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巩固练习


【巩固练习】 一、选择题 1.函数 y=f(x)在区间[a,b]上的最大值是 M,最小值是 m,若 M=m,则 f′(x)( A.等于 0 C.小于 0 B.大于 0 D.以上都有可能 ) )

2. 若曲线 y ? x2 ? ax ? b 在点 (0, b) 处的切线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,则( A a ? 1, b ? 1 C a ? 1,

b ? ?1 B a ? ?1, b ? 1 D a ? ?1, b ? ?1 )

3.函数 f(x)=x3-3x+1 在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是( A.1,-1 B.1,-17 C.3,-17 D.9,-19 4.已知 f(x)=x3 的切线的斜率等于 1,则其切线方程有( A.1 个 B.2 个 C.多于两个 ) D.不能确定

5.若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于 ( ) A.2 B.3 C.6 D.9

1 6.已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y=-3 x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( A.13 万件 C.9 万件 B.11 万件 D.7 万件 ) )

7.曲线 f ( x) = 2 x4 上的点到直线 y = - x - 1 的距离的最小值为(

A.

2

B.

2 2

C.

2 3

D.

5 2 16

二、填空题 8.函数 f ( x) ? x ? 6 x ? 9 x ? 4 的极值点是 ____________。
3 2

9.函数 f ( x) ? 2 x ? ln x 的单调递增区间为
2 3



10. 曲线 f ( x) = x + x - 3 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1, 则 p0 点的坐标为_ _____.

11. 函数 f ( x) ? x3 ? 3a2 x ? a ( a ? 0 )的极大值为正数,极小值为负数,则 a 的取值范 围 三、解答题 。

12.设函数 f ( x) ? ax3 ? bx ? 1 在 x ? 1 处取得极值 ?1 (Ⅰ)求 a、 b 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间. 13.设函数 f ? x ? ? sin x ? cos x ? x ?1, 0 ? x ?

?
2

,求函数 f ? x ? 的单调区间与极值。

14.已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? bx ? c 图象上的点 P (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? ?3x ? 1 . ⑴若函数 f ( x) 在 x ? ?2 处有极值,求 f ( x) 的表达式; ⑵若函数 f ( x) 在区间 [?2,0] 上单调递增,求实数 b 的取值范围. 15.设 a 为实数,函数 f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (1)求 f(x)的单调区间及极值; (2)求证:当 a>ln2-1 且 x>0 时,ex>x2-2ax+1.

【答案与解析】 1.【答案】 A 【解析】 ∵M=m,∴y=f(x)是常数函数 ∴f′(x)=0,故应选 A. 2. 【答案】A: 【解析】 ∵

y? ? 2x ? a

x?0

?a

,∴ a ? 1 , (0, b) 在切线 x ? y ? 1 ? 0 ,∴ b ? 1

3. 【答案】 C 【解析】 f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1), 令 f′(x)=0,得 x1=-1 或 x2=1, f(-3)=-17,f(0)=1,f(-1)=3,f(1)=-1, ∴f(x)在区间[-3,0]上的最大值为 3,最小值为-17. 4. 【答案】 B 【解析】 ∵f(x)=x3,∴f′(x)=3x2, 令 3x2=1,得 x= ?

3 , 3

即切点坐标为 ?

? 3 3? ? 3 3? , , 或?? ?. ? 3 9 ? ? 3 9 ? ? ? ? ?

由点斜式可得切线方程为 y-

3 3 3 3 2 3 =x- 或 y+ =x+ ,即 y=x- 9 3 9 3 9

或 y=x+ 5. 【答案】D

2 3 .故应选 B. 9

【解析】 f′(x)=12x2-2ax-2b,由函数 f(x)在 x=1 处有极值,可知函数 f(x) 在 x=1 处的导数值为零,12-2a-2b=0,所以 a+b=6,由题意知 a,b

a?b 2 ? 6? ) = ? ? =9,当且仅当 a=b=3 时取到等号. 都是正实数, 所以 ab≤ ( 2 ?2?
6. 【答案】 C 【解析】 ∵x>0,y′=-x2+81=(9-x)(9+x), 令 y′=0,解得 x=9,所以 x∈(0,9)时,y′>0, x∈(9,+∞)时,y′<0,y 先增后减. ∴x=9 时函数取最大值,选 C,属导数法求最值问题. 7. 【答案】D; 【解析】设曲线 y = 2 x4 在点 P( x0 , y0 ) 的切线 l 平行于直线 y = - x - 1 , ∵ f? ( x) = 8 x = - 1 ,
3

2

∴ x0 ? ?

