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福建省泉州第一中学2014届高三上学期期中考试数学(理)试题


(考试时 间120分钟,总分150分) 命题:陈惠彬 审题:邱形贵

第Ⅰ卷(选择题
只有一项是符合题目要求的. 1.已知 i 为虚数单位,则复数 A.第一象限

共 50 分)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,

2?i 在复平面上所对应的点在( 1? i
C.第三象限

) D.第四象限

B.第二象限

2.若角 ? 的终边在第二象限且经过点 P ( ?1, 3) ,则 cos( A. ?

?
2

? ? ) 等于(
D.



3 2

B.

3 2


C. ?

1 2

1 2

3.下列说法错误的是( ..
x

A.已知函数 f ( x) ? e ? e

?x

,则 f ( x) 是奇函数

B.若非零向量 a , b 的夹角为 ? ,则“ a ? b ? 0 ”是“ ? 为锐角”的必要非充分条件 C.若命题 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2 2

?

?

? ?

D. ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 的对边的长分别为 a 、 b 、 c , 若 a 、 b 、 c 成等差数列,则 0 ? B ?

?
3

? ? ? ? ?? ? 4.设向量 a ? ? cos ? , ?1? , b ? ? 2,sin ? ? ,若 a ? b ,则 tan ? ? ? ? 等于( ) 4? ? 1 1 A. ? B. C. ?3 D.3 3 3 5.设 f ( x) 是 (??, ? ?) 上的奇函数, f ( x ? 3) ? f ( x) . 当 0 ? x ? 1 时有 f ( x) ? 3 x ,
则 f (8.5) 等于( A. 0.5 ) D. ?1.5 ) D.

B. ?0.5 C. 1.5 ? ? ? ? ? ? ? 6.已知 a ? 1, b ? 6, a ? b ? a ? 2 则向量 a与b 的夹角为(

?

?

A.

? 2

B.

? 3

C.

? 4

? 6

7.函数 f ( x) ? ?(cos x) lg x 的部分图像是(

)

8.设函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ,以下关于 f ( x) 的导函数 f ' ( x) 说法正确的有( ) 2 2

①其图像可由 y ? 2sin 2 x 向左平移

? 得到; 3

②其图像关于直线 x ? ④在区间 ? ?

? 对称; 12

③其图像关于点 ? A.①②③

?? ? , 0 ? 对称; ?3 ?
B.②③④

? ? ? , 0 ? 上是增函数. ? 6 ?
D.①②③④

C.③④

9.已知函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于点 (1, 0) 对称,且当 x ? (??, 0), f ( x) ? xf '( x) ? 0 成立. 若 a ? (2 ) ? f (2 ) , b ? (ln 2) ? f (ln 2) , c ? (log 2
0.2 0.2

1 1 ) ? f (log 2 ) ,则 a,b,c 的大小关系是 4 4
D. a ? c ? b



) A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? a ? b

10.已知 P 是函数 y ? f ( x) ( x ?[m, n]) 图象上的任意一点,M 、N 该图象的两个端点, 点

??? ? ???? ? ???? ??? ? ? ? ? Q 满足 MQ ? ? MN ,PQ ? i ? 0(其中 0 ? ? ? 1 ,i 为 x 轴上的单位向量) 若 PQ ? T ( T ,
为常数)在区间 [m, n] 上恒成立,则称 y ? f ( x) 在区间 [m, n] 上具有 “ T 级线性逼近”.现 有函数:① y ? x ? 1 ;② y ? 的个数为( A. 0 ) B. 1 C. 2 D. 3

1 1 2 ;③ y ? x .则在区间 [1, 2] 上具有“ 级线性逼近”的函数 4 x

第Ⅱ卷(非选择题
11.如图,已知幂函数 y ? x 的图象过点 P (2, 4) ,
a

共 100 分)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.将答案填在答题卡的相应位置.

则图中阴影部分的面积等于

.

12.已知函数 f ( x) ? ? 则实数 a 的值等于

?1gx, x ? 0 , 则 f (a) ? f (1) ? 0 , ? x ? 3, x ? 0
.
?

13.在 ?ABC中,?A=60 , AB ? 2 ,且 ?ABC 的面积为

3 ,则 BC 的长为 2

.

