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北京大兴区2011年中考数学二模试题及答案


2011 年大兴区中考数学综合练习(二)
学校 姓名 准考证号

1.本试卷共 4 页,共四道大题,25 道小题,满分 120 分。考试时间 120 分钟。 考 生 须 知 2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。 4.在答题卡上,选择题、作图题用 2B 铅笔作答,其他试题用黑色字迹签字笔作答。 5.考试结束,将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. .. 1.6 的倒数是 A.-6 B.6 C. ?
1 6
5 3

D.

1 6

2.我国是缺水国家,目前可利用淡水资源总量仅约为 8.99×10 亿米 ,则 8.99×105 所表 示的原数是 A.8990 ? 3.已知 ?a ? 3 ? ?
2

B.89900 ?
b? 2 ?0

C.899000

D.8990000

,则 ab 等于 C.-2 D.3

A.-6

B.6

4.若一个多边形的内角和是外角和的 2 倍,则这个多边形的边数是 A.8 B.6 C.5 D.4

5.为参加 2011 年“北京市初中毕业生升学体育考试”,小红同学进行了刻苦的练习,在测仰 卧起坐时,记录下 5 次的成绩(单位:个)分别为:40,45,45,46,48.这组数据的 众数、中位数依次是 A.45,45 B.45,45.5 C.46,46 D.48,45.5

6.如图 1 是由五个相同的小正方体组成的几何体,则它的左视图是

7. 下列事件中是必然事件的是

图1

A. 一个直角三角形的两个锐角分别是 4 0 ° 和 6 0 ° B.抛掷一枚硬币,落地后正面朝上 C.当 x 是实数时, x ≥ 0 D.长为 5cm 、 5cm 、 1 1cm 的三条线段能围成一个三角形 8.如图,在边长为 1 的正方形 ABCD 内作等边三角形 DCG,并与正方形 的对角线交于 E、F 点. 则图标中阴影部分图形 AEGFB 的面积为
A E G B F
2

D

C

A. ( 2 ?
4

3

3)

B.

3 ?1 2

C.

3 3

1 D. ?

3 3

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9.若分式
x
2

?4

x ? 2

的值为 0,则 x 的值为
2



10.如果关于 x 的方程 kx ? 2 x ? 5 ? 0 有实数根,那么 k 的取 值范围是_____ 11.如图,在⊙O 中,CD 是直径,AB 是弦,AB⊥CD 于 M, CD=10cm,DM∶CM=1∶4,则弦 AB 的长为 .
A O C

M D

B

12.如图,是两块完全一样的含 30°角的三角板,分别记作△ABC 与 △A′B′C′,现将两块三角板重叠在一起,设较长直角边的中点为 M, 绕中点 M 转动上面的三角板 ABC,使其直角顶点 C 恰好落在三角板 A′B′C′的斜边 A′B′上,当∠A=30°,AC=10 时,则此时两直角顶 点 C、C’间的距离是 .

三、解答题(本题共 50 分,每小题 5 分) 13. 计算:
3

8 ?2 ?
2

3 ? 2 ? 2 sin 60 ? .

14.先化简,再求值: 已知 a2+2a=4,求
1 a ?1 ? a 1
2

?1

? a

a ?1
2

? 2a ? 1

的值.

Q A B F D C E

R

15.如图,F、C 是线段 BE 上的两点,BF=CE,AB=DE,

P

∠B=∠E,QR∥BE.试判断△PQR 的形状,并说明理由.

16.已知:点 P(1, a )在反比例函数 y ?

k x

的图象上,它关于 y 轴的对称点在一次函数

y ? 2 x ? 4 的图象上,求此反比例函数的解析式

17.应用题: 全球变暖,气候开始恶化,中国政府为了对全球气候变暖负责任,积极推进节能减排,在全 国范围内从 2 0 0 8 年起, 三年内每年推广 5 0 0 0 万只节能灯. 居民购买节能灯, 国家补贴 5 0 % 购灯费. 在推广财政补贴节能灯时, 李阿姨买了 4 个 8W 和 3 个 2 4W 的节能灯, 一共用了 2 9 元,王叔叔买了 2 个 8W 和 2 个 2 4W 的节能灯,一共用了 1 7 元. 求: (1)财政补贴 5 0 % 后, 8W 、 2 4W 节能灯的价格各是多少元?
2 (2) 0 0 9 年某市已推广通过财政补贴节能灯 8 5 0 万只, 预计该市一年可节约电费 2.3 亿

