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高三数学文科应用题典例分析


桃源一中 2012 届高三数学文科应用题典例分析
一.二次函数类型 例 1: 某人定制了一批地砖. 每块地砖 (如图 1 所示) 是边长为 0 .4 米的正方形 ABCD , 点 E、 F 分别在边 BC 和 CD 上, △ CFE 、△ ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制成,制成△ CFE 、 △ ABE 和四边形 AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为

3:2:1. 若将此种地砖 按图 2 所示的形式铺设,能使中间的深色阴影部分成四边形 EFGH . (1) 求证:四边形 EFGH 是正方形; (2) E、F 在什么位置时,定制这批地砖所需的材料费用最省?

图1

图2

[证明] (1) 图 2 是由四块图 1 所示地砖绕点 C 按顺时针旋转 90 ? 后得到, △ CFE 为等腰直角 三角形, ? 四边形 EFGH 是正方形. [解] (2) 设 CE ? x ,则 BE ? 0.4 ? x ,每块地砖的费用 为 W ,制成△ CFE 、△ ABE 和四边形 AEFD 三种材料的每平方米价格依 次为 3a、2a、a (元),

W?

1 2 1 1 1 ? ? x ? 3a ? ? 0.4 ? (0.4 ? x) ? 2a ? ?0.16 ? x 2 ? ? 0.4 ? (0.4 ? x)? a 2 2 2 2 ? ?

? a x 2 ? 0.2x ? 0.24
2

0 ? x ? 0.4 . 由 a ? 0 ,当 x ? 0.1 时, W 有最小值,即总费用为最省. 答:当 CE ? CF ? 0.1 米时,总费用最省

? ? a?( x ? 0.1)

? ? 0.23? ,

图 2

例 2:某民营企业生产 A、B 两种产品,根据市场调查与预测,A 产品的利润与投资成正比, 其关系如图甲,B 产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图乙(注:利润与投资 单位:万元).

1

甲 乙 (1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资 x (万元)的函数关系式; (2)该企业已筹集到 10 万元资金,并全部投入 A、B 两种产品的生产,问:怎样分配这 10 万元投资,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少万元? 解答:(1) 设投资为 x 万元,A 产品的利润为 f(x)万元,B 产品的利润为 g(x)万元 由题设 f ( x) ? k1 x, g ( x) ? k 2 x

1 1 5 5 ,故 k1= 又 g ( 4) ? ,? k 2 ? 4 4 2 4 1 5 x ( x ? 0) ———————————————7 分 从而 f ( x) ? x( x ? 0), g ( x) ? 4 4
由图知 f(1)= (2) 设 A 产品投入 x 万元,则 B 产品投入 10-x 万元,设企业利润为 y 万元

y ? f ( x) ? g (10 ? x) ?
令 t ? 10 ? x 则 y ? 当t ?

1 5 x? 10 ? x (0 ? x ? 10) 4 4

10 ? t 2 5 1 5 65 ? t ? ? (t ? ) 2 ? (0 ? t ? 10) 4 4 4 2 16

5 65 时, y max ? , 此时 x ? 3.75 2 16
65 万元 16

答: 当 A 产品投入 3.75 万元,则 B 产品投入 6.25 万元,企业最大利润为

2

二.线性规划
例 3.制定投资计划时,不仅要考虑可能获得的盈利,而且要考虑可能出现的亏损. 某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率分别为 100﹪ 和 50﹪, 可能的最大亏损率分别为 30﹪和 10﹪. 投资人计划投资金额不超过 10 万元, 要求 确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元,才能使 可能的盈利最大? 解:设投资人分别用 x 万元、y 万元投资甲、乙两个项目.

? x ? y ? 10, ?0.3x ? 0.1y ? 1.8, ? 由题意知 ? ? x ? 0, ? ? y ? 0.
目标函数 z=x+0.5y. 上述不等式组表示的平面区域如图所示,阴影部分(含边界)即可行域. 作直线 l0 : x ? 0.5 y ? 0 ,并作平行于直线 l 0 的一组直线 x ? 0.5 y ? z, z ? R, 与可行域相交,其中有一条直线经过可行域上的 M 点,且 与直线 x ? 0.5 y ? 0 的距离最大,这里 M 点是直线 x ? y ? 10 和 0.3x ? 0.1y ? 1.8 的交点. 解方程组 ?

