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【步步高】(四川专用)2014届高三数学大一轮复习讲义 专题三 三角函数与平面向量的综合应用 理 新人教A版


专题三

三角函数与平面向量的综合应用

1. 三角恒等变换 (1)公式:同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式. (2)公式应用:注意公式的正用、逆用、变形使用的技巧,观察三角函数式中角之间的联 系,式子之间以及式子和公式间的联系. (3)注意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范围. 2. 三角函数的性质 (1)研究三角函数的性质,

一般要化为 y=Asin(ω x+φ )的形式,其特征:一角、一次、 一函数. (2)在讨论 y=Asin(ω x+φ )的图象和性质时,要重视两种思想的应用:整体思想和数 形结合思想,一般地,可设 t=ω x+φ ,y=Asin t,通过研究这两个函数的图象、性 质达到目的. 3. 解三角形 解三角形问题主要有两种题型:一是与三角函数结合起来考查,通过三角变换化简,然 后运用正、余弦定理求值;二是与平面向量结合(主要是数量积),判断三角形形状或结 合正、余弦定理求值.试题一般为中档题,客观题、解答题均有可能出现. 4. 平面向量 平面向量的线性运算,为证明两线平行提供了重要方法.平面向量数量积的运算解决了 两向量的夹角、垂直等问题.特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合,体现 了向量应用的广泛性.

?π ? cos? +α ?sin? -π -α ? ?2 ? 1. 已知角 α 终边上一点 P(-4,3),则 的值为________. ?11π -α ?sin?9π +α ? cos? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ?
3 答案 - 4

解析

?π ? cos? +α ?sin? -π -α ? -sin α ?sin α ?2 ? = =tan α . -sin α ?cos α ?11π -α ?sin? 9π +α ? cos? ? 2 ? 2 ?

1

y 3 根据三角函数的定义得 tan α = =- . x 4

?π ? cos? +α ?sin? -π -α ? 2 3 ? ? 所以 =- . 11π 9π 4 ? -α ?sin? +α ? cos? ? ? 2 ? 2 ? ? ? ?
2. 已知 f(x)=sin(x+θ )+ 3cos(x+θ )的一条对称轴为 y 轴,且 θ ∈(0,π ),则 θ =________. 答案 π 6

解析 f(x)=sin(x+θ )+ 3cos(x+θ ) π? π π π ? =2sin?x+θ + ?,由 θ + =kπ + (k∈Z)及 θ ∈(0,π ),可得 θ = . 3? 3 2 6 ?

? π? 3. 如图所示的是函数 f(x)=Asin(ω x+φ )+B(A>0, >0, |∈?0, ?) ω |φ 2? ?
图象 的一部分,则 f(x)的解析式为____________.

?2 π ? 答案 f(x)=2sin? x+ ?+1 6? ?3
解析 由于最大值和最小值之差等于 4,故 A=2,B=1. π ? π? 由于 2=2sin φ +1,且|φ |∈?0, ?,得 φ = . 2? 6 ? π 由图象知 ω (-π )+φ =2kπ - (k∈Z), 2 2 2π 得 ω =-2k+ (k∈Z).又 >2π , 3 ω 2 ∴0<ω <1.∴ω = . 3

?2 π ? ∴函数 f(x)的解析式是 f(x)=2sin? x+ ?+1. 6? ?3
4. (2012?四川改编)如图,正方形 ABCD 的边长为 1,延长 BA 至 E,使 AE=1, 连接 EC、ED,则 sin∠CED=________. 答案 10 10

解析 方法一 应用两角差的正弦公式求解. 由题意知,在 Rt△ADE 中,∠AED=45°, 在 Rt△BCE 中,BE=2,BC=1,

2

∴CE= 5,则 sin∠CEB= 而∠CED=45°-∠CEB,

1

2 ,cos∠CEB= . 5 5

∴sin∠CED=sin(45°-∠CEB) = = 2 (cos∠CEB-sin∠CEB) 2 1? 2 ? 2 10 ?? - ?= . 2 ? 5 5? 10

方法二 利用余弦定理及同角三角函数基本关系式求解. 由题意得 ED= 2,EC= 1 +2 = 5. 在△EDC 中,由余弦定理得 cos∠CED=
2 2

CE2+DE2-DC2 3 = 10, 2CE?DE 10

又 0<∠CED<π , ∴sin∠CED= 1-cos ∠CED = 1-?
2

? 3 10?2= 10. ? 10 ?10 ?