元左右,减排二氧化碳 4 3 .5 万吨左右,请你估算一下全国一年大约可节约电费多少亿元? 大约减排二氧化碳多少万吨?(结果精确到 0.1 )

18.如图,分别以 Rt△ ABC 的直角边 AC 及斜边 AB 向外作等边△ ACD、等边△ ABE。已知 A ∠BAC=30? ,EF⊥AB,垂足为 F,连结 DF。 E 求证: (1)AC=EF; (2)四边形 ADFE 是平行四边形. D F C B

19.X 市与 W 市之间的城际铁路正在紧张有序地建设中.在建成通车前,进行了社会需求调 查,得到一列火车一天往返次数 m 与该列车每次拖挂车厢节数 n 的部分数据如下: 车厢节数 n 往返次数 m 4 16 7 10 10 4

(1)请你根据上表数据,在三个函数模型:①y=kx+b(k、b 为常数,k≠0);②y=
2

k x

(k 为常数,k≠0);③y=ax +bx+c(a、b、c 为常数,a≠0)中,选取一个适合的 函数模型,求出的 m 关于 n 的函数关系式是 m= (不写 n 的取值范围);

(2)结合你求出的函数,探究一列火车每次挂多少节车厢,一天往返多少次时,一天的 设计运营人数 Q 最多(每节车厢载客量设定为常数 p).

20.如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的半圆 O 交 BC 于点

D,DE⊥AC,垂足为 E.
(1)判断 DE 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论; 1 (2)如果⊙O 的直径为 9,cosB= ,求 DE 的长 3

21.某种子培育基地用 A 、 B 、 C 三种型号的甜玉米种子共 1500 粒进行发芽试验,从中选 出发芽率高的种子进行推广,通过试验知道, C 型号种子的发芽率为 8 0 % .根据试验数据 绘制了下面两个不完整的统计图(图Ⅰ、图Ⅱ) :
发芽数(粒) 三种型号种子数百分比 500 400 300 200 100 420

( )
370

A
30%

B
30%

C 图Ⅰ (1) C 型号种子的发芽数是_________粒; (2)通过计算说明,应选哪种型号的种子进行推广?(精确到 1 % ) (3)如果将所有已发芽的种子放到一起,从中随机取出一粒,求取到 C 型号发芽种子的概 率.
C

A

B 图Ⅱ

C

各种型号种子

22.平 面 内 有 一 等 腰 直 角 三 角 板 ( ∠ACB=90°)和 一 直 线 MN.过 点 C 作 CE⊥ MN 于 点 E,过 点 B 作 BF⊥ MN 于 点 F.当 点 E 与 点 A 重 合 时 ( 如 图 1) ,易 证 :AF+BF=2CE. ( 1) 当 三 角 板 绕 点 A 顺 时 针 旋 转 至 图 2 的 位 置 时 ,上 述 结 论 是 否 仍 然 成 立 ? 若 成 立 ,请 给 予 证 明 , 若 不 成 立 ,也 请 说 明 理 由 ; ( 2) 当 三 角 板 绕 点 A 顺 时 针 旋 转 至 图 3 的 位 置 时 ,线 段 AF、 BF、 CE 之 间 又 有 怎 样 的 数 量 关 系 ,请 直 接 写 出 你 的 猜 想 ,不 需 证 明 . C B C B C A E 图2 F N M 图3 B E F N

A (E) M 图1

A F N M

四、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23.已知三角形 ABC,AD 为 BC 边中线,P 为 BC 上一动点,过点 P 作 AD 的平行线,交 直线 AB 或延长线于点 Q,交 CA 或延长线于点 R. (1)当点 P 在 BD 上运动时,过点 Q 作 BC 的平行线交 AD 于 E R 点,交 AC 于 F 点, A 求证 QE=EF; F Q (2)当点 P 在 BC 上运动时,求 PQ+PR 为定值. E

B

P

D

C

24.已知:一元二次方程 x2+px+q+1=0 的一根为 2, (1)求 q 关于 p 的关系式 (2)求证:抛物线 y= x2+px+q+1 与 x 轴总有交点 (3)当 p=-1 时, (2)中的抛物线与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于 C 点,A 在 B 的左 侧,若 P 点在抛物线上,当 S△BPC=4 时,求 P 点的坐标.