1 1 , y0 ? , 2 8 1 1 2 8

故所求最小值就是点 P ( ? , ) 到直线 y = - x - 1 的距离

1 1 | ? ? ? 1| 5 d? 2 8 ? 2. 16 2
8. 【答案】x=3 和 x=1 【解析】直接求导,然后求根可得。 9. 【答案】 ( , ??) ; 【解析】 f ?( x) ? 4 x ?

1 2

1 4 x2 ?1 ? , x x
1 。 2

2 因为 x ? 0 ,所以由 f ?( x) ? 0 得 4 x ? 1 ? 0 ,解得 x ?

10.【答案】 (1, ?1) 和 (?1, ?5) 。 【解析】设切点为 P 0 (a, b) , f '( x) ? 3x ? 1 ,
2

由 k ? f '(a) ? 3a ? 1 ? 4 ,得 a ? ?1
2

把 a ? ?1 ,代入到 f ( x) = x3 + x - 3 得 b ? ?5 ; 把 a ? 1 ,代入到 f ( x) = x3 + x - 3 得 b ? ?1 , 所以 P 0 (1, ?1) 和 (?1, ?5) 。 11. 【答案】 a ?

2 ; 2

【解析】 f ?( x) ? 3x2 ? 3a2 ? 3( x ? a)( x ? a) , 因为 a ? 0 ,所以极大值为 f (?a) ? 2a3 ? a ? 0 ,极小值 f (a) ? ?2a3 ? a ? 0 , 解得 a ?

2 。 2

12. 【解析】 (Ⅰ) f ?( x) ? 3ax 2 ? b ,由已知得 ? 解得 a ? 1 , b ? ?3

? f ?(1) ? 3a ? b ? 0 , ? f (1) ? a ? b ? 1 ? ?1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f '( x) ? 3x2 ? 3 ? 3( x ?1)( x ? 1) 当 x ? 1 或 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? (?1,1) 时, f ?( x) ? 0 . 因此 f ( x ) 的单调增区间是 (??, ?1) , (1, ??) ,

f ( x) 的单调减区间是 (?1,1) .
13. 【解析】

由f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2? ,知f, ( x) ? 1 ? 2sin( x ? ). 4 ? 2 3? 令f, ( x) ? 0,从面sin( x ? ) ? ,得x ? ?,或x ? , 4 2 2 , 当x变化时,f ( x),f(x)变化情况如下表:

?

因此,由上表知f(x)的单调递增区间是(0,?)与(

3? 3? 3? 单调递增区间是(? , ),极小值为f( )= ,极大值为f(? )=? ? 2 2 2 2

3? , 2?), 2

14. 【解析】 ⑴∵ 点 P (1, f (1)) 在 切 线 方 程

y ? ?3x ? 1 上 , ∴

f ?1? ? ?2 ,

f ' ?1? ? 2a ? b ? 3 ? ?3 ,
∵函数 f ( x) 在 x ? ?2 处有极值,∴ f ∴ f ( x) ? ? x3 ? 2 x2 ? 4 x ? 3
'

? ?2? ? 0 ,可得: a ? ?2, b ? 4, c ? ?3

b ? a?? ? ? 2 ⑵ 由 ⑴ 可 知 : ? ?c ? ?1 ? b ? ? 2
∴f
'

, ∴

b b f ( x) ? ? x3 ? x2 ? bx ? 1 ? 2 2



? x? ? ?3x2 ? bx ? b
'

∵函数 f ( x) 在区间 [?2,0] 上单调递增,即: f
' ? ? f ? ?2 ? ? 0 ∴? ' ,解得: b ? 4 。 f 0 ? 0 ? ? ? ?

? x? ? 0 在区间 [?2,0] 上恒成立,

15. 【解析】 (1)由 f(x)=ex-2x+2a,x∈R 知 f′(x)=ex-2,x∈R. 令 f′(x)=0,得 x=ln2.于是当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,ln2) - 单调递减 2(1-ln2+a) 单调递增 ln2 0 (ln2,+∞) +

故 f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),单调递增区间是(ln2,+∞), f(x)在 x=ln2 处取得极小值,极小值为 f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a). (2)证明:设 g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,于是 g′(x)=ex-2x+2a,x∈R. 由(1)知当 a>ln2-1 时,g′(x)最小值为 g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0. 于是对任意 x∈R,都有 g′(x)>0,所以 g(x)在 R 内单调递增. 于是当 a>ln2-1 时,对任意 x∈(0,+∞),都有 g(x)>g(0). 而 g(0)=0,从而对任意 x∈(0,+∞),g(x)>0. 即 ex-x2+2ax-1>0,故 ex>x2-2ax+1.


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