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2013年中考数学二轮复习专题突破方案设计题


2013年中考数学二轮复习专题

方案设计型问题要求以方案设计的形式解决数学问题,问 题情境包含实际问题情景和数学问题情境,设计目标有图形设 计问题、测量方案问题、经济方案问题等,它一般包括“问题 情境——模型建立——说明、应用和拓展”等具体求解过程, 三种设计目标所建立的数学模型如下: 1.图形设计方案题:在实际生活的背景下,不只是传统 的简单作图,而是运用轴对称图形和中心对称图形的性质,借 助某些规则的图形(如等腰三角形、菱形、矩形、圆)的性质, 通过对图形进行分解与组合进行创新设计.

2.测量方案设计题:利用全等三角形、相似三角形、锐角 三角函数等设计一个可行的方案,对某一物体的长度、高度、 宽度等进行测量计算. 3.经济方案设计题:提供或寻求到多种解决问题的方案, 并考虑到实施中的经济因素,选择最佳(可行)方案,主要建立 方程模型、函数模型、概率模型以解决问题. 方案设计题贴近生活,具有较强的操作性和实践性,考查学生 的动手实践能力和创新设计才能,解决问题时要慎于思考,并 能在实践中对所有可能的方案进行罗列与分析,得出符合要求 的一种或几种方案.

?

类型之一

测量方案设计问题

例1 [2011·宜宾] 如图1,飞机沿水平方向(A,B两点所在 直线)飞行,前方有一座高山,为了避免飞机飞行过低,就必须 测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和 飞行距离 (因安全因素,飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞 行距离),请设计一个求距离MN的方案,要求: (1)指出需要测量的数据 (用字母表示,并在图中标出); (2)用测出的数据写出求 距离MN的步骤.

图1

解:此题为开放题,答案不唯一,只要方案设计合理即 可,答案列举如下: (1)如图,测出飞机在A处对山顶的俯角为α ,测出飞机在 B处对山顶的俯角为β ,测出AB的距离d,连结AM,BM,过M点 作MN⊥AN,垂足为N.

MN MN (2)第一步骤:在Rt△AMN中,tanα = ,∴AN= ; AN tanα MN MN 第二步骤:在Rt△BMN中,tanβ = ,∴BN= , BN tanβ
由AN=d+BN,解得MN=

d·tanα ·tanβ
tanβ -tanα

.

这是一道测量方案设计的题目,它是在限定条件的情况下, 测量MN之间的距离,对测量方法、测量数据及MN的计算表达 式均无限制,因此解题的方法较多. 构造适当的直角三角形是解 题的关键所在.

1.(2012?河南)某宾馆为庆祝开业,在楼前悬挂了 许多宣传条幅.如图所示,一条幅从楼顶A处放下,在 楼前点C处拉直固定.小明为了测量此条幅的长度,他 先在楼前D处测得楼顶A点的仰角为31°,再沿DB方向 前进16米到达E处,测得点A的仰角为45°.已知点C到 大厦的距离BC=7米,∠ABD=90°.请根据以上数据求 条幅的长度(结果保留整数.参考数据: tan31°≈0.60,sin31°≈0.52,cos31°≈0.86).

解答:解:设AB=x米. ∵∠AEB=45°,∠ABE=90°, ∴BE=AB=x 在Rt△ABD中,tan∠D= AB

即tan31°=
∴x=
16 tan 31? 1 ? tan 31?

x x ? 16

BD



16 ? 0.6 =24. 1 ? 0.6

即AB≈24米 在Rt△ABC中, AC= BC 2 ? AB 2

? 72 ? 242

=25. 即条幅的长度约为25米.

?

类型之二

图形设计方案问题

例2.如图是4×4正方形网格,其中已有3个小方 涂成了黑色.现在要从其余13个白色小方格中 选出一个也涂成黑色,使整个涂成黑色的图形 成为轴对称图形,这样的白色小方格有 4个.

2.(2012?丽水)在方格纸中,选择标有序号①②③④中的一个 小正方形涂黑,与图中阴影部分构成中心对称图形.该小正方 形的序号是( ) A.① B.② C.③ D.④

考点:利用旋转设计图案. 分析:通过观察发现,当涂黑②时,所形成的图形关于点A中心对称. 解答:解:如图,把标有序号②的白色小正方形涂黑,就可以使图 中的黑色部分构成一个中心对称图形.

?

