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吉林省长春市2017届高三数学三模试卷(文科) Word版含解析


2017 年吉林省长春市高考数学三模试卷(文科)
一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项涂在答题卡上) 1.已知复数 z=1+2i,则 A.5 =( )

B.5+4i C.﹣3 D.3﹣4i )

2.已知集合 A={x|x2﹣2x﹣3<0},B={x||x|<2}则 A∩B=(

A.{x|﹣2<x<2} B.{x|﹣2<x<3} C.{x|﹣1<x<3} D.{x|﹣1<x<2} 3.设 a,b 均为实数,则“a>|b|”是“a3>b3”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ) )

4.直线 x﹣3y+3=0 与圆(x﹣1)2+(y﹣3)2=10 相交所得弦长为( A. B. C.4 D.3 )

5.下列命题中错误的是(

A.如果平面 α 外的直线 a 不平行于平面 α 内不存在与 a 平行的直线 B.如果平面 α⊥平面 γ,平面 β⊥平面 γ,α∩β=l,那么直线 l⊥平面 γ C.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β D.一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另一个平面相交 6.在平面内的动点(x,y)满足不等式 A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2 ) ,则 z=2x+y 的最大值是( )

7.某几何体的三视图如图所示,则其体积为(

A.4

B.

C.

D.

8.某高中体育小组共有男生 24 人,其 50m 跑成绩记作 ai(i=1,2,…,24) ,若

成绩小于 6.8s 为达标,则如图所示的程序框图的功能是(



A.求 24 名男生的达标率

B.求 24 名男生的不达标率

C.求 24 名男生的达标人数 D.求 24 名男生的不达标人数 9.等比数列{an}中各项均为正数,Sn 是其前 n 项和,且满足 2S3=8a1+3a2,a4=16, 则 S 4= ( A.9 )

B.15 C.18 D.30 的大致图象是( )

10.函数 y=

A.

B.

C



D.

11.若关于 x 的方程 2sin(2x+ 值范围是( )

)=m 在[0,

]上有两个不等实根,则 m 的取

A. (1, 12.对 A.



B.[0,2] C.[1,2) D.[1,

] )

,23x≤logax+1 恒成立,则实数 a 的取值范围是( B. C. D.

二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡 中的横线上). 13.某班级有 50 名同学,一次数学测试平均成绩是 92,其中学号为前 30 名的同 学平均成绩为 90,则后 20 名同学的平均成绩为 14.若函数 f(x)=ex?sinx,则 f'(0)= . .

15. 《九章算术》是我国第一部数学专著,下有源自其中的一个问题: “今有金箠 (chuí ) ,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问金箠重几何?”其意 思为:“今有金杖(粗细均匀变化)长 5 尺,截得本端 1 尺,重 4 斤,截得末端 1 尺,重 2 斤.问金杖重多少?”则答案是 16.F 为双曲线 .

(a>b>0)的左焦点,过点 F 且斜率为 1 的直线与两条 = ,则双曲线的离心率为 .

渐近线分别交于 A,B 两点,若

三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤). 17.已知点 ,Q(cosx,sinx) ,O 为坐标原点,函数 .

(1)求函数 f(x)的解析式及最小正周期; (2)若 A 为△ABC 的内角,f(A)=4,BC=3,△ABC 的面积为 周长. 18.某手机厂商推出一款 6 吋大屏手机,现对 500 名该手机用户进行调查,对手 机进行评分,评分的频数分布表如下: 女性用 户 男性用 分值区间 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 20 40 80 50 10 ,求△ABC 的

分值区间 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]



频数

45

75

90

60

30

(1)完成下列频率分布直方图,并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定(不 计算具体值,给出结论即可) ;

(2)根据评分的不同,运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户,在这 20 名用 户中,从评分不低于 80 分的用户中任意抽取 2 名用户,求两名用户中评分都小于 90 分的概率. 19. 如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为矩形,PA⊥底面 ABCD,AD=AP=2, AB=2 ,E 为棱 PD 的中点.

(Ⅰ)证明:PD⊥平面 ABE; (Ⅱ)求三棱锥 C﹣PBD 外接球的体积.