25.如图,直线 y ?

3 3

x ? b 经过点 B( ? 3 ,2),且与 x 轴交于点 A.将抛物线 y ?

1 3

x 沿
2

x 轴作左右平移,记平移后的抛物线为 C,其顶点为 P. (1)求∠BAO 的度数; (2)抛物线 C 与 y 轴交于点 E,与直线 AB 交于两点,其中一个交点为 F.当线段 EF∥x 轴时,求平移后的抛物线 C 对应的函数关系式; (3)在抛物线 y ?
1 3 x 平移过程中,将△PAB 沿直线 AB 翻折得到△DAB,点 D 能否落在
2

抛物线 C 上?如能,求出此时抛物线 C 顶点 P 的坐标;如不能,说明理由.

y
y ? 1 3 x
2

y

B

B

A

O

x

A

O
备用图

x

大兴区 2011 年初三质量检测(二)

数学参考答案及评分标准
一、选择题(本题共 32 分,每小题 4 分) 下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的. .. 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 B 5 A 6 D 7 C 8 A

二、填空题(本题共 16 分,每小题 4 分) 9.-2 . 10. k ? ?
1 5

.且 k≠0

11.

8

.

12. 5 .

三、解答题(本题共 30 分,每小题 5 分) 13. 解:原式=2-4+2 ? =0. 14.解: 由 a2+2a=4,得 ( a ? 1) ? 5
2

3 + 3

…………………………………………4 分

……………………………………………………………5 分

………………………………1 分
( a ? 1) a ?1
2

原式=

1 a ?1
1 a ?1

?

1 ( a ? 1)( a ? 1)
a ?1 ( a ? 1)
2

?

…………………………2 分

=

?

…………………………………………3 分

=

2 ( a ? 1)
2

.

………………………………………………4 分

∴ 当 a2+2a=4,即 ( a ? 1) ? 5 时,
2

原式=

2 5

.

……………………………………………………5 分

15.答:△ PQR 是等腰三角形. ………………………………………1 分 证明:∵ BF=CE ∴ BC=EF . ………………………………………………2 分
Q A P B F C R

在△ ABC 和△ DEF 中,
? AB ? DE , ? ?? B ? ? E , ? BC ? EF ?
D

E



△ ABC≌△ DEF . …………………………………………3 分

∴ ∠ACB=∠DFE . 又∵QR∥BE,

∴∠Q=∠ACB, ∠R=∠DFE. ∴∠Q=∠R . ………………………………………………4 分

∴△PQR 是等腰三角形 …………………………………………5 分 16.解法:点 P(1, a )关于 y 轴的对称点为(-1,a) ……………1 分 ∵(-1,a)在一次函数 y ? 2 x ? 4 的图象上, ∴a=2. ………………………………………………3 分 ∴点 P 坐标为(1,2). ∴反比例函数的解析式为 y ?
2 x

………………………5 分

17.解: (1)设 8W 节能灯的价格为 x 元, 2 4W 节能灯的价格为 y 元.………1 分
? 4 x ? 3 y ? 2 9, ? 2 x ? 2 y ? 1 7.
? x ? 3 .5, ? y ? 5.

则?

① ②

…………………………………2 分

解之 ?

……………………………………………3 分

答:财政补贴 5 0 % 后, 8W 节能灯的价格为 3.5 元, 2 4W 节能灯的价格为 5 元. (2)全国一年大约可节约电费: 大约减排二氧化碳:
4 3 .5 850 2 .3 850 ? 5 0 0 0 ≈ 2 5 5 .9 (万吨) ? 5 0 0 0 ≈ 1 3 .5 (亿元)………………4 分

…………………5 分

18.证明: (1)∵△ABE 为等边三角形,且 EF⊥AB, ∴∠AEF=30°. ………………………………1 分 在△ABC 与△EAF 中,
? AB ? EA , ? ? ? ? BAC ? ? AEF ? 30 ? ? ? ? ACB ? ? EFA ? 90

A D C F B

E

∴△ABC≌△EAF. ………………………………2 分 ∴AC=EF. ………………………………3 分

(2)∵∠BAC=30°,∠DAC=60°,

∴∠DAB=∠AFE= 90°. ∴AD∥EF . ……………………………………4 分

由(1)可知,AC=EF, 又∵△ACD 是等边三角形, ∴AD=EF. ∴四边形 ADFE 是平行四边形. …………………5 分 19. 解: (1)m=-2n+24; …………………………………2 分 (2)Q=pmn =pm(-2n+24)=-2pn2+24pn ∵-2p<0, ∴Q 有最大值. ∴当 n=24 p 2 ? (?2 p )

=6 时,Q 取最大值. …………………3 分 …………………4 分

此时,m=-2n+24=-2×6+24=12.

