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圆锥曲线轨迹方程


高考数学中求轨迹方程的常见方法
一、直接法 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当所求动点的要满足的条件简单明确时,直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、 整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程, 称之直接法. 例 1 已知点 A ( ? 2 , 0 ) 、B ( 3 , 0 ). 动点 P ( x , y ) 满足 PA ? PB ? x , 则点 P 的轨迹

为 (
2



A.圆

B.椭圆

C.双曲线

D.抛物线
2

解: PA ? ( ? 2 ? x , ? y ), PB ? ( 3 ? x , ? y ) ,? PA ? PB ? ( ? 2 ? x )( 3 ? x ) ? y
? x
2

? x ? 6 ? y . 由条件, x
2

2

? x?6? y

2

? x ,整理得 y
2

2

? x ? 6 ,此即点 P 的轨迹

方程,所以 P 的轨迹为抛物线,选 D. 二、定义法 定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物 线等)的定义或特征,再求出该曲线的相关参量,从而得到轨迹方程. 例 2 已知 ? ABC 中, ? A 、 ? B 、 ? C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若 a , c , b 依次构成 等差数列,且 a ? c ? b , AB ? 2 ,求顶点 C 的轨迹方程. 解:如右图,以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的中点为原 点建立直角坐标系. 由题意, a , c , b 构成等差数列,? 2 c ? a ? b , A O B x C y

即 | CA | ? | CB |? 2 | AB |? 4 ,又 CB ? CA ,? C 的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中,
x
2

a ? ? 2, c ? ? 1 , b ? ?

3 ,故 C 的轨迹方程为

?

y

2

? 1( x ? 0 , x ? ? 2 ) .

4

3

三、代入法 当题目中有多个动点时,将其他动点的坐标用所求动点 P 的坐标 x , y 来表示,再代入 到其他动点要满足的条件或轨迹方程中,整理即得到动点 P 的轨迹方程,称之代入法,也 称相关点法、转移法. y P 2 2 例 3 如图,从双曲线 C : x ? y ? 1 上一点 Q 引直线 Q N
l : x ? y ? 2 的垂线,垂足为 N ,求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程.

O

x

解:设 P ( x , y ),Q ( x 1 , y 1 ) ,则 N ( 2 x ? x 1 , 2 y ? y 1 ) .? N 在直线 l 上,

? 2 x ? x 1 ? 2 y ? y 1 ? 2 . ① 又 PN ? l 得
3x ? y ? 2 ? x ? ? 1 2 联解①②得 ? ? ?y ? 3y ? x ? 2 ? 1 2 ?
2 2

y ? y1 x ? x1

? 1, 即 x ? y ? y 1 ? x 1 ? 0 .②

.又点 Q 在双曲线 C 上,? (

3x ? y ? 2 2

) ?(
2

3y ? x ? 2 2

)

2

?1,

化简整理得: 2 x ? 2 y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 ,此即动点 P 的轨迹方程. 四、几何法 几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质,发现动点的运动规律和要满 足的条件,从而得到动点的轨迹方程. 例 4 已知点 A ( ? 3 , 2 ) 、B (1, ? 4 ) ,过 A 、B 作两条互相垂直的直线 l 1 和 l 2 ,求 l 1 和 l 2 的 交点 M 的轨迹方程. 解:由平面几何知识可知,当 ? ABM 为直角三角形时,点 M 的轨迹是以 AB 为直径 的 圆 . 此 圆 的 圆 心 即 为 AB 的 中 点 ( ? 1, ? 1) , 半 径 为
( x ? 1) ? ( y ? 1)
2

1 2

AB ?

52 2

,方程为

2

? 13 . 故 M 的轨迹方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1)
2

2

? 13 .

五、参数法 参数法是指先引入一个中间变量(参数) ,使所求动点的横、纵坐标 x , y 间建立起联系, 然后再从所求式子中消去参数,得到 x , y 间的直接关系式,即得到所求轨迹方程. 例 5 过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 ) 的顶点 O 作两条互相垂直的弦 OA 、OB , 求弦 AB
2

的中点 M 的轨迹方程. 解:设 M ( x , y ) ,直线 OA 的斜率为 k ( k ? 0 ) ,则直线 OB 的斜率为 ?
? 2p

1 k

.直线 OA 的

x ? ? y ? kx 2p 2p 2 ? 2 k ,即 A ( , ) ,同理可得 B ( 2 pk , ? 2 pk ) . 方程为 y ? kx ,由 ? 2 解得 ? 2 ? k k 2p ? y ? 2 px ? ? ? y ? k

p ? x ? 2 ? pk ? k 由中点坐标公式,得 ? ? ? y ? p ? pk ? k ?

2

,消去 k ,得 y ? p ( x ? 2 p ) ,此即点 M 的轨迹方程.
2

六、交轨法 求两曲线的交点轨迹时,可由方程直接消去参数,或者先引入参数来建立这些动曲线 的联系,然后消去参数来得到轨迹方程,称之交轨法. 例 6 如右图,垂直于 x 轴的直线交双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1于

y P A1 O A2

M x N

M 、 N 两点, A1 , A 2 为双曲线的左、右顶点,求直线 A1 M 与

A 2 N 的交点 P 的轨迹方程,并指出轨迹的形状.