20.已知函数 f(x)=ax﹣lnx. (1)过原点 O 作曲线 y=f(x)的切线,求切点的横坐标; (2)对? x∈[1,+∞) ,不等式 f(x)≥a(2x﹣x2) ,求实数 a 的取值范围. 21.已知椭圆 C: 的圆与椭圆 C 有且仅有两个交点. (1)求椭圆 C 的方程; ,F1,F2 分别是其左、右焦点,以 F1F2 为直径

(2)设过点 F1 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平 分线与 x 轴交于点 P,点 P 横坐标的取值范围是 围. ,求线段 AB 长的取值范

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选 修 4-4:坐标系与参数方程选讲](共 1 小题,满分 10 分) 22.已知在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4cosθ, 直线 l 的参数方程为 (t 为参数) . (1)求曲线 C1 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程; (2)若曲线 C2 的参数方程为 (α 为参数) ,曲线 C1 上点 P 的极角为 ,

Q 为曲线 C2 上的动点,求 PQ 的中点 M 到直线 l 距离的最大值.

[选修 4-5:不等式选讲](共 1 小题,满分 0 分) 23.已知 a>0,b>0,函数 f(x)=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为 1. (1)求证:2a+b=2; (2)若 a+2b≥tab 恒成立,求实数 t 的最大值.

2017 年吉林省长春市高考数学三模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题包括 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项涂在答题卡上) 1.已知复数 z=1+2i,则 A.5 =( )

B.5+4i C.﹣3 D.3﹣4i

【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】由已知直接利用 【解答】解:∵z=1+2i,∴ 故选:A. 求解. =|z|2= .

2.已知集合 A={x|x2﹣2x﹣3<0},B={x||x|<2}则 A∩B=(



A.{x|﹣2<x<2} B.{x|﹣2<x<3} C.{x|﹣1<x<3} D.{x|﹣1<x<2} 【考点】交集及其运算. 【分析】解不等式得出集合 A、B,根据交集的定义写出 A∩B. 【解答】解:集合 A={x|x2﹣2x﹣3<0}={x|﹣1<x<3}, B={x||x|<2}={x|﹣2<x<2}. 故选:D.

3.设 a,b 均为实数,则“a>|b|”是“a3>b3”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件



【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可. 【解答】解:由 a>|b|”能推出“a3>b3”,是充分条件, 反之,不成立,比如 a=1,b=﹣2,不是必要条件,

故选:A.

4.直线 x﹣3y+3=0 与圆(x﹣1)2+(y﹣3)2=10 相交所得弦长为( A. B. C.4 D.3



【考点】直线与圆相交的性质. 【分析】根据已知中圆的标准方程和直线的一般方程,代入圆的弦长公式,可得 答案. 【解答】解:圆(x﹣1)2+(y﹣3)2=10 的圆心坐标为(1,3) ,半径 r= 圆心到直线 x﹣3y+3=0 的距离 d= 故弦 AB=2 故选 A. = , = , ,

5.下列命题中错误的是(



A.如果平面 α 外的直线 a 不平行于平面 α 内不存在与 a 平行的直线 B.如果平面 α⊥平面 γ,平面 β⊥平面 γ,α∩β=l,那么直线 l⊥平面 γ C.如果平面 α⊥平面 β,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β D.一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另一个平面相交 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】由空间中直线与平面的位置关系逐一核对四个选项得答案. 【解答】解:如果平面 α 外的直线 a 不平行于平面 α,则 a 与 α 相交,则 α 内不 存在与 a 平行的直线,故 A 正确; 如图:α⊥γ,α∩γ=a,β⊥γ,β∩γ=b,α∩β=l,

在 γ 内取一点 P,过 P 作 PA⊥a 于 A,作 PB⊥b 于 B,由面面垂直的性质可得 PA⊥ l,PB⊥l,

则 l⊥γ,故 B 正确; 如果平面 α⊥平面 β, 那么平面 α 内的直线与平面 β 有三种位置关系: 平行、 相交、 异面,故 C 错误; 一条直线与两个平行平面中的一个平面相交,则必与另一个平面相交,故 D 正确. 故选:C.

6.在平面内的动点(x,y)满足不等式 A.﹣4 B.4 C.﹣2 D.2

,则 z=2x+y 的最大值是(



【考点】简单线性规划. 【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的几何意义求解最大值即可. 【解答】解:不等式组所表示的平面区域位于 直线 x+y﹣3=0 的下方区域和直线 x﹣y+1=0 的上方区域, 根据目标函数的几何意义, 可知目标函数经过 A 时,z 取得最大值. 由 可得 A(1,2) ,

所以目标函数 z 的最大值为 4. 故选 B.