此时 z ? 1 ? 4 ? 0.5 ? 6 ? 7 (万元). ?7 ? 0 ? 当 x=4,y=6 时 z 取得最大值. 答:投资人用 4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目,才能在确保亏损不超过 1.8 万元 的前提下,使可能的盈利最大.

? x ? y ? 10, 得 x=4,y=6 ?0.3x ? 0.1y ? 1.8,

练习

?x ? 4 y ? 3 ? 0 ? x y (1).若实数 x,y 满足不等式组 ?3 x ? 5 y ? 25 ? 0 ,目标函数 z=4 ·2 的最小值为 2,则实 ?x ? a ? 0 ?
数 a=______________________.

?x ? y ? 4 ? 0 x ? 2y ? (2).已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0 则 f(x,y)= 的范围是_______ 2x ? y ?2 x ? y ? 5 ? 0 ?
3

(3).某小型工厂安排甲乙两种产品的生产,已知工厂生产甲乙两种产品每吨所需要的原材料 A、B、C 的数量和一周内可用资源数量如下表所示: 原材料 甲(吨) 乙(吨) 资源数量(吨) A 1 1 50 B 4 0 160 C 2 5 200 如果甲产品每吨的利润为 300 元,乙产品每吨的利润为 200 元,那么应如何安排生产,工厂 每周才可获 得最大利润?

解 设工厂一周内安排生产甲产品 x 吨、乙产品 y 吨,所获周利润为 z 元. 依据题意,得目标函数为 z ? 300 x ? 200 y , 4分 约束条件为

2分

? x ? y ? 50 ?4 x ? 160 ? ? ?2 x ? 5 y ? 200 . ?y ? 0 ? ? ?x ? 0 欲求目标函数 z ? 300 x ? 200 y 的最大值.

8分

0)、B(40, 10)、C ( 先画出约束条件的可行域,求得有关点 A(40,

50 100 , )、D(0, 40) , 3 3

如图阴影部分所示. 将直线 300 x ? 200 y ? 0 向上平移, 可以发现, 经过可行域的点 B 时, 函数 z ? 300 x ? 200 y 的值最大(也可通过代凸多边形端点进行计算,比较大小求得),最大值为 14000(元). 11 分 所以工厂每周生产甲产品 40 吨,乙产品 10 吨时,工厂可获得的周利润最大(14000 元).12 分

4

三:基本不等式 例 4:某厂家拟在 2009 年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产

(m ? 0)万元满足 x ? 3 ? 量)x 万件与年促销费用 m

k ( k 为常数) , 如果不搞促销活动, m ?1

则该产品的年销售量是 1 万件. 已知 2009 年生产该产品的固定投入为 8 万元,每生产 1 万 件该产品需要再投入 16 万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用) . (1)将 2009 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数; (2)该厂家 2009 年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大? 解:当 m ? 0 时, x ? 1 ,∴ 1 ? 3 ? k 即 k ? 2 ,

2 8 ? 16 x ,每件产品的销售价格为 1.5 ? 元. m ?1 x 8 ? 16 x ] ? (8 ? 16 x ? m ) ∴2009 年的利润 y ? x[1.5 ? x 2 16 ? 4 ? 8 x ? m ? 4 ? 8(3 ? ) ? m ? ?[ ? ( m ? 1)] ? 29( m ? 0) ……8 分 m ?1 m ?1 16 ? (m ? 1) ? 2 16 ? 8 . (2)∵ m ? 0 时, m ?1 16 ? m ? 1 ,即 m ? 3 时, ymax ? 21 .………………15 分 ∴ y ? ?8 ? 29 ? 21 ,当且仅当 m ?1
∴ x ? 3? 答:该厂家 2009 年的促销费用投入 3 万元时,厂家的利润最大,最大为 21 万元.

例 5:2010 年至 2011 年为了响应国家号召,稳定物价,打击投机炒房行为,某地政府决定 分批建设保障房供给社会,首批计划用 100 万购得一块土地,可建造每层 1000 平方米的楼 房,楼房每平米的建筑费用与建筑高度有关,楼房每升高一层,整层楼每平方米的建筑费用 提高 20 元,已知建筑第 5 层楼房时,每平米建筑费用为 800 元。 (1) 若建筑第 x 层时, 该楼的综合费用为 y 元 (综合费用为建筑费用与购地费用之和) , 写出 y=f(x)的表达式; (2)为了使每平方米的平均综合费用最低,应把楼房建成几层?此时平均综合费用为 每平方米多少元?

