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2014届高考数学一轮复习(配最新高考+模拟)第七章不等式单元测试 文 新人教A版


2014 届高考数学(文)一轮复习单元测试 第七章不等式
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1.(2013 年高考北京卷(文 2))设 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则 A. ac ? bc B. ( D. a ? b
3 3



1 1 ? a b

/>C. a ? b
2

2

2、(2013 广东深圳二模)设 0 ? a ? b ? 1 ,则下列不等式成立的是 1 1 A. a 3 ? b3 B. ? C. a b ? 1 a b
x y 3、(2013 年高考福建卷(文))若 2 ? 2 ? 1 ,则 x ? y 的取值范围是

D. lg(b ? a) ? 0 ( )

A. [0,2]

B. [?2,0]

C. [?2,??)

D. (??,?2]

?3x ? y ? 6 ? 0, ? 4、(2013 年高考天津卷(文 2))设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, 则目标函数 z ? y ? 2 x ? y ? 3 ? 0, ?

的最小值为 A.-7 C.1

( B.-4 D.2



5、【北京市朝阳区 2013 届高三上学期期末考试数学文】已知 x ? 0 , y ? 0 ,且 2 x ? y ? 1 ,则 xy 的最大值是 A.

1 4
x

B.

1 8

C. 4 )

D. 8

1-x 6.已知向量 a=(1, ),b=(x-1,1),则|a+b|的最小值是( A.1 B. 2 C. 3 D.2

7、【云南省昆明三中 2013 届高三高考适应性月考(三)文】已知向量 a ? ( x ? z,1), b ? (2, y ? z) ,

? x ? ?1 ? 且 a ? b ,若变量 x , y 满足约束条件 ? y ? x ?3 x ? 2 y ? 5 ?
A.1 B.2

则 z 的最大值为 , C.3 D.4

8 . 【云 南师 大附中 2013 届高 三高 考适 应性 月考 卷( 四) 文】 如果 实数 x, y 满 足 不等 式组

1

? x ? 1, ? 2 2 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x ? y 的最小值是 ? 2 x ? y ? 2 ? 0, ?
A.25 B.5 C.4 D.1

9、(2013 年高考陕西卷(文 14))在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积最大的内接矩 形花园(阴影部分), 则其边长 x 为___(m).

10、(2013广州二模)已知 0 ? a ? 1 , 0 ? x≤y ? 1 ,且 log a x log a y ? 1 ,那么 xy 的取值范围是 A. 0,a 2 ? ?
2

?

B. ? 0,a ?

C. ? 0, ? a

? ?

1? ?

D. ? 0,

? ?

1? ? a2 ?

11. 制作一个面积为 1 m , 形状为直角三角形的铁架框, 有下列四种长度的铁管供选择, 较经济的(够 用,又耗材最少)是( ) A.4.6 m B.4.8 m C.5 m D.5.2 m 12. 【山东省潍坊一中 2013 届高三 12 月月考测试数学文】 定义在 f (M ) = (m, n, p), 其中 M 是 D ABC 内 一 点 , m 、 n 、 p 分 别 是 D M B C、 D MCA 、 D MAB 的 面 积 , 已 知 D ABC 中 ,

骣 1 ? A B? A C 2 3 ,? B A C 3 0 , N ( f) = ? ? 桫 2
A.8 B.9 C.16 D.18

1 4 ,÷ x , y + 的最小值是 ÷ ÷,则 x y

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上)

? x ? 2 y ? 8, ? 13. (2013 年高考湖南 (文 13) ) 若变量 x,y 满足约束条件 ?0 ? x ? 4, 则 x+y 的最大值为________ ?0 ? y ? 3, ?
14、(2013 年高考四川卷(文 13))已知函数 f ( x) ? 4 x ? 则 a ? __________.
2

a ( x ? 0, a ? 0) 在 x ? 3 时取得最小值, x

15、【山东省师大附中 2013 届高三第四次模拟测试 1 月数学文】已知向量 a ? ?x,?2?, b ? ? y,1?,其 中 x , y 都是正实数,若 a ? b ,则 t ? x ? 2 y 的最小值是_______. 16、(2013 安徽安庆三模)若 x1 , x2 是函数 f ( x) ? x 2 ? mx ? 2(m ? R) 的两个零点,且 x1 ? x2 ,则

x2 ? x1 的最小值是

.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(本小题满分 12 分) 【山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试文】已知 a 是实数,试解关于

x 的不等式: x ?

x 2 ? 2x ? a x ?1

18、(本小题满分 10 分)(2013 年高考湖北卷(文)改编)某旅行社租用 A 、 B 两种型号的客车安 排 900 名客人旅行, A 、 B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1600 元/辆和 2400 元/辆,旅行社要求租车总数不超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆.则租金最少为多少元?