类型之三

经济方案设计题

例3 [2012·南充] 学校6名教师和234名学生集体外出 活动,准备租用45座大车或30座小车.若租用1辆大车2辆小车 共需租车费1000元;若租用2辆大车1辆小车共需租车费1100 元. (1)求大、小车每辆的租车费各是多少元? (2)若每辆车上至少要有一名教师,且总租车费用不超过 2300元,求最省钱的租车方案.

解:(1)设租用一辆大车的租车费是x元,租用一辆小车的 租车费是y元, 依题意, 答:大、小车每辆的租车费分别是400元和300元.

(2)240名师生都有座位,租车总辆数≥6;每辆车上至少 要有一名教师,租车总辆数≤6.故租车总数为6辆,设大车辆 数是x辆,则租小车(6-x)辆. 得: 解得4≤x≤5.

∵x是正整数, ∴x=4或5. 于是有两种租车方案,方案1:大车4辆小车2辆总租车费 用2200元,方案2:大车5辆小车1辆总租车费用2300元,可见 最省钱的是方案1.

3. (2012?内江)某市为创建省卫生城市,有关部 门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种花卉, 搭配A、B两种园艺造型共60个,摆放于入城大道的 两侧,搭配每个造型所需花卉数量的情况下表所示, 结合上述信息,解答下列问题: 造型花卉 甲 乙
A
B

80
50

40
70

(1)符合题意的搭配方案有几种? (2)如果搭配一个A种造型的成本为1000元, 搭配一个B种造型的成本为1500元,试说明选用 那种方案成本最低?最低成本为多少元?

解:(1)设需要搭配x个A种造型,则需要搭配B种造型(60﹣x)个, 则有

解得37≤x≤40, 所以x=37或38或39或40. 第一方案:A种造型37个,B种造型23个; 第二种方案:A种造型38个,B种造型22个; 第三种方案:A种造型39个,B种造型21个. 第四种方案:A种造型40个,B种造型20个. (2)分别计算三种方案的成本为: ①37×1000+23×1500=71500元, ②38×1000+22×1500=71000元, ③39×1000+21×1500=70500元, ④40×1000+20×1500=70000元. 通过比较可知第④种方案成本最低. 答:选择第四种方案成本最低,最低位70000元.

4:(2012 年黑龙江牡丹江)某校为了更好地开展球类运

动,体育组决定用 1 600 元购进足球 8 个和篮球 14 个,并且篮
球的单价比足球的单价多 20 元,请解答下列问题:

(1)求出足球和篮球的单价;
(2)若学校欲用不超过 3 240 元,且不少于 3 200 元再次购进 两种球 50 个,求出有哪几种购买方案? (3)在(2)的条件下,若已知足球的进价为 50 元,篮球的进价

为 65 元,则在第二次购买方案中,哪种方案商家获利最多?

解:(1)设足球的单价为 x 元,则篮球的单价为(x+20)元, 根据题意,得 8x+14(x+20)=1 600,

解得 x=60,x+20=80.
即足球的单价为 60 元,篮球的单价为 80 元. (2)设购进足球 y 个,则购进篮球(50-y)个. 根据题意,得,
?60y+80?50-y?≥3 ? ? ?60y+80?50-y?≤3 ?

200, 240,

?y≤40, ? 解得? ?y≥38. ?

∵y 为整数,∴y=38,39,40. 当y=38 时,50-y=12;当y=39 时,50-y=11;当y= 40 时,50-y=10. 故有三种方案: 方案一:购进足球 38 个,则购进篮球 12 个;

方案二:购进足球 39 个,则购进篮球 11 个;
方案三:购进足球 40 个,则购进篮球 10 个.

(3)商家售方案一的利润:38×(60-50)+12×(80-65)= 560(元); 商 家 售 方 案 二 的 利 润 : 39×(60 - 50) + 11×(80 - 65) = 555(元); 商家售方案三的利润:40×(60-50)+10×(80-65)=550(元).
故第二次购买方案中,方案一商家获利最多. 规律方法:解决此类问题,重在读懂题目,理解题意和弄 清数量关系.通过阅读将实际问题分析、抽象、转化为相关的 代数式,进而列出方程或不等式,最终解答数学问题.

?

