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2015年全国高中数学联赛模拟试题及答案解析(3)


2015 全国高中数学联赛模拟试题 03 一试 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.已知函数 f ( x ) ? log 2 x ,若实数 a, b( a ? b) 满足 f ( a ) ? f (b) ,则 a ? 2014b 的取值范围是__________. 2.函数 f ( x ) = a sin x + b cos x (a, b ? Z) 满足 { x f

( x ) = 0} = x f ( f ( x )) = 0 ,则 a 的最大值为 3.设复数 z1 ? (6 ? a ) ? (4 ? b)i , z2 ? (3 ? 2a ) ? (2 ? 3b)i , z3 ? (3 ? a ) ? (3 ? 2b)i , ( a, b ? R ),则当 | z1 | ? | z2 | ? | z3 | 取到最小值时, 3a ? 4b ? ________________ 4.有一个顶点在下且底面呈水平状的圆锥形容器,轴截面是边长为 6 的正三角形,容器里装满了水,现有一 个正四棱柱,底面边长为 a ( a ? 6) ,高为 h( h ? 6) , 竖直地浸在容器里,为了使容器溢出的水最多,a 的值应取为 . 5.在 ?ABC 中, AB ?

{

}



2, AC ? 3, ?BAC ? 300 , P 是 ?ABC 所在平面上任意一点, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 则 ? ? PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA 的最小值是______________
6. 正数列 {an } 满足: S n ?

1 n ( S n 为前 n 项之和),则 2 an =_____________________. 4 an
n
2

7.设过点 M (2, 0) 的直线 l 与抛物线 y ? 4 x 交于点 A, B ,与圆 ( x ? 若 AC ? BD 且 AB ? CD ,则这样的直线 l 的条数是

9 2 ) ? y 2 ? 16 交于点 C , D , 2

8. 6 名男生和 x 名女生随机站成一排,每名男生都至少与另一男生相邻.至少有 4 名男生站在一起的概率为

p ,若 p ?

1 ,则 x 的最小值为 100



二、简答题(本大题共 3 小题,共 56 分) 9.已知正数数列 {a n } 满足: an an ?1 ? 3an an ? 2 ? 5 an an ?1 ? 3an ?1 ? 4 an an ?1 ( n ? N ),
2

*

且 a1 ? 2, a2 ? 10 ,求 {a n } 的通项公式.

10.二次函数 f ( x ) 的图像开口向上,与 x 轴正向交于 A, B 两点,与 y 轴交于点 C ,以 D 为顶点,若三角形

ABC 的外接圆与 y 轴相切,且 ?DAC ? 150? ,则 x ? 0 时,求 ? ?

f ( x) 的最小值. x

11、已知圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? R ( R ? 0 )与椭圆
2 2 2

x2 ? y 2 ? 1 有公共点,求圆的半径 R 的最小值. 4

2015 全国高中数学联赛模拟试题 03 加试 一(本题满分 40 分) 如图,圆 O1 、圆 O2 与圆 O3 相交于点 P ,圆 O1 和圆 O2 的另一个交点为 A ,经过点 A 的一条直线分别 交圆 O1 、圆 O2 于点 B 、C , AP 的延长线交圆 O3 于点 D ,作 DE // BC 交圆 O3 于点 E ,再作 EM 、 EN 分 别切圆 O1 、圆 O2 于 M 、 N . 求证: EM ? EN ? DE ? BC .
2 2

D

E

O3 ? M B O1 ? P O2 ? A
二、(本题满分 40 分)

N

C
*

若数列 ?an ? 是项为非负整数的不减数列,且满足:对任意的 n ? N ,只有有限个正整数 m 使得 am ? n
*

成立,记这样的 m 的个数为 (an ) ,则得到一个新数列 ( an ) 求证: ( an )

?

*

? ,如此可定义数列 ?? (a ) ? ? 等.
* * n

?

* *

?

? an .

三、(本题满分 50 分) 证明:存在无穷多个素数,使得对于这些素数中的每一个 p ,至少存在一个 n ? N , 满足: p | 2014
2n

? 2014 .

四、(本题满分 50 分) 平面上有 4n ( n ? N )个半径相同的圆,其中任意两个圆都不相切,任意一个圆至少与另外三个圆相 交.设这些圆的交点个数为 f ( n) ,求 f ( n) 的最小值.
*

2015 全国高中数学联赛模拟试题 03 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.已知函数 f ( x ) ? log 2 x ,若实数 a, b( a ? b) 满足 f ( a ) ? f (b) ,则 a ? 2014b 的取值范围是__________. 解:由已知 f (a ) ? f (b) ,作图可知 ? 令 g (a) ? a ?