5

练习 (1) .某企业投入 81 万元经销某产品,经销时间共 60 个月,市场调研表明,该企业在经销

?1 ( 1 ? x ? 20, x ? N *) ? 这个产品期间第 x 个月的利润 f(x)= ? 1 (单位:万元) ,为了获 * x (21 ? x ? 60, x ? N ) ? ?10
得更多的利润, 企业将每月获得的利润投入到次月的经营中, 证第 x 个月的当月利润率 g(x)=

第x个月的利润 f (3) ,例如:g(3)= 第x个月前的资金总和 81+f(1)+f(2)
(1)求 g(10) (2)求第 x 个月的当月利润率 g(x) (3)该企业经销比产品期间,哪个月的当月利润率最大,并求该月的当月利润率

(2) .某工厂去年某产品的年产量为 100 万只,每只的销售价为 10 元,固定成本为 8 元, 今年工厂第一次投入 100 万(科技成本) ,并计划以后每年比上一年多投入 100 万元(科技 成本) , 预计平量年递增 10 万只, 第 n 次投入后, 每只产品的固定成本为 g(n)=

k (K>0, n ?1

k 为常数,n ? z,n ? 0) ,若产品售价不变,第 n 次投入后的年利润为 f(n)万元. (1)求 k 的值,并求出 f(x)的表达式; (2)问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元? (利润=销售额-固定成本-科技成本) 四.函数求导型

6

例 6:为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的房顶和外墙需要建造隔热层,某 幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元,该建筑物每 年的能源消耗费用为 C (单位: 万元) 与隔热层厚度 x (单位: cm) 满足关系: C (x) =

k 3x ? 5

(0 ? x ? 10) ,若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元。设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和。 (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值。

解:(1)设隔热层厚度为 xcm,由题设,每年能源消耗费用为 C(x)= 再由 C(0)=8,得 k=40,因此 C(x)=

k , 3x ? 5

40 , 而建造费用为 C1(x)=6x. 3x ? 5

最后得隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和为 f(x)=20C(x)+ C1(x)= 20 ? (2) f '( x) ? 6 ? 解得 x=5,x= ?

40 800 ? 6x ? ? 6 x(0 ? x ? 10) 3x ? 5 3x ? 5

2400 2400 , 令 f '( x) ? 0 即 ?6 2 (3x ? 5) (3x ? 5)2

25 (舍去) 3 800 ? 70. 15 ? 5

当 0<x<5 时,f ’(x)<0,当 5<x<10 时 f ’(x)>0,故 x=5 是 f(x)的最小值点,对应的最小值为

f (5) ? 6 ? 5 ?

当隔热层修建 5cm 厚时,总费用达到最小值 70 万元。 例 7.如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 是一超市的外型,大门设在 AB 的中点处,BC=BB1 =

1 AB , 在 BC 处有一地下仓库, 在顶棚 D1 处设立经理办公室, 现在要在正面墙壁 A1B1BA 2

上安装一个音响设备 P,使 P 到 BC 的距离等于 P 到 A1B1 的距离,同时在经理室听到的声 音最响,问音响设备应安装在何处?

7

练习: (1)

8

x (2)求函数 f ( x) ? e ( x ? 1) 的切线与坐标轴围成的三角形面积的最大值.

解:∵过函数图象上任意一点 (t , e ) 的切线方程是 y ? e ? e ( x ? t )
t t t

(t ? 1) ,………3 分

∴切线在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 t ? 1 , e (1 ? t ) .
t

∴切线与坐标轴围成的三角形面积 s (t ) ?

1 t e (1 ? t ) 2 2

(t ? 1) .……………………5

1 s? (t ) ? et (t 2 ? 1) (t ? 1) ,由 s?(t ) ? 0 得 t ? ?1 .………………………………8 分 2 ?当 t ? ?1 时, s? (t ) ? 0 , s (t ) 为增函数;当 ?1 ? t ? 1时, s?(t ) ? 0 , s (t ) 为减函数.
t ? 1 , s (?1) ?