5. 如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AD⊥AB,AD=1,BC=2,AB → → =3,P 是 BC 上的一个动点,当PD?PA取得最小值时,tan∠DPA 的 值为________. 答案 12 35

解析 如图,以 A 为原点,建立平面直角坐标系 xAy,则 A(0,0),

B(3,0),C(3,2),D(0,1),设∠CPD=α ,∠BPA=β , P(3,y) (0≤y≤2).
→ → ∴PD=(-3,1-y),PA=(-3,-y), → → 2 ? 1?2 35 ∴PD?PA=y -y+9=?y- ? + , ? 2? 4 1 → → ? 1? ∴当 y= 时,PD?PA取得最小值,此时 P?3, ?, 2 ? 2? → → 易知|DP|=|AP|,α =β . 3 在△ABP 中,tan β = =6, 1 2 tan∠DPA=-tan(α +β )= 2tan β 12 = . 2 tan β -1 35
3

题型一 三角恒等变换 例1 π? 3 π 3π sin α -cos 2α +1 ? 设 <α < ,sin?α - ?= ,求 的值. 4? 5 3 4 tan α ? 思维启迪:可以先将所求式子化简,寻求和已知条件的联系. 解 得 π 3π 方法一 由 <α < , 3 4 π? 3 π π π ? <α - < ,又 sin?α - ?= , 4? 5 12 4 2 ?

π? 4 ? 所以 cos?α - ?= . 4? 5 ? π π 所以 cos α =cos[(α - )+ ] 4 4 π? π? π π 2 ? ? =cos?α - ?cos -sin?α - ?sin = , 4? 4? 4 4 10 ? ? 7 2 所以 sin α = . 10 sin α +2sin α 14+5 2 故原式= =cos α (1+2sin α )= . sin α 50 cos α π? 3 3 2 ? 方法二 由 sin?α - ?= ,得 sin α -cos α = , 4? 5 5 ? 18 两边平方,得 1-2sin α cos α = , 25 7 即 2sin α cos α = >0. 25 π 3π π π 由于 <α < ,故 <α < . 3 4 3 2 32 2 因为(sin α +cos α ) =1+2sin α cos α = , 25 4 2 故 sin α +cos α = , 5 7 2 2 解得 sin α = ,cos α = .下同方法一. 10 10 探究提高 三角变换的关键是寻求已知和所求式子间的联系,要先进行化简,角的转化 是三角变换的“灵魂”.要注意角的范围对式子变形的影响.
4
2

π? 7π ? 4 3 ? ? 已知 cos?α - ?+sin α = ,则 sin?α + ?的值是 6? 6 ? 5 ? ? ( ) B. D. 2 3 5 4 5

2 3 A.- 5 4 C.- 5 答案 C

π? π? 4 4 3 3 3 4 3 ? ? 解析 cos?α - ?+sin α = ? sin α + cos α = ? sin?α + ?= , 6? 6? 5 5 2 2 5 ? ? 7π ? π? 4 ? ? 所以 sin?α + ?=-sin?α + ?=- . 6 ? 6? 5 ? ? 题型二 三角函数的图象与性质 例2 π π (2011?浙江)已知函数 f(x)=Asin( x+φ ), ∈R,A>0,0<φ < , x 3 2

y= f(x)的部分图象如图所示,P、Q 分别为该图象的最高点和最低点,
点 P 的坐标为(1,A). (1)求 f(x)的最小正周期及 φ 的值; 2π (2)若点 R 的坐标为(1,0),∠PRQ= ,求 A 的值. 3 思维启迪:三角函数图象的确定,可以利用图象的周期性、最值、已知点的坐标列方程 来解决. 解 2π (1)由题意得 T= =6. π 3

π 因为 P(1,A)在 y=Asin( x+φ )的图象上, 3 π 所以 sin( +φ )=1. 3 π π 又因为 0<φ < ,所以 φ = . 2 6 (2)设点 Q 的坐标为(x0,-A).