? 1 ?1 ? 2 x ? , 0 ? x ? 1 14 . 已 知 函 数 f ( x ) ? ? , 若 方 程 f ( x) ? m 有 三 个 不 等 实 根 2 ? log , x ?1 2013 x ?
x1、x2、x3, x1 +x2 +x3 的取值范围是 则
.

15.若对任意 x ? A, y ? B, ( A ? R, B ? R )有唯一确定的f ( x, y )与之对应, 则称f ( x, y ) 为关于 x、y 的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数 f ( x, y ) 为关于实数 x、y 的广 义“距离”: (1)非负性: f ( x, y ) ? 0, 当且仅当x ? y 时取等号; (2)对称性: f ( x, y ) ? f ( y, x) ; (3)三角形不等式: f ( x, y ) ? f ( x, z ) ? f ( z , y ) 对任意的实数 z 均成立. 今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于 x、y 的广义“距离”的序号:
2 ① f ( x, y ) ?| x ? y | ;② f ( x, y ) ? ( x ? y ) ;③ f ( x, y ) ?

x ? y.

能够成为关于的 x、y 的广义“距离”的函数的序号是___________.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 1) 的定义域为 A, 函数 g ( x) ? ( ) 求 A? B ; (II)若 C ? {x | a ? x ? 2a ? 1} ,且 C ? B ,求实数 a 的取值范围.

1 2

x

(?1 ? x ? 0) 的值域为 B.(I)

17.(本小题满分 13 分)

已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 cos 2 x ? m 的图像经过点 ( , . 0) (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式及最大值;

? 8

(Ⅱ)若 f ( ) ?

?

2

3 2 ? ,? ? (0, ) ,求 sin ? 的值. 5 2

18.(本小题满分 13 分)
某货轮匀速行驶在相距 300 海里的甲、乙两地间运输货物,运输成本由燃料费用和其它费用组成,已知该 货轮每小时的燃料费用与其航行速度的平方成正比(比例系数为 0.5) ,其它费用为每小时 800 元,且 该货轮的最大航行速度为 50 海里/小时. (Ⅰ)请将从甲地到乙地的运输成本 y(元)表示为航行速度 x(海里/小时)的函数; (Ⅱ)要使从甲地到乙地的运输成本最少,该货轮应以多大的航行速度行驶?

19.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin ? x (? ? 0) 在区间 [0,

?

? 2? ] 上单调递增,在区间 [ , ] 上单调递 3 3 3
C
B

减. ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别为内角 A、B、C 所对的边,且满足

4? ? cos B ? cosC sin B ? sin C 3 . ? sin A cos A
(Ⅰ)证明: b ? c ? 2a ; (Ⅱ)如图,点 O 是 ?ABC 外一点,设 ?AOB ? ? (0 ? ? ? ? ) ,

o

?
第 19 题图

A

OA ? 2OB ? 2 ,当 b ? c 时,求平面四边形 OACB 面积的最大值.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ln x, g ( x) ? ln x ? x ? 1, h( x) ? (Ⅰ)求函数 y ? g ( x) 的图像在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)求证:存在 x0 ? (1, ??) ,使 g ( x0 ) ? g ( ) ; (Ⅲ)对于函数 f ( x) 与 h( x) 定义域内的任意实数 x,若存在常数 k,b,使得 f ( x)≤kx ? b 和

1 2 x . 2

1 2

h( x)≥kx ? b 都成立,则称直线 y ? kx ? b 为函数 f ( x) 与 h( x) 的分界线.试探究函数 f ( x) 与
h( x) 是否存在“分界线”?若存在,请证明,并求出 k,b 的值;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) (1) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程
科网]

在平面直角坐标系 xOy 中, 以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已

? x ? t cos ? , 2 (t 为参数, 知曲线 C 的极坐标方程为 ? sin ? ? 4 cos? ,直线 l 的参数方程为 ? ? y ? 1 ? t sin ?
. 0 ?? ?? ) (Ⅰ)化曲线 C 的极坐标方程为直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 经过点 (1 , 0) ,求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长.

(2) (本小题满分 7 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知正数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 1 .
2 2 2

(Ⅰ)求 x ? 2 y ? 2 z 的最大值; (Ⅱ)若不等式 | a ? 3 |? x ? 2 y ? 2 z 对一切正数 x, y, z 恒成立,求实数 a 的取值范围.