?0 ? a ? 1, b ? 1, 2014 ∴ 0 ? a ? 1, b ? 1 且 ab ? 1. a ? 2014b ? a ? , a ?log 2 b ? ? log 2 a.

2.函数 f ( x ) = a sin x + b cos x (a, b ? Z) 满足 { x f ( x ) = 0} = x f ( f ( x )) = 0 ,则 a 的最大值为 解:设 A = { x f ( x ) = 0} , B = x f ( f ( x )) = 0 .显然 A 非空,取 x0 ? A ,即 x0 ? B ,故

2014 ,则 g (a ) 在 (0,1) 上是减函数.∴ g (a ) ? g (1) ? 2015 ,从而取值范围为 (2015, ??) . a

{

}



{

}

b = f (0) = f ( f ( x0 )) = 0 ,从而 f ( x ) = a sin x (a ? Z) .当 a = 0 时,显然有 A = B .以下设 a ? 0 ,此时

A = { x a sin x = 0} , B = { x a sin ( a sin x) = 0} = { x a sin x = k p, k ? Z} .
易知 A = B 当且仅当对任意 x ? R ,有 a sin x ? k p (k ? Z, k ? 0) ,即 a < p ,故整数 a 的最大值为 3. 3.设复数 z1 ? (6 ? a ) ? (4 ? b)i , z2 ? (3 ? 2a ) ? (2 ? 3b)i , z3 ? (3 ? a ) ? (3 ? 2b)i , ( a, b ? R ),则当 | z1 | ? | z2 | ? | z3 | 取到最小值时, 3a ? 4b ? ________________ 解 : | z1 | ? | z2 | ? | z3 | ≥ | z1 ? z2 ? z3 |?|12 ? 9i |? 15 , 当 且 仅 当

6 ? a 3 ? 2a 3 ? a 12 4 ? ? ? ? ,即 4 ? b 2 ? 3b 3 ? 2b 9 3

7 5 a ? , b ? 时,取到最小值 15 ,此时, 3a ? 4b ? 12 . 3 4
4.有一个顶点在下且底面呈水平状的圆锥形容器,轴截面是边长为 6 的正三角形,容器里装满了水,现有一 个正四棱柱,底面边长为 a (a ? 6) ,高为 h(h ? 6) ,竖直地浸在容器里,为了使容器溢出的水最多,a 的值 应取为 . 解:取过四棱柱底面正方形相对顶点的轴截面,得一正三角形与其内接矩形,其底边长为 2a, 3 3-h 2a 6a 6a 6 设其高为 h,则得∴ = 6 ,?h=3 3- 2 ,∴ V 四棱柱=a2(3 3- 2 )= 2 a2(3 2-a) 3 3 1 1 2a+2a+3 2-a 3 1 1 ) =2 6( 2)3=8 3.等号当且仅当 a=2 2时等号成立. =2 6·2a·2a(3 2-a)≤2 6( 3

2, AC ? 3, ?BAC ? 300 , P 是 ?ABC 所在平面上任意一点, ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 则 ? ? PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA 的最小值是______________ ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ? 解: ? ? PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ? PA ? ( PA ? AB ) ? ( PA ? AB ) ? ( PA ? AC ) ? ( PA ? AC ) ? PA ??? ? ???? ??? ?2 ??? ? ???? ??? ? ??? ? ???? ??? ? AB ? AC 2 1 ??? ? ???? ??? ? ???? ) ? ( AB ? AC ) 2 ? AB ? AC ? 3PA ? 2( AB ? AC ) ? PA ? AB ? AC ? 3( PA ? 3 3 ? ???? 2 ??? ? ???? ? 2 ???? 2 1 ??? ? ???? 1 ??? 1 ??? 2 5 则 ? min ? ? ( AB ? AC ) ? AB ? AC ? ? ( AB ? AC ) ? AB ? AC ? ? . 3 3 3 2 3 1 n 6. 正数列 {an } 满足: S n ? n ( S n 为前 n 项之和),则 2 an =_____________________. 4 an
解:由已知可得: 4 S n ( S n ? S n ?1 ) ? 1 ,令 2 S n ? bn ,则 bn (bn ? 2bn ?1 ) ? 1 ,且 b1 ? 1 , bn ?1 ?
n n

5.在 ?ABC 中, AB ?