7.某几何体的三视图如图所示,则其体积为(



A.4

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥,结合三视图的数据,求出几何体 的体积. 【解答】解:由题意三视图可知,几何体是正四棱锥, 底面边长为 2 的正方形,一条侧棱垂直正方形的一个顶点,长度为 2, 所以四棱锥的体积 故选 D. .

8.某高中体育小组共有男生 24 人,其 50m 跑成绩记作 ai(i=1,2,…,24) ,若 成绩小于 6.8s 为达标,则如图所示的程序框图的功能是( )

A.求 24 名男生的达标率

B.求 24 名男生的不达标率

C.求 24 名男生的达标人数 D.求 24 名男生的不达标人数 【考点】程序框图.

【分析】由题意,从成绩中搜索出大于 6.8s 的成绩,计算 24 名中不达标率. 【解答】解:由题意可知,k 记录的是时间超过 6.8s 的人数,而 i 记录是的参与测 试的人数,因此 表示不达标率; 故选 B.

9.等比数列{an}中各项均为正数,Sn 是其前 n 项和,且满足 2S3=8a1+3a2,a4=16, 则 S 4= ( A.9 )

B.15 C.18 D.30

【考点】等比数列的前 n 项和. =8a1+3a2, 【分析】 设等比数列{an}的公比为 q>0, 由 2S3=8a1+3a2, 可得 2 (a1+a2+a3) 化为:2q2﹣q﹣6=0,解得 q,进而得出. 【解答】解:设等比数列{an}的公比为 q>0,∵2S3=8a1+3a2, ∴2(a1+a2+a3)=8a1+3a2,化为:2a3=6a1+a2,可得 ﹣6=0,解得 q=2. 又 a4=16,可得 a1×23=16,解得 a1=2. 则 S 4= 故选:D. =30. =6a1+a1q,化为:2q2﹣q

10.函数 y=

的大致图象是(



A.

B.

C



D.

【考点】函数的图象. 【分析】利用函数的定义域排除选项,值域排除选项即可得到结果. 【解答】解:由函数定义域排除 A,函数的值域.可知 x>0 时,y>0,当 x<0 时, y<0,排除 C,D. 故选:B.

11.若关于 x 的方程 2sin(2x+ 值范围是( A. (1, ) )

)=m 在[0,

]上有两个不等实根,则 m 的取

B.[0,2] C.[1,2) D.[1,

]

【考点】正弦函数的图象. 【分析】 把方程 2sin (2x+ 在 x∈[0, =m 化为 sin ) (2x+ = , f x) =sin ) 画出函数 ( (2x+ )

]上的图象,结合图象求出方程有两个不等实根时 m 的取值范围. )=m 可化为

【解答】解:方程 2sin(2x+ sin(2x+ 当 x∈[0, )= , ]时,2x+ ∈[



], ]上的图象如图所示;

画出函数 y=f(x)=sin(2x+

)在 x∈[0,

根据方程 2sin(2x+ 得 ≤ <1 1≤m<2

)=m 在[0,

]上有两个不等实根,

∴m 的取值范围是[1,2) .

故选:C.

12.对 A. B.

,23x≤logax+1 恒成立,则实数 a 的取值范围是( C. D.



【考点】函数恒成立问题;全称命题. 【分析】先构造函数 f(x)=x2+x,g(x)=﹣logax.h(x)=f(x)+g(x) ,将问题 等价转化为函数 h(x)在区间(0, )上恒有 h(x)≤0,又函数为增函数,故 可求答案. 【解答】解:构造函数 f(x)=23x,g(x)=﹣logax﹣1. h(x)=f(x)+g(x) . (0<x< ) 易知,在区间(0, )上,函数 f(x) ,g(x)均是递增函数, ∴函数 h(x)=f(x)+g(x)在区间(0, )上是递增函数. 由题设可知,函数 h(x)在区间(0, )上恒有 h(x)≤0. ∴必有 h( )≤0. 即有 2﹣loga( )﹣1≤0. 整理就是 logaa=1≤loga( ) , ∴实数 a 的取值范围是 ≤a<1. 故选 C.

二、填空题(本大题包括 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在答题卡 中的横线上). 13.某班级有 50 名同学,一次数学测试平均成绩是 92,其中学号为前 30 名的同 学平均成绩为 90,则后 20 名同学的平均成绩为 【考点】众数、中位数、平均数. 【分析】设学号为 31 号到 50 号同学的平均成绩为 x,得到关于 x 的方程,解出即 可. 95 .

