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导数的几何意义与计算


(四)导数的计算与几何意义
【知识精讲】 一、导数的概念

函数y ? f ( x)在x0点的瞬时变化率,叫函数y ? f ( x)在x0点的导数,记作f / ( x0 )
即 f / ?x0 ? ? lim
?x ?0

f ?x0 ? ?x ? ? f ( x0 ) ?x
/

>二、导数的几何意义 函数 f ( x) 在 x ? x0 处的导数 f

?x0 ? 的几何意义就是函数 f ( x) 的图像在 x ? x0 处的切线的斜率,即

k ? f '( x0 ) ; 如 果 y ? f ( x) 在 点 x0 可 导 , 则 曲 线 y ? f ( x) 在 点 ( x0 , f ( x0 ) ) 处 的 切 线 方 程 为

y ? f ( x0 ) ? f / ( x0 )(x ? x0 )
三、常见函数的导数公式和求导法则: 1、常见函数的导数公式: 公式 1: (C ) / ? 0 (其中 C 为常数) 公式 4: (cos x) ' ? ? sin x 公式 6: (a x )' ? a x ln a 2、导数的四则运算法则: 公式 2: ( xn )/ ? nxn?1 (n ? N * ) 公式 5: (log a x) ' ? 特别地, (ex )' ? ex 公式 3: (sin x) ' ? cos x 特别地, (ln x ) ' ?

1 log a e x

1 x

(u ? v) ' ? u '? v '

(u v) '? u ' v ? u v'

u u ' v ? uv ' ( )' ? v v2

3、复合函数 y ? f ( g ( x)) 的导函数和函数 y ? f (u ) , u ? g ( x) 的导函数的关系为 yx ' ? yu '? ux ' .(只限 于 g ( x) ? ax ? b ) 【题型归纳】 例 1、求下列函数的导数 (1) f ( x) ? x ln x
2

(2) f ( x) ? ( x ?1)e ? x
x

2

(3) f ( x ) ?

x ?3 e2 x

(4) f ( x) ?

1 ( x ? 5) 2 ? 6 ln x 2

(5) f ( x) ? ln(1 ? x) ?

x(1 ? 2 x) 1? x

例 2、 求曲线f ( x) ? 1 ? x ? 2 x ln x在点( 1,0)处的切线方程. 1? x

例 3、 ( 2014 全国卷一)设函数 f ( x ) ? ae ln x ?
x

be x ?1 ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1))处的切线方程为 x

y ? e( x ? 1) ? 2 求 a , b

【练习巩固】 1、设函数 f ( x) ? g ( x) ? x2 ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则曲线 y ? f ( x) 在 点 (1, f (1)) 处切线的斜率为( 2、曲线 y ? ) A. 4 ) D. x ? 4 y ? 5 ? 0 B. ?

1 4

C. 2

D. ?

1 2

x 在点 ?1,1? 处的切线方程为 ( 2x ?1
B. x ? y ? 2 ? 0

A. x ? y ? 2 ? 0
1 x

C. x ? 4 y ? 5 ? 0

3.曲线 y ? e 2 在点 (4,e ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为
2

A.

9 2 e B. 4e 2 C. 2e 2 D. e2 2

4.曲线 f ( x) ?

1 3 x ? x 2 ? ax ? a 上不存在斜率为 0 的切线,则 a 的取值范围是___________ 3
x

5.已知函数 y ? e x ,过原点作曲线 y=e 的切线,则切线的方程___________ 6. f ( x) ? ax3 ? ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 取值范围是_____________. 7.点 P 是曲线 y ? x ? 3 x ?
3

2 上的任意一点,P 点处切线倾斜角 ? 的取值范围 3


___________

8.曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点(0,1)处的切线方程为
x 3

9.在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 在曲线 C : y ? x ?10x ? 3 上,且在第二象限内,已知曲线 C 在点 P 处的 切线的斜率为 2,则点 P 的坐标为 10.函数 f ( x) ? ln x 的图象在点 ? e , f (e) ? 处的切线方程是 11. 已知直线 y=x+1 与曲线 y ? ln( x ? a) 相切,求 a 的值


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