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广东省东莞中学2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析


广东省东莞中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)不等式 2x ﹣x﹣1>0 的解集是() A.(﹣ ,1) )∪(1,+∞) B.(1,+∞) C.(﹣∞,1)∪(2,+∞) D. (﹣∞, ﹣
2

2. (5 分)在数列{an}中, A. B. C. D.

,则 a5=()

3. (5 分)在△ ABC 中,已知 b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是() A.有一解 B. 有两解 C. 无解 D.有解但解的个数不确定 4. (5 分)若 a,b,c,d∈R,a>b,c>d,则下列不等式成立的是() A.ac>bd B.a >b
2 2

C . c ≥d

2

2

D.a﹣d>b﹣c
2

5. (5 分)已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3?a9=2a5 ,a2=1,则 a1=() A. B. C. D.2

6. (5 分)已知等差数列{an}中,a2=7,a4=15,则前 10 项的和 S10=() A.100 B.210 C.380 D.400 7. (5 分)设 x>y>z,n∈Z,且 A.2 B. 3 C. 4 恒成立,则 n 的最大值是() D.5

8. (5 分)某公司准备进行两种组合投资,稳健型组合投资是由每份金融投资 20 万元,房地 产投资 30 万元组成; 进取型组合投资是由每份金融投资 40 万元, 房地产投资 30 万元组成. 已 知每份稳健型组合投资每年可获利 10 万元,每份进取型组合投资每年可获利 15 万元.若可 作投资用的资金中,金融投资不超过 160 万元,房地产投资不超过 180 万元,要使一年获利 总额最多,则稳健型组合投资与进取型组合,合投资分别注入的份数分别为() A.x=4,y=2 B.x=3,y=3 C.x=5,y=1 D.x=5,y=2

二、填空题:本题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分

9. (5 分)在△ ABC 中,AB=3,BC=

,AC=4,则 A=.

10. (5 分)已知等比数列{an}的各项均为正数,前 n 项之积为 Tn,若 T5=1,则 a3=. 11. (5 分)已知△ ABC 的面积为 ,AC=2,∠BAC=60°,则 BC=.

12. (5 分)已知数列{an}的通项公式 an=

,若它的前 n 项和为 10,则项数 n 为.

13. (5 分)数列{an}中,a3=2,a7=1,且数列{

}是等差数列,则 a11=.

14. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,且 z=x+ay 的最小值为 7,则 a=.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (14 分)△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c (1)在△ ABC 中,a+b= ,A=60°,B=45°,求 a,b; (2)若 a,b,c 成等比数列,且 c=2a,求 cosB 的值. 16. (12 分) (1)若关于 x 的不等式﹣ (2)已知 x,y 都是正数,若 4x+y=6,求 +2x>mx 的解集为{x|0<x<2},求实数 m 的值; 的最小值.

17. (14 分)已知数列 an 的前 n 项和 Sn= (1)求数列{an}的通项公式;

,n∈N+.

(2)若数列 bn 满足:bn= (an+2)?2 ,n∈N+,试求{bn}的前 n 项和公式 Tn.

n

18. (12 分)在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距离 A 为 n mile 的 B 处有一艘 走私船,在 A 处北偏西 75°方向,距离 A 为 2n mile 的 C 处有一艘缉私艇奉命以 n mile/h 的速度追截走私船,此时,走私船正以 10n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜,问缉 私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需时间. (本题解题过程中请不要使用计 算器,以保证数据的相对准确和计算的方便)

19. (14 分)设函数 f(x)=x +2ax+3. (1)关于 x 的不等式 f(x)≥3a﹣1 对一切 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)解关于 x 的不等式 f(x)<1; (3)函数 f(x)在区间[﹣1, ]上有零点,求实数 a 的取值范围.

2

20. (14 分)已知数列{an}的首项 (1)求证:数列 (2)记





为等比数列; ,若 Sn<100,求最大的正整数 n.

(3)是否存在互不相等的正整数 m,s,n,使 m,s,n 成等差数列且 am﹣1,as﹣1,an﹣1 成等比数列,如果存在,请给出证明;如果不存在,请说明理由.

广东省东莞中学 2014-2015 学年高二上学期期中数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. (5 分)不等式 2x ﹣x﹣1>0 的解集是() A.(﹣ ,1) )∪(1,+∞) B.(1,+∞) C.(﹣∞,1)∪(2,+∞) D. (﹣∞, ﹣
2

考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 将不等式的左边分解因式得到相应的方程的根;利用二次方程解集的形式写出解集.