【解答】解:设学号为 31 号到 50 号同学的平均成绩为 x, 则 92×50=90×30+20x,解得:x=95, 故答案为:95.

14.若函数 f(x)=ex?sinx,则 f'(0)= 【考点】导数的运算.

1 .

【分析】先求 f(x)的导数,再求导数值. 【解答】解:f(x)=ex?sinx,f′(x)=(ex)′sinx+ex. (sinx)′=ex?sinx+ex?cosx,∴f' (0)=0+1=1 故答案为:1

15. 《九章算术》是我国第一部数学专著,下有源自其中的一个问题: “今有金箠 (chuí ) ,长五尺,斩本一尺,重四斤,斩末一尺,重二斤.问金箠重几何?”其意 思为:“今有金杖(粗细均匀变化)长 5 尺,截得本端 1 尺,重 4 斤,截得末端 1 尺,重 2 斤.问金杖重多少?”则答案是 【考点】等差数列的通项公式. 【分析】由题意可知等差数列的首项和第 5 项,由等差数列的前 n 项和得答案. 【解答】解:由题意可知等差数列中 a1=4,a5=2, 则 S 5= ∴金杖重 15 斤. 故答案为:15 斤. , 15 斤 .

16.F 为双曲线

(a>b>0)的左焦点,过点 F 且斜率为 1 的直线与两条 = ,则双曲线的离心率为 .

渐近线分别交于 A,B 两点,若 【考点】双曲线的简单性质.

【分析】设出过焦点的直线方程,与双曲线的渐近线方程联立把 A,B 表示出来, 再由条件可得 A 为 FB 的中点,运用中点坐标公式,可得 a,b,c 的关系,然后求 双曲线的离心率.

【解答】解:设 F(﹣c,0) ,则过 F 作斜率为 1 的直线为:y=x+c, 而渐近线的方程是:y=± x, 由 得:A(﹣ , ) ,

由 若

得,B(﹣

,﹣

) ,

= ,可得 A 为 FB 的中点, =﹣2? = , a,

可得﹣c﹣ 化为 b=3a,c= e= = .

故答案为:



三、解答题(本大题包括 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演 算步骤). 17.已知点 ,Q(cosx,sinx) ,O 为坐标原点,函数 .

(1)求函数 f(x)的解析式及最小正周期; (2)若 A 为△ABC 的内角,f(A)=4,BC=3,△ABC 的面积为 周长. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;平面向量数量积的运算;正弦定理. 【分析】 (1)利用向量数量积运算,即可求函数 f(x)的解析式及最小正周期; (2)利用,△ABC 的面积为 求△ABC 的周长. 【解答】解: (1) ∴ = =4﹣2sin(x+ ) , , ,求出 bc,利用余弦定理,求出 ,即可 ,求△ABC 的

f(x)的最小正周期为 2π; (2)因为 f(A)=4,所 ,因为 0<A<π,所以 ,

因为 根据余弦定理 即三角形的周长为 .

,所以 bc=3, ,所以 ,

18.某手机厂商推出一款 6 吋大屏手机,现对 500 名该手机用户进行调查,对手 机进行评分,评分的频数分布表如下: 女性用 户 男性用 户 分值区间 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 20 40 80 50 10

分值区间 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频数 45 75 90 60 30

(1)完成下列频率分布直方图,并指出女性用户和男性用户哪组评分更稳定(不 计算具体值,给出结论即可) ;

(2)根据评分的不同,运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户,在这 20 名用 户中,从评分不低于 80 分的用户中任意抽取 2 名用户,求两名用户中评分都小于 90 分的概率. 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 【分析】 (1)作出女性用户和男性用户的频率分布表,由图可得女性用户更稳定. (2)运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户,评分不低于 80 分有 6 人,其中 评分小于 90 分的人数为 4,记为 A,B,C,D,评分不小于 90 分的人数为 2,记 为 a,b,设事件 M 为“两名用户评分都小于 90 分”从 6 人人任取 2 人,利用列举 法能求出两名用户中评分都小于 90 分的概率. 【解答】 (本小题满分 12 分)

解: (1)女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图:

由图可得女性用户更稳定. (2)运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户,评分不低于 80 分有 6 人, 其中评分小于 90 分的人数为 4,记为 A,B,C,D, 评分不小于 90 分的人数为 2,记为 a,b, 设事件 M 为“两名用户评分都小于 90 分”从 6 人人任取 2 人, 基本事件空间为 Ω={(AB) , (AC) , (AD) , (Aa) , (Ab) , (BC) , (BD) , (Ba) , (Bb) , (CD) , (Ca) , (Cb) , (Da) , (Db) , (ab)},共有 15 个元素. M={(AB) , (AC) , (AD) , (BC) , (BD) , (CD)},共有 6 个元素. P(M)= .