泉州一中 2013-2014 学年第一学期期中考

高三年数学(理)科试卷
命题:陈惠彬

(2013.11)

(考试时间120分钟,总分150分) 审题:邱形贵

第Ⅰ卷(选择题
有一项是符合题目要求的. 1.已知 i 为虚数单位,则复数 A.第一象限

共 50 分)

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只

2?i 在复平面上所对应的点在( D 1? i
C.第三象限

)

B.第二象限

D.第四象限

2.若角 ? 的终边在第二象限且经过点 P ( ?1, 3) ,则 cos( A. ?

?
2

? ? ) 等于( B )
D.

3 2

B.

3 2

?x

C. ?

1 2

1 2

3.下列说法错误的是( A ..
x

A.已知函数 f ( x) ? e ? e

,则 f ( x) 是奇函数

B.若非零向量 a , b 的夹角为 ? ,则“ a ? b ? 0 ”是“ ? 为锐角”的必要非充分条件 C.若命题 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0
2 2

?

?

? ?

D. ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 的对边的长分别为 a 、 b 、 c , 若 a 、 b 、 c 成等差数列,则 0 ? B ?

?
3

? ? ? ? ?? ? 4.设向量 a ? ? cos ? , ?1? , b ? ? 2,sin ? ? ,若 a ? b ,则 tan ? ? ? ? 等于( B ) 4? ? 1 1 A. ? B. C. ?3 D.3 3 3 5.设 f ( x) 是 (??, ? ?) 上的奇函数, f ( x ? 3) ? f ( x) . 当 0 ? x ? 1 时有 f ( x) ? 3 x ,
则 f (8.5) 等于( D A. 0.5 )

B. ?0.5 C. 1.5 D. ?1.5 ? ? ? ? ? ? ? 6.已知 a ? 1, b ? 6, a ? b ? a ? 2 则向量 a与b 的夹角为( B )

?

?

A.

? 2

B.

? 3

C.

? 4

D.

? 6

7.函数 f ( x) ? ?(cos x) lg x 的部分图像是(

A )

8.设函数 f ( x) ?

3 1 sin 2 x ? cos 2 x ,以下关于 f ( x) 的导函数 f ' ( x) 说法正确的有(B) 2 2

①其图像可由 y ? 2sin 2 x 向左平移

? 得到; 3

②其图像关于直线 x ? ④在区间 ? ?

? 对称; 12

③其图像关于点 ? A.①②③

?? ? , 0 ? 对称; ?3 ?
B.②③④

? ? ? , 0 ? 上是增函数. ? 6 ?
D.①②③④

C.③④

9.已知函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于点 (1, 0) 对称,且当 x ? (??, 0), f ( x) ? xf '( x) ? 0 成立. 若 a ? (2 ) ? f (2 ) , b ? (ln 2) ? f (ln 2) , c ? (log 2
0.2 0.2

1 1 ) ? f (log 2 ) ,则 a,b,c 的大小关系是 4 4
D. a ? c ? b

( C ) A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? a ? b

10.已知 P 是函数 y ? f ( x) ( x ?[m, n]) 图象上的任意一点,M 、N 该图象的两个端点, 点

??? ? ???? ? ???? ? ??? ? ? ? Q 满足 MQ ? ? MN , PQ ? i ? 0(其中 0 ? ? ? 1 ,i 为 x 轴上的单位向量) 若 PQ ? T ( T ,
为常数)在区间 [m, n] 上恒成立,则称 y ? f ( x) 在区间 [m, n] 上具有 “ T 级线性逼近”.现 有函数:① y ? x ? 1 ;② y ? 的个数为( D ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

1 1 2 ;③ y ? x .则在区间 [1, 2] 上具有“ 级线性逼近”的函数 4 x

第Ⅱ卷(非选择题
a

共 100 分)

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.将答案填在答题卡的相应位置. 11.如图,已知幂函数 y ? x 的图象过点 P (2, 4) ,则图中阴影部分的面积等于

8 3

.

12.已知函数 f ( x) ? ?

?1gx, x ? 0 , 则 f (a) ? f (1) ? 0 ,则实数 a 的值等于 ? x ? 3, x ? 0
?