解答: 解:原不等式同解于 (2x+1) (x﹣1)>0 ∴x>1 或 x< 故选:D 点评: 本题考查二次不等式的解法:判断相应的方程是否有根;若有根求出两个根;据二 次不等式解集的形式写出解集.

2. (5 分)在数列{an}中, A. B. C. D.

,则 a5=()

考点: 数列的概念及简单表示法. 专题: 计算题. 分析: 利用递推关系式依次直接求出数列的第五项即可. 解答: 解:在数列{an}中, 所以 a2= ,a3= , , . ,

故选 A. 点评: 本题是基础题,考查数列的递推关系式的应用,考查计算能力. 3. (5 分)在△ ABC 中,已知 b=40,c=20,C=60°,则此三角形的解的情况是() A.有一解 B. 有两解 C. 无解 D.有解但解的个数不确定 考点: 专题: 分析: 解答: 正弦定理. 三角函数的求值. 利用正弦定理列出关系式,将 b,c,sinC 的值代入求出 sinB 的值,即可做出判断. 解:∵在△ ABC 中,b=40,c=20,C=60°, = 得:sinB= = = >1,

∴由正弦定理

则此三角形无解. 故选:C. 点评: 此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关 键. 4. (5 分)若 a,b,c,d∈R,a>b,c>d,则下列不等式成立的是() 2 2 2 2 A.ac>bd B.a >b C . c ≥d D.a﹣d>b﹣c 考点: 不等式的基本性质. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 利用不等式的基本性质即可得出. 解答: 解:∵c>d, ∴﹣d>﹣c, 又∵a>b, ∴a﹣d>b﹣c. 故选:D. 点评: 本题考查了不等式的基本性质,属于基础题. 5. (5 分)已知等比数列{an}的公比为正数,且 a3?a9=2a5 ,a2=1,则 a1=() A. B. C. D.2
2

考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 2 分析: 设等比数列的公比为 q,根据等比数列的通项公式把 a3?a9=2a 5 化简得到关于 q 的方 程,由此数列的公比为正数求出 q 的值,然后根据等比数列的性质,由等比 q 的值和 a2=1 即 可求出 a1 的值. 2 8 4 2 解答: 解:设公比为 q,由已知得 a1q ?a1q =2(a1q ) , 2 即 q =2,又因为等比数列{an}的公比为正数, 所以 q= ,故 a1= .

故选 B. 点评: 此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值,是一道中 档题. 6. (5 分)已知等差数列{an}中,a2=7,a4=15,则前 10 项的和 S10=() A.100 B.210 C.380 D.400 考点: 等差数列的通项公式. 分析: 由第二项和第四项的值可以求出首项和公差, 写出等差数列前 n 项和公式, 代入 n=10 得出结果. 解答: 解:d= ,a1=3,

∴S10=10×3+\frac{10×9×4}{2} =210, 故选 B 点评: 若已知等差数列的两项,则等差数列的所有量都可以求出,只要简单数字运算时不 出错,问题可解. 7. (5 分)设 x>y>z,n∈Z,且 A.2 B. 3 C. 4 恒成立,则 n 的最大值是() D.5

考点: 函数恒成立问题. 专题: 综合题. 分析: 设 x>y>z,n∈N, 由柯西不等式知 要使 只需 恒成立, ,由此能求出 n 的最大值. = ,

解答: 解:设 x>y>z,n∈N, 由柯西不等式知:

= 要使 只需 , 恒成立,

所以 n 的最大值为 4. 故选 C. 点评: 本题考查函数恒成立问题,解题时要认真审题,仔细解答,注意柯西不等式的灵活 运用. 8. (5 分)某公司准备进行两种组合投资,稳健型组合投资是由每份金融投资 20 万元,房地 产投资 30 万元组成; 进取型组合投资是由每份金融投资 40 万元, 房地产投资 30 万元组成. 已 知每份稳健型组合投资每年可获利 10 万元,每份进取型组合投资每年可获利 15 万元.若可 作投资用的资金中,金融投资不超过 160 万元,房地产投资不超过 180 万元,要使一年获利 总额最多,则稳健型组合投资与进取型组合,合投资分别注入的份数分别为() A.x=4,y=2 B.x=3,y=3 C.x=5,y=1 D.x=5,y=2 考点: 简单线性规划的应用. 专题: 不等式的解法及应用.

