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2006年全国高中数学联赛试题及详细解析


一、

选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分)

1. 已知△ABC,若对任意 t ? R , BA ? t BC ? AC ,则△ABC 一定为 A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 答案不确定 【答案】 ( )

2. 设 log x (2x2 ? x ?1) ? log x 2 ?1 ,

则 x 的取值范围为 A.

1 ? x ?1 2

B. x ?

1 ,且 x ? 1 2

C. x ? 1

D. 0 ? x ? 1 【答案】 (



5. 设 f ( x) ? x3 ? log2 x ? x 2 ? 1 ,则对任意实数 a , b , a ? b ? 0 是 f (a) ? f (b) ? 0 的 A. 充分必要条件 C. 必 要而不充分条件 6. B. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】 ( )

?

?

数码 a1 , a2 , a3 ,?, a2006 中有奇数个 9 的 2007 位十进制数 2a1a2a3 ?a2006 的个数为
2006 ? 82006 ) B. (10 2006 ? 82006 ) A. (10

1 2

1 2

C.10

2006

? 82006 D.102006 ? 82006 【答案】

( ) 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)
[来源:学科网 ZXXK]

7. 设 f ( x) ? sin x ? sin x cos x ? cos x ,则 f (x) 的值域是。
4 4

8. 若对一切 ? ? R,复数 z ? (a ? cos ? ) ? (2a ? sin ? )i 的模不超过 2,则实数 a 的取值范围 为. 9. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 与 F2 , P 在直线 l: ? 3 y ? 8 ? 2 3 ? 0 点 x 16 4

上. 当 ?F PF2 取最大值时,比 1

PF1 PF2

的值为.

10. 底面半径为 1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为

1 cm 的实心铁球,四个球两两相切, 2

其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水,使水面恰好浸没所有铁球,则需要 3 注水 cm . 11. 方程 ( x2006 ? 1)(1 ? x2 ? x4 ? ? ? x2004 ) ? 2006 x2005 的实数解的个数为. 12. 袋内有 8 个白球和 2 个红球,每 次从中随机取出一个球,然后放回 1 个白球,则第 4 次恰好取完所有红球的概率为. 三、解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分)

15.



f ( x) ? x2 ? a .



f 1 ( x) ? f ( x)



f n ( x) ? f ( f n?1 ( x)) ,n ? 2,3,? ,

M ? a ? R 对所有正整数 n, f n (0) ? 2 . 证 明 :
1? ? M ? ?? 2, ? . 4? ?

?

?

[来源:学科网]

2006 年全国高中数学联合竞赛加试试卷 (考试时间:上午 10:00—12:00) 一、 B0 和 B1 为焦点的椭圆与△AB0B1 的边 ABi 交于 Ci i=0, 以 ( 1) 。在 AB0 的延长线上任取点 P0,以 B0 为圆心,B0P0 为半径 作圆弧 P0Q0 交 C1B0 的延长线于 Q0; C1 为圆心, 1Q0 为半径作圆弧 Q0P1 交 B1A 的延长线于 P1; 以 C 以 B1 为圆心,B1P1 为半径作圆弧 P1Q1 交 B1C0 的延长线于 Q1;以 C0 为圆心,C0Q1 为半径作圆弧 Q1P′0,交 AB0 的延长线于 P′0。试证: (1)点 P′0 与点 P0 重合,且圆弧 P0Q0 与 P0Q1 相内切于 P0;

(2)四点 P0、Q0、Q1、P1 共圆。

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

一试参考答案

一、 选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.【答案】 ( C ) 【 解 析 】 令 ?ABC ? ? , 过 A 作 AD ? BC 于 D 。 由 BA ? t BC ? AC , 推 出