-3 或 l

.

13.在 ?ABC中,?A=60 , AB ? 2 ,且 ?ABC 的面积为

3 ,则 BC 的长为 2

3

.

? 1 ?1 ? 2 x ? , 0 ? x ? 1 14 . 已 知 函 数 f ( x ) ? ? , 若 方 程 f ( x) ? m 有 三 个 不 等 实 根 2 ? log , x ?1 2013 x ?
x1、x2、x3, x1 +x2 +x3 的取值范围是 则

(2,2014)

.

15.若对任意 x ? A, y ? B, ( A ? R, B ? R )有唯一确定的f ( x, y )与之对应, 则称f ( x, y ) 为关于 x、y 的二元函数.现定义满足下列性质的二元函数 f ( x, y ) 为关于实数 x、y 的广 义“距离”: (1)非负性: f ( x, y ) ? 0, 当且仅当x ? y 时取等号; (2)对称性: f ( x, y ) ? f ( y, x) ; (3)三角形不等式: f ( x, y ) ? f ( x, z ) ? f ( z , y ) 对任意的实数 z 均成立. 今给出三个二元函数,请选出所有能够成为关于 x、y 的广义“距离”的序号:
2 ① f ( x, y ) ?| x ? y | ;② f ( x, y ) ? ( x ? y ) ;③ f ( x, y ) ?

x ? y.

能够成为关于的 x、y 的广义“距离”的函数的序号是____①________.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 1) 的定义域为 A, 函数 g ( x) ? ( ) 求 A? B ; (II)若 C ? {x | a ? x ? 2a ? 1} ,且 C ? B ,求实数 a 的取值范围. 解:(Ⅰ)由题意得: A ? {x | x ? 2} ……………………………2 分

1 2

x

(?1 ? x ? 0) 的值域为 B.(I)

B ? { y | 1 ? y ? 2} ……………………………………………………4 分
A ? B ? {2} ……………………………………………………………6 分
(II)由(1)知: B ? { y | 1 ? y ? 2} ,又 C ? B (1)当 2a ?1 ? a 时, a ? 1 , C ? ? ,满足题意.……………………8 分 (2)当 2a ?1 ? a 即 a ? 1 时,要使 C ? B ,则 ? 解得 1 ? a ?

?a ? 1 …………11 分 ? 2a ? 1 ? 2

3 2

………………………………………………………12 分

综上, a ? (??, ] 17.(本小题满分 13 分)

3 2

………………………………………………13 分

已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 cos 2 x ? m 的图像经过点 ( , . 0) (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式及最大值;

? 8

(Ⅱ)若 f ( ) ?

?

2

3 2 ? ,? ? (0, ) ,求 sin ? 的值. 5 2

17. 解: (Ⅰ) f ( x) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? m ,

? 1 ? m ? m ? 1 ? 0 , m ? 1 ,…………………………3 分 4 ? ∴ f ( x) ? 2 sin(2x ? ) , 4 ? ? 3? 所以当 2 x ? ? ? 2k? ,即 x ? ? k? , k ? Z 时, f ( x) 取最大值 2 . …6 分 4 2 8
∴ f ( ) ? sin

?

?

8

4

? cos

?

(Ⅱ) f ( ) ?

?

2

? 3 ? 3 2 ,∴ sin(? ? ) ? ,……………………8 分 2 sin(? ? ) ? 4 5 4 5
?
? (? , ) , 4 4 4

∵ ? ? (0, ) , ∴ ? ?

?

? ?

2

∴ cos(? ?

?
4

) ? 1 ? sin 2 (? ?

?
4

)?

4 , ………………………………………10 分 5

∴ sin ? ? sin[(? ?

2 ? 2 ? ? sin(? ? ) ? cos(? ? ) )? ] ? 2 4 2 4 4 4 2 3 4 7 2 . ……………………………………………13 分 ? ( ? )? 2 5 5 10

?

