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2009届广东省越秀区高三摸底调研测试数学(理科)


知识就是力量,努力铸就成功

2009 届广东省越秀区高三摸底调研测试
数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答选择题前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考试科目填写 在答题卡上,并用 2B 铅笔将相应的信息点涂黑. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B

铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的 相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 如果事件 A 、 B 互斥,那么 P ? A ? B ? ? P ? A ? ? P ? B ? 如果事件 A 、 B 相互独立,那么 P ? A ? B ? ? P ? A ? ? P ? B ? 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么在 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率

Pn ? k ? ? C k p k ?1 ? p ? n

n?k

球的表面积公式 S ? 4? R ,其中 R 是球的半径
2

第Ⅰ卷 (选择题 满分 40 分)
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1. 若集合 A={x|x2 – x <0}, B ={x| -1<x<3},则 A∩B 等于( * ) A.{x|0<x<1}
2

B.{x| -1<x<3}

C.{x|1<x<3}

D. ?

2. y ? (sin x ? cos x ) ? 1 是 ( * ) A.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 B.最小正周期为 2π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的奇函数

3. 若复数(a 2 - 4a+3)+(a -1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为( * ) A.1 B.3 C.1 或 3 D.-1

4. 在边长为 1 的等边 ?ABC 中,设 BC ? a, CA ? b, AB ? c,则a ? b ? b ? c ? c ? a ? ( * )

??? ?

? ??? ?

? ??? ?

?

? ? ? ? ? ?

知识就是力量,努力铸就成功
A. ?

3 2

B.0

C.

3 2

D.3

5. P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 左支上的一点,F1、F2 分别是左、右焦点,且焦距 a2 b2

为 2c,则 ?PF1 F2 的内切圆的圆心的横坐标为( * ) (A) ? a (B) ? b
2

(C) ? c

(D) a ? b ? c

6. 设 P 为曲线 C:y ? x ? 2 x ? 3 上的点,且曲线 C 在点 P 处的切线的倾斜角的取值范围为 ? 0, ? , 则点 P 的横坐标的取值范围为 ( * ) A. ? ?1, ? ? 2

? ?? ? 4?

? ?

1? ?

0 B. ? ?1,?

1? C. ? 0,

D. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

7. 已知 ? ? ?( x, y ) | x ? y ? 6, x ? 0, y ? 0? , A ? ?( x, y ) | x ? 4, y ? 0, x ? 2 y ? 0? , 若向区域 ? 内随机 投一点 P,则点 P 落在区域 A 内的概率为 ( * ) A.

1 3

B.

2 3

C.

1 9
2

D.
y

2 9
A

8.函数 f(x)的图象是如图所示的折线段 OAB,点 A 坐标 为(1,2),点 B 坐标为(3,0).定义函数 g ( x) ? f ( x) ? ( x ? 1) . 则函数 g(x)最大值为( * ) A.0 B.2 C.1 D.4

B o 1 3 x

开始 输入 x

第 II 卷(非选择题 满分 110 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题(9 ? 12 题) 9. 一个球的内接长方体的长、宽、高分别为 1、2、3, 则这个球的表面积是 * .

k ?0
x ? 10 x ? 8

k ? k ?1
x ? 2008


10. 3 名医生和 6 名护士被分配到 3 所学校为学生体检,每校分配
1 名医生和 2 名护士。则不同的分配方法共有__*___(用数字作答). 11. 若 (1 ? x) (1 ? ax) 的展开式中的 x 项的系数为 20,
6 2



3

输出 x,k 结束

则非零实数 a =

*



知识就是力量,努力铸就成功
12. 按如图所示的程序框图运算. (1) 若输入 x ? 8 ,则输出 k ? * ; * .