19.(本小题满分 12 分) (上海市徐汇、松江、金山 2013 届高三 4 月学习能力诊断数学(文)试题) 某轮船公司的一艘轮船每小时花费的燃料费与轮船航行速度的平方成正比,比例系数为 k .轮船 的最大速度为 15 海里/小时.当船速为 10 海里/小时,它的燃料费是每小时 96 元,其余航行运作 费用(不论速度如何)总计是每小时 150 元.假定运行过程中轮船以速度 v 匀速航行. (1)求 k 的值; (2)求该轮船航行 100 海里的总费用 W (燃料费+航行运作费用)的最小值.

20.(本小题满分 12 分) 【山东省实验中学 2013 届高三第三次诊断性测试文】(本小题满分 12 分) 记 f ( x) ? ax2 ? bx ? c , 若 不 等 式 f ( x) ? 0 的 解 集 为 ( 1 , 3 ) , 试 解 关 于 t 的 不 等 式

f (| t | ?8) ? f (2 ? t 2 ) .

3

21.(本小题满分 12 分) 、已知集合 P ? ? ,2? ,函数 y ? log2 ax2 ? 2 x ? 2 的定义域为 Q ?2 ? (1)若 P ? Q ? ? ,求实数 a 的取值范围。 (2)若方程 log2 ax2 ? 2 x ? 2 ? 2 在 ? ,2? 内有解,求实数 a 的取值范围。 2

?1 ?

?

?

?

?

?1 ? ? ?

22.(本小题满分 12 分)已知函数 y=f(x)=-x +ax +b(a,b∈R). (1)要使 f(x)在(0,2)上单调递增,试求 a 的取值范围; π (2)当 x∈(0,1]时,y=f(x)图象上任意一点处的切线的倾斜角为 θ ,且 0≤θ ≤ ,求 a 的取 4 值范围.

3

2

祥细答案 一、选择题 1、【答案】D 【解析】利用特值法和排除法结合可快速判断,A:由于 C 的正负号不确定,若 C 为零或负数, 不成立,则错误;B:若 a ? 0 ,无意义,错误;C: a ? ?1 , b ? 1 就不满足,错误;答案只能为 D。 另外从函数的单调性的角度亦可快速判断,A 容易排除,BCD 四个选项分别代表了反比例函数,二次 函数,三次幂函数,只有三次幂函数定义域为 R 且在 R 上单调递增。 2、D 3、【答案】D 【解析】本题考查的是均值不等式.因为 1 ? 2x ? 2 y ? 2 2x ? 2 y ,即 2 当且仅当 2 ? 2 ,即 x ? y 时取等号.
x y x? y

? 2?2 ,所以 x ? y ? ?2 ,

4、【答案】A

【解析】由 z ? y ? 2 x 得 y ? 2 x ? z 。作出可行域如图

,平移直线 y ? 2 x ? z ,

由 图 象 可 知 当 直 线 y ? 2x ? z 经 过 点 D 时 , 直 线 y ? 2x ? z 的 截 距 最 小 , 此 时 z 最 小 , 由

4

?x ? y ? 2 ? 0 ?x ? 5 ,得 ? ,即 D (5,3) 代入 z ? y ? 2 x 得 z ? 3 ? 2 ? 5 ? ?7 ,选 A. ? ?y ? 3 ? 0 ?y ? 3

5、【答案】B 【解析】因为 2x ? y ? 1 ? 2 2xy ,所以 xy ? 所以选 B. 6、答案 B 1 解析 a+b=(x, ),

1 1 1 1 ,当且仅当 2 x ? y ? ,即 x ? , y ? 取等号, 8 2 4 2

x

|a+b|= 7、【答案】C

x2+ 2≥ 2;|a+b|min= 2. x

1

【解析】因为 a ? b ,所以 a b ? 0 ,即 2( x ? z ) ? y ? z ? 0 ,得 z ? 2 x ? y ,即 y ? ?2 x ? z ,做 出可行域,作直线 y ? ?2 x ? z ,平移直线 y ? ?2 x ? z ,由图象可知当直线 y ? ?2 x ? z 经过点 F 时,直线 y ? ?2 x ? z 的截距最大,此时 z 最大。由 ?