5

π π 3π 由题意可知 x0+ = ,得 x0=4,所以 Q(4,-A). 3 6 2 2π 连接 PQ,在△PRQ 中,∠PRQ= ,由余弦定理得 3 cos∠PRQ= 3. 探究提高 本题确定 φ 的值时,一定要考虑 φ 的范围;在三角形中利用余弦定理求 A 是本题的难点. 已知函数 f(x)=Asin ω x+Bcos ω x(A,B,ω 是常数,ω >0)的最小正周 1 期为 2,并且当 x= 时,f(x)max=2. 3 (1)求 f(x)的解析式;

RP2+RQ2-PQ2 A2+9+A2-? 9+4A2? 1 2 = =- ,解得 A =3.又 A>0,所以 A= 2 2RP?RQ 2 2A? 9+A

?21 23? (2)在闭区间? , ?上是否存在 f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果 ?4 4?
不存在,请说明理由. 解 2π 2 2 (1)因为 f(x)= A +B sin(ω x+φ ),由它的最小正周期为 2,知 =2,ω =π , ω

1 1 π π 又因为当 x= 时,f(x)max=2,知 π +φ =2kπ + (k∈Z),φ =2kπ + (k∈Z), 3 3 2 6 π? π? ? ? 所以 f(x)=2sin?π x+2kπ + ?=2sin?π x+ ?. 6? 6? ? ? π? ? 故 f(x)的解析式为 f(x)=2sin?π x+ ?. 6? ? (2)当垂直于 x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时,该直线就是正弦曲线的对称 π π 1 21 1 23 59 65 轴,令 π x+ =kπ + (k∈Z),解得 x=k+ ,由 ≤k+ ≤ ,解得 ≤k≤ , 6 2 3 4 3 4 12 12 16 ?21 23? 又 k∈Z,知 k=5,由此可知在闭区间? , ?上存在 f(x)的对称轴,其方程为 x= . 3 ?4 4? 题型三 三角函数、平面向量、解三角形的综合应用 例3

? ? ? ? 已知向量 m=? 3sin ,1?,n=?cos ,cos ?. 4 ? 4 4? ? ?
x x
2

x

(1)若 m?n=1,求 cos?

?2π -x?的值; ? ? 3 ?

(2)记 f(x)=m?n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a-c)cos

B=bcos C,求函数 f(A)的取值范围.
思维启迪:(1)由向量数量积的运算转化成三角函数式,化简求值.(2)在△ABC 中,求

6

出∠A 的范围,再求 f(A)的取值范围. 解 (1)m?n= 3sin ?cos +cos 4 4 4

x

x

2

x

1+cos 2 3 x ?x π ? 1 = sin + =sin? + ?+ , 2 2 2 ?2 6 ? 2

x

?x π ? 1 ∵m?n=1,∴sin? + ?= . ?2 6 ? 2
π? 1 ? π? 2?x cos?x+ ?=1-2sin ? + ?= , 3? ? ?2 6 ? 2 cos?

?2π -x?=-cos?x+π ?=-1. ? ? ? 3? 2 ? 3 ? ?

(2)∵(2a-c)cos B=bcos C, 由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C, ∴2sin Acos B-sin Ccos B=sin Bcos C. ∴2sin Acos B=sin(B+C). ∵A+B+C=π ,∴sin(B+C)=sin A≠0. 1 π 2π ∴cos B= ,∵0<B<π ,∴B= .∴0<A< . 2 3 3 ∴ π A π π ?A π ? ?1 ? < + < ,sin? + ?∈? ,1?. 6 2 6 2 ?2 6 ? ?2 ?

?x π ? 1 又∵f(x)=sin? + ?+ . ?2 6 ? 2 ?A π ? 1 ∴f(A)=sin? + ?+ . ?2 6 ? 2 ? 3? 故函数 f(A)的取值范围是?1, ?. ? 2?
探究提高 (1)向量是一种解决问题的工具, 是一个载体, 通常是用向量的数量积运算或 性质转化成三角函数问题. (2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、 余弦定理进行转化, 注意角的范围对变形过程 的影响. 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 lg a-lg b=lg cos B -lg cos A≠0. (1)判断△ABC 的形状; (2)设向量 m=(2a,b),n=(a,-3b),且 m⊥n,(m+n)?(n-m)=14,求 a,b,c 的 值. 解 (1)因为 lg a-lg b=lg cos B-lg cos A≠0,
7