??? 2 ? ??? ??? ? ? ??? 2 ??? 2 ? ? BA ? 2tBA?BC ? t 2 BC ? AC

??? ??? ? ? BA?BC , 令 t ? ??? 2 ? BC

, 代 入 上 式 , 得

??? 2 ? ??? 2 ? ??? 2 ??? 2 ? ? BA ? 2 BA cos2 ? ? cos2 ? BA ? AC , 即

??? 2 2 ? ???? 2 BA sin ? ? AC , 也 即

??? ? ???? ???? ???? ? BA sin ? ? AC 。从而有 AD ? AC 。由此可得 ?ACB ? 。 2

3.【答案】 ( C ) 【解析】

5x ? a ? 0 ? x ?

a b ; 6 x ? b ? 0 ? x ? 。要使 A ? B ? N ? ?2,3,4? ,则 5 6

? b ?1 ? 6 ? 2 ? 6 ? b ? 12 ? 1 1 ,即 ? 。所以数对 ?a, b ? 共有 C6C5 ? 30 。 ? ?20 ? a ? 25 ?4 ? a ? 5 ? 5 ?
4.【答案】 ( A ) 【解析】建立直角坐标系,以A为坐标原点,AB为 x轴,AC为y轴,AA1为z轴, 则 F (t1 ,0,0) ( 0 ? t1 ? 1 ) E (0,1, ) , G ( , 0,1) , D(0, t2 ,0) ( 0 ? t2 ? 1 ) 所 以 , 。

??? ? ???? 1 1 EF ? (t1 , ?1, ? ) , GD ? (? , t2 , ?1) 。 因 为 GD ? EF , 所 以 t1 ? 2t2 ? 1 , 由 此 推 出 2 2

1 2

1 2

0 ? t2 ?

???? ???? 2 2 1 1 2 。又 DF ? (t1 , ?t2 ,0) , DF ? t12 ? t2 2 ? 5t2 ? 4t2 ? 1 ? 5(t2 ? ) ? , 2 5 5
1 ???? ? DF ? 1 。 5

从而有

6、 【答案】 B ) (
1 3 2005 【解析】出现奇数个 9 的十进制数个数有 A ? C2006 92005 ? C2006 92003 ? ?? C2006 9 。又由
2006 k ?0 2006 k ?0

于 (9 ? 1)2006 ?

k k ? C2006 92006?k 以及 (9 ?1)2006 ? ? C2006 (?1)k 92006?k ,从而得

1 3 2005 A ? C2006 92005 ? C2006 92003 ? ? ? C2006 9 ?

1 2006 2006 (10 ? 8 ) 。 2

二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)

8.【答案】 ? ?

? ?

5 , 5

5? ?。 5 ?
2 2

【解析】依题意,得 z ? 2 ? (a ? cos? ) ? (2a ? sin ? ) ? 4

? 2a(cos? ? 2sin ? ) ? 3 ? 5a2 ? ?2 5a sin(? ? ? ) ? 3 ? 5a2 ( ? ? arcsin
? 5 5 , . 故 a 的取值范围为 ? ? 5 5 ?

1 ) (对任 5
5? ?。 5 ?

意实数 ? 成立) 2 5 a ? 3 ? 5a 2 ? a ? ? 9. 【答案】 3 ? 1

[来源:Z&xx&k.Com]

【解析】由平面 几何知,要使 ?F PF2 最大,则过 F1 , F2 ,P 三点的圆必定和直线 l 相 1

切于 P 点。 设直线 l 交 x 轴于 A (?8 ? 2 3,0) , ?APF ? ?AF2 P , ?APF ? ?AF2 P , 则 即 1 1 即

PF1 PF2
2

?

AP AF2

(1) ,又由圆幂定理,

AP ? AF1 ? AF2 (2) 而 F1 (?2 3,0) ,F2 (2 3,0) , (?8 ? 2 3,0) , , A 从而有 AF ? 8 , 1
, AF2 ? 8 ? 4 3 。代入(1)(2)得

PF1 PF2

?

AF1 AF2

?

8 ? 4 ? 2 3 ? 3 ?1 。 8? 4 3

12. 【答案】0.0434 【解析】第 4 次恰好取完所有红球的概率为

2 ?9? 1 8 2 9 1 ?8? 2 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =0.0434. 10 ? 10 ? 10 10 10 10 10 ? 10 ? 10 10
三. 解答题(本题满分 60 分,每小题 20 分) 13.

2

2

n ? n2 ? 4 【 证 明 】 因 为 y ? nx ? 1 与 y ? x 的 交 点 为 x0 ? y0 ? .显然有 2
2

x0 ?

1 ? n。 x0
m m

若 ( x0 , y0 ) 为抛物线 y 2 ? kx ? 1与直线 y ? x 的一个交点,则 k ? x0 m ?

1 . x0 m



km ? x0 m ?

1 ,则 x0 m

km?1 ? km ( x0 ?

1 ) ? km?1 ? nkm ? km?1 , x0

(m ? 2)

(13.1)

由于 k1 ? n 是整数, k2 ? x0 2 ?

1 1 ? ( x0 ? )2 ? 2 ? n2 ? 2 也是整数,所以根据数学归纳 2 x0 x0
1 是正整数. 现在对于任意 x0 m

法,通过(13.1)式可证明对于一切正整数 m , km ? x0 m ?

正整数 m ,取 k ? x0 m ?

1 m m ,使得 y 2 ? kx ? 1与 y ? x 的交点为 ( x0 , y0 ) . m x0

1 15. 【证明】 (1)如果 a ? ?2 ,则 f (0) ?| a |? 2 , a ? M 。

1 ,由题意 f 1 (0) ? a , f n (0) ? ( f n?1 (0))2 ? a , n ? 2,3,? . 则 4 1 1 1 n 1 ① 当 0 ? a ? 时, f (0) ? ( ?n ? 1 ). 事实上,当 n ? 1 时, f (0) ? a ? , 4 2 2 设 n ? k ?1 时 成 立 ( k ? 2 为 某 整 数 ) , 则 对 n ? k ,
(2)如果 ?2 ? a ?
2 ?1? 1 1 f k (0) ? f k ?1 (0) ? a ? ? ? ? ? . ?2? 4 2 2

( 3 ) 当 a?

1 1 时 , 记 an ? f n (0) , 则 对 于 任 意 n ? 1 , an ? a ? 且 4 4
。 对 于 任 意

2 an?1 ? f n?1 (0) ? f ( f n (0)) ? f (an ) ? an ? a

n ?1



1 1 1 1 2 an ?1 ? an ? an ? an ? a ? (an ? ) 2 ? a ? ? a ? , 则 an ?1 ? an ? a ? 。 所 以 , 2 4 4 4 1 1 2?a an ?1 ? a ? an ?1 ? a1 ? n(a ? ) 。当 n ? 时, an ?1 ? n(a ? ) ? a ? 2 ? a ? a ? 2 ,即 1 4 4 a? 4

1? ? (2) (3) ,我们有 M ? ?? 2, 。 f n?1 (0) ? 2 。因此 a ? M 。综合(1) 4? ? ?

2006 年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案 一、 (本题满分 50 分)以 B0 和 B1 为焦点的椭圆与△AB0B1 的边 ABi 交于 Ci(i=0,1) 。在 AB0 的延长线上任取点 P0,以 B0 为圆心,B0P0 为半径作圆弧 P0Q0 交 C1B0 的延长线于 Q0;以 C1 为圆 心,C1Q0 为半径作圆弧 Q0P1 交 B1A 的延长线 于 P1;以 B1 为圆心,B1P1 为半径作圆弧 P1Q1 交 B1C0 的延长线于 Q1;以 C0 为圆心,C0Q1 为半径作圆弧 Q1P′0,交 AB0 的延长线于 P′0。试证: (1) P′0 与点 P0 重合, 点 且圆弧 P0Q0 与 P0Q1 相 内切于 P0; P1 (2)四点 P0、Q0、Q1、P1 共圆 。 A S1 【解析】证明: (1)显然 B0P0=B0Q0,并由圆弧 P0Q0 和 Q0P1, Q0P1 和 P1Q1,P1Q1 和 Q1P′0 分别相内切于点 Q0、P1、Q1,得 C1B0+B0Q0=C1P1,B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1 以及 C0Q1=C0B0+B0P′0。四 式相加,利用 B1C1+C1B0=B1C0+C0B0 以及 P′0 在 B0P0 或其延长 线上,有 B0P0=B0P′0。 Q1 C0 从而可知点 P′0 与点 P0 重合。由于圆弧 Q1P0 的圆心 C0、圆 C1 弧 P0Q0 的圆心 B0 以及 P0 在同一直线上, 所以圆弧 Q1P0 和 P0Q0 Q0 B0 相内切于点 P0。 B1 R1 (2)现在分别过点 P0 和 P1 引上述相应相切圆弧的公切线 P0 P0T 和 P1T 交于点 T。 又过点 Q1 引相应相切圆弧的公切线 R1S1, 分别交 P0T 和 P1T 于点 R1 和 S1。连接 P0Q1 和 P1Q1,得等腰三角形 P0Q1R1 和 P1Q1S1。基于此,我 们可由 ∠P0Q1P1=π ? ∠P0Q1R1? ∠P1Q1S1=π ? (∠P1P0T? ∠Q1P0P1)? (∠P0P1T? ∠Q1P1P0) 而 π ? ∠P0Q1P1=∠Q1P0P1+∠Q1P1P0,代入上式后,即得

T

1 1 ?P0Q1 P ? ? ? (?P P0T ? ?P0 PT ) ,同理可得 ?P0Q0 P ? ? ? (?P P0T ? ?P0 PT ) 。所 1 1 1 1 1 1 2 2
以四点 P0、Q0、Q1、P1 共圆。 二、 (本题满分 50 分)已知无穷数列{an}满足 a0=x,a1=y, an ?1 ?

an an ?1 ? 1 ,n=1、2、…。 an ? an ?1

(1)对于怎样的实数 x 与 y,总存在正 整数 n0,使当 n0≥n 时 an 恒为常数? (2)求数列{an}的通项公式。

(2)由(2.3)和(2.4) ,我们得到 记 bn ?

an ? 1 an ?1 ? 1 an ?2 ? 1 ,n≥2。 ? ? an ? 1 an?1 ? 1 an ?2 ? 1

(2.7)

an ? 1 ,则当 n≥2 时, an ? 1

2 3 2 bn ? bn?1bn?2 ? (bn?2bn?3 )bn?2 ? bn?2bn?3 ? (bn?3bn?4 )2 bn?3 ? bn?3bn?4 ? ?

由此递推,我们得到

an ? 1 y ? 1 Fn?1 x ? 1 Fn?2 ?( ) ?( ) ,n≥2, an ? 1 y ?1 x ?1

(2.8) (2.9) (2.10)

这里 Fn=Fn? 1+Fn? 2,n≥2,F0=F1=1。 由(2.9)解得 Fn ?

1 1 ? 5 n?1 1 ? 5 n?1 [( ) ?( ) ]。 2 2 5

上式中的 n 还可以向负向延伸,例如 F? 1=0,F? 2=1。 这样一来,式(2.8)对所有的 n≥0 都成立。由(2.8)解得

an ?

( x ? 1) Fn?2 ( y ? 1) Fn?1 ? ( x ? 1) Fn?1 ( y ? 1) Fn?2 ,n≥0。 ( x ? 1) Fn?2 ( y ? 1) Fn?1 ? ( x ? 1) Fn?1 ( y ? 1) Fn?2

(2.11)

式(2.11)中的 F? 1、F? 2 由(2.10)确定。

2006 年全国高中数学联赛加试试题的另解
2006 年全国高中数学联赛加试第一题 以 B0 和 B1 为焦点的椭圆与 ?AB0 B1 的边 ABi 交于 Ci (i

? 0,1) 。在 AB0 的延长线

? 上任取点 P0 ,以 B0 为圆心, B0 P0 为半径作圆弧 P0Q0 交 C1B0 的延长线于 Q0 ;以 C1 为

? 圆心, C1Q0 为半径作圆弧 Q0 P1 交 B1 A 的延长线于 P ;以 B1 为圆心, B1 P 为半径作圆 1 1

P 弧 ?1Q1 交 B1C0 的延长线于 Q1 ;以 C0 为圆心,C0Q1 为半径作圆弧 Q1 P0 ,交 AB0 的延
'

?

长线于 P0 。 试证:

'

? ? (1) 点 P0 与点 P0 重合,且圆弧 P0Q0 与 P0 Q1 相切于点 P0 ;
'

(2) 四点 P0 、 Q0 、 Q1 、 P 共圆。 (原题图略) 1 第(1)问的证明略,下面着重讨论第 2 问的另一种证明方法: 构思:证明四点共圆,如果能找(或猜测)到该圆的圆心,转而证明圆心到四点距离 相等,也是一个常用的方法,那么圆心究竟在哪里? 试验:由题意可以知道: C1 B0 ? C1 B1 ? C0 B1 ? C0 B0 =常数(大于 B0 B1 ) 。 利用《几何画板》制作如图 1 所示的试验场景,其中圆 O 为四边形 P Q0Q1P 的外接圆。 0 1

C1B0 = C1B1 = C0B1 = C0B0 =

4.07852 厘 米 1.87466 厘 米 4.61694 厘 米 1.33625 厘 米
A

C1B0+C1B1 = 5.95318 厘 米 C0B1+C0B0 = 5.95318 厘 米
P1

O C1 C0

Q1

B1

B0

Q0 P0

拖 点 察 心 位 变 动 A观 圆 O的 置 化
图1 拖动点 A ,观察圆心 O 位置的变化,猜测点 O 可能是 ?AC1B0 的内心与 ?AC0 B1 的内 心(这两个三角形的内心可能是重合的) 。利用《几何画板》中的测量工具测得相关角的度 数,可以验证这个猜想是正确的! 所以我们就有了下面的另解: 证明:首先证明 ?AC1B0 的内心与 ?AC0 B1 的内心重合: 假设这两个三角形的内心不重合,并设 O 为 ?AC1B0 的内心, M 、 N 、 F 分别为切

点。则可从点 B1 引圆 O 的切线与圆 O 切于点 E 、与线段 AB0 交于点 D ,而且点 D 与点 C0

∴ DB1 ? DB0 ? C1 B1 ? C1 B0 又因为

C0 B1 ? C0 B0 ? C1 B1 ? C1 B0 ,
∴ DB1 ? DB0 ? C0 B1 ? C0 B0 ∴ DB1 ? DC0 ? C0 B1 , 这与点 D 与点 C0 不重合矛盾, 所以假设不成立, 因此: AC1B0 的内心与 ?AC0 B1 的 ? 内心重合。
C1 O Q1 C0 P1

A

设 ?AC1B0 、 ?AC0 B1 的 内 心 为 O , 如 图 3 。
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

B1

B0 Q0

由于直线 OC0 平分 ?AC0 B1 ,又 C0Q1 ? C P 线 OC0 垂直平分线段 P0'Q1 ,∴ OP' ? OQ1 0 同理:

' 0 0 ,∴直

P0

直线 OB0 垂直平分线段 P0 Q0 ,∴ OP ? OQ0 0 直线 C1O 垂直平分线段 P Q0 ,∴ OP ? OQ0 1 1 直线 B1O 垂直平分线段 P Q1 ,∴ OP ? OQ1 1 1 图3


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