2 , s(1) ? 0 e
x

所以函数 f ( x) ? e ( x ? 1) 的切线与坐标轴围成的三角形面积的最大值为

2 .…12 分 e

五.三角函数类型 例 8、 某地有三家工厂, 分别位于矩形 ABCD 的顶点 A, B, 及 CD 的中点 P 处, 已知 AB ? 20 km, AD ? 10km ,为了处理三家工厂的污水,现要在矩形 ABCD 的区域上(含边界) ,且 A,B 与 等距离的一点 O 处建造一个污水处理厂,并铺设排污管道 AO,BO,OP,设排污管道的总长 为 ykm。
9

(I)按下列要求写出函数关系式: ① 设 ?BAO ? ? (rad ) , 将 y 表示成 ? 的函数关系式; ② 设 OP ? x(km) ,将 y 表示成 x 的函数关系式。 (II)请你选用(I)中的一个函数关系式,确定污水处理 厂的位置,使三条排水管道总长度最短。 【解析】本小题考查函数最值的应用。 (I)①由条件可知 PQ 垂直平分 AB, ?BAO ? ? (rad ) ,则 OA ? 故 OB ?

AQ 10 ? COS ?BAO COS?

10 ,又 OP ? 10 ? 10 tan ? ,所以 COS? 10 10 20 ? 10sin ? ? y ? OA ? OB ? OP ? ? ? 10 ? 10 tan ? ? ? 10(0 ? ? ? ) 。 COS? COS? cos ? 4
(10 ? x) 2 ? 102 ? x 2 ? 20 x ? 200 ,

② OP ? x(km) ,则 OQ ? 10 ? x ,所以 OA ? OB ?

所以所求的函数关系式为 y ? x ? 2 x 2 ? 20 x ? 200(0 ? x ? 10) 。 (II) 选择函数模型①。

y? ?

?10cos 2 ? ? (20 ? 10sin ? )(? sin ? ) 10(2sin ? ? 1) ? 。 cos 2 ? cos 2 ?
1 ? ? ,又 0 ? ? ? ,所以 ? ? 。 2 4 6

令 y? ? 0 得 sin ? ? 当0 ?? ?

?
6

时, y? ? 0 , y 是 ? 的减函数;

?

6

?? ?

?
4

时, y? ? 0 , y 是 ? 的增函数。

所以当 ? ?

?
6

时 ymin ? 10 3 ?10 。当 P 位于线段 AB 的中垂线上且距离 AB 边

10 3 km 处。 3

例 9.如图,海岛 O 上有一座海拔 1 千米的山,山顶上设有一个观察站 A(即 OA=1 千米且 OA⊥平面 COB) ,上午 11 时测得一轮船在岛北偏东 60?的 C 处,俯角为 30?,11 时 10 分 又测得该船在岛北偏西 60?的 B 处,俯角为 60?. (1)该船的速度为每小时多少千米? (2)若该船不改变航向继续前进到 D 处,测得∠CDO 的正弦值为 的距离为多少千米? A C

13 ,问此时 D O 13

B D O

10

(1)在 RtΔ ABO 中,∵∠ABO=60?,AO=1,∴BO=

3 , 3

在 RtΔ ACO 中,∵∠ACO=30?,AO=1,∴OC= 3 , 在Δ BOC 中,∵∠BOC=120?, ∴BC= OC 2 ? BO2 ? 2OC ? BOcos1200 = ∵t=

13 39 ? 3 3

1 6



BC ? 2 39 (km/h) t

答:该船的速度为每小时 2 39 千米. (2)设∠CBO=α ,在Δ BOC 中, ∵

sin ? 3

?

sin 1200 39 3

∴sinα =

3 39 26

在Δ BDO 中,∵

DO BO ? sin(? ? ? ) sin ?CDO

∴DO=1.5(km)

练习 (1)为了测量河对岸建筑物 AB 的高度,在地面上选择距离为 a 的两点 C、D,并使 D、C、 B 三点在地面上共线,从 D、C 两点测得建筑物的顶点 A 的仰角分别是 ? , ? ( ? ? ? ) ,则

该建筑物 AB 的高为(A ) A.

a sin ? sin ? sin(? ? ? ) a sin ? sin ? sin(? ? ? )

B.

a sin ? sin ? cos(? ? ? ) a cos? cos ? cos(? ? ? )

C.

D.