(2) 若输出 k ? 2 ,则输入 x 的取值范围是 (二)选做题(13 ? 15 题,考生只能从中选做两题) 13.(坐标系与参数方程选做题)

在极坐标系中,过圆 ? ? 6cos ? 的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 14.(不等式选讲选做题) 函数 y ? x ? 1 ? x ? 1 的最大值是 * _. 15.(几何证明选讲选做题) 如图,已知圆 O 的半径为 2,从圆 O 外一点 A 引切线 AD 和割线 ABC , 圆心 O 到 AC 的距离为 3 , AB ? 3 ,则切线 AD 的长为__*_.
A B

* .

C O D

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分 12 分) 已知 a ? (cos x ? sin x, sin x), b ? (cos x ? sin x,2 cos x) ,设 f ( x) ? a ? b . (1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)当 x ? [0,

?
2

] 时,求函数 f (x) 的最大值及最小值.

17.(本小题满分 12 分) 甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的 10 道试题中,甲能答对其中 6 题,乙能答对 其中的 8 题,规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试,至少答对 2 题才算合格. (1)求甲答对试题数 ? 的概率分布及数学期望; (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 18.(本小题满分 14 分) 如图(1) ,在直角梯形 ABCP 中, BC // AP , P

AB ? BC , CD ? AP , AD ? DC ? PD ? 2 , F? E、F、G 分别是线段 PC、PD、BC 的中点, D 现将 ?PDC 折起,使平面 PDC ? 平面 ABCD ,
如图(2)所示. 在图(2)中, (1)求证: AP // 平面 EFG ;

?E
C

P

F
D

E
C G

?G

A
(1)

B

A
(2)

B

知识就是力量,努力铸就成功
(2)求二面角 G ? EF ? D 的大小.

19.(本小题满分 14 分) 已知将圆 x ? y ? 8 上的每一点的纵坐标压缩到原来的
2 2

1 ,对应的横坐标不变,得到曲线 C; 经过 2

点 M(2,1)且平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m(m≠0),直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两个不同点. (1)求曲线 C 的方程; (2)求 m 的取值范围.

20.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

ax 在 x ? 1处取得极值 2. x ?b
2

(1)求函数 f (x) 的表达式; (2)当 m 满足什么条件时,函数 f (x) 在区间 (m , 2m ? 1) 上单调递增? (3)若 P( x0 , y 0 ) 为 f ( x) ?

ax ax 图象上任意一点,直线 l 与 f ( x) ? 2 的图象切于点 P , x ?b x ?b
2

求直线 l 的斜率 k 的取值范围。

21.(本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? log m x (m 为常数,m>0 且 m ? 1 ) 设 f (a1 ), f (a2 ),?, f (an )( n ? N ? ) 是首项为 4,公差为 2 的等差数列. (1)求证:数列{an}是等比数列; (2)若 bn=an· f (a n ) ,且数列{bn}的前 n 项和 Sn,当 m ?

2 时,求 Sn;

(3)若 cn= an lg an ,问是否存在 m,使得{cn}中每一项恒小于它后面的项? 若存在,求出 m 的范围;若不存在,说明理由.

知识就是力量,努力铸就成功 2008 学年越秀区高三摸底调研测试 数学(理科)—— 参考答案
一、选择题 二、填空题 9. 14π. 10. 540. 11. 5. 14. 2. 12. (1) 3 ; (2) 15. 15 .

A D B A A A D C

19.2 ? x ? 200 .

13. ? cos ? ? 3 . 三、解答题

16.(1)? f ( x) ? a ? b = (cos x ? sin x) ? (cos x ? sin x) ? sin x ? 2 cos x = cos x ? sin x ? 2 sin x cos x
2 2

…………2 分

= cos 2 x ? sin 2 x = 2 (

2 2 cos 2 x ? sin 2 x) 2 2

= 2(sin

?

cos 2 x ? cos sin 2 x) = 2 sin(2 x ? ) .…………5 分 4 4 4
…………6 分

?

?

∴ f (x) 的最小正周期 T ? ? . (2) ∵ 0 ? x ?