所以 =

a cos B ≠1,所以 sin 2A=sin 2B 且 a≠b. b cos A

因为 A,B∈(0,π )且 A≠B, 所以 2A=π -2B,即 A+B= π 且 A≠B. 2

所以△ABC 是非等腰的直角三角形. (2)由 m⊥n,得 m?n=0.所以 2a -3b =0.① 由(m+n)?(n-m)=14,得 n -m =14, 所以 a +9b -4a -b =14,即-3a +8b =14.② 联立①②,解得 a= 6,b=2.所以 c= a +b = 10. 故所求的 a,b,c 的值分别为 6,2, 10.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

高考中的平面向量、三角函数客观题

典例 1:(5 分)(2012?山东)函数 y =2sin ? ( ) A.2- 3 B.0

?π x-π ? (0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 3? ? 6 ?

C.-1

D.-1- 3

考点分析 本题考查三角函数的性质,考查整体思想和数形结合思想. π π 解题策略 根据整体思想,找出角 x- 的范围,再根据图象求函数的最值. 6 3 π π x π 7π 解析 由题意- ≤ - ≤ . 3 6 3 6 画出 y=2sin x 的图象如图,知, 当 当 π π π x- =- 时,ymin=- 3. 6 3 3 π π π x- = 时,ymax=2. 6 3 2

故 ymax+ymin=2- 3. 答案 A 解后反思 (1)函数 y=Asin(ω x+φ )可看作由函数 y=Asin t 和 t=ω x+φ 构成的复 合函数. (2)复合函数的值域即为外层函数的值域,可以通过图象观察得到. → → 典例 2: 分)(2012?天津)在△ABC 中, A=90°, =1, =2.设点 P, 满足AP=λ AB, (5 ∠ AB AC Q

8

→ (

AQ=(1-λ )AC,λ ∈R.若BQ?CP=-2,则 λ 等于
) 1 3 2 B. 3 C. 4 3 D.2



→ →

A.

考点分析 本题考查向量的线性运算,考查向量的数量积和运算求解能力. → → → → 解题策略 根据平面向量基本定理,将题中的向量BQ,CP分别用向量AB,AC表示出来, 再进行数量积计算. → → → → → 解析 BQ=AQ-AB=(1-λ )AC-AB, → →

CP=AP-AC=λ AB-AC, BQ?CP=(λ -1)AC2-λ AB2=4(λ -1)-λ =3λ -4=-2,即 λ = .
答案 B 解后反思 基础; (2)本题在求解过程中利用了方程思想. (1)利用平面向量基本定理结合向量的线性运算表示向量是向量问题求解的 → → → 2 3

→ →

→ →

方法与技巧 1.研究三角函数的图象、性质一定要化成 y=Asin(ω x+φ )+B 的形式,然后利用数形结合 思想求解. 2.三角函数与向量的综合问题,一般情况下向量知识作为一个载体,可以先通过计算转化为 三角函数问题再进行求解. 失误与防范 1.三角函数式的变换要熟练公式,注意角的范围. 2.向量计算时要注意向量夹角的大小,不要混同于直线的夹角或三角形的内角.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) → → 1. (2012?大纲全国)△ABC 中,AB 边的高为 CD,若CB=a,CA=b,a?b=0,|a|=1,|b|

9

→ =2,则AD等于 ( ) 2 2 B. a- b 3 3 4 4 D. a- b 5 5

1 1 A. a- b 3 3 3 3 C. a- b 5 5 答案 D

解析 利用向量的三角形法则求解. 如图,∵a?b=0,∴a⊥b, ∴∠ACB=90°, ∴AB= AC +BC = 5. 又 CD⊥AB,∴AC =AD?AB, 4 5 → 4→ 4 4 4 ∴AD= .∴AD= AB= (a-b)= a- b. 5 5 5 5 5 2. 已知向量 a=(2, x), =(cos x,2cos x), sin b 则函数 f(x)=a?b 的最小正周期是( A. π 2 B.π C.2π D.4π
2 2 2 2

)

答案 B 解析 f(x)=2cos x+2sin xcos x=1+cos 2x+sin 2x π? 2π ? =1+ 2sin?2x+ ?,T= =π . 4? 2 ? 3. 已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=( 3,-1),n=(cos A, sin A).若 m⊥n,且 acos B+bcos A=csin C,则角 A,B 的大小分别为 ( A. π π , 6 3 ) 2π π B. , 3 6 C. π π , 3 6 D. π π , 3 3
2

