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几何证明选讲学案


《几何证明选讲》学案
第一讲 相似三角形的判定及有关性质
1.平行截割定理 (1)平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. (2)平行线分线段成比例定理 ①定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. ②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 2.相似三角形的

判定与性质 (1)相似三角形的判定定理 ①两角对应相等的两个三角形相似. ②两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似. ③三边对应成比例的两个三角形相似. (2)相似三角形的性质定理 ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. ②相似三角形周长的比等于相似比. ③相似三角形面积的比等于相似比的平方. 3.直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项; 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项. 如图,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边上的高, 则有 CD2=AD· BD,AC2=AD· AB,BC2=BD· AB. 第二讲 1.圆周角定理与圆心角定理 (1)圆周角定理及其推论 ①定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ②推论:(i)推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也 相等. (ii)推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90° 的圆周角所对的弦是直径. (2)圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数. 2.弦切角的性质 弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 直线与圆的位置关系

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3.圆的切线的性质及判定定理 (1)定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)推论: ①推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. ②推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 4.与圆有关的比例线段:圆幂定理 定理 名称 相交 弦定 理 基本图形 条件 结论 应用

弦 AB、CD 相 交于圆内点 P

(1)PA· PB=PC· PD (2)△ACP∽△BDP

(1)在 PA、PB、PC、PD 四线段中知三求一 (2)求弦长及角

割线 定理

PAB、PCD 是 ⊙O 的割线

(1)PA· PB=PC· PD (2)△PAC∽△PDB

(1)求线段 PA、PB、PC、 PD (2)应用相似求 AC、BD

切割 线定 理

PA 切⊙O 于 A, PBC 是⊙O 的割线

(1)PA2=PB· PC (2)△PAB∽△PCA

(1)已知 PA、PB、PC 知二 可求一 (2)求解 AB、AC

切线 长定 理

PA、PB 是⊙O (1)PA=PB 的切线 (2)∠OPA=∠OPB

(1)证线段相等,已知 PA 求 PB (2)求角

5.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)圆内接四边形的性质定理 ①定理 1:圆内接四边形的对角互补. ②定理 2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. (2)圆内接四边形的判定定理及推论 ①判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆. 推论:共底边的两个三角形顶角相等,且在底边同侧,则四点共圆. ②推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.
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【题组一】 1.(2014· 茂名模拟)如图,已知 AB∥EF∥CD,若 AB=4,CD=12, 则 EF=________.

2. (2014· 湛江模拟)如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的中点, BF AE 交于 BC 于 F,则FC=________.

3. 如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4,CD=2.E,F 分别为 AD, BC 上的点,且 EF=3,EF∥AB,则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为 ________.

4. (2013· 陕西卷)如图,AB 与 CD 相交于点 E,过 E 作 BC 的平行 线与 AD 的延长线交于点 P, 已知∠A=∠C,PD=2DA=2,则 PE=________.

5. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90° ,CD⊥AB, E 为 AC 的中点,ED、CB 延长线交于一点 F. 求证:FD2=FB· FC.

6.(2013· 广东卷)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 3,BC=3,BE⊥AC, 垂足为 E,则 ED=________.

7.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC,过点 D 作 AC 的平行 线 DE,交 BA 的延长线于点 E,求证: (1)△ABC≌△DCB; (2)DE· DC=AE· BD.

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【题组二】 1.如图,△ABC 中,∠C=90° ,AB=10,AC=6,以 AC 为直径的圆与斜 边交于点 P,则 BP 长为________.

2. (2014· 广州调研)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,BC 是直径, MN 与⊙O 相切,切点为 A,∠MAB=35° ,则∠D=________.

3.(2013· 天津卷)如图,△ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且 BD∥AC.过点 A 作圆的切 线与 DB 的延长线交于点 E,AD 与 BC 交于点 F.若 AB=AC,AE=6, BD=5,则线段 CF 的长为________.