故当货轮航行速度为 30 海里/小时时,能使该货轮运输成本最少.?????13 分 (2)解法 2:由(Ⅰ)错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。???8 分 错误!未找到引用源。

故当货轮航行速度为 30 海里/小时时,能使该货轮运输成本最少. ??13 分

?

sin B ? sin C 2 - cos B - cosC ? sin A cos A

?sin B cos A ? sin C cos A ? 2 sin A - cos B sin A - cosC sin A ?sin B cos A ? cos B sin A ? sin C cos A ? cosC sin A ? 2 sin A
? sin( A ? B) ? sin( A ? C ) ? 2 sin A ?????????????????????4 分

?sin C ? sin B ? 2 sin A ??b ? c ? 2a ???????????????????6 分
(2)因为 b ? c ? 2a,b ? c ,所以 a ? b ? c ,所以 △ABC 为等边三角形

1 3 SOACB ? S?OAB ? S?ABC ? OA ? OB sin ? ? AB 2 2 4 ? sin ? ?

??????????8 分

3 5 3 ? 5 3 (OA2 ? OB 2 -2OA ? OB cos ? ) ? sin ? - 3 cos? ? ? 2sin (? - ) ? 4 4 3 4

?? ? (0,? ) ,?? 当且仅当 ? -

?

? 2? ?(- , ), 3 3 3
5 3 5? 时取最大值, S OACB 的最大值为 2 ? ??????13 分 4 6

?
3

?

?
2

即 ,??

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e ln x, g ( x) ? ln x ? x ? 1, h( x) ? (Ⅰ)求函数 y ? g ( x) 的图像在 x=1 处的切线方程; (Ⅱ)求证:存在 x0 ? (1, ??) ,使 g ( x0 ) ? g ( ) ; (Ⅲ)对于函数 f ( x) 与 h( x) 定义域内的任意实数 x,若存在常数 k,b,使得 f ( x)≤kx ? b 和

1 2 x . 2

1 2

h( x)≥kx ? b 都成立,则称直线 y ? kx ? b 为函数 f ( x) 与 h( x) 的分界线.试探究函数 f ( x) 与 h( x) 是否存在“分界线”?若存在,请证明,并求出 k,b 的值;若不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ) g ?( x) ?

1 1? x ,切线斜率为 ?1 ? ( x>0). 当 x=1 时,切点坐标为(1,-2) x x

k ? g ' (1) ? 0 ,∴此时切线方程为: y ? ?2 ……………………………………………3 分

1 1? x ?1 ? ( x>0). 令 g ?( x)>0, 解 得 0<x<1; 令 g ?( x)<0, 解 得 x x 1 x>1 . 知 g ( x) 在 (0,1) 内 单 调 递 增 , 在 (1, ??) 上 单 调 递 减 , 令 ? ( x) ? g ( x) ? g ( ) 2 1 ∴ ? (1) ? g (1) ? g ( )>0, 取 x? ? e>1, 则 2 1 1 1 3 ? (e) ? g (e) ? g ( ) ? ln e ? (e ? 1) ? ln ? ( ? 1) ? ?e ? ln 2 ? <0. 2 2 2 2 1 故存在 x0 ? (1, e), 使 ? ( x0 ) ? 0, 即存在 x0 ? (1, ??), 使 g ( x0 ) ? g ( ). ………………7 分 2
(Ⅱ) 由 (Ⅰ) g ?( x) ? (说明: x? 的取法不唯一,只要满足 x?>1, 且 ? ( x?)<0 即可)

(Ⅱ)设 F ( x) ? h( x) ? f ( x) ? 则 F ?( x) ? x ?

1 2 x ? e ln x( x>0) 2

e x 2 ? e ( x ? e)( x ? e) ? ? x x x

则当 0<x< e 时, F ?( x)<0 ,函数 F ( x) 单调递减; 当 x> e 时, F ?( x)>0 ,函数 F ( x) 单调递增. ∴x?

e 是函数 F ( x) 的极小值点,也是最小值点, ∴ F ( x) min ? F ( e ) ? 0.

1 e 处有公共点( e, e ). ………………………9 分 2 1 设 f ( x) 与 h( x) 存在“分界线”且方程为 y ? e ? k ( x ? e) , 2 1 令函数 u ( x) ? kx ? e ? k e 2 1 1 ①由 h( x) ≥ u ( x) ,得 x 2≥kx ? e ? k e 在 x ? R 上恒成立, 2 2
∴函数 f ( x) 与 h( x) 的图象在 x ? 即 x ? 2kx ? e ? 2k e≥0 在 x ? R 上恒成立,
2

∴ ? =4k 2 ? 4(?e ? 2k e)≤0 , 即 4(k ? e) 2 ≤0 , ∴ k ?