答案 C 解析 由 m⊥n 得 m?n=0,即 3cos A-sin A=0,

? π? 即 2cos?A+ ?=0, 6? ?
∵ π π 7π π π π <A+ < ,∴A+ = ,即 A= . 6 6 6 6 2 3

又 acos B+bcos A=2Rsin Acos B+2Rsin Bcos A =2Rsin(A+B)=2Rsin C=c=csin C, π π π π 所以 sin C=1,C= ,所以 B=π - - = . 2 3 2 6
10

→ → → → 4. 已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA=( 2cos α , 2sin α ),则向量OA与 → 向量OB的夹角的取值范围是 ( ) B.?

? π? A.?0, ? 4? ?
C.?

?π , 5 π ? ? ? 4 12 ?
D.?

? 5 π ,π ? 2? ?12 ?

?π , 5 π ? ? ?12 12 ?

答案 D → → → 解析 由题意,得:OA=OC+CA=(2+ 2cos α ,2+ 2sin α ),所以 → 2 2 点 A 的轨迹是圆(x-2) +(y-2) =2,如图,当 A 位于使向量OA与圆相 → → 切时,向量OA与向量OB的夹角分别达到最大、最小值,故选 D. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. (2012?北京)在△ABC 中,若 a=3,b= 3,∠A= 答案 π 2 π ,则∠C 的大小为________. 3

解析 利用正弦定理及三角形内角和性质求解. 在△ABC 中,由正弦定理可知 3? 3 3 2 = , sin A sin B

a

b

即 sin B=

bsin A = a

1 = . 2

π 又∵a>b,∴∠B= . 6 π ∴∠C=π -∠A-∠B= . 2 6. 在直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(-1,2), (2cos x, B -2cos 2x), (cos x,1), C 其中 x∈[0, → → π ],若AB⊥OC,则 x 的值为______. 答案 π π 或 2 3

→ → 解析 因为AB=(2cos x+1,-2cos 2x-2),OC=(cos x,1), → → 所以AB?OC=(2cos x+1)cos x+(-2cos 2x-2)?1 =-2cos x+cos x=0, 1 π π 可得 cos x=0 或 cos x= ,所以 x 的值为 或 . 2 2 3
11
2

7. 已知函数 f(x)=sin x -cos x ,且 f′(x)=2f(x), f′(x)是 f(x)的导函数,则 1+sin x =________. 2 cos x-sin 2x 19 答案 - 5 解析 由题意知,f′(x)=cos x+sin x,由 f′(x)=2f(x), 得 cos x+sin x=2(sin x-cos x),得 tan x=3, 1+sin x 1+sin x 所以 2 = 2 cos x-sin 2x cos x-2sin xcos x 2sin x+cos x 2tan x+1 19 = = =- . 2 cos x-2sin xcos x 1-2tan x 5 三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)已知 A,B,C 的坐标分别为 A(3,0),B(0,3),C(cos α ,sin α ),α ∈? → → (1)若|AC|=|BC|,求角 α 的值; 2sin α +sin 2α → → (2)若AC?BC=-1,求 的值. 1+tan α 解 → → (1)∵AC=(cos α -3,sin α ),BC=(cos α ,sin α -3),
2 2 2 2 2 2 2

?π ,3π ?. 2 ? ?2 ?

→2 2 2 ∴AC =(cos α -3) +sin α =10-6cos α , →2

BC =cos2α +(sin α -3)2=10-6sin α ,
→ → →2 →2 由|AC|=|BC|,可得AC =BC , 即 10-6cos α =10-6sin α ,得 sin α =cos α . 5π ?π 3π ? 又 α ∈? , ?,∴α = . 2 ? 4 ?2 → → (2)由AC?BC=-1, 得(cos α -3)cos α +sin α (sin α -3)=-1, 2 ∴sin α +cos α = .① 3 2sin α +sin 2α 2sin α +2sin α cos α 又 = =2sin α cos α . 1+tan α sin α 1+ cos α 4 由①式两边分别平方,得 1+2sin α cos α = , 9 5 2sin α +sin 2α 5 ∴2sin α cos α =- .∴ =- . 9 1+tan α 9
2 2 2

12

9. (12 分)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a=2bsin A. (1)求 B 的大小; (2)求 cos A+sin C 的取值范围. 解 (1)由 a=2bsin A,

根据正弦定理得 sin A=2sin Bsin A, 1 π 所以 sin B= ,由△ABC 为锐角三角形可得 B= . 2 6 5π 5π (2)由(1)可知 A+C=π -B= ,故 C= -A. 6 6 故 cos A+sin C=cos A+sin?