4.(2012· 广东卷)如图,圆 O 的半径为 1,A,B,C 是圆周上的三点,满足∠ ABC=30° , 过点 A 做圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P, 则 PA=________.

5.(2013· 湖南卷)如图,在半径为 7的⊙O 中,弦 AB,CD 相交于点 P, PA=PB=2,PD=1,则圆心 O 到弦 CD 的距离为________.

6.(2013· 重庆卷)如图,在△ABC 中,∠ACB=90° ,∠A=60° ,AB=20,过 C 作△ABC 的外接圆的切线 CD,BD⊥CD,BD 与外接圆交于点 E,则 DE 的 长为________.

7.如图所示,⊙O 的直径为 6,AB 为⊙O 的直径,C 为圆周上一点,BC=3, 过 C 作圆的切线 l,过 A 作 l 的垂线 AD,AD 分别与直线 l、圆交于 D、E. (1)求∠DAC 的度数; (2)求线段 AE 的长.

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《几何证明选讲》学案
第一讲 相似三角形的判定及有关性质
1.平行截割定理 (1)平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等. (2)平行线分线段成比例定理 ①定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. ②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 2.相似三角形的判定与性质 (1)相似三角形的判定定理 ①两角对应相等的两个三角形相似. ②两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似. ③三边对应成比例的两个三角形相似. (2)相似三角形的性质定理 ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. ②相似三角形周长的比等于相似比. ③相似三角形面积的比等于相似比的平方. 3.直角三角形的射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项; 两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项. 如图,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边上的高, 则有 CD2=AD· BD,AC2=AD· AB,BC2=BD· AB. 第二讲 1.圆周角定理与圆心角定理 (1)圆周角定理及其推论 ①定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. ②推论:(i)推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也 相等. (ii)推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90° 的圆周角所对的弦是直径. (2)圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数. 2.弦切角的性质 弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角. 直线与圆的位置关系

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3.圆的切线的性质及判定定理 (1)定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. (2)推论: ①推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. ②推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 4.与圆有关的比例线段:圆幂定理 定理 名称 相交 弦定 理 基本图形 条件 结论 应用

弦 AB、CD 相 交于圆内点 P

(1)PA· PB=PC· PD (2)△ACP∽△BDP

(1)在 PA、PB、PC、PD 四线段中知三求一 (2)求弦长及角

割线 定理

PAB、PCD 是 ⊙O 的割线

(1)PA· PB=PC· PD (2)△PAC∽△PDB

(1)求线段 PA、PB、PC、 PD (2)应用相似求 AC、BD

切割 线定 理

PA 切⊙O 于 A, PBC 是⊙O 的割线

(1)PA2=PB· PC (2)△PAB∽△PCA

(1)已知 PA、PB、PC 知二 可求一 (2)求解 AB、AC

切线 长定 理

PA、PB 是⊙O (1)PA=PB 的切线 (2)∠OPA=∠OPB

(1)证线段相等,已知 PA 求 PB (2)求角

5.圆内接四边形的性质与判定定理 (1)圆内接四边形的性质定理 ①定理 1:圆内接四边形的对角互补. ②定理 2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角. (2)圆内接四边形的判定定理及推论 ①判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆. 推论:共底边的两个三角形顶角相等,且在底边同侧,则四点共圆. ②推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆.
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【题组一】 1.(2014· 茂名模拟)如图,已知 AB∥EF∥CD,若 AB=4,CD=12, 则 EF=________. 解析 AB BC BC CD 4 ∵AB∥CD∥EF,∴EF=CF,BF= EF ,∴EF= BC BC ,BF BC-BF

12 =EF, BC 12 ∴4(BC-BF)=12BF,∴BC=4BF,∴BF=4=EF,∴EF=3. 2. (2014· 湛江模拟)如图,在△ABC 中,D 是 AC 的中点,E 是 BD 的中点, BF AE 交于 BC 于 F,则FC=________. 解析 如图,过点 D 作 DG∥AF,交 BC 于点 G,易得 FG=GC,