解:设 P ( x , y ) 及 M ( x 1 , y 1 ), N ( x 1 , ? y 1 ) ,又 A1 ( ? a , 0 ), A 2 ( a , 0 ) ,可得 直线 A1 M 的方程为 y ?
? y1
2 2 2

y1 x1 ? a

( x ? a ) ①;直线 A 2 N 的方程为 y ?

? y1 x1 ? a
b a
2 2

( x ? a ) ②.

①×②得 y

2

?

x1 ? a

(x

2

? a ) ③. 又?
2

x1 a

2 2

?

y1 b

2

2

? 1, ? ? y 1 ?
2

(a

2

? x1 ) , 代入③得
2

y

2

? ?

b a

2 2

(x

2

? a ) ,化简得
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ,此即点 P 的轨迹方程. 当 a ? b 时,点 P 的轨

迹是以原点为圆心、 a 为半径的圆;当 a ? b 时,点 P 的轨迹是椭圆.

选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,恰有一项 是符合题目要求的。 1、一动圆 P 与圆 O:x2+y2=1 外切,与圆 C:x2+y2-6x+8=0 内切,那么动圆圆心 P 的轨迹 是( ) A、双曲线的一支 B、椭圆 C、抛物线 D、圆 2、 已知椭圆的焦点是 F1、 P 是椭圆上的一个动点. F2, 如果延长 F1P 到 Q, 使得|PQ|=|PF2|, 那么动点 Q 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线

?
3、若θ ∈[0, 2 ] ,则圆 x2+y2-2 2 xcosθ +4ysinθ =0 的圆心的轨迹是( )

4、设圆(x+1)2+y2=25 的圆心为 C,A(1,0)是圆内一定点,Q 为圆周上任一点,AQ 的垂 直平分线与 CQ 的连线的交点为 M,则 M 点的轨迹方程是( )
4x
2

?

4y 25

2

?1

4x

2

?

4y 25

2

?1

4x

2

?

4y 21

2

?1

4x

2

?

4y 21

2

?1

A、 21

B、 21

C、 25

D、 25

5、M 为抛物线 y=x2 上一动点,O 为坐标原点,以 OM 为边作正方形 MNPO,则动点 P 的 轨迹方程是( ) A、y2=x B、y2=-x C、y2=x 或 y2=-x D、y=x2 或 x2=-y

6、与两点 ( ? 3 , 0 ), ( 3 , 0 ) 距离的平方和等于 38 的点的轨迹方程是
( A) x (C ) x
2





? y ? y

2

? 10 ? 38

(B) x

2

? y

2

? 10 ? y
2

2

2

(D ) x

2

? 38

7、过椭圆 4x2+9y2=36 内一点 P(1,0)引动弦 AB,则 AB 的中点 M 的轨迹方程是( ) A.4x2+9y2-4x=0 B.4x2+9y2+4x=0 C.4x2+9y2-4y=0 D.4x2+9y2+4y=0 8、已知点 P 是直线 2x-y+3=0 上的一个动点,定点 M(-1,2),Q 是线段 PM 延长线上的一点,且 |PM|=|MQ|,则 Q 点的轨迹方程是( ) A.2x+y+1=0 B.2x-y-5=0 C.2x-y-1=0 D.2x-y+5=0
x
2

?

y

2

9、P 是椭圆 9 方程为:
4 x
2

5 =1 上的动点,过 P 作椭圆长轴的垂线,垂足为 M,则 PM 中点的轨迹


? y
2


x
2

?1

?

4 5

y

2

?1

x

2

?

y

2

?1

x

2

?

y

2

A、 9 10、抛物线 y
( A) y
2 2

5

B、 9

C、 9

20

D、 36 )

5 =1

? 4x

经过焦点的弦的中点的轨迹方程是
(B) y
2



? x ?1
? x?
x
2

? 2 ( x ? 1)

(C )

y

2

1 2

(D ) y
2

2

? 2x ?1

?

y

?1

11、已知椭圆 9 的两个交点分别为 方程
x
2

4

的左、右顶点分别为
P2

A1



A2

,垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆
A1 P1

P1



,其中

P1

的纵坐标为正数,则直线 ( )
? x
2



A 2 P2

的交点 M 的轨迹

( A) 9
x
2

?

y

2

?1

y

2

4 y
2

(B) 9
y
2

?1

4 x
2

(C ) 9

?

?1

4

(D ) 9

?

?1

4

12、已知正方体 AC1,P 是侧面 BB1CC1 内一动点,若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相 等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( ) A、直线 B、椭圆 C、抛物线 D、圆 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。不需要写出解答过程,请把答案直 接填空在相应位置上。 13、到点 A(-1,0)和直线 x=3 距离相等的点的轨迹方程是 .
x
2

?