2 bn ?1 , 2bn

?1? 2? ? b 2cn 2b 1 ? 1 所以 ,且 c1 ? 1 ,设 cn ? tan ? n (0 ? ? n ? ) ,则 ? 2 n ? ? n ? 2 ,令 cn ? ,则 cn ?1 ? 2 bn 2 1 ? cn bn ?1 bn ? 1 ?1? 1? ? ? ? bn ? tan ? n ?1 ? tan 2? n ,从而 ? n ?1 ? 2? n ,即 ? n ?
从而 an ? S n ? S n ?1 ?

?

1 ? 1 ? ? ? cot n ?1 ? n ?1 cot n ,即 2n an ? cot n ?1 ? 2 cot n . n 2 2 2 2 2 2

2

n ?1

,所以 bn ? cot

?

2

n ?1

,故 S n ?

1 ? cot n ?1 , n 2 2

7.设过点 M (2, 0) 的直线 l 与抛物线 y ? 4 x 交于点 A, B ,与圆 ( x ?
2

9 2 ) ? y 2 ? 16 交于点 C , D , 2

若 AC ? BD 且 AB ? CD ,则这样的直线 l 的条数是

8. 6 名男生和 x 名女生随机站成一排,每名男生都至少与另一男生相邻.

1 ,则 x 的最小值为 . 100 解:若每名男生都至少与另一男生相邻,则必有如下站法之一: MM ? MM ? MM , MMMM ? MM ,
至少有 4 名男生站在一起的概率为 p ,若 p ?
3 空档之间安排一名女生,进而,在 4 个位置安排余下的 x ? 2 名女生.因此,这样的排法有 Cx ?1 种.

MM ? MMMM , MMM ? MMM , MMMMMM . ?1? 考虑站法 MM ? MM ? MM .在每两名男生组成的

? 2? 考虑站法 MMMM ? MM , MM ? MMMM , MMM ? MMM .这样将男生分成两个小组,空档之间安

2 排一名女生,进而,在 3 个位置安排余下的 x ? 1 名女生.因此,这样的排法有 C x ?1 种.

? 3? 考虑站法 MMMMMM .将 6 名男生视为一个整体,与 x 名女生排列站队,有 x ? 1 种排法. 2Cx2?1 ? ? x ? 1? 6x ? 6 1 2 ? 2 ? . 故 f ? x ? ? x ? 592 x ? 594 ? 0 . 注 意 到 , 综上所述, p? 3 2 Cx ?1 ? 3Cx ?1 ? ? x ? 1? x ? 8 x ? 6 100 ? ? f ? x ? 1? ? 0, 2 f ? 0 ? ? 0 ,故所求 x 的最小值应满足 ? 易知, f ? 593? ? 593 ? 592 ? 593 ? 594 ? ?1 ? 0 , f x ? 0. ? ? ? ? 2 f ? 594 ? ? 594 ? 592 ? 594 ? 594 ? 594 ? 0 .从而 xmin ? 594 .
三、简答题(本大题共 3 小题,共 56 分)
2

9.已知正数数列 {a n } 满足: an an ?1 ? 3an an ? 2 ? 5 an an ?1 ? 3an ?1 ? 4 an an ?1 ( n ? N ),
*

且 a1 ? 2, a2 ? 10 ,求 {a n } 的通项公式. 解:由 an an ?1 ? 3an an ? 2 ? 5 an an ?1 ? 3an ?1 ? 4 an an ?1 可得: 1 ? 3
2

an ? 2 a ? 5 1 ? 3 n ?1 ? 4 , an ?1 an

设 bn ? 1 ? 3

an ?1 a , ? bn ?1 ? 5bn ? 4 ,且 b1 ? 1 ? 3 2 ? 4 . an a1 a 1 n 1 n n n ?1 n 2 则 bn ?1 ? 1 ? 5(bn ? 1) ? bn ? (b1 ? 1)5 ? 1 ? 5 ? 1 , n ?1 ? ((5 ? 1) ? 1) ? 5 (5 ? 2) 3 3 an