又在△BDG 中,BE=DE,即 EF 为△BDG 的中位线,故 BF=FG, BF 1 因此FC=2. 3. 如图,在梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB=4,CD=2.E,F 分别为 AD, BC 上的点,且 EF=3,EF∥AB,则梯形 ABFE 与梯形 EFCD 的面积比为 ________. 解析 ∴ 如图,延长 AD,BC 交于一点 O,作 OH⊥AB 于点 H. x+h1 x 2 3 = ,得 x=2h1, = ,得 h1=h2. x+h1 3 x+h1+h2 4 1 5 S 梯形 EFCD=2×(2+3)×h1=2h1,

1 7 ∴S 梯形 ABFE=2×(3+4)×h2=2h2, ∴S 梯形 ABFE∶S 梯形 EFCD=7∶5.

4. (2013· 陕西卷)如图,AB 与 CD 相交于点 E,过 E 作 BC 的平行 线与 AD 的延长线交于点 P, 已知∠A=∠C,PD=2DA=2,则 PE=________. 解析 ∵PE∥BC,∴∠C=∠PED, 又∠C=∠A,则有∠A=∠PED,又∠为公共角, PD PE 所以△PDE∽△PEA, PE = PA ,即 PE2=PD· PA=2×3=6,故 PE= 6. 5. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90° ,CD⊥AB, E 为 AC 的中点,ED、CB 延长线交于一点 F. 求证:FD2=FB· FC. 证明 ∵E 是 Rt△ACD 斜边中点,∴ED=EA,∴∠A=∠1,∵∠1=∠2,∴∠2=∠A, ∵∠FDC=∠CDB+∠2=90° +∠2,∠FBD=∠ACB+∠A=90° +∠A,∴∠FBD=∠FDC,
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FB FD ∵∠F 是公共角,∴△FBD∽△FDC,∴FD=FC ,∴FD2=FB· FC. 6.(2013· 广东卷)如图,在矩形 ABCD 中,AB= 3,BC=3,BE⊥AC,垂 足为 E,则 ED=________. 解析 在 Rt△ABC 中,BC=3,AB= 3,所以∠BAC=60° .因为 BE⊥AC,

3 AB= 3,所以 AE= 2 ,在△EAD 中,∠EAD=30° ,AD=3,由余弦定理知,ED2=AE2+AD2 3 3 3 21 21 -2AE· AD· cos∠EAD=4+9-2× 2 ×3× 2 = 4 ,故 ED= 2 . 7.如图,在等腰梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=DC,过点 D 作 AC 的平 行线 DE,交 BA 的延长线于点 E,求证: (1)△ABC≌△DCB; 证明 ∴△ABC≌△DCB. (2)∵△ABC≌△DCB.∴∠ACB=∠DBC,∠ABC=∠DCB. ∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB,∠EAD=∠ABC.∴∠DAC=∠DBC,∠EAD=∠DCB. ∵ED∥AC,∴∠EDA=∠DAC.∴∠EDA=∠DBC,∴△ADE∽△CBD. ∴DE∶BD=AE∶CD.∴DE· DC=AE· BD. (2)DE· DC=AE· BD. (1)∵四边形 ABCD 是等腰梯形, ∴AC=BD.∵AB=DC, BC=CB,

【题组二】 1.如图,△ABC 中,∠C=90° ,AB=10,AC=6,以 AC 为直径的圆与斜 边交于点 P,则 BP 长为________. 解析
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连接 CP.由推论 2 知∠CPA=90° ,即 CP⊥AB,由射影定理知, 答案 6.4

AC =AP· AB.∴AP=3.6,∴BP=AB-AP=6.4.

2. (2014· 广州调研)如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,BC 是直径,MN 与 ⊙O 相切,切点为 A,∠MAB=35° ,则∠D=________. 解析 答案 连接 BD,由题意知,∠ADB=∠MAB=35° ,∠BDC=90° ,故∠ 125° ADC=∠ADB+∠BDC=125° .