14、设 P 为双曲线 4

y2=1 上一动点,O 为坐标原点,M 为线段 OP 的中点,则点 M 的

轨迹方程是 . 15、与圆(x+2)2+y2=1 外切且与直线 x=1 相切的圆的圆心的轨迹方程是
x
2 2



?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 )

16、已知双曲线 a

上任一点 P,过 F1 与 ? F1PF2 的角平分线垂直

的直线交 ? F1PF2 的角平分线与 M 点,则 M 点的轨迹方程是 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分。请在指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 17、 (本题满分 12 分)
? ABC 的三边 a>b>c 成等差数列,A(-1,0),C(1,0),求定点 B 的轨迹方程。

18、 (本题满分 12 分)
x
2 2

?

8y b
2

2

设 F1、F2 分别为椭圆 C: a

=1(a>b>0)的左、右两个焦点.

3

(1)若椭圆 C 上的点 A(1, 2 )到 F1、F2 两点的距离之和等于 4,写出椭圆 C 的方程和 焦点坐标; (2)设点 K 是(1)中所得椭圆上的动点,求线段 F1K 的中点的轨迹方程;

答案

参考答案: 1、A(提示:设动圆半径为 r,则 PO=r+1,PC=r-1,则 PO-PC=2) 2、A(提示:由第一定义得,|PF1|+|PF2|为定值∵|PQ|=|PF2|∴|PF1|+|PQ|为定值,即|F1Q|为定 值.)
?

3、D(提示:利用特殊值 ? =0 时圆心为( 2 ,0) ? = 2 时圆心为(0,1)排除其他答案) , 4、D(提示:因为|MQ|=|MA|,所以|MC|+|MA|=|MC|+|MQ|=|CQ|=5,因此 M 点的轨迹是焦点 在 x 轴的椭圆) 5、C(提示:相关点法求轨迹) 6、B(提示:利用直接法)
y1 ? y 2 x1 ? x 2 ? ? 4x 9y ? y x ?1

7、A(提示:设 A(x1,y1),B(x2,y2)代入椭圆相减得

,化简即得)

8、D(提示:由已知得 M 是 PQ 中点,利用相关点法可求) 9、B(提示:相关点法求轨迹) 10、B(提示:同 7 题)
2 9?a
2

?

2 3

9? a

2

2 9? a

2

11、C(提示:设 P1(a, 3
?2 9?a
2

), P2(a,

),则 A1P1:y=

3( a ? 3)

( x ? 3)

,

A2P2:y=

3( a ? 3)

( x ? 3)

,两式相乘即得轨迹方程)

12、 C(提示: 易证 P 到直线 C1D1 的距离为 PC1,因此 P 到定点 C1 与定直线 BC 的距离相等, 轨迹为抛物线) 13、答案:y2=-8x+8(提示:利用直接法)
x ? x0 2 ,y ? y0 2

14、.答案:x2-4y2=1(提示:设 P(x0,y0)
4x
2

∴M(x,y)∴

∴2x=x0,2y=y0∴ 4

-4y2=1 ? x2-4y2=1)

15、y2=-8x(提示题设条件可以转化为圆心到(-2,0)与直线 x=2 距离相等) 16、答案:x2+y2=a2(提示:延长 PF2 交 F1M 的延长线与 Q,由||PF1|-|PF2||=2a,易证
? PF1M ? ? PQM,|PF1|=|PQ|,|F2Q|=2a, Q 点的轨迹方程是(x-c)2+y2=4a2,设 M(x,y), 即 Q(m,n),

m ? c

n

则 x=

2

,y= 2 ,m=2x+c,n=2y 代入并化简可得)

17、解答:设 B(x,y),因为 a+c=2b,即|BC|+|BA|=4,由椭圆定义知,B 点轨迹是椭圆,方
x
2

?

y

2

?1

程为 4

3

,又 a>b>c,即|BC|>|BA|,因此 x<0,又当 x=-2 时构不成三角形,因此 B

x

2

?

y

2

?1

点轨迹方程为 4

3

(-2<x<0)

18、.解: (1)椭圆 C 的焦点在 x 轴上, 由椭圆上的点 A 到 F1、F2 两点的距离之和是 4,得 2a=4,即 a=2.
3 2 ( ) 1 3 ? 22 2 b 又点 A(1, 2 )在椭圆上,因此 2 =1 得 b2=3,于是 c2=1.

x

2

?

y

2

所以椭圆 C 的方程为 4

3 =1,焦点 F1(-1,0) ,F2(1,0).

(2)设椭圆 C 上的动点为 K(x1,y1) ,线段 F1K 的中点 Q(x,y)满足:
x ? ? 1 ? x1 2 ,y ? y1 2 , 即 x1=2x+1,y1=2y.
2

( 2 x ? 1)

?

(2 y ) 3

2

(x ?

1 2

) ?
2

4y 3

2

?1

因此

4

=1.即

为所求的轨迹方程.


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