分析: 设稳健型组合投资与进取型组合投资分别注入 x,y 份,则

,目标

函数 z=10x+15y,求出交点坐标,即可得出结论. 解答: 解:设稳健型组合投资与进取型组合投资分别注入 x,y 份,



,目标函数 z=10x+15y,



,可得 x=4,y=2,

函数在(4,2)处取得最大值, ∴得最优解为 x=4,y=2,∴zmax=70 万元. 故选:A.

点评: 本题考查线性规划知识的运用,考查学生的计算能力,建立不等式组是关键.考查 分析问题解决问题的能力. 二、填空题:本题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 9. (5 分)在△ ABC 中,AB=3,BC= ,AC=4,则 A=60°. 考点: 专题: 分析: 解答: 正弦定理. 解三角形. 利用余弦定理表示出 cosA,把三边长代入求出 cosA 的值,即可确定出 A 的度数. 解:∵在△ ABC 中,AB=c=3,BC=a= ,AC=b=4, = = ,

∴由余弦定理得:cosA=

则 A=60°, 故答案为:60° 点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的 关键. 10. (5 分)已知等比数列{an}的各项均为正数,前 n 项之积为 Tn,若 T5=1,则 a3=1. 考点: 专题: 分析: 解答: 等比数列的性质. 等差数列与等比数列. 由题意和等比数列的性质直接求出 a3 的值. 解:由题意得,T5=1,a1a2a3a4a5=1, ,得 a3=1,

由等比数列的性质得,

故答案为:1. 点评: 本题考查等比数列的性质的灵活应用,属于基础题. 11. (5 分)已知△ ABC 的面积为

,AC=2,∠BAC=60°,则 BC=



考点: 正弦定理. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 先根据面积公式求出 AB,再根据余弦定理求出 BC 的值即可. 解答: 解:根据面积公式△ ABC 的面积 S= AB?ACsin∠BAC= ∴AB=1 又根据余弦定理 BC =AB +AC ﹣2?AB?AC?cos∠BAC=1+4﹣2×1×2× =3 ∴BC= , 故答案为: . 点评: 本题主要考察了余弦定理的应用,属于基本知识的考查. 12. (5 分)已知数列{an}的通项公式 an= ,若它的前 n 项和为 10,则项数 n 为 120.
2 2 2

=



考点: 数列递推式;数列的求和. 专题: 计算题. 分析: 由题意知 an= , 所以 Sn= ( ﹣1,再由 ﹣1=10,可得 n=120. 解答: 解:∵an= = ﹣ ) + ( ﹣ ) + ( ) =

∴Sn=( ﹣ )+( ﹣ )+( ) = ﹣1 ∴ ﹣1=10,解得 n=120 答案:120 点评: 本题考查数列的性质和应用,解题时要认真审题,仔细解答. 13. (5 分)数列{an}中,a3=2,a7=1,且数列{ }是等差数列,则 a11= .

考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 先有条件求得 解答: 解:∵数列{ ∴ + =1,∴ 和 的值,再根据 = , + = = ,且 ,求得 a11 的值. + = ,

}是等差数列,

= ,∴a11 +1= ,∴a11= .

故答案为: . 点评: 本题主要考查等差数列的定义和性质,得到 属于中档题. + = ,是解题的关键,

14. (5 分)设 x,y 满足约束条件

,且 z=x+ay 的最小值为 7,则 a=3.

考点: 简单线性规划. 专题: 计算题;作图题;不等式的解法及应用. 分析: 由题意作出其平面区域,将 z=2x+y 化为 y=﹣2x+z,z 相当于直线 y=﹣2x+z 的纵截 距,由几何意义可得. 解答: 解:由题意作出其平面区域, ∵z=x+ay 的最小值为 7, ∴a>0,且 z=x+ay 的最小值在点 A 取得,

故有



解得,a=3, 故答案为:3.

点评: 本题考查了简单线性规划,作图要细致认真,属于中档题. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. (14 分)△ ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c (1)在△ ABC 中,a+b= ,A=60°,B=45°,求 a,b; (2)若 a,b,c 成等比数列,且 c=2a,求 cosB 的值. 考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 解三角形.

