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2015-2016数学分析2复习


练习题一 第一大题
1、若 判断题(说明理由)

?a
n ?1

?

n

收敛,则

?a
n ?1

?

n

收敛。

2、 f ( x) ? ?

?0, ?1,

x为有理数 x为无理数

在 [0,1] 内可积。

3、级数

?4
n ?1

?

1 n ? 1 n2 ( ) 是收敛的。 n n

4、函数项级数

?
n ?1

?

sin nx
3

n ?x
7

6

在实数集 R 上一致收敛。

第二大题
1、求

计算题 2、求极限 lim
n ??

?

sin x ? cos x dx 。 5 sin x ? cos x
x2 0

?
k ?1

n

k n
3 2



3、求

? lim
x?0

ln(1 ? t 2 )dt x6


4、计算曲线 x ? 2(t ? sin t ) , y ? 2(1 ? cost ) (0 ? t ? 2? ) 的弧长。

第三大题

判敛题
?

n2 n? 1、判断级数 ? n cos 绝对收敛、条件收敛还是发散。 3 n ?1 2
2、判断无穷积分

?

?? 1

sin 2 x dx 的敛散性。 x

第四大题 第五大题

求幂级数

? (?1)
n ?1

?

n ?1

nx n?1 的收敛域及和函数。

计算题
2

1、把 f ( x) ? cos x 展开成 x 的幂级数。 2、把 f ( x) ? x 在 (?? , ? ] 展开成傅里叶级数。

第六大题 第七大题

证明: lim

n ??

?

n? p n

cos 2 x dx ? 0 ,其中 p 为正整数。 x
?

设函数 f ( x) ?

xn cos n? x 2 ,求 lim f ( x ) 。 ? n x ?1 3 n ?0

练习题二 第一大题
1 x
判断题(说明理由)
2 1 1 1 dx ? (? ) ? ?1 。 ,所以 ? 2 2 ?2 x x ?2 x 2

1、由于 (? )? ?

2、若 lim a n ? 0 ,则
n ??

?a
n ?1

?

n

一定收敛。
?

3、若正项级数 ? an 收敛,则 ?
n ?1 n ?1

?

an n

一定收敛。

n2 n? 4、级数 ? n cos 是绝对收敛的。 5 n ?1 3
?

第二大题

计算题

1、求

?

1? x2 dx 。 x4

3n 2、求极限 lim ? 2 。 2 n ?? k ?1 n ? k

n

3、求 lim
x ?0

?

x2 0

et ?1 dt 1? t 。 x4

4、求由曲线 xy ? 2 与直线 x ? y ? 3 所围图形绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积。

5、设

f ( x) ? ? e ?t dt ,求 ? f ( x)dx 。
2

x

1

1

0

第三大题
1、判别级数

判敛题

(? 1 ) ?
n ?1

?

n ?1

n?3 1 ? 的敛散性。 n ?1 3 n

2、判断无穷积分

?

??

1

sin 2 xdx 的敛散性。 x?3 x ? 2

xn 第四大题 求幂级数 ? n ?1 n

?

的收敛域及和函数。

第五大题
1、把 f ( x ) ?

计算题

1 展开成 x 的幂级数。 x ? 5x ? 4
2

2、把 f ( x) ? ?

?? 2, ?2,
证明:

?? ? x ? 0 在 (?? , ? ] 展开成傅里叶级数。 0? x ??

第六大题 第七大题

?

?
2 0

sin xdx ? ? 2 cosn xdx ( n 为正整数) 。
n 0

?

设函数 f ( x) ?

?2
n ?0

?

1
n

sin nx ,求 ?

2? 0

f ( x)dx 。

练习题一答案 第一大题
判断题
?

? ? 1 1 解:1.错误。 ? an ? ? ( ?1) 收敛,但 ? a n ? ? 发散。 n n ?1 n n ?1 n ?1 n ?1 n

?

2.错误。 将 [0,1] 用任意分法 T 分为 n 个小闭区间 [ x0 , x1 ],?, [ xk ?1 , xk ],?, [ xn?1 , xn ] , (其中 ,则在每一个小闭区间 [ xk ?1 , xk ] ( k ? 1, ?, n )上, M k ? 1 , mk ? 0 , x0 ? 0, xn ? 1 )

?k ? M k ? mk ? 1 。 lim
3.正确。 lim n u n ?
n ??

l ( T ) ?0

?? ?x
k ?1 k

n

k

? 1 ? 0 ,所以 f ( x) 在 [0,1] 上不可积。

e ? 1,原级数收敛。 4

4.正确。

sin nx n7 ? x6

3

?

1
3

n7 ? x6

?

1 n
7 3

, 而

?
n ?1

?

1 n
7 3

收敛, 所以由 M 判别法可知

?
n ?1

?

sin nx
3

n7 ? x6

在实数集 R 上一致收敛。

第二大题
解:1.

计算题
4

?

sin x ? cos x 1 5 dx ? d (sin x ? cos x ) ? (sin x ? cos)5 ? C ? 5 5 4 sin x ? cos x sin x ? cos x

2. lim
n ??

?
k ?1

n

k n
3 2

1 2 1 k ? lim ? ? ? xdx ? x 2 0 n ?? 3 n k ?1 n

n

3

1 0

?

2 3

3.

? lim
x?0

x2 0

ln(1 ? t 2 )dt x6
=

2 x ln(1 ? x 4 ) 2x5 1 lim ? = lim x ?0 x ?0 6 x 5 6x5 3
2? 0

4. s ?

?

2? 0

[(2(t ? sin t ))?]2 ? [(2(1 ? cost ))?]2 dt ? 2?
2?

t 4 sin 2 dt 2

t ? 8(? cos ) ? 16 2 0

第三大题
1.

判敛题

?
n ?1

?

n2 n? cos n 3 2

n2 n? ? ? n cos 3 n ?1 2
? ?

,而

n2 n2 n? , cos ? 2n 3 2n

n2 可由比值法的极限形式证明 ? n 收敛, n ?1 2
于是

n2 n? cos ? n 5 n ?1 3
?

收敛,即

n2 n? cos 绝对收敛。 ? n 5 n ?1 3
?

2. 设 f ( x) ?

1 1 1 , g ( x) ? sin 2 x 。 f ( x) ? 在 [1,??) 单调,且 lim ? 0 , x ? ?? x x x


?A ? 1

?

A

1

sin 2 xdx

?

1 2

?
?
1

A 1

sin 2 xdx ?

1 1 cos 2 A ? cos 2 ? ( cos 2 A ? cos 2 ) ? 1 2 2

由狄里克雷判别法知

??

sin 2 x dx 收敛。 x

第四大题
解: lim
n ??

计算题

a n ?1 n ?1 ? lim ? 1 ,所以收敛半径 R ? 1 。 n ? ? an n
?

n?1 当 x ? 1 时,级数为 ? (?1) n ,发散; n ?1

当 x ? ?1 时,级数为

? n ,发散;
n ?1

?

于是幂级数的收敛域为 (?1,1) 。

在 (?1,1) 内设幂级数的和函数为 S ( x) , 即 S ( x) ?

? (?1)
n ?1

?

n ?1

nx n?1 ?

两边从 0 到 x 积分,得

?

x 0

S (t )dt ?

? (?1)
n ?1

?

n ?1

xn ? x

1? x

,

两边对 x 求导,得 S ( x) ? (

x 1 1 )? ? (1 ? )? ? 1? x 1? x (1 ? x) 2

x ? (?1,1) .

第五大题

计算题

解