?5π -A? ? ? 6 ?

1 3 ?π ? =cos A+sin? +A?=cos A+ cos A+ sin A 2 2 ?6 ? 3 3 1 ? 3 ? = cos A+ sin A= 3? cos A+ sin A? 2 2 2 ?2 ?

? π? = 3sin?A+ ?, 3? ?
π 由△ABC 为锐角三角形可得,0<C< , 2 5π π π 5π 故 0< -A< ,解得 <A< , 6 2 3 6 π π π 又 0<A< ,所以 <A< . 2 3 2 故 2π π 5π 1 ? π? 3 <A+ < ,所以 <sin?A+ ?< , 3? 2 3 3 6 2 ? 3 ? π? 3 < 3sin?A+ ?< , 3? 2 2 ?

所以

即 cos A+sin C 的取值范围为?

? 3 3? , ?. ? 2 2?
B 组 专项能力提升

(时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) π? ? 1? 2? 1. (2012?江西)已知 f(x)=sin ?x+ ?,若 a=f(lg 5),b=f?lg ?,则 4? ? ? 5? ( ) B.a-b=0 D.a-b=1

A.a+b=0 C.a+b=1

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答案 C 解析 将函数整理,利用奇函数性质求解. π? 2? 由题意知 f(x)=sin ?x+ ? 4? ? π? ? 1-cos?2x+ ? 2 ? 1+sin 2x 1 ? = = ,令 g(x)= sin 2x, 2 2 2 1 则 g(x)为奇函数,且 f(x)=g(x)+ , 2

a=f(lg 5)=g(lg 5)+ ,b=f?lg ?=g?lg ?+ , 5 5

1 2

? ?

1?

?

? ?

1?

?

1 2

? 1? 则 a+b=g(lg 5)+g?lg ?+1=g(lg 5)+g(-lg 5)+1=1,故 a+b=1. ? 5?
3? ? 1 2. 已知 a=?- , ?,b=(1, 3),则|a+tb| (t∈R)的最小值等于 ? 2 2? ( A.1 答案 B 3 ? 1 ? 解析 方法一 a+tb=?- +t, + 3t?, 2 ? 2 ? ) B. 3 2 C. 1 2 D. 2 2

?2 ? 1 ?2 ? 3 2 ∴|a+tb| =?- +t? +? + 3t? 2 ? ? 2 ? ? ? 1?2 3 2 =4t +2t+1=4?t+ ? + , ? 4? 4
1 3 2 ∴当 t=- 时,|a+tb| 取得最小值 , 4 4 即|a+tb|取得最小值 3 . 2

→ → → 方法二 如图所示,OA=a,OB=b,在 OB 上任取一点 T,使得OT → =-tb (t<0),则|a+tb|=|TA|,显然,当 AT⊥OB 时,取最小值. → → 2 由TA?OB=(a+tb)?b=a?b+tb =0, 1 1 3 得 t=- ,∴当 t=- 时,|a+tb|取得最小值 . 4 4 2

? 3 3? → → → → 3. 在△ABC 中,AB?BC=3,△ABC 的面积 S△ABC∈? , ?,则AB与BC夹角的取值范围是 ? 2 2?
( )
14

A.? C.?

?π ,π ? ? ?4 3? ?π ,π ? ? ?6 3?

B.? D.?

?π ,π ? ? ?6 4? ?π ,π ? ? ?3 2?

答案 B 3 → → → → → → → → 解析 记AB与BC的夹角为 θ ,AB?BC=|AB|?|BC|?cos θ =3,|AB|?|BC|= , cos θ

S△ABC = | AB |?| BC |?sin(π -θ )= | AB |?| BC |sin θ = tan θ ,由题意得 tan
θ ∈?

