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高中数学解题方法谈 斜二测画法中的逆向问题


斜二测画法中的逆向问题
我们知道: 斜二测画法是画平面图形的直观图与空间图形的直观图的一种方法. 这种画 法强调了两种数量关系:

建立在这个画法的基础上, 画出一个平面图形与空间图形的直观图是不成问题的; 而建 立在直观图的基础上,求与原图有关的内容,也就是本文所说的逆向问题,你掌握了吗?我 们来看看下面几个小问题. 1、求线段长度 例 1 如图 1 所求,四边形 OABC 是上底为 2,下底为 6, 底角为 45 的等腰梯形,由斜二测画法,画出这个梯形的 直观图 O ?A?B ?C ? ,在直观图中梯形的高为( A. ) D.

3 2

B. 1

C.

2 2

1 2

解:按斜二测画法,得梯形的直观图 O ?A?B ?C ? ,如图 2 所示,原图形中梯形的高 CD ? 2 ,在直观图中 C ?D? ? 1 , 且 ?C?D?E? ? 45 ,作 C ?E ? 垂直 x? 轴于 E ? ,则 C ?E ? 即为 直观图中梯形的高,那么 C ?E ? ? C ?D? sin 45 ?

2 , 2

故正确答案为(C) 2、求面积 例 2 一水平放置的平面图形, 用斜二测画法画出了它的直观图, 此直观图恰好是一个边长为 2 的正方形,如图 3 则原平面图形的面积为( ) A. 4 3 B. 4 2 C. 8 3 D. 8 2

解:由斜二测画法可知,原图形是一个平行四边形,且平行四边形的一组对边长为 2,在斜

?BOA ? 90 且 OB ? 4 2 , 二测图形中 O?B? ? 2 2 , 且 ?B?O?A? ? 45 , 那么在原图形中,
因此,原平面图形的面积为 2 ? 4 2 ? 8 2 ,故正确答案为(D) . 评析:本题抓住在斜二测画法中平行于 x 轴的线段画为平行于 x? 轴,
用心 爱心 专心 1

得到了原图形是平行四边形;画结合原图形中垂直在直观图中画为夹 角 45 ,得到原图形中的高,从而得到结论.

3、画原图形 例 3 如图 4, A?B?C ?D? 是边长为 1 的正方形,又知它是某 个四边形按斜二测画法画出的直观图,请画出该四边形的原图形. 解:由于 A?B?C ?D? 是边长为 1 的正方形,则 ?D?A?C? ? 45 .

,A?D? 所在的直线分别为 x?,y? 轴. 于是取 A?C ?
画两条垂直的有向直线,分别为 x, y 轴, A 为原点,

AC 在 x 轴上, 且 AC ? 2 , 再在 y 轴上取点 D , 使 AD ? 2 , 取 AC 的中点 E , 连结 DE
并延长至 B 使 DE ? EB ,连结 DC,CB,BA 得四边形 ABCD ,即为正方形 A?B?C ?D? 的 原图形,见图 5. 至此, 可以看出斜二测画法看似是一种比较简单的画图方法, 但当我们认真深入其中时, 会发现并非都是简单问题.逆向斜二测问题有时还真有点难度,必须细心分析,才能保证万 无一失.

用心

爱心

专心

2


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