?y ? x ?x ? 1 得? ,即 F (1,1) ,代入 ?3x ? 2 y ? 5 ? y ? 1

z ? 2 x ? y 得 z ? 3 ,所以 z 的最大值为 3,选 C.

8、【答案】B
? x ≥ 1, ? 【解析】在直角坐标系中画出不等式组 ? x ? y ? 1 ≤ 0, 所表示的平面区域如图 1 所示的阴影部分, ?2 x ? y ? 2 ≤ 0 ?

x2+y2 的最小值即表示阴影部分(包含边界)中的点到原点的距离的最小值的平
方,由图可知直线 x? y+1=0 与直线 x=1 的交点(1,2)到原点最近,故 x +y 的最小值为 1 +2 =5. 选
2 2 2 2

5

B. 9、【答案】20 【解析】 利用均值不等式解决应用问题。设矩形高为 y, 由三角形相似得:

x 40 ? y ? , 且x ? 0, y ? 0, x ? 40, y ? 40 40 40

? 40 ? x ? y ? 2 xy , 仅当x ? y ? 20时,矩形的面积 s ? xy取最大值400.
10、A 11、答案 C 2 解析 令一直角边长为 a, 则另一直角边长为 , 斜边长为

a

a2+ 2, 周长 l=a+ + a a

4

2

a2+ 2 a

4

2 ≥2 2+2>4.8,当且 a= 时取等号.

a

12、【答案】D

1 , S ?NAB ? x, S ?NAC ? y , 由 AB ?AC 2 3 , 得 2 1 1 1 ? ? 1 , ,所以 A B AcC o s 3 ?0 2 即3A B A C? 4 , 所 以 S?ABC ? AB AC s i n 3 0 ? ? 4 2 2 2 1 1 4 1 4 2 y 8x x ? y ? ,即 2 x ?2 y ?1 。所以 + = ( + )(2 x + 2 y) = 10 + + ? 10 2 16 = 18 , 2 x y x y x y 1 1 1 4 2 y 8x = 当且仅当 ,即 y ? 2 x 取等号,解得 x ? , y ? ,所以 + 的最小值为 18,选 D. 6 3 x y x y
【 解 析 】 由 定 义 可 知 S ?NBC ? 二、填空题 13、【答案】6 【命题立意】本题考查线性规划的应用。设 z ? x ? y ,则 y ? ? x ? z 。作出可行域如图

。平移直线 y ? ? x ? z ,由图象可知当直线 y ? ? x ? z 经过点 A 时,

6

直线 y ? ? x ? z 的截距最大,此时 z 最大。由 ? 得 z ? 4? 2 ? 6. 14、【答案】36 【解析】 解法一: f ( x ) ? 4 x ? 所以 a ? 4 ? 3 ? 36 ,故填 36.
2

?x ? 2 y ? 8 ?x ? 4 ,得 ? ,即 A(4,2) ,代入 z ? x ? y , ?x ? 4 ?y ? 2

a a a 2 即 a ? 4 x 时取等号), ? 4 x ? ? 4 a (当且仅当 4 x ? , x x x

15、【答案】4 【解析】因为 a ? b ,所以 a b ? ? x, ?2 ? ? y,1? ? 0 ,即 xy ? 2 。又 t ? x ? 2 y ? 2 2xy ? 4 ,所以

t ? x ? 2 y 的最小值是 4.
16、

三、解答题 17、解:原不等式同解为 ?