(2)如图,某城市的电视发射塔 CD 建在市郊的小山上,小山的高为 35 米,在地面上有一 点 A,测得 A,C 间的距离为 91 米,从 A 观测电视发射塔的视角

(?CAD)为45? ,则这座电视发射塔的高度为_________米。169

11

(3)某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形 ABC 的三个顶点处,已知 AB=AC=6km, 现计划在 BC 边的高 AO 上一点 P 处建造一个变电站.记 P 到三个村庄的距离之和为 y. (1)设 ?PBO ? ? ,求 y 关于 ? 的函数关系式; (2)变电站建于何处时,它到三个小区的距离之和最小? (1)在 Rt?AOB 中, AB ? 6 , 所以 OB =OA= 3 2 , ?ABC ? π , 4 由题意知, 0 ? ? ? π . 4 ……………2 分 B
(第 18 题图)

A P C

所以点 P 到 A,B,C 的距离之和为 3 2 2 ? sin ? y ? 2 PB ? PA ? 2 ? ? (3 2 ? 3 2 tan ? ) ? 3 2 ? 3 2 ? cos ? cos ? . 故所求函数关系式为 y ? 3 2 ? 3 2 ? 2 ? sin ? 0 ? ? ? π . cos ? 4

O

?

?

………………………6 分

(2)由(1)得 y? ? 3 2 ? 当0 ?? ?

1 π 2sin ? ? 1 ,令 y ? ? 0 ,即 sin ? ? ,又 0 ? ? ? π ,从而 ? ? . 2 4 2 6 cos ?

π π π 时, y ? ? 0 ;当 ? ? ? 时, y ? ? 0 . 6 6 4 π 2 ? sin ? 时, y ? 4 ? 3 2 ? 取得最小值, 6 cos ?
…………………… 10 分

所以当 ? ?

此时 OP ? 3 2 tan

π ,即点 P 在 OA 上距 O 点 6 km 处. ? 6 (km) 6
……………12 分

答:变电站建于距 O 点 6 km 处时,它到三个小区的距离之和最小. 答:此时 D O 的距离为 1.5 千米.

(4)如图所示:一吊灯的下圆环直径为 4m,圆心为 O,通过细绳悬挂在天花板上,圆环呈 水平状态,并且与天花板的距离 (即OB) 为 2m,在圆环上设置三个等分点 A1,A2,A3。点 C 为 OB 上一点(不包含端点 O、B) ,同时点 C 与点 A1,A2,A3,B 均用细绳相连接,且 细绳 CA1,CA2,CA3 的长度相等。设细绳的总长为 ym。 (1)设∠CA1O = ? (rad),将 y 表示成 θ 的函数关系式; (2)请你设计 ? ,当角θ 正弦值的大小是多少时,细绳总长 y 最小,并指明此时 BC 应为 多长。 B C A1 A3 O A2 (1)在 Rt △COA1 中,

12

CA1 ?

2 , CO ? 2 tan ? , ………2 分 cos ? 2 y ? 3CA1 ? CB ? 3 ? ? 2 ? 2 tan ? = cos ? 2(3 ? sin ? ) ? ? 2 (0 ?? ? ) cos ? 4
/

B C A1 A3 O A2

(2) y ? 2

? cos ? ? (3 ? sin ? )(? sin ? ) 3 sin ? ? 1 ?2 , 2 cos ? cos2 ?
2

令 y ? ? 0 ,则 sin ? ? 当 sin ? ?

1 3

1 1 时, y ? ? 0 ; sin ? ? 时, y ? ? 0 , 3 3

∵ y ? sin ? 在 [0,

?

4

] 上是增函数

∴当角 ? 满足 sin ? ?

1 2 时,y 最小,最小为 4 2 ? 2 ;此时 BC ? 2 ? m 3 2

六.分段函数类型 例 10: 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上 的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达 到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0;当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速 度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式; (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到 1 辆/小时) 【解答】 (1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b. 1 a=- , ? 3 ?200a+b=0, 再由已知得? 解得 200 ?20a+b=60, ? b= . 3

? ? ?