1 e ,故 u ( x) ? e x ? e. 2

………………………………………………………………………………………………11 分 ②下面说明: f ( x)≤u ( x) , 即 e ln x≤ e x ? 设 V ( x) ? e ln x ? e x ? 则 V ?( x) ?

1 e( x>0) 恒成立. 2

1 e 2

e e ? ex ? e? x x

∵当 0<x< e 时, V ?( x)>0 ,函数 V ( x) 单调递增, 当 x> e 时, V ?( x)<0 ,函数 V ( x) 单调递减, ∴当 x ?

e 时, V ( x) 取得最大值 0, V ( x)≤V ( x) max ? 0 .

1 e( x>0) 成立. 2 1 1 综合①②知 h( x)≥ e x ? e, 且 f ( x)≤ e x ? e, 2 2 1 1 故函数 f ( x) 与 h( x) 存在“分界线” y ? e x ? e , 此时 k ? e, b ? ? e. ……14 分 2 2
∴ e ln x≤ e x ?

21. (本小题满分 14 分) (1) (本小题满分 7 分) 选修 4—4:极坐标与参数方程
科网]

在平面直角坐标系 xOy 中, 以坐标原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 已

? x ? t cos ? , 2 (t 为参数, 知曲线 C 的极坐标方程为 ? sin ? ? 4 cos? ,直线 l 的参数方程为 ? ? y ? 1 ? t sin ?
. 0 ?? ?? ) (Ⅰ)化曲线 C 的极坐标方程为直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 经过点 (1 , 0) ,求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长. 解法一: (Ⅰ)由 ? sin ? ? 4 cos? 得, ? sin ? ? 4 ? cos? ,
2 2 2

即曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 4 x .
2

………………………………3 分

(Ⅱ)由直线 l 经过点 (1 , 0) ,得直线 l 的直角坐标方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,

联立 ?

?x ? y ? 1 ? 0 2 ,消去 y ,得 x ? 6 x ? 1 ? 0 ,又点 (1 , 0) 是抛物线的焦点, 2 ? y ? 4x
……………………7 分 ………………………………3 分

由抛物线定义,得弦长 AB ? x A ? x B ? 2 ? 6 ? 2 ? 8 . 解法二: (Ⅰ)同解法一.

? ? x?? ? (Ⅱ)由直线 l 经过点 (1 , 0) ,得 tan? ? ?1 ,直线 l 的参数方程为 ? ?y ?1? ? ?
将直线 l 的参数方程代入 y ? 4 x ,得 t ? 6 2t ? 2 ? 0 ,
2

2 t, 2 2 t, 2

2

所以 AB ? t A ? t B ?

(t A ? t B ) 2 ? 4t At B ?

?6 2 ?

2

?8 ? 8.

…………………7 分

(2) (本小题满分 7 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知正数 x, y, z 满足 x ? y ? z ? 1 .
2 2 2

(Ⅰ)求 x ? 2 y ? 2 z 的最大值;

(Ⅱ)若不等式 | a ? 3 |? x ? 2 y ? 2 z 对一切正数 x, y, z 恒成立,求实数 a 的取值范围. (Ⅰ)由柯西不等式 9 ? (1 ? 2 ? 2 ) ? ( x ? y ? z ) ? (1? x ? 2 ? y ? 2 ? z ) ,
2 2 2 2 2 2 2

?x y z ? ? ? 0, 即 x ? 2 y ? 2 z ? 3 ,当且仅当 ? 1 2 2 ? ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1, ?
即x?

1 2 , y ? z ? 时, x ? 2 y ? 2 z 取得最大值 3………………4 分 3 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)得,不等式 | a ? 3 |? x ? 2 y ? 2 z 对一切正数 x, y, z 恒成立, 当且仅当 | a ? 3 |? 3 成立, 即?

? a ? 3, ? a ? 3, 或? 解得 a ? 0 ,或 a ? 6 , ?3 ? a ? 3, ? a ? 3 ? 3,

所以实数 a 的取值范围是 (??, 0] ? [6, ??) . …………………………7 分


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