19. 如图,四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD 为矩形,PA⊥底面 ABCD,AD=AP=2, AB=2 ,E 为棱 PD 的中点.

(Ⅰ)证明:PD⊥平面 ABE; (Ⅱ)求三棱锥 C﹣PBD 外接球的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (Ⅰ)以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AP 为 z 轴,建立空间直角坐 标系,利用向量法能证明 PD⊥平面 ABE.

(Ⅱ)三棱锥 C﹣PBD 外接球即以 AB,AD,AP 为棱的长方体的外接球,由此能求 出三棱锥 C﹣PBD 外接球的体积. 【解答】证明: (Ⅰ)以 A 为原点,AB 为 x 轴,AD 为 y 轴,AP 为 z 轴,建立空间 直角坐标系, P(0,0,2) ,D(0,2,0) ,A(0,0,0) ,B(2 =(0,2,﹣2) , =0, =(2 ,0,0) , ,0,0) ,E(0,1,1) ,

=(0,1,1) ,

=0,

∴PD⊥AB,PD⊥AE, ∵AB∩AE=A,∴PD⊥平面 ABE. 解: (Ⅱ)∵AD,AP,AB 两垂直,底面 ABCD 为矩形, ∴三棱锥 C﹣PBD 外接球即以 AB,AD,AP 为棱的长方体的外接球, ∴三棱锥 C﹣PBD 外接球的半径 R= ∴三棱锥 C﹣PBD 外接球的体积 V= = =3, =36π.

20.已知函数 f(x)=ax﹣lnx. (1)过原点 O 作曲线 y=f(x)的切线,求切点的横坐标; (2)对? x∈[1,+∞) ,不等式 f(x)≥a(2x﹣x2) ,求实数 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (1)过原点 O 作曲线 y=f(x)的切线,求出切线方程,即可求切点的横 坐标; (2)对? x∈[1,+∞) ,不等式 f(x)≥a(2x﹣x2) ,化为 ax2﹣ax﹣lnx≥0 对? x ∈[1,+∞)恒成立,分类讨论,即可求实数 a 的取值范围.

【解答】解: (1)设切点为(x0,ax0﹣lnx0) ,∴ 直线的切线方程为 y﹣(ax0﹣lnx0)=(a﹣ 又切线过原点﹣ax0+lnx0=﹣ax0+1, 所以 lnx0=1,解得 x0=e,所以切点的横坐标为 e. ) (x﹣x0) ,



(2)因为不等式 ax﹣lnx≥a(2x﹣x2)对? x∈[1,+∞)恒成立, 所以 ax2﹣ax﹣lnx≥0 对? x∈[1,+∞)恒成立. 设 g(x)=ax2﹣ax﹣lnx,g′(x)=2ax﹣a﹣ . ①当 a≤0 时,∵ ,∴g(x)在[1,+∞)上单调递减,

即 g(x)≤g(1)=0,∴a≤0 不符合题意. ②当 a>0 时, .设 ,

在[1,+∞)上单调递增,即 a≥1. ( i)当 a≥1 时,由 h(x)≥0,得 g'(x)≥0,∴g(x)在[1,+∞)上单调递 增, 即 g(x)≥g(1)=0,∴a≥1 符合题意; ( ii)当 0<a<1 时,∵a﹣1<0,∴? x0∈[1,+∞)使得 h(x0)=0, 则 g(x)在[1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,∴g(x0)<g(1) =0,则 0<a<1 不合题意. 综上所述,a≥1.