故函数 v(x)的表达式为 60, 0≤x<20, ? ? v(x)=?1 ?3?200-x?, 20≤x≤200. ? (2)依题意并由(1)可得 60x, 0≤x<20, ? ? f(x)=?1 ? ?3x?200-x?, 20≤x≤200. 当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1200; 1 1 x+?200-x??2 10000 当 20≤x≤200 时,f(x)= x(200-x)≤ ? 3 3? 2 ?= 3 . 当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立. 10000 所以,当 x=100 时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值 . 3 10000 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 ≈3333. 3
13

即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时. 例 11:已知某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料 200 千克,配料的价 格为 1.8 元/千克,每次购买配料需支付运费 236 元.每次购买来的配料还需支付保管费用, 其标准如下: 7 天以内(含 7 天) ,无论重量多少,均按 元 /天支付 ;超出 7 天以外的天数, ..10 . . . . ... 根据实际剩余配料的重量,以每天 元 /千克支付 .高考资源网 ...0.03 . . . . . . .... (1)当 9 天购买一次配料时,求该厂用于配料的保管费用 P 是多少元?高考资源网 (2)设该厂 x 天购买一次配料,求该厂在这 x 天中用于配料的总费用 ...y (元)关于 x 的函 数关系式,并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用 最少?高考资 .........

解答.(Ⅰ)当 9 天购买一次时,该厂用于配料的保管费用 P=70+ 0.03? 200? (1 ? 2) =88(元) (Ⅱ) (1)当 x≤7 时 y=360x+10x+236=370x+236 (2)当 x>7 时 y=360x+236+70+6[( x ? 7 )+( x ? 6 )+……+2+1] = 3x ? 321x ? 432
2

……………4 分

………5 分

………7 分 ………8 分

∴y??

?370 x ? 236 , x ? 7
2 ?3 x ? 321 x ? 432 , x ? 7

∴设该厂 x 天购买一次配料平均每天支付的费用为 f(x)元

? 370x ? 236 ? ,x ? 7 ? x f ( x) ? ? ? 3x 2 ? 321x ? 432 ,x ? 7 ? x ?
当 x≤7 时

…………11 分

236 当且仅当 x=7 时 x 2826 ? 404 (元) f(x)有最小值 7 f ( x) ? 370 ?
当 x>7 时

f ( x) ?

144 3x 2 ? 321x ? 432 ) ? 321 ≥393 = 3( x ? x x
14

当且仅当 x=12 时取等号 ∵393<404 ∴当 x=12 时 f(x)有最小值 393 元 ………16 分

练习: (1)某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品, 根据经验知道,其次品率 P 与日产量 x (万件)之间大体满足关系:

? 1 ,1 ? x ? c, ? ?6 ? x P?? (其中 c 为小于 6 的正常数) ? 2, x?c ? ? 3 (注:次品率=次品数/生产量,如 P ? 0.1 表示每生产 10 件产品,有 1 件为次品,其余为合
格品) 已知每生产 1 万件合格的仪器可以盈利 2 万元, 但每生产 1 万件次品将亏损 1 万元, 故厂方 希望定出合适的日产量. (1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额 T (万元)表示为日产量 x (万件)的函数 (2)当日产量为多少时,可获得最大利润?

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(2) 某公司是一家专做产品 A 的国内外销售的企业, 每一批产品 A 上市销售 40 天内全部售 完。 该公司对第一批产品 A 上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查, 调查结果如图一、 图二、图三所示,其中图一中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系;图二 中的抛物线表示国内市场的日销售量与上市时间的关系; 图三中的折线表示的是每件产品 A 的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同) 。 (Ⅰ)分别写出国外市场的日销售量 f (t ) 、 国内市场的日销售量 g (t ) 与第一批产品 A 的上市时 间 t 的关系式; (Ⅱ)第一批产品 A 上市后的哪几天,这家公司的日销售利润超过 6300 万元?

(0 ? t ? 30) ?2t 3 .解: (Ⅰ) f (t ) ? ? , g (t ) ? ? t 2 ? 6t ( 0 ? t ? 40 ) ; ? 6 t ? 240 (30 ? t ? 40) 20 ? ?3t (0 ? t ? 20) (Ⅱ)设每件产品 A 的销售利润为 q (t ) ,则 q(t ) ? ? ,从而这家公司的日 ?60 (20 ? t ? 40) 销售利润 Q(t ) 的解析式为

