ( ? k ) ? x log
k

x,


2

同理,由 p 2

?1

? p 2 k ? 2 ? ? ? p 2 k ? 1 ? 1 ? x 可得 p 2 k ? 1 log p 1 ? p 2 log p 2 ? ? ? p 2 k ? 1 log
2

p 2 k ? 1 ? ? ? p 2 k ? 1 log p 2 k ?1

2

p 2 k ?1

? (1 ? x )( ? k ) ? (1 ? x ) log 2 (1 ? x ).



综合①、②两式 p 1 log

2

2

2

? [ x ? (1 ? x )]( ? k ) ? x log

x ? (1 ? x ) log 2 (1 ? x ) ? ? ( k ? 1).

即当 n ? k ? 1 时命题也成立. 根据(i)(ii)可知对一切正整数 n 命题成立. 、 证法二:令函数 g ( x ) ? x log 2 x ? ( c ? x ) log 2 ( c ? x )( 常数 c ? 0 , x ? ( 0 , c )), 那么
g ( x ) ? c[ x c log x
2

? (1 ? x ? 1

x c

c

) log 2 (1 ? c 2

x c

) ? log

2

c ],

利用(Ⅰ)知,当

(即 x ?

)时 , 函数 g ( x ) 取得最小值 .

c 2 对任意 x 1 ? 0 , x 2 ? 0 , 都有

x 1 log

2

x 1 ? x 2 log

2

x2 ? 2 ?

x1 ? x 2

log

x1 ? x 2 2 ( x 1 ? x 2 ) ? 1] . 2
2

① 下面用数学归纳法证明结论. (i)当 n=1 时,由(I)知命题成立. (ii)设当 n=k 时命题成立,即若正数 p 1 , p 2 , ? , p 2 满足 p 1 ? p 2 ? ? ? p 2 ? 1, 有
k k

2 ? ( x 1 ? x 2 )[log

p 1 log

2

p 1 ? p 2 log

2

p 2 ? ? ? p 2 k log

2

p 2k ? ? k .

当 n ? k ? 1时 , p 1 , p 2 , ? , p 2 k ? 1 满足 p 1 ? p 2 ? ? ? p 2 k ? 1 ? 1 . 令 H ? p 1 log
2

p 1 ? p 2 log

2

p 2 ? ? ? p 2 k ? 1 ?1 log
k ?1

2

p 2 k ? 1 ?1 ? p 2 k ? 1 log

2

p 2 k ?1

由①得到 H ? ( p 1 ? p 2 )[log 2 ( p 1 ? p 2 ) ? 1] ? ? ? ( p 2
因为 ( p 1 ? p 2 ) ? ? ? ( p 2 k ? 1 ?1 ? p 2 k ? 1 ) ? 1,

?1

? p 2 k ? 1 )[log

2

( p 2 k ? 1 ?1 ? p 2 k ? 1 ) ? 1],

由归纳法假设
( p 1 ? p 2 ) log 2 ( p 1 ? p 2 ) ? ? ? ( p 2 k ? 1 ?1 ? p 2 k ? 1 ) log 2 ( p 2 k ? 1 ?1 ? p 2 k ? 1 ) ? ? k , 得到

H ? ? k ? ( p 1 ? p 2 ? ? ? p 2 k ? 1 ? 1 ? p 2 k ? 1 ) ? ? ( k ? 1).

即当 n ? k ? 1 时命题也成立. 所以对一切正整数 n 命题成立.

版权所有:高考资源网(www.ks5u.com)


更多相关文档:

江苏省常州中学2012届高三内部模拟试卷(一)

江苏省常州中学2012届高三内部模拟试卷(一) 隐藏>> 2012 江苏数学模拟试卷(一)说明:1. 以下题目的答案请全部填写在答卷纸上; 2. 本卷总分 160 分,考试时间 ...

江苏省常州中学2012届高三内部模拟试卷(一)数学

江苏省常州中学2012届高三内部模拟试卷(一)数学 隐藏>> www.zgxzw.com 中国校长网 2012 江苏数学模拟试卷(一)说明:1. 以下题目的答案请全部填写在答卷纸上; 2...

江苏省常州中学2012届高三内部模拟试卷(二)数学

江苏省常州中学2012届高三内部模拟试卷(二)数学_高三数学_数学_高中教育_教育专区...3 B C , O 是 A D 上一点. (1)若 C D // 平面 P B O ,试确定...

2228-数学 常州中学2012届高三内部模拟试卷(一)数学

2228-数学 常州中学2012届高三内部模拟试卷(一)数学 选填,简要介绍文档的主要内容...2012 江苏数学模拟试卷(一)说明:1. 以下题目的答案请全部填写在答卷纸上; 2....

江苏省常州中学2012届高三数学内部模拟试卷(一)【会员独享】

江苏省常州中学2012届高三数学内部模拟试卷(一)【会员独享】 隐藏>> 2012 江苏数学模拟试卷(一)说明:1. 以下题目的答案请全部填写在答卷纸上; 2. 本卷总分 160...

江苏省常州中学2012届高三数学最后冲刺综合练习试卷 (文)(1)苏教版

1 . n ?1 江苏省常州市常州中学 2011-2012 高三数学(文)最后冲刺综合练习试卷(一) 参考答案: 1、真; 2、 1 m 2 ? 5? ? ? ; 3、5; 4、 ? k?...

江苏省常州中学2012届高三数学最后冲刺综合练习试卷 (文)(4)苏教版

江苏省常州市常州中学 2011-2012 高三数学 (文) 最后冲刺综合练习 试卷(四)一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在题中横...

2012年常州市各学校高三模拟试卷

常州各学校2012年高三模考卷,很有借鉴意义常州各学校2012年高三模考卷,很有借鉴意义隐藏>> 2012 年高三模拟试卷金坛市第四中学 陈红军 一、单项选择题:本题共 5...

江苏省常州中学2012届高考数学下学期模拟考试试题(一)苏教版【会员独享】

江苏省常州高级中学2012届... 12页 免费 江苏省常州中学2012届高三... 暂无评价...2012 江苏数学模拟试卷(一)说明:1. 以下题目的答案请全部填写在答卷纸上; 2...

2012届江苏省常州高级中学 高三英语模拟考试

满分 45 分) 第一节: 江苏常州高级中学高三模拟试题】 项填空( 小题, 第一节:【2012 届·江苏常州高级中学高三模拟试题】单项填空(共 15 小题,每小题 1 ...
更多相关标签:
江苏省高三语文试卷 | 江苏省常州高级中学 | 江苏省常州市 | 江苏省常州技师学院 | 江苏省常州市武进区 | 王露娜 江苏省常州市 | 江苏省常州市邮编 | 江苏省常州市新北区 |
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com