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高中数学竞赛


第七章 解三角形 一、基础知识 在本章中约定用 A,B,C 分别表示△ABC 的三个内角,a, b, c 分别表示它们所对的各边长, p? a?b?c 为半周长。 2 a b c ? ? 1.正弦定理: =2R(R 为△ABC 外接圆半径) 。 sin A sin B sin C 1 1 1 推论 1:△ABC 的面积为 S△ABC= ab sin C ? bc sin A ? ca sin B. 2 2 2 推论 2:在△ABC 中,有 bcosC+ccosB=a. 推论 3:在△ABC 中,A+B= ? ,解 a 满足 a b ,则 a=A. ? sin a sin(? ? a) 正弦定理可以在外接圆中由定义证明得到,这里不再给出,下证推论。先证推论 1,由正弦函数定义, 1 ab sin C ;再证推论 2,因为 B+C= ? -A,所以 sin(B+C)=sinA,即 2 a b ? sinBcosC+cosBsinC=sinA,两边同乘以 2R 得 bcosC+ccosB=a;再证推论 3,由正弦定理 , sin A sin B 1 sin a sin ( ? a) ? 所以 ,即 sinasin( ? -A)=sin( ? -a)sinA,等价于 ? [cos( ? -A+a)-cos( ? -A-a)]= ? 2 sin A sin ( ? A) ? 1 ? [cos( ? -a+A)-cos( ? -a-A)],等价于 cos( ? -A+a)=cos( ? -a+A),因为 0< ? -A+a, ? -a+A< ? . 所以只 2 有 ? -A+a= ? -a+A,所以 a=A,得证。 b2 ? c2 ? a2 2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA ? cos A ? ,下面用余弦定理证明几个常用的结论。 2bc b2 p ? c2q 2 (1) 斯特瓦特定理: 在△ABC 中, 是 BC 边上任意一点, D BD=p, DC=q, AD = 则 ? pq. p?q BC 边上的高为 bsinC,所以 S△ABC= (1) 【证明】 2 2 所以 c =AD2+p2-2AD·pcos ?ADB . 2 2 因为 c2=AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos ? ADB , ① ② 同理 b =AD +q -2AD·qcos ?ADC , 因为 ? ADB+ ? ADC= ? , 所以 cos ? ADB+cos ? ADC=0, 所以 q×①+p×②得 qc +pb =(p+q)AD +pq(p+q),即 AD = 2 2 2 2 b2 p ? c2q ? pq. p?q 注:在(1)式中,若 p=q,则为中线长公式 ( 2 ) 海 伦 公 式 : 因 为 ? AD ? 2 S ?ABC 2b 2 ? 2c 2 ? a 2 . 2 1 1 ? b c sin A= bc 4 4 2 2 2 2 2 2 (1-cos A)= 2 1 4 bc 2 2 ? (b 2 ? c 2 ? a 2 ) 2 ? 1 2 ?1 ? ? ? [(b+c) -a ][a -(b-c) 2 2 4b c ? ? 16 a?b?c . 这里 p ? 2 所以 S△ABC= p( p ? a)( p ? b)( p ? c). 2 2 ]=p(p-a)(p-b)(p-c). 二、方法与例题 1 1.面积法。 例 1 (共线关系的张角公式)如图所示,从 O 点发出的三条射线满足 ?POQ

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