3.(2013· 天津卷)如图,△ABC 为圆的内接三角形,BD 为圆的弦,且 BD∥AC.过点 A 作圆的切 线与 DB 的延长线交于点 E,AD 与 BC 交于点 F.若 AB=AC, AE=6,BD=5,则线段 CF 的长为________.
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解析

由切割线定理得 AE2=EB· ED,解得 EB=4.

因为 AB=AC,所以∠ABC=∠ACB=∠ADB. 由弦切角定理得∠EAB=∠EDA,所以∠EAB=∠ABC,则 AE∥BC, 因为 AC∥BD,所以四边形 AEBC 是平行四边形. CA CF CA2 8 所以 AE=BC=6,AC=EB=4,又由题意可得△CAF∽△CBA,所以CB=CA,CF= CB =3. 4.(2012· 广东卷)如图,圆 O 的半径为 1,A,B,C 是圆周上的三点,满足∠ABC=30° ,过点 A 做圆 O 的切线与 OC 的延长线交于点 P,则 PA=________. 解析 连接 AO,AC,因为∠ABC=30° ,所以∠CAP=30° ,∠AOC =60° ,△AOC 为等边三角形,则∠ACP=120° ,∴∠APC=30° ,∴ △ACP 为等腰三角形,且 AC=CP=1,∴PA=2×1×sin 60° = 3. 5.(2013· 湖南卷)如图,在半径为 7的⊙O 中,弦 AB,CD 相交于点 P, PA=PB=2,PD=1,则圆心 O 到弦 CD 的距离为________. 解析 根据相交弦定理求出 PC 的长,过 O 作弦 CD 的垂线. 由相交弦定理得 PA· PB=PC· PD. 又 PA=PB=2,PD=1,则 PC=4,∴CD=PC+PD=5. 过 O 作 CD 的垂线 OE 交 CD 于 E,则 E 为 CD 中点, ∴OE= ?CD? r2-? 2 ?2= ? ? 25 3 7- 4 = 2 .

6.(2013· 重庆卷)如图,在△ABC 中,∠ACB=90° ,∠A=60° ,AB=20, 过 C 作△ABC 的外接圆的切线 CD,BD⊥CD,BD 与外接圆交于点 E, 则 DE 的长为________. 解析 在 Rt△ACB 中,∠ACB=90° ,∠A=60° , ∴∠ABC=30° .∵AB=20,∴AC=10,BC=10 3. ∵CD 为切线, ∴∠BCD=∠A=60° .∵∠BDC=90° , ∴BD=15, CD=5 3. 由切割线定理得 DC2=DE· DB,即(5 3)2=15DE,∴DE=5.

7.如图所示,⊙O 的直径为 6,AB 为⊙O 的直径,C 为圆周上一点,BC=3, 过 C 作圆的切线 l,过 A 作 l 的垂线 AD,AD 分别与直线 l、圆交于 D、E. (1)求∠DAC 的度数; 解 (2)求线段 AE 的长. (1)由已知△ADC 是直角三角形,易知∠CAB=30° ,由于直线 l 与⊙O

相切,由弦切角定理知∠BCF=30° ,由∠DCA+∠ACB+∠BCF=180° , 又∠ACB=90° ,知∠DCA=60° ,故在 Rt△ADC 中,∠DAC=30° . (2)法一 连接 BE,如图(1)所示,∠EAB=60° =∠CBA, 则 Rt△ABE≌Rt△BAC,所以 AE=BC=3.

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法二

连接 EC,OC,如图(2)所示,则由弦切角定理知,

∠DCE=∠CAE=30° ,又∠DCA=60° ,故∠ECA=30° , 又因为∠CAB=30° ,故∠ECA=∠CAB,从而 EC∥AO, 由 OC⊥l,AD⊥l,可得 OC∥AE,故四边形 AOCE 是平行四边形, 又因为 OA=OC,故四边形 AOCE 是菱形,故 AE=AO=3.

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