? 9 3 2 (0 ? t ? 20) ?? 20 t ? 24t ? ? Q(t ) ? q(t )[ f (t ) ? g (t )] ? ??9t 2 ? 480t (20 ? t ? 30) 。 ? 2 (30 ? t ? 40) ??9t ? 14400 ? ? t (?27t ? 20 ? 48) ①当 0 ? t ? 20 时,Q?(t ) ? 从而 ? 0 ? Q(t ) 在区间 [0 , 20] 上单调递增, 20 Q(t ) ? Q(20) ? 6000 ? 6300 ; 70 ②当 20 ? t ? 30 时,由 Q(t ) ? 6300 ? ? t ? 30 ? t ? 24 , 25 , 26 , 27 , 28 , 29 ; 3 ③当 30 ? t ? 40 时, Q(t ) ? Q(30) ? 6300 。 综上所述,第一批产品 A 上市后,在第 24 , 25 , 26 , 27 , 28 , 29 天,这家公司的日销售利润超 过 6300 万元。
七.数列模型 例 12.某地区位于沙漠边缘地带,到 2011 年底该地区的绿化率只有 30%,计划从 2012 年开 始加大沙漠化改造的力度,每年原来沙漠面积的 16% ,将被植树改造为绿洲,但同时原有 绿洲面积的 4%还会被沙漠化。 (1)设该地区的面积为 1,2011 年绿洲面积为 a1 ?

3 ,经过一年绿洲面积为 a2 ……经过 n 10

16

年绿洲面积为 an?1 , 求证: a n ?1 ?

4 4 an ? ; 5 25

(2)求证: {a n ?1 ? } 是等比数列; (3)问至少需要经过多少年努力,才能使该地区的绿洲面积超过 60%?(取 lg 2 ? 0.3) (1)设 2011 年底沙漠面积为 b1,经过 n 年治理后沙漠面积为 bn+1。则 an+bn=1。 依题意,an+1 由两部分组成,一部分是原有的绿洲面积减去沙漠化后剩下的面积, an-4%an=96%an,另一部分是新植树绿洲化的面积 16%bn,于是

4 5

4 4 an ? 。 5 25 4 4 4 4 4 4 4 (2)由 a n ?1 ? a n ? 两边减去 得 an ?1 ? ? (an ? ) ,∴ {an ?1 ? } 是以 5 25 5 5 5 5 5 4 1 4 a1 ? ? ? 为首项, 为公比的等比数列。 5 2 5 4 1 4 n 4 1 4 n 4 n 2 (3)由(2)可知 an ?1 ? ? ( ) ,依题意 ? ( ) >60%,即 ( ) ? ,两边取对数得 5 2 5 5 2 5 5 5 2 lg 2 ? lg 5 1 ? 2 lg 2 1 ? 0.6 n ? log 4 ? ? ? ? 4. 5 2 lg 2 ? lg 5 1 ? 3 lg 2 1 ? 0.9 5
an+1=96%an+16%bn =96%an +16%(1-an)=80% an +16%= 故至少需要 5 年才能达到目标。

练习.某旅游景点 2010 年利润为 100 万元,因市场竞争,若不开发新项目,预测从 2011 年 起每年利润比上一年减少 4 万元。2011 年初,该景点一次性投入 90 万元开发新项目,预测 在未扣除开发所投入资金的情况下,第 n 年( n 为正整数,2011 年为第 1 年)的利润为

100 (1 ?

1 ) 万元. 3n

⑴设从 2011 年起的前 n 年,该景点不开发新项目的累计利润为 An 万元,开发新项目的 累计利润为 Bn 万元(须扣除开发所投入资金) ,求 An 、 Bn 的表达式; ⑵依上述预测,该景点从第几年开始,开发新项目的累计利润超过不开发新项目的累计 利润? 解 : ⑴ 依 题 意 , An 是 首 项 为 100 ? 4 ? 96 , 公 差 为 ? 4 的 等 差 数 列 的 前 n 项 和, ……2 分

所以 An ? 96 n ?

n(n ? 1) ? (?4) ? 98n ? 2n 2 ; 2

……4 分

1 1? n 1 ? 100 ? 3 ? 100n ? 50(1 ? 1 ) , 数列 ?100(1 ? n )? 的前 n 项和为 100n ? ? 1 3 3 ? 3n ? 1? 3

…7 分

17

1 50 ) ? 90 ? 100 n ? 40 ? n n 3 3 50 50 2 2 ⑵ Bn ? An ? (100 n ? 40 ? n ) ? (98n ? 2n ) ? 2n ? 2n ? 40 ? n 3 3 * Bn ? An 是数集 N 上的单调递增数列 50 ? 0 , B5 ? A5 ? 0 , 观察并计算知 B4 ? A4 ? ? 81 Bn ? 100 n ? 50(1 ?
所以从第 5 年开始,开发新项目的累计利润更大

……8 分 ……10 分, …11 分, ……12 分

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