?( x ? a)(x ? 1) ? 0 ?x ? 1

当 a ? ?1 时,原不等式的解集为 (??,?a] ? (1,??),

{x | x ? 1,x ? R} 当 a ? ?1 时,原不等式的解集为
当 a ? ?1 时,原不等式的解集为 (??,1) ? [?a,??), 18 、【解析】本题考查线性规划的实际应用。设 A 、 B 两种车辆的数量为 x, y ,则由题意知

?36 x ? 60 y ? 900 ? , 则 所 求 的 租 金 z ? 1600 x ? 2400 y 。 作 出 可 行 域 如 图 ? x ? y ? 21 ?y ? x ? 7 ?

x? , 由 z ?1 6 0 0

2 z 2 4 0y0 得, y ?? x? ,平移直线 3 2400

7

2 z 2 z 2 z y ?? x? ,由图象可知当直线 y ? ? x ? 经过点 C 时, y ? ? x ? 的截 3 2400 3 2400 3 2400
距最小,此时 z 最小。由 ?

?36 x ? 60 y ? 900 ?x ? 5 ,解得 ? , 即 C( 5 , 1 2 ,) 代入 ?y ? x ? 7 ? y ? 12

z ?1 6 0 0 x?

得0z ? 1600 ? 5 ? 2400 ?12 ? 36800 ,选 C. 24y 0

19、解:(1)由题意得燃料费 W1 ? kv ,
2

把 v =10, W1 ? 96 代入得 k =0.96
2 (2) W ? 0.96v ?

100 100 ?150 ? , v v

= 96v ?

15000 ? 2 1440000 ? 2400 , v
15000 时成立,解得 v ? v

其中等号当且仅当 96v ?

15000 ? 12.5 ? 15 , 96

所以,该轮船航行 100 海里的总费用 W 的最小值为 2400 (元) 20、【解析】由题意知 f ( x) ? a( x ? x1 )(? x2 ) ? a( x ?1)(x ? 3) . 且 a ? 0 故二次函数在区间 [2,??) 上是增函数.又因为 8? | t |? 8,2 ? t 2 ? 2 , 故由二次函数的单调性知不等式 f (| t | ?8) ? f (2 ? t 2 ) 等价于 8? | t |? 2 ? t 2 即 | t | ? | t | ?6 ? 0
2

故 | t |? 3 即不等的解为: ? 3 ? t ? 3 .
2 21、解:(1)若 P ? Q ? ? ,? ax ? 2 x ? 2 ? 0 在 ? ,2? 内有有解? a ? ? 2 ? x x ?2 ?

?1 ?

2

2

2 2 1 ?1 1? 令 u ? ? 2 ? ? ?2? ? ? ? x 2 x ? x 2?

2

当 x ? ? ,2? 时, u ? ?? 4, ? 2 2

?1 ? ? ?

? ?

1? ?

所以 a>-4,所以 a 的取值范围是 a a ? ?4

?

?
2

2 (2)方程 log2 ax ? 2 x ? 2 ? 2 在 ? ,2? 内有解, 则 ax ? 2 x ? 2 ? 0 在 ? ,2? 内有解。 2 2

?

?

?1 ? ? ?

?1 ? ? ?

?a ?

2 2 ?1 1? 1 ? ? 2? ? ? ? 2 x x ? x 2? 2
8

2

当 x ? ? ,2? 时, a ? ? ,12? 2 2 所以 a ? ? ,12? 时, log2 ax2 ? 2 x ? 2 ? 2 在 ? ,2? 内有解 2 2 22、 解析 (1)f′(x)=-3x +2ax, 要使 f(x)在(0,2)上单调递增, 则 f′(x)≥0 在(0,2)上恒成立, ∵f′(x)是开口向下的抛物线, ∴?
?f ? ? ?f
2

?1 ? ? ? ?3 ?

?3 ?

? ?

? ?

?

?

?1 ? ? ?

=-12+4a≥0

,∴a≥3.

π 2 (2)∵0≤θ ≤ ,∴tanθ =-3x +2ax∈[0,1]. 4 2 据题意 0≤-3x +2ax≤1 在(0,1]上恒成立, 3 3 2 由-3x +2ax≥0,得 a≥ x,a≥ , 2 2 3 1 2 由-3x +2ax≤1,得 a≤ x+ . 2 2x 3 1 3 又 x+ ≥ 3(当且仅当 x= 时取“=”), 2 2x 3 ∴a≤ 3. 3 综上,a 的取值范围是 ≤a≤ 3. 2

9


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