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求函数值域的几种方法用


求函数值域的几种方法
常用函数的值域,这是求其他复杂函数值域的基础。 1.函数 y ? kx ? b(k ? 0, x ? R) 的值域为 R; 2.二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0, x ? R) 当 a ? 0 时值域是[ 4ac ? b ,+ ?) ,
2

4a

当 a ? 0 时值域是

( ??, 4ac ? b ];
2

4a

3.反比例函数 y ? k (k ? 0, x ? 0) 的值域为 { y | y ? 0} ;
x

4.指数函数 y ? a x (a ? 0, 且a ? 1, x ? R) 的值域为 R ? ; 5.对数函数 y ? loga x (a ? 0, 且a ? 1, x ? 0) 的值域为 R; 6.函数 y ? sin x, 一 观察法 观察法是最简单的求函数值域的方法, 此法适用于那些形式比较简单的函数 例 1 求函数 y ?
1 2 ? x2
y ? cos x ( x ? R) 的值域为[-1,1];函数 y ? tan x, x ? k? ?

?
2

,的值域为 R;

的值域。

二、配方法: 是求二次函数类值域最基本的方法,像 F ( x) ? af ( x) ? bf ( x) ? c 的函数的值域问题, 均可用配方法。
2

例 2、求函数 y ? x 2 ? 2x ? 5, x ?[?1,2] 的值域。

例 3.设 0 ≤ x ≤ 2 ,求函数 f ( x) ? 4x ? 3 2x?1 ? 1 的值域.

三、分离常数法 适用于分式型函数,且分子、分母是同次,我们可以采用凑配分子的方法,把函数分 离成一个常数和一个分式和的形式,而此时的分式,只有分母上含有变量,进而可利用函 数性质确定其值域. 例 4.求 y ?

x2 ? x 的值域 x2 ? x ? 1

2x 例 5.求函数 y ? x 的值域. 2 ?1

四.不等式法: 利用基本不等式求函数值域时,要注意条件“一正二定三相等” 。 例 6、求函数 y ?

(x ? 5)( x ? 2) (x ? ?1) 的值域。 x ?1

五.判别式法 对于形如 y ?

a1 x2 ? b1 x ? c1 ( a1 , a2 不同时为 0 ) (尤其适用于分母为二次多项式) a2 x2 ? b2 x ? c2

的函数常采用此法,就是把函数转化成关于 x 的一元二次方程(二次项系数不为 0 时) ,通 过方程有实数根,从而根的判别式大于等于零,求得原函数的值域. 例 7. 求 y ?

2 x2 ? 2 x ? 3 的值域. x2 ? x ? 1

评注:①在解此类题的过程中要注意讨论二次项系数是否为零; ②使用此法须在 x ? R 或仅 有个别值(个别值是指使分母为 0 的值,处理方法为将它们代入方程求出相应的 y 值,若在 求出的值域中则应除去此 y 值)不能取的情况下,否则不能使用,如求函数 y ?

1 ? x ? x2 , 1 ? x2

x ? (2, 3) 的值域,则不能使用此方法.
六.换元法 有时候为了沟通已知与未知的联系, 我们常常引进一个 (几个) 新的量来代替原来的量, 实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质,发现解题方 向,这就是换元法.在求值域时,我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函 数,从而求得原函数的值域. 例 8 求函数 y ? x ? 2x ?1 的值域. 求函数 y ? x ? 1 ? x 2 的值域。

对 形 如 y ? ax ? b ? cx ? d (a ? 0, c ? 0) 的 函 数 常 设 t ? cx ? d 来 求 值 域 ; 对 形 如 , y ? ax ? b ? c ? cx 2 (a ? 0, c ? 0) 的函数常用“三角换元” 七、单调性法: 确定函数在定义域(或在定义域的子集)上的单调性求出函数的值域。 例 9、求函数 y ? 2 x ?5 ? log3 x ? 1(2 ? x ? 10) 的值域。 例 10、求函数 y = ( 1/3) - x
+2x +3

的值域。

例 11 求函数 y ? 3x ? 6 ? 8 ? x

八 数形结合法 数形结合是中学数学中的一种重要的数学思想方法。数是形的抽象概括,形是数的直 观表现。华罗庚先生指出:数缺形时少直觉,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家 万事休。 这种方法不仅仅体现在数学的其它领域中, 在求函数的值域与最值时也有良好的反 映。 例 12 求函数 y ? x ?1 ? x ? 3 的值域. 例 13、已知 x+y+1=0,则

? x ? 1? ? ? y ? 1?
2

2

的最小值是



九. 利用导数求函数的值域


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