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矩阵和行列式


矩阵和行列式
一、矩阵: 1. 线性方程组所对应的矩阵
① 如二元一次方程组 a1 x + b1 y = c1 a2 x + b2 y = c2 →
a 1 b 1 c1 a 2 b 2 c2

(增广)其系数矩阵

a1 b1 a2 b2



② 行向量和列向量:如其系数矩阵 向量为
a1 a2 b1 b2

a1 b1 a2 b2

的两个行向量为(a1,b1).(a2,b2),两个列

。方程组表示:x

a1 a2

+y

b1 b2



c1 c2

③ 单位矩阵
1 0 0 1



1 0 0 0 1 0 0 0 1

,……

2. 矩阵的运算
① 加、减法——对应元素相加减 如:A=
a1 b1 a2 b2

B=

x1 y1 x2 y2

则:A+B=

a 1 +x 1 ,a 2 + x 2 b 1 +y 1 ,b 2 +y 2



A-B=

a 1 -x 1 , a 2 - x 2 b 1 -y 1 ,b 2 -y 2

② 两个矩阵相等——对应元素相等。 A=B => a1 = x1 a 2 = x2 且 b1 = y1 b2 = y2

③ 数与矩阵相乘 用一个数λ 与矩阵 A 相乘,则就将这个数与 A 中的所有元素相乘。如: λ
a1 b1 a2 b2

=

λa1 λb1 λa2 λb2

④乘法
设 A=
a 11 a 12 a 21 a 22

B=

b 11 b 12 b 21 b 22

C=

c 11 c 12 c 21 c 22

若Cij =ai1 b1j +ai2 b2j

(i=1,2,j=1,2)

则称 C=AB (AB≠BA) 若Ank ,Bkm ,则Ank Bkm 是一个Cnm 如:
a 11 a 21 a 31 a 41 a 12 a 22 a 32 a 42 a 13 a 23 a 33 a 34 a 11 b 11 +a 12 b 21 +a 13 b 31 ,a 11 b 12 +a 12 b 22 +a 13 b 32 a 21 b 11 +a 22 b 21 +a 23 b 31 ,a 21 b 12 +a 22 b 22 +a 23 b 32 a 31 b 11 +a 32 b 21 +a 33 b 31 ,a 31 b 12 +a 32 b 22 +a 33 b 32 a 41 b 11 +a 42 b 21 +a 43 b 31 ,a 41 b 12 +a 42 b 22 +a 43 b 32

b11 b12 b21 b22 = b31 b32

应弄清如下问题: 1)根据定义什么样的两个矩阵可以相乘?对于 AB——A 的列数与 B 的行数相同。 2) 两个矩阵的乘积的结果是什么?——还是一个矩阵。 3) 阵乘积是否满足交换律?即 AB=BA 吗?——不满足。

1

4) 算公式如何记?——前者的第 i 行乘以后者的第 j 列所得结果就是积矩阵的第 i 行第 j 列的元素 Cij。 (学生最易弄错的就是这个地方!) ⑤矩阵可以将某一行(或者列)乘以一个数加到另一行(或列)。 3、矩阵的应用 ①利用矩阵的变换解线性方程组 矩阵可以将某一行(或者列)乘以一个数加到另一行(或列)。根据这一点可将系数 矩阵 A 化为单位矩阵。这样可把增广矩阵化为 的解就是 X=m 。 y=n
a 1 b1 c1 a 2 b2 c2

=

1 0 m 0 1 n

的形式,那么这个方程组

②利用矩阵解决应用题 例、一个水果店有西瓜、香蕉、苹果,其单价如下表:(单位:元/千克) 品种 单价 顾客 A B C D 品种 西瓜 3.5 西瓜 6 12 10 10 香蕉 2 香蕉 3 4 3 5 苹果 2.5 苹果 2 4 4 4

现有 A、B、C、D 四人购买各类的数量如下表:(单位:千克)

试用矩阵的方法计算这四位顾客购买水果的金额。 注意到金额=各类数量与对应单价乘积之和。
6 12 10 10 3 4 3 5 2 4 4 4

3.5 2 = 2.5

32 60 51 55

即 A、B、C、D 四位顾客买水果所用的金额分别为 32、60、51、

55 元。 也可这样算: 3.5 2 2.5 6 12 10 10 3 4 3 5 = 32 60 51 55 2 4 4 4

二、 行列式
1、二元一次方程组与二阶行列式 a1 x+b1 y=c1 a2 x+b2 y=c2 D= a1 b1 a2 b2 ———— 系数行列式 a1 c1 Dy = a c 2 2 x= y=
Dx D Dy D

c b Dx = 1 1 c2 b2

方程组的解

D=a1b2-a2b1 ———— 对角减法则

2

当 D≠0 方程组唯一解,当 D=0 2、三阶(多阶)行列式的展开 (1) 对角减法则

Dx 、Dy 中至少一个不为零,无解 Dx = Dy = 0 无穷多解

=a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a3b2c1-a2b1c3-a1b3c2

(2) 按一行(或一列)展开 a11 a12 … a1n a21 a22 … a2n …… am1 am2 … amn aij 的代数余子式的符号(-1)
i +j

aij 的代数余子式就是原行列式中划去第 i 行和第 j 行所剩的行列式 行或列可按某一行或某一列展开 a1 b1 c1 2+1 b1 c1 2+2 a1 c1 2+3 a1 b1 如 a2 b2 c2 =a2 ( ? 1) +b2 ( ? 1) +c2 ( ? 1) a c b3 c3 a3 b3 3 3 a3 b3 c3 这就是按第二行展开。 x1 y1 1 1 3、 在直角坐标系中若 A (x1, y1) 、 B (x2, y2) 、 C (x3, y3) , 则△ABC 的面积为S△ = 2 x2 y2 1 的绝 x3 y3 1 对值。 4、在直角坐标系中若 A(x1,y1) 、B(x2,y2) 、C(x3,y3) ,则 A、B、C 三点共线的充要 x1 y1 1 条件是: x2 y2 1 =0 x3 y3 1

三、练习:
1 0 ?1 1、已知 A= 2 1 4 ?3 2 5 2、已知 A= (1) 计算 3 0 ?2 1 1 1 0 1
n

1 ?2 3 B= ? 1 3 0 0 5 2 B= ?3 6 ?19 14

求 2AB-3A2

2A-3Z=B,求 Z ?2 1 0 Z= ,求 Z。 0 4 ?2

, (n∈N*,n≥2) ; (2)设

3、用行列式解方程组: 2x + ay = 1 ax + 2y = ?1 并加以讨论。

3

1 sinx 4、 已知函数 f(x)= 0 sinx 2m 0

3cosx π sinx 的定义域为 0, 2 ,最大值为 4,试求函数 0 a 2

g(x)=m sinx+2 cosx (x∈R)的最小正周期和值域。
n+1 5、若数列{an}中,首项 a1=1,递推关系为 a =1, 1 n

①求数列{an}的通项公式;②求数列{an}的前 n 项和 Sn。 6、计算: ①

?1? ? ? ?1 2 3?? ? 1? ?1? ? ?

②? 1 ?

? ? ? ? 1??1 2 3? ?1? ? ?

③? 1

0 ? 1?? 1 ? 2 3 ? ? ?? ? ? 2 1 4 ?? ? 1 3 0 ? ? ? 3 2 5 ?? 0 5 2? ? ?? ?

4


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