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高一数学教案:第二十课时 对数(1)


高一数学教案:第二十课时 对数(1)
【学习导航】 底
对数的 定义 对数与指数的

知识网络

数 数

对 真

对 数

关系关系有关 对数的运算



概念

性质 对数函数及性
<

br />学习要求



1. 理解对数的概念; 2. 能够进行对数式与指数式的互化; 3.会根据对数的概念求一些特殊的对数式的值。

自学评价
1. 对数定义: 一般地,如果 a ( a ? 0且a ? 1 )的 b 次幂等于 N , 即 a b ? N ,那么就称 b 是以 a 为 底 N 的对数(logarithm),记作 log a N ? b ,其中, a 叫做对数的底数(base of logarithm), N 叫做真数(proper number)。 着重理解对数式与指数式之间的相互转化关系,理解, a b ? N 与 b ? log a N 所表示的是

a, b, N 三个量之间的同一个关系。
2. 对数的性质: (1) 零和负数没有对数 (2) log a 1 ? 0 (3) log a a ? 1 这三条性质是后面学习对数函数的基础和准备,必须熟练掌握和真正理解。 3. 两种特殊的对数是①常用对数:以 10 作底 log10 N 简记为 lg N ②自然对数:以 e 作底(为无理数), ,

e = 2.718 28…… , log e N 简记为 ln N .
4.对数恒等式(1) log a a b ? b (2) a
log a N

?N

【精典范例】 例 1:将下列指数式写成对数式: (1) 24 ? 16 ; (3) 5a ? 20 ; 【解】
-1-

(2) 3?3 ?

1 ; 27

(4) ? ? ? 0.45 .

?1? ?2?

b

(1) log 2 16 ? 4 (3) log 5 20 ? a

(2) log 3

1 ? ?3 27 (4) log 1 0.45 ? b
2

例 2:.将下列对数式写成指数式: (1) log 5 125 ? 3 ; (2) log 1 3 ? ?2 ;

(3) lg 0.01 ? ?2 ;

(4)

ln10 ? 2.303 .
【解】 (1) 53 ? 125 (3) 10?2 ? 0.01 (2) (

3

1 ?2 ) ?3 3

(4) e 2.303 ? 10

点评: 两题的关键是抓住对数与指数幂的关系进行变换 例 3:.求下列各式的值: ⑴ log 2 64 ;

1 ⑵ log 2 ; 16

(3) lg10000 ;(4)3

log3

1 27

; (5)log (2?

3)

(2 ? 3)

分析:根据对数的概念,将对数式还原成指数式即可得出(1)(2)(3)(5),(4) 用对数的恒等式 【解】 (1) 由 26 ? 64 ,得 log 2 64 ? 6 (2) 由 2?4 ?

1 1 ,得 log 2 ? ?4 16 16

(3) 由 104 ? 10000 ,得 lg10000 ? 4 (4) 3
log3 1 27

?

1 27
(2 ? 3) ? ?1
log N

(5) log (2?

3)

点评: 利用对数恒等式 a a ? N (a ? 0 且 a ? 1 , N ? 0) ,应用此公式时,一定要注意 公式的结构,当指数的底和对数的底是同一个数时,能用此公式化简。 追踪训练一

1.将 35 ? 243 化为对数式 2.将 lg a ? 0.4771 化为指数式 3.求值:(1) log 3 81 答案:1. log 3 243 ? 5 (2) log 0.45 1

-2-

2. 100.4771 ? a 3.(1)4 (2)0 【选修延伸】 一、对数式与指数式 关系的应用 例 4:计算: ① log 9 27 ,② log 3 【解】解:①设 x ? log 9 27 ②方法同①
54

625 .

则 9 x ? 27 ,

32 x ? 33 , ∴ x ?

3 2

∴ log 9 27 ?

3 2

log 3

54

625 ? 3
听课 随笔

例 5:求 x 的值:

3 ① log 3 x ? ? ; 4 ② log ? 2 ? ? 3 x 2 ? 2 x ? 1? ? 1 .
?2x ?

?1?
?

③ log x 3 ? ? 【解】
? 3 4

3 5

① x?3 2 ② 3x ? 2 x ? 1 ? 2 x 2 ? 1 ? x 2 ? 2 x ? 0

? 2x2 ?1 ? 0 ? , ∴ x ? 0 舍去 ,从而 x ? ?2 . ? x ? 0, x ? ?2 但必须: ? 2 x 2 ? 1 ? 1 ?3 x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ?
③x
? 3 5

? 3 ? (3 )

?

5 3 ? 3 5

∴x?3

?

5 3。

点评:本题的关键是根据对数的概念, 将对数式还原成指数式, 但要注意对数式中底数 和真数的取值要求。 思维点拔: 要明确 a, b, N 在对数式与指数式中各自的含义,在指数式 a b ? N 中, a 是底数, b 是 指数, N 是幂;在对数式 b ? log a N 中,a 是对数的底数, N 是真数,b 是以 a 为底 N 的 对数,虽然 a, b, N 在对数式与指数式中的名称不同,但对数式与指数式有密切的联系:求 对数 log a N 就是求 a b ? N 中的指数,也就是确定 a 的多少次幂等于 N 。

追踪训练二 求下列各式中的 x 的值: ⑴logx9=2;⑵lgx2= -2;

-3-

⑶log2[log2(log2x)]=0 答案:(1) x ? 3 (3) x ? 4 (2) x ? ?

1 10

学生 质疑

教师 释疑

-4-


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