2 n ?1 ? an an ?1 a2 2 n ?1 k k ? n ? 1 ? ?? ? ? a1 ? n ?1 ? 5 (5 ? 2) , 综上:an ? ? 2 . 所以: 当 n ≥2 时,an ? k k an ?1 an ? 2 a1 3 k ?1 ? 3n ?1 ? 5 (5 ? 2) n ? 2 k ?1 ? 10.二次函数 f ( x ) 的图像开口向上,与 x 轴正向交于 A, B 两点,与 y 轴交于点 C ,以 D 为顶点,若三角形 f ( x) ABC 的外接圆与 y 轴相切,且 ?DAC ? 150? ,则 x ? 0 时,求 ? ? 的最小值. x x ? x2 a ( x1 ? x2 ) 2 , A( x1 , 0), B ( x2 , 0), 解:设 f ( x) ? a ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? a ( x ? 1 )? 2 2 x ?x x ?x a ( x1 ? x2 ) 2 D( 1 2 , ? ) ,则 ?ABC 的外接圆圆心 P ( 1 2 , ax1 x2 ) . 2 2 2 x1 ? x2 2 x1 ? x2 2 2 由 | PC |?| PA | ? ( ) ?( ) ? a 2 x12 x2 ? a 2 x1 x2 ? 1 2 2 x ?x a( x1 ? x2 ) 2 ? ( 1 2 ) 2 ? ax1 x2 ? ? ?PAD ? 900 ,则 ?PAC 为等边三角形. 2 2 x1 ? x2 则 ? 2 x1 ? x2 ? 3 x1 ? 3a 2 x12 ? 1 , 2 4 3x 2 f ( x) a ( x ? x1 )( x ? 3x1 ) . ?? ? ? a ( x ? 1 ) ? 4ax1 ≥ 2 ? 3 x x x 1 3 4 . 此时,二次函数为 f ( x) ? a ( x ? )( x ? ) , ?min ? 2 ? 3a 3a 3 x2 2 2 2 11、已知圆 ( x ? 1) ? ( y ? 2) ? R ( R ? 0 )与椭圆 ? y 2 ? 1 有公共点,求圆的半径 R 的最小值. 4
解:设切点为 (2 cos ? ,sin ? )
2 2

2 2 则 R ? (2 cos ? ? 1) ? (sin ? ? 2) ? 6 ? 3cos ? ? 4(sin ? ? cos ? ) 3 ? 15 3 ? ? ? 6 ? (1 ? cos 2? ) ? 4 2 sin(? ? ) ? ? sin(2? ? ) ? 4 2 sin(? ? ) 2 4 2 2 2 4 15 3 ? ? 15 ? 4 2 ? ? ? sin(2? ? ) ? 4 2 sin(? ? ) ? ? 3sin(? ? )( ? cos(? ? )) 2 2 2 4 2 4 3 4 2 4 2 ? 3? sin ? 4 2 ? 求 ? ? sin ? ( ? cos ? ) , ? ? ( , ) 的最小值.又 ? 2 ? ? ? ? cos ? ) 2 ? ? R ? ( ?2 3 4 4 3 ?sin 2 ? ? ? 2 ? cos 2 ? ? 2 sin 2 ? 32 1 32 ? cos ? ?? 2 2 2 2 ? ?1 2 ? ? ? ? ? ? ≤ ? 当且仅当 ( )( cos ) ( )( ) ≤ ? ? 2 2 ? 9 ? 9 2 ? ? 4 2 ? 3 ?
2

? ? ? (0, ) ,

1 ? ? 2 9? 4 4 13 ? 8 2 2 ? 26 时,取到等号. ? ? 9? 4 ? 16? 2 ? 16 ? 0 即 ? 2 ? , cos ? ? 2 32 9 6 4 2 2 2 ? 26 ? 2 ? 1 32 (另解: 求导 ? ? ? cos ? ( ) 此时 ? max ? ? cos ? ) ? sin 2 ? ? 0 ? cos ? ? ?1 , 3 6 2 9? 2 ? cos 2 ? ?

?

1 4 13 ? 1 32 4 13 ? 1 15 4 13 ? 1 1? 25 ? 8 13 , Rmin ? ? 25 ? 8 13 . ? 2 18 2 9 54 4 13 ? 8

2015 全国高中数学联赛模拟试题 03 加试 一证明:连 EP 交圆 O1 、圆 O2 与 BC 分别为 S 、 T 、 Q , 由相交弦定理及切割线定理得:

D

E

QA ? QB ? QS ? QP QA ? QC ? QT ? QP O3 ? BC QP 两式相加得: QA ? BC ? ST ? QP ? ? M ST QA P QP EP T O ? 又 DE // BC , ? ?AQP ? ?DEP ? ? 1 B QA ED O2 ? Q BC QP EP A , 所以: ? ? S ST QA ED C ? DE ? BC ? EP ? ST ? EP ? ( ES ? ET ) ? EP ? ES ? EP ? ET ? EM 2 ? EN 2 .
二、证明: 对 ?k ? N , (( ak ) ) 表示 ( an )
* * *
*

N

?