分析: (1)利用正弦定理列出关系式,把 sinA 与 sinB 的值代入表示出 a 与 b 的关系式, 代入已知等式求出 a 与 b 的值即可; (2)由 a,b,c 成等比数列,利用等比数列的性质列出关系式,把 c=2a 代入表示出 b,利用 余弦定理表示出 cosB,把各自的值代入计算即可求出值. 解答: 解: (1)∵在△ ABC 中,a+b= ,A=60°,B=45°, ∴由正弦定理 代入 a+b= + = 得: ( 得: +1)b= + = , ,即 a= b,

解得:a= ,b= ; 2 (2)由题设有:b =ac, 把 c=2a 代入得:b= a, 则 cosB= = = .

点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理是解本题的 关键.

16. (12 分) (1)若关于 x 的不等式﹣ (2)已知 x,y 都是正数,若 4x+y=6,求

+2x>mx 的解集为{x|0<x<2},求实数 m 的值; 的最小值.

考点: 基本不等式;一元二次不等式的解法. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (1)原不等式可变为 x ﹣(4﹣2m)x<0,由题意可得 0,2 是一元二次方程 x ﹣ (4﹣2m)x=0 的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出. (2)利用“乘 1 法”和基本不等式的性质即可得出. 2 解答: 解: (1)原不等式可变为 x ﹣(4﹣2m)x<0, ∵关于 x 的不等式﹣ +2x>mx 的解集为{x|0<x<2},
2 2 2

∴0,2 是一元二次方程 x ﹣(4﹣2m)x=0 的两个实数根, ∴0+2=4﹣2m,解得 m=1, ∴实数 m=1. (2)∵x,y 都是正数,4x+y=6,

=

= ,当且仅当 y=2x=2 时取等号.



的最小值是 . .

点评: 本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系、 “乘 1 法” 和基本不等式的性质,考查了计算能力,属于基础题.

17. (14 分)已知数列 an 的前 n 项和 Sn= (1)求数列{an}的通项公式;

,n∈N+.

(2)若数列 bn 满足:bn= (an+2)?2 ,n∈N+,试求{bn}的前 n 项和公式 Tn.

n

考点: 数列的求和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1)利用“a1=S1,当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1”即可得出. (2)利用“错位相减法”即可得出. 解答: 解: (1)∵Sn= ,n∈N+.

∴a1=S1=1, 当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=3n﹣2, 又 n=1 时,a1=1 也适合, ∴数列{an}的通项公式为 an=3n﹣2. (2)∵bn= (an+2)?2 =n?2 . ∴Tn=1×2+2×2 +3×2 +…+n×2 , 2 3 4 n+1 2Tn=1×2 +2×2 +3×2 +…+n×2 , ∴﹣Tn=2+2 +2 +2 +…2 ﹣n×2
n+1 2 3 4 n n+1 2 3 n n n

=



整理得:Tn=(n﹣1)2 +2. 点评: 本题考查了利用“a1=S1,当 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1”求通项公式、“错位相减法”、等比 数列的前 n 项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 18. (12 分)在海岸 A 处,发现北偏东 45°方向,距离 A 为 n mile 的 B 处有一艘 走私船,在 A 处北偏西 75°方向,距离 A 为 2n mile 的 C 处有一艘缉私艇奉命以 n mile/h 的速度追截走私船,此时,走私船正以 10n mile/h 的速度从 B 处向北偏东 30°方向逃窜,问缉 私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船?并求出所需时间. (本题解题过程中请不要使用计 算器,以保证数据的相对准确和计算的方便)

考点: 解三角形的实际应用. 专题: 计算题;解三角形. 分析: 在△ ABC 中,∠CAB=120°由余弦定理可求得线段 BC 的长度;在△ ABC 中,由正弦 定理,可求得 sin∠ACB;设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船,CD=10 t,BD=10t,在△ ABC 中,可求得∠CBD=120°,再在△ BCD 中,由正弦定理可求得 sin∠BCD,从而可求得缉私艇 行驶方向,在△ BCD 中易判断 BD=BC,由 t= 即可得到追缉时间.

解答: 解:在△ ABC 中,∠CAB=45°+75°=120°, 2 2 2 由余弦定理,得 BC =AB +AC ﹣2AB?ACcos∠CAB = 所以,BC= +2 ﹣2× . = = = , .
2

×2×(﹣ )=6,

在△ ABC 中,由正弦定理,得 所以,sin∠ACB=

又∵0°<∠ACB<60°,∴∠ACB=15°. 设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船,如图, 则有 CD=10 t,BD=10t. 又∠CBD=90°+30°=120°, 在△ BCD 中,由正弦定理,得 sin∠BCD= = = .

