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等差数列前n项和课件


复习回顾 (1) 等差数列的通项公式: 已知首项a1和公差d,则有: an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有: an=am+ (n-m) d, d=(an-am)/(n-m) (2) 等差数列的性质: 等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N),那么: an+am=ap+aq

泰姬陵坐落于印度古都阿格,是十七世 纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃 所建,她宏伟壮观,纯白大理石砌建而 成的主体建筑叫人心醉神迷,成为世界 七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰,图案 之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案,以相 同大小的圆宝石镶饰而成,共有100层 (见左图),奢靡之程度,可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗?

想一想
每一层有一颗宝石,从第1层到100层总共有 多少颗? 1+2+3+……+99+100?

这个问题,德国著名数学家高斯10岁时曾很快 求出它的结果。(你知道应如何算吗?)
高斯将这100个数分成50组(1+100), (2+99),(3+98),…… ,(50+51), 而每组两数之各都等于101,因此, 1+2+3+……+100=101×50=5050。

此题还可以怎样算?
设1+2+3+……+100=x 那么100+99+98+…… +1=x. 由(1)+(2)得101+101+101+
100个101

(1) (2) +101=2x,

2x=101X100,x=5050

这个问题,可看成是求等差数列 1,2,3,…, n,…的前100项的和。

对等差数列的前n项和公式进行推导

很显然,a1+an=a2+an-1=……
如果利用高斯最初的做法,把第一项与最后 一项结合,第二项与倒数第二项结合,这时 需要讨论数列项数n是奇数还是偶数的问题了, 无法再计算,需要另辟蹊径。

设等差数列{an},Sn为前n项和, Sn=a1+a2+…+an-1+an (1) 若把次序颠倒,Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 由(1)+(2) 得 2sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)+.. 即
即前n项的和与首项末项及项数有关

Sn=n(a1+an)/2

又因为 an= a1+(n-1)d 所以

Sn=na1+n (n-1)d/2

等差数列前n项和公式:

Sn=n(a1+an)/2 Sn=na1+n (n-1)d/2

? ?

【公式记忆】

等差数列的前n项和公式类同于

梯形的面积公式



用梯形面积公式记忆等差数列前n项和公式, 这里对图形进行了割、补两种处理,对应着等差 数列前n项和的两个公式.

n

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例1 某长跑运动员7天里每天的训练量(单位: m)是: , 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500 这位运动员7天共跑了多少米? 解:这位长跑运动员每天的训练量成等差数列, 记为{an}, 其中 a1=7500, a7=10500. 有等差数列前n项和公式?知 Sn=7(a1+a7)/2=63000 答:这位长跑运动员7天共跑了63000m

例2 等差数列-10,-6,-2,2,…前 多少项的和是54?
分析:本题实质是反用公式,解一个关于n 的 一元二次函数,注意得到的项数n 必须是正 整数

解:将题中的等差数列记为{an},sn代表该数列
的前n项和,则有a1=-10, d=-6-(-10)=4

设该数列前n 项和为54
n( n - 1) d 根据等差数列前n项和公式: sn = na1 + 2 n( n - 1) 有 - 10n + ? 4 54成立 2 整理后, 得n2 - 6n - 27 = 0

解得

n1=9, n2 =-3(舍去)

因此等差数列-10,-6,-2,2,...前9项的和 是54. 下一页

例3 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36.
求前16项的和?
分析:可以由等差数列性质,直接代入前n 项和公式

解: 由等差数列的性质可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=(16/2 ) × 18=144 答:前16项的和为144。
已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?

小结:
1.推导等差数列前 n项和公式的方法 ------倒序相加法 2.两个重要的前n项和求和公式 3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量,可以求其余两个,学 会应用


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