? ? 5? ? , ∴ ? 2x ? ? . …………8 分 4 4 4 2 ? ? ? ∴当 2 x ? ? ,即 x = 时, f (x) 有最大值 2 ; …………10 分 4 2 8 ? 5? ? 当 2x ? ? ,即 x = 时, f (x) 有最小值-1. …………12 分 4 4 2

17. 解: (Ⅰ)依题意,甲答对试题数 ? 的概率分布如下:

?
p

0
1 30

1
3 10

2
1 2

3
1 6
…………4 分

甲答对试题数 ? 的数学期望:
E? ? 0 ? 1 3 1 1 9 ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? …………………………………… 6 分 30 10 2 6 5

(Ⅱ)设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B 则 P( A) ?
2 3 C6 C 1 ? C6 4 3 C10

?

60 ? 20 80 2 ? ? 120 120 3

知识就是力量,努力铸就成功
P( B ) ?
2 3 C8 C1 ? C8 2 3 C10

?

56 ? 56 112 14 ? ? 120 120 15

…………………9 分

甲、乙两人考试均不合格的概率为:
2 14 1 1 1 P( AB) ? P( A) ? P( B) ? (1 ? )(1 ? ) ? ? ? 3 15 3 15 45

∴甲、乙两人至少一个合格的概率为 P ? 1 ? P( AB) ? 1 ? 18.(1)证明:如图,取 AD 中点 M ,连接 FM、MG , 由条件知 EF // DC // MG , 所以 E、F、M、G 四点共面, 又由三角形中位线定理知 MF // PA , 所以 AP // 平面 EFG ,

1 44 ………12 分 ? 45 45

P E
C G

F
? M

D

……………… 6 分

(2)由条件知, CD ? AD , CD ? PD , 所以, CD ? 平面PAD , … 8分

A

B

P
又 EF 为三角形 PCD 的中位线,所以 EF // CD , 所以 EF ? 平面PAD , 即 DP ? EF , MF ? EF , … 10 分
E

F D
Q

C

所以 ?MED 为二面角 G ? EF ? D 的平面角, … 11 分 在 Rt?FDM 中,易知 DM ? DF ? 1 所以 ?MED ? 45? , 即二面角 G ? EF ? D 的大小为 45? 19. (1)在曲线 C 上任取一个动点 P(x,y), 则点(x,2y)在圆 x ? y ? 8 上.
2 2

A

B

……………… 14 分

… 3分

所以有 x ? (2 y ) ? 8 .
2 2

整理得曲线 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1. … 6 分 8 2

(2)∵直线 l 平行于 OM,且在 y 轴上的截距为 m,又 K OM ? ∴直线 l 的方程为 y ?

1 , 2

1 x ? m. 2

… 9分

知识就是力量,努力铸就成功
? 1 ? y ? 2 x ? m, ? 由? 2 2 ? x ? y ? 1. ?8 2 ?

,

得 x ? 2mx ? 2m ? 4 ? 0
2 2

… 10 分

∵直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点, ∴ ? ? (2m) ? 4(2m ? 4) ? 0,
2 2

… 12 分

解得 ?2 ? m ? 2且m ? 0 . ∴m 的取值范围是 ?2 ? m ? 0或0 ? m ? 2 . 20. 因 f ( x) ?
/

… 14 分

a( x 2 ? b) ? ax(2 x) ( x 2 ? b) 2

… 2分

而函数 f ( x) ?

ax 在 x ? 1处取得极值 2 x ?b
2

? f / (1) ? 0 所以 ? ? f (1) ? 2
所以 f ( x) ?

?

?a (1 ? b) ? 2a ? 0 ? ? a ?1 ? b ? 2 ?

?a ? 4 ? ? ?b ? 1
……………… 4 分

4x 1? x2
/

为所求

(2)由(1)知 f ( x) ?