∴∠BCD=30°, 又因为∠ACB=15°, 0 所以 180 ﹣(∠BCD+∠ACB+75°)=180°﹣(30°+15°+75°)=60°, 即缉私船沿北偏东 60°方向能最快追上走私船.? 在△ BCD 中,∴∠BCD=30°,∠CBD=90°+30°=120°, ∴∠CDB=30°,∴BD=BC= , 则 t= ,即缉私艇最快追上走私船所需时间 h.

点评: 本题考查余弦定理与正弦定理在解决实际问题中的应用,考查解三角形,考查综合 分析与运算能力,属于难题. 19. (14 分)设函数 f(x)=x +2ax+3. (1)关于 x 的不等式 f(x)≥3a﹣1 对一切 x∈R 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)解关于 x 的不等式 f(x)<1;
2

(3)函数 f(x)在区间[﹣1,

]上有零点,求实数 a 的取值范围.

考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题;分类讨论;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 2 2 分析: (1)x +2ax+3≥3a﹣1 对一切 x∈R 恒成立,即 x +2ax+4﹣3a≥0,x∈R 恒成立,所以 2 (2a) ﹣4(4﹣3a)≤0,解得即可; (2)对判别式讨论大于 0,等于 0,小于 0,再由二次不等式的解法,即可得到; (3)要使函数在[﹣1, ]有零点,只需考虑 a 的符号和对称轴的位置及端点的函数值的符 号以及零点存在定理和运用,列出不等式组,解出即可得到范围. 2 解答: 解: (1)由题意得,x +2ax+3≥3a﹣1 对一切 x∈R 恒成立, 2 即 x +2ax+4﹣3a≥0,x∈R 恒成立, 2 2 所以(2a) ﹣4(4﹣3a)≤0,即 a +3a﹣4≤0, 解得,﹣4≤a≤1, 所以实数 a 的取值范围﹣4≤a≤1; 2 (2)由 f(x)<1,得,x +2ax+3<1, 2 即 x +2ax+2<0, 2 其中△ =4a ﹣8, 2 当△ =4a ﹣8≤0 即﹣ 时,不等式无实数解; 当△ =4a ﹣8>0,即 a 设 则 x1<x<x2, 综上所述,当 当 (3)要使函数 时,不等式无解; ;
2

或 a<﹣

时, ,x2=﹣a



,或△ =4a ﹣12=0,

2

或 解得, ,

,或 a=

, (不合题意)

综上所述,实数 a 的取值范围(﹣∞,﹣

]∪[2,+∞) .

点评: 本题考查二次函数的性质和二次不等式的解法,考查分类讨论的思想方法,考查运 算能力,属于中档题.

20. (14 分)已知数列{an}的首项 (1)求证:数列 (2)记





为等比数列; ,若 Sn<100,求最大的正整数 n.

(3)是否存在互不相等的正整数 m,s,n,使 m,s,n 成等差数列且 am﹣1,as﹣1,an﹣1 成等比数列,如果存在,请给出证明;如果不存在,请说明理由. 考点: 等比关系的确定;数列与不等式的综合;等差数列与等比数列的综合. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)根据 an+1 和 an 关系式进行化简, (2)先由(1)得出数列{ }的通项公式,然后根据分组方法求出 Sn,解不等式 Sn<100 即

可; 2 (3)假设存在正整数 m,s,n,根据等比数列性质得出(am﹣1)?(an﹣1)=(as﹣1) 并 化简,再根据 a+b≥2 ,确定是否存在. 解答: 解: (1)∵ ∵ ∴ ∴数列 ,∴ , 为等比数列. (4 分) ,∴ . (5 分) ,∴ , (3 分) , (2 分)

(2)由(1)可求得

=

, (7 分)

若 Sn<100,则

,∴nmax=99. (9 分)
2

(3)假设存在,则 m+n=2s, (am﹣1)?(an﹣1)=(as﹣1) , (10 分) ∵
m

,∴
n s

. (12 分)

化简得:3 +3 =2?3 , (13 分) ∵ ,当且仅当 m=n 时等号成立. (15 分)

又 m,n,s 互不相等,∴不存在. (16 分) 点评: 本题考查了等比数列的性质、前 n 项和的求法以及不等式的解法,综合性很强,本 题要注意 a+b≥2 运用,本题有一定难度.


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