类型之四

利用函数设计销售方案

例4 [2012·青岛] 在“母亲节”期间,某校部分团员参 加社会公益活动,准备购进一批许愿瓶进行销售,并将所得利 润捐给慈善机构.根据市场调查,这种许愿瓶一段时间内的销 售量y(个)与销售单价x(元/个)之间的对应关系如图X4-4所示: (1)试判断y与x之间的函数关系, 并求出函数关系式;

图X4-4

(2)若许愿瓶的进价为6元/个,按照上述市场调查的销售 规律,求销售利润w(元)与销售单价x(元/个)之间的函数关系 式; (3)若许愿瓶的进货成本不超过900元,要想获得最大利润, 试确定这种许愿瓶的销售单价,并求出此时的最大利润.

解:(1)y是x的一次函数,设所求函数关系式为y=kx+b. 由于该函数的图象过点(10,300),(12,240),

∴y=-30x+600. 当x=14时,y=180;当x=16时,y=120, 即点(14,180),(16,120)均在函数 y=-30x +600图象 上. ∴y与x之间的函数关系式为y=-30x+600.

(2)w=(x-6)(-30x+600) =-30x2+780x-3600. 即w与x之间的函数关系式为w=-30x2+780x-3600. (3)由题意得6(-30x+600)≤900,解得x≥15. w=-30x2+780x-3600图象的对称轴为 780 x=- =13. 2×(-30) ∵a=-30<0, ∴抛物线开口向下,当x≥13时,w随x增大而减小. ∴当x=15时,w最大=1350. 即以15元/个的价格销售这批许愿瓶可获得最大利润1350 元.

在实际问题或数学问题中建立方程、不等式或函数模型后, 利用不等式(组)、函数的最大(小)值可求最大利润、最大面积、 最佳方案等问题.

5:(2012 年山东聊城)某电子厂商投产一种新型电子产 品,每件制造成本为 18 元,试销过程中发现,每月销售量 y(单 位:万件)与销售单价 x(单位:元)之间的关系可以近似地看作一 次函数 y=-2x+100(利润=售价-制造成本). (1)写出每月的利润 z(单位:万元)与销售单价 x(单位:元) 之间的函数关系式; (2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得 350 万元的利

润?当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润?最大
利润是多少?

(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于

32 元,如果厂商要获得每月不低于 350 万元的利润,那么制造
出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?

解:(1)z=(x-18)y=(x-18)(-2x+100)=-2x2+136x- 1 800, ∴z 与 x 之间的函数解析式为 z=-2x2+136x-1 800. (2)由 z=350,得 350=-2x2+136x-1 800, 解这个方程得 x1=25,x2=43.

所以当销售单价定为25 元或43 元时,厂商每月能获得350 万元的利润. 将 z=-2x2+136x-1 800 配方,得 z=-2(x-34)2+512,

因此,当销售单价为 34 元时,每月能获得最大利润,最大
利润是 512 万元;

(3)结合(2)及函数z=-2x2+136x-1 800 的图象(如图 Z5- 1)可知,

当 25≤x≤43 时,z≥350,
又由限价 32 元,得 25≤x≤32, 根据一次函数的性质,得y=-2x+100 中 y 随 x 的增大而 减小, ∴当 x=32 时,每月制造成本最低. 此时,最低成本是 18×(-2×32+100)=648(万元). 因此,所求每月最低制造成本为 648 万元.

6.(2012?丹东)某商场为了吸引顾客,设计了一种促销活动.在 一个不透明的箱子里放有4个完全相同的小球,球上分别标 有“0元”、“10元”、“30元”和“50元”的字样.规定:顾客在 同一日内,消费每满300元,就可以从箱子里先后摸出两个球(每 次只摸出一个球,第一次摸出后不放回).商场根据两个小球所标 金额之和返还相应价格的购物券,可以重新在本商场消费.某顾客 消费刚好满300元,则在本次消费中: (1)该顾客至少可得 元购物券,至多可得 元购物券; (2)请用画树状图或列表法,求出该顾客所获购物券的金额不 低于50元的概率.

解:(1)根据题意得:该顾客至少可得购物券:0+10=10(元), 至多可得购物券:30+50=80(元). 故答案为:10,80.

(2)列表得:

0
0
10

10
(30,10) (50,10)

30
(10,30)

50
(10,50)

(10,0)

(0,10) (0,30) (0,50)

30 50

(30,0) (50,0)

(50,30)

(30,50)

-

∵两次摸球可能出现的结果共有12种,每种结果出现的可能性相同, 而所获购物券的金额不低于50元的结果共有6种. 1 ∴该顾客所获购物券的金额不低于50元的概率是:

2


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