4( x 2 ? 1) ? 8 x 2 ? 4( x ? 1)( x ? 1) ? ( x 2 ? 1) 2 (1 ? x 2 ) 2

可知, f (x) 的单调增区间是 [?1 , 1 ]

? 1?
f / ( x)
负 正

? 1


? m ? ?1 ? 所以, ?2m ? 1 ? 1 ?m ? 2 m ? 1 ?

?

?1 ? m ? 0

f (x)
………… 9 分

所以当 m ? (?1 , 1 ] 时,函数 f (x) 在区间 (m , 2m ? 1) 上单调递增 (3)由条件知,过 f (x) 的图形上一点 P 的切线 l 的斜率 k 为:

k ? f / ( x0 ) ?
令t ?

4(1 ? x0 )
2

(1 ? x0 )

2 2

? 4?

? 1 ? x0 ? 2
2

(1 ? x0 )

2 2

? 4[

2 (1 ? x0 )
2 2

?

1 1 ? x0
2

]

1 1 ? x0
2

,则 t ? (0 , 1] ,

此时 , k ? 8(t ?
2

1 1 1 t ) ? 8(t ? ) 2 ? 2 4 2

知识就是力量,努力铸就成功
根据二次函数 k ? 8(t ? ) 2 ? 当t ?

1 4

1 的图象性质知: 2
当 t ? 1 时, t max ? 4

1 1 时, t min ? ? 2 4
1 ,4] 2

所以,直线 l 的斜率 k 的取值范围是 [?

……………… 14 分

21. 解: (Ⅰ)由题意 f (a n ) ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2, ∴ an ? m ∴
2n?2

即 log m a n ? 2n ? 2, ……………………2 分

a n ?1 m 2 ( n ?1) ? 2 ? ? m2 an m 2n?2
4 2

∵m>0 且 m ? 1 ,∴m 为非零常数,
2

∴数列{an}是以 m 为首项,m 为公比的等比数列 (Ⅱ)由题意 bn ? a n f (a n ) ? m 当m ?
2n?2

…………4 分

log m m 2 n? 2 ? (2n ? 2) ? m 2 n? 2 ,

2时,bn ? (2n ? 2) ? 2 n ?1 ? (n ? 1) ? 2 n ? 2
3 4 5 n?2

∴ S n ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2 ①式两端同乘以 2,得



…………6 分

2S n ? 2 ? 2 4 ? 3 ? 2 5 ? 4 ? 2 6 ? ? ? n ? 2 n ? 2 ? (n ? 1) ? 2 n ?3
②-①并整理,得



…………7 分

S n ? ?2 ? 2 3 ? 2 4 ? 2 5 ? 2 6 ? ? ? 2 n ? 2 ? (n ? 1) ? 2 n ?3

? ?2 3 ? [2 3 ? 2 4 ? 2 5 ? ? ? 2 n? 2 ] ? (n ? 1) ? 2 n?3
=? 2 ?
3

2 3 [1 ? 2 n ] ? (n ? 1) ? 2 n ?3 1? 2
…10 分

? ?2 3 ? 2 3 (1 ? 2 n ) ? (n ? 1) ? 2 n?3 ? 2 n?3 ? n
(Ⅲ)由题意 cn ? an lg an ? (2n ? 2) ? m 要使 c n ?1 ? c n 对一切 n ? 2 成立,即 ①当 m>1 时,
2n?2

lg m

n lg m ? (n ? 1) ? m 2 ? lg m 对一切 n ? 2 成立,
…………12 分

n ? (n ? 1)m 2 对n ? 2 成立;
2

②当 0<m<1 时, n ? (n ? 1)m

知识就是力量,努力铸就成功
∴n ?

m2 m2 对一切 n ? 2 成立,只需 ? 2, 1 ? m2 1? m2
6 6 , 考虑到 0<m<1, ?m? 3 3
∴0<m<

解得 ?

6 . 3

综上,当 0<m<

6 或 m>1 时,数列{cn}中每一项恒小于它后面的项. ………14 分 3


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