*

? 中,比 k 小的项的个数,设 ((a ) )
k

* *

? t ,再由 ?(an )*? 的定
*

义知, 对 ?n ? N ,( an ?1 ) ? {an } 中比 n ? 1 小的项的个数 ? {an } 中比 n 小的项的个数 ? ( an ) , 故 (an )
*

?

*

?是

项为非负整数的不减数列.所以: ?

? (at )* ? k ( 否则((ak )* )* ? t ) * * ,即 (at ) ? k ? (at ?1 ) * * * ? ? ? ( ) ( ( ) ) 1 ) ( a k a t 否则 k ? t ?1

? ak ? t ( 否则(at )* ? k ) 所以: , ? ak ? t . 综上: 又 ?an ? 是项为非负整数的不减数列, ((ak )* )* ? t ? ak . ? * ?ak ? t ? 1 ( 否则(at ?1 ) ? k )
三、证明:假设结论不成立,设 p1 , p2 ,? , pk 为能整除形如 2014
2
i

2n

? 2014 这样的数中至少其中之一的全部
* 2n

素数.考虑 k ? 1 个数 2014 ? 2014 ,( i ? 1, 2,? , k , k ? 1 ),由于这些数是有限数,故存在一个 q ? N , 使得这 k ? 1 个数中的任何一个都不能被 p j ( j ? 1, 2,? , k )整除.又 2014
q

? 2014 可以足够大,知存在
n

一个 n ,使 2014

2

n

? 2014 ? p qk ,其中 p ? max{ p1 , p2 ,? , pk } ,对于这个足够大的 20142 ? 2014 ,将其
2n

质 因 数 分 解 后 , 知 必 存 在 某 个 p j 的 指 数 大 于 q . 考 虑 这 个 足 够 大 的 2014

? 2014 及

20142 ? 2014, 20142
即 p j | 2014
q 2n? r

n?1

n? 2

? 2014,? , 20142
n? s

n? k

? 2014 这 k ? 1 个数,由于它们每一个均能被某个 p q j 整除,
q

但是 p j 仅有 k 个,由抽屉原理知,这 k ? 1 个数中必存在两个数被同一个 p j 整除( j ? {1, 2,? , k} ),
2 ? 2014 , p q ? 2014 ,其中 0≤ s ? r ≤ k , j | 2014
2n ? r
n? s r ?s r ?s r ?s

所以: ?2014 ? 2014

? (20142 ) 2

q 2 ? 20142 (mod p q ? 2014 与 q 的选择矛盾. j ) ? pj | 2

综上:原结论成立. 四、解:记 M 为这 4n 个圆 C1 , C2 , ? , C4 n 的集合, N 为这 4n 个圆的交点 P 1, P 2 , ? , Pf ( n ) 的集合. 设圆 C ? M 和交点 P ? N ,若点 P 不在圆 C 上,定义 F (C , P) ? 0 ;若点 P 在圆 C 上,定义 F (C , P ) ?
4n

1 , m

其中 m 是过点 P 的圆的个数.则对于 N 中的任意点 P ,有

? F (C , P) ? 1 .对于 M 中的任意圆 C ,选取
i ?1 i

1 p p p p 是最小的, 记 C1 , C2 ,? , Cm ?1 是通过点 P 的其它 m ? 1 个圆, 其中圆 Ci m ( i ? 1, 2,? , m ? 1 )与圆 C 的另外一个交点为 Qi ,又这些圆的半径相同,则 m ? 1 个点 Qi 两两不同.
P ? N 且 P ?C , 使得 F (C , P ) ?
f (n) j ?1 m ?1 i ?1



? F (C , Pj ) ≥ F (C , P) ? ? F (C , Qi ) ≥
f (n) 4n

1 1 ? (m ? 1) ? 1 m m
4n
i ?1

P
S

∴ f ( n) ?

? ? F (Ci , Pj ) ? ? ? F (Ci , Pj ) ≥ ? ?1 ? 4n
j ?1 i ?1 i ?1 j ?1

4n f (n)

下面说明 f (n) ? 4n 是可以取到的, 这四个圆是 ?PQR, ?SPQ, ?SQR, ?SRP 的外接圆)∴ f min (n) ? 4n .

如图:每四个圆有 4 个交点,(本质上所有圆的半径为 r ,正 ?PQR 的边长为 3r ,

Q

R


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