1 → 2



1 → 2



3 2

? 3 ? ?π π ? ,1?,所以 θ ∈? 6 , 4 ?,正确答案为 B. ? ? ?3 ?

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

? ?π ?? 4. (2011?安徽)已知函数 f(x)=sin(2x+φ ),其中 φ 为实数.f(x)≤?f? ??对 x∈R 恒 ? ? 6 ?? ?π ? 成立,且 f? ?>f(π ),则 f(x)的单调递增区间是__________. ?2?
π 2π ? ? 答案 ?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 6 3 ? ? π ? ?π ?? ?π ? ?π ? 解析 由? x∈R,有 f(x)≤?f? ??知,当 x= 时 f(x)取最值,∴f? ?=sin? +φ ? 6 ?? 6? 6 ? ? ? ?3 ? =±1, ∴ π π +φ =± +2kπ (k∈Z), 3 2

π 5π ∴φ = +2kπ 或 φ =- +2kπ (k∈Z), 6 6

?π ? 又∵f? ?>f(π ),∴sin(π +φ )>sin(2π +φ ), ?2?
5π ∴-sin φ >sin φ ,∴sin φ <0.∴φ 取- +2kπ (k∈Z). 6 5π ? 5π ? 不妨取 φ =- ,则 f(x)=sin?2x- ?. 6 ? 6 ? π 5π π 令- +2kπ ≤2x- ≤ +2kπ (k∈Z), 2 6 2 ∴ ∴ π 4π +2kπ ≤2x≤ +2kπ (k∈Z), 3 3 π 2π +kπ ≤x≤ +kπ (k∈Z). 6 3

∴f(x)的单调递增区间为?

?π +kπ ,2π +kπ ?(k∈Z). ? 3 ?6 ?
15

π π ?π ? 1 5.若 0<α < ,- <β <0,cos? +α ?= , 2 2 ?4 ? 3 β ? 3 ?π β ? ? cos? - ?= ,则 cos?α + ?=________. 2? ?4 2? 3 ? 答案 5 3 9

π ?π ? 2 解析 ∵0<α < ,∴sin? +α ?= 2, 4 2 ? ? 3 π 6 ?π β ? ∵- <β <0,∴sin? - ?= , 2 ?4 2? 3 β ? ? ?π ? ?π β ? 则 cos?α + ?=cos[? +α ?-? - ?] 2? ? ?4 ? ?4 2? 1 3 2 6 5 = ? + 2? = 3. 3 3 3 3 9 6. (2012?山东)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初 始位置在(0,1),此时圆上一点 P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向 → 滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时,OP的坐标为________. 答案 (2-sin 2,1-cos 2) 解析 利用平面向量的坐标定义、解三角形知识以及数形结合思想求解.

2 设 A(2,0),B(2,1),由题意知劣弧 PA 长为 2,∠ABP= =2. 1 设 P(x,y),

? π? 则 x=2-1?cos?2- ? 2? ?
=2-sin 2,

y=1+1?sin?2- ?=1-cos 2, 2

? ?

π?

?

→ ∴OP的坐标为(2-sin 2,1-cos 2). 三、解答题

? ? 7. (13 分)已知 f(x)=loga?sin -sin ?(a>0 且 a≠1),试讨论函数的奇偶性、单调性. 2 2? ?
2

x

4

x



2x?? ? 2x? f(x)=loga?sin ?1-sin 2??

?

2?

??
16

1-cos 2x =loga . 8 故定义域为 cos 2x≠1,即{x|x≠kπ ,k∈Z},关于原点对称且满足 f(-x)=f(x),所 以此函数是偶函数. 1 令 t= (1-cos 2x), 8 π? ? 则 t 的递增区间为?kπ ,kπ + ?(k∈Z); 2? ? π ? ? 递减区间为?kπ - ,kπ ?(k∈Z). 2 ? ? π? π ? ? ? 所以, a>1 时, (x)的递增区间为?kπ ,kπ + ?(k∈Z); 当 f 递减区间为?kπ - ,kπ ? 2? 2 ? ? ? (k∈Z). π π? ? ? ? 当 0<a<1 时, f(x)的递增区间为 ?kπ - ,kπ ? (k∈Z);递减区间为 ?kπ ,kπ + ? 2 2? ? ? ? (k∈Z).

17


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