∴一列火车每次挂 6 节车厢,一天往返 12 次时,一天的设计运营人数最多. ………5 分 说明:第(2)问中函数关系式列为 Q=mn,而求得的结果正确的给 2 分.

20. (1)答:DE 是⊙O 的切线. 证明:连接 OD,AD, ∵OD=OA, ∠ODA=∠OAD.

………………………………1 分

∵△ABC 是等腰三角形,AB=AC, AD⊥BC, ∴∠OAD=∠CAD,∠ODA=∠CAD. ∵DE⊥AC, ∴∠EDA+∠CAD=90
°

∴∠EDA+∠ODA =90 即:OD⊥DE

°

∴DE 是⊙O 的切线. ……………………………3 分

(2)解:∵ AB 是⊙O 的直径

∴∠ADB=90

°

在 Rt△ADB 中, BD 1 ∵cos∠B= = , AB=9, AB 3 ∴BD=CD=3 在 Rt△CDE 中, CE ∵cos∠C= CD 1 ∴CE=CD·cos∠C=3·cos∠B=3× =1 3 ∴DE= 32-12 =2 2 . ………………………………5 分 ……………………………………………1 分
420 1500 ? 30 %
370 1500 ? 30 %

21. (1)

480

.

(2)A 型种子的发芽率为 B 型种子的发芽率为

? 100 % ? 93 %
? 100 % ? 82 %

C 型种子的发芽率为 80% 因为 A 型种子的发芽率最高,所以选择 A 型种子进行推广. ……………………3 分 (3)P(C 型种子的发芽率)=
480 420 ? 370 ? 480 48 127

=

……………………5 分

22. (1)上述结论仍然成立. ………………………………1 分 证明:过 B 点作 BD ? CE 于点 D, ∵CE ? MN, ∴ ? CDB ∵ ? ACE ∴ ? CAE
? ? AEC ? 90 ? ? CAE ? 90
? ? ?



? ACE ? ? BCD ? 90



? ? BCD

.

又∵AC=BC, ∴△ACE≌△CDB. ∴ CE=BD. …………………………………2 分 ∵∠BDE=∠DEF=∠BFE=90°. ∴四边形 BDEF 是矩形. ∴EF=BD=CE,BF=DE. ∴ AF+BF=AE+EF+DE=CD+CE+DE=2CE. ……………3 分

(2) 线 段 AF、 BF、 CE 之 间 的 数 量 关 系 为 为 : AF-BF=2CE. ………………………………5 分

四、解答题(本题共 22 分,第 23 题 7 分,第 24 题 7 分,第 25 题 8 分) 23. (1)证明:∵QF∥BC, ∴△AQE∽△ABD,△AEF∽△ADC. ………………1 分 ∴
QE BD ? AE AD ? EF DC
Q R A F E P D C

∵BD=DC, ∴QE=EF. ……………………………………………3 分
B

(2)解:当点 P 与点 B(或点 C)重合时,AD 为△B(P)RC(或△C(P)BQ)的中位 线, ∴PQ+PR=2AD. 当点 P 在 BD 上(不与点 B 重合)运动时,由(1)证明可知, AE 为△RQF 的中位线, ∴RQ=2AE. ∵QF∥BC,PQ∥AD, ∴四边形 PQED 为平行四边形. ∴PQ=DE. ∴PQ+PR=2DE+QR=2DE+2AE=2AD. ……………………………5 分 同理可证,当点 P 在 CD 上(不与点 C 重合)运动时, PQ+PR=2AD. ∴P 在 BC 上运动时,PQ+PR 为定值,即 PQ+PR=2AD. …………7 分 24. (1)解:∵方程的根为 2 ∴4+2p+q+1=0 ∴q= -2p-5 (2)证明:△=p -4(q+1) =p2-4(-2p-5+1) =p2+8p+16 =(p+4)2 ∵(p+4)2≥0
2

………………………………………1 分

∴△≥0 ∴抛物线 y= x2+px+q+1 与 x 轴总有交点 (3)解:当 p=-1 时,q=-2×(-1)-5=-3 ∴抛物线的解析式为: y ? x ? x ? 2 .
2

………………3 分

∵B (2,0) C(0,-2), ∴BC= 2 2 . ∵S ? PBC =4. ∴
1 2 BC ? h BC ? 4 .