21.已知椭圆 C: 的圆与椭圆 C 有且仅有两个交点. (1)求椭圆 C 的方程;

,F1,F2 分别是其左、右焦点,以 F1F2 为直径

(2)设过点 F1 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平 分线与 x 轴交于点 P,点 P 横坐标的取值范围是 围. 【考点】椭圆的简单性质;直线与椭圆的位置关系. ,求线段 AB 长的取值范

【分析】 (1)根据题意,分析可得 b=c=1,计算可得 a 的值,代入椭圆的方程即可 得答案; (2)根据题意,设直线 AB 的方程为 y=k(x+1) ,与 联立可得(1+2k2)

x2+4k2x+2k2﹣2=0,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,AB 的中点为 M(x0,y0) ,由根与 系数的关系分析可得直线 AB 的垂直平分线方程,由弦长公式可以表示|AB|,计算 可得答案. 【解答】解: (1)根据题意,因为以 F1F2 为直径的圆与椭圆 C 有且仅有两个交点, 所以 b=c=1, 即 a= = , ,

即椭圆 C 的方程为

(2)根据题意,过点 F1 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,即直线 AB 的斜率存在, 设直线 AB 的方程为 y=k(x+1) , 与 联立,得(1+2k2)x2+4k2x+2k2﹣2=0,

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,AB 的中点为 M(x0,y0) , , , , 即 ,

设直线 AB 的垂直平分线方程为



令 y=0,得 因 为

, , 所 以

= 即线段 AB 长的范围是( ,2 ) .



请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选 修 4-4:坐标系与参数方程选讲](共 1 小题,满分 10 分) 22.已知在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4cosθ, 直线 l 的参数方程为 (t 为参数) . (1)求曲线 C1 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程; (2)若曲线 C2 的参数方程为 (α 为参数) ,曲线 C1 上点 P 的极角为 ,

Q 为曲线 C2 上的动点,求 PQ 的中点 M 到直线 l 距离的最大值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (1) 曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4cosθ, 即 ρ2=4ρcosθ, 可得直角坐标方程. 直 线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,消去参数 t 可得普通方程.



2

















2



2

) ,

,利用点到直线的距离公式及其三角 函数的单调性可得最大值. 【解答】解: (1)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ=4cosθ,即 ρ2=4ρcosθ, 可得直角坐标方程: .

直线 l 的参数方程为

(t 为参数) ,

消去参数 t 可得普通方程:x+2y﹣3=0. ( 2 ) , 直 角 坐 , ∴M 到 l 的距离 从而最大值为 . ≤ , 标 为 ( 2 , 2 ) ,

[选修 4-5:不等式选讲](共 1 小题,满分 0 分) 23.已知 a>0,b>0,函数 f(x)=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为 1. (1)求证:2a+b=2; (2)若 a+2b≥tab 恒成立,求实数 t 的最大值. 【考点】函数恒成立问题;绝对值不等式的解法. 【分析】 (1)法一:根据绝对值的性质求出 f(x)的最小值,得到 x= 时取等号, 证明结论即可;法二:根据 f(x)的分段函数的形式,求出 f(x)的最小值,证 明即可; (2)法一,二:问题转化为 ≥t 恒成立,根据基本不等式的性质求出 的

最小值,从而求出 t 的范围即可;法三:根据二次函数的性质判断即可. 【解答】解: (1)法一:f(x)=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣ |+|x﹣ |, ∵|x+a|+|x﹣ |≥|(x+a)﹣(x﹣ )|=a+ 且|x﹣ |≥0, ∴f(x)≥a+ ,当 x= 时取等号,即 f(x)的最小值为 a+ , ∴a+ =1,2a+b=2;

法二:∵﹣a< ,∴f(x)=|x+a|+|2x﹣b|=



显然 f(x)在(﹣∞, ]上单调递减,f(x)在[ ,+∞)上单调递增, ∴f(x)的最小值为 f( )=a+ ,

∴a+ =1,2a+b=2. (2)方法一:∵a+2b≥tab 恒成立,∴ = + =( + ) (2a+b )? = (1+4+ 当 a=b= 时, 取得最小值 , ≥t 恒成立, + ) ,

∴ ≥t,即实数 t 的最大值为 ; 方法二:∵a+2b≥tab 恒成立, ∴ t≤ ≥t 恒成立, = + 恒成立, ≥ = ,

+ = +

∴ ≥t,即实数 t 的最大值为 ; 方法三:∵a+2b≥tab 恒成立, ∴a+2(2﹣a)≥ta(2﹣a)恒成立, ∴2ta2﹣(3+2t)a+4≥0 恒成立, ∴(3+2t)2﹣326≤0, ∴ ≤t≤ ,实数 t 的最大值为 .


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