∴ h BC ? 2 2 . 过 B 点作 BD ? BC 交 y 轴于点 D,易求得,D(0,2), ∴BD= 2 2 过 D 点作 DE∥ BC 交 x 轴于点 E ∵∠ODB=∠OBD=45°∠EDB=90° ∴∠EDO=45° ∴E (-2,0) 设直线 DE 的解析式为 y ? kx ? b ( k ? 0 )
?? 2k ? b ? 0 ?b ? 2 ?k ? 1 ?b ? 2

∴?

∴解得 ?

∴直线 DE 的解析式为 y ? x ? 2 . 设直线 DE 与抛物线的交点 P(x,y) ∴?
?y ? x ? 2 ?y ? x
2

……………………5 分

? x?2
5 5 ?x2 ? 1 ? 5 ? ? ? y2 ? 3 ? 5 ?
5 ) , p 2 (1 ? 5 ,3 ? 5 ) ……………………7 分

∴?

? x1 ? 1 ? ? ? y1 ? 3 ? ?

∴ p 1 (1 ?

5 ,3 ?

25. 解: (1)∵点 B 在直线 AB 上,求得 b=3, ∴直线 AB: y ?
3 3 x ? 3,

∴A( ? 3 3 ,0) ,即 OA= 3 3 . 作 BH⊥x 轴,垂足为 H.则 BH=2,OH= 3 ,AH= 2 3 . ∴ tan ? B A O
? BH AH ? 3 3 ,? ? B A O ? 3 0 ?

.…………………2 分

(2)设抛物线 C 顶点 P(t,0) ,则抛物线 C: y ? ∴E(0, t 2 )
3 1

1 3

(x ? t)

2



∵EF∥x 轴, ∴点 E、F 关于抛物线 C 的对称轴对称, ∴F(2t, t 2 ) .
3
1 3 3 3

1

∵点 F 在直线 AB 上, ∴

t

2

?

? 2 t ? 3 ,? t1 ? ? 3 , t 2 ? 3 3

1 2 3 ? t ? ? t ? 3,? t1 ? ? 3, t2 ? 3 3. 2 3 3

∴抛物线 C 为 y ?

1 3

(x ?

3) 或 y ?
2

1 3

2 (x ? 3 3) .

…………………………4 分

(3)假设点 D 落在抛物线 C 上, 不妨设此时抛物线顶点 P(t,0),则抛物线 C: y
? 1 3 (x ? t)
2

,AP= 3 3 + t,

连接 DP,作 DM⊥x 轴,垂足为 M.由已知,得△ PAB≌△DAB, 又∠BAO=30° ,∴△PAD 为等边三角形.PM=AM=
? tan ? D A M ? DM AM ? 3,? D M ? 1 2 (9 ? 3 t ).

1 2

(3 3 ? t ) ,

O M ? O P ? PM ? ?t ?

1 2

(3 3 ? t ) ?

1 2

(3 3 ? t ),

?M

? 1 ? ? (3 3 ? t ), 0 , ? 2 ? ? ?

1 ? 1 ? D ? (3 3 ? t ), (9 ? ? 2 2 ?

? 3t ) . ? ?

∵点 D 落在抛物线 C 上, ∴ 1 (9 ?
2 3t ) ? 1? 1 ? (3 3 ? t ) ? 3? 2 ? t ? 2 , 即 t ? 2 7 ,? t ? ? 3 3 . ? ?
2

当 t ? ? 3 3 时,此时点 P ( ? 3 3 , 0 ) ,点 P 与点 A 重合,不能构成三角形,不符合题 意,舍去.所以点 P 为( 3 3 ,0) ∴当点 D 落在抛物线 C 上顶点 P 为( 3 3 ,0). ……………………………8 分

说明:以上各题的其他解法,如果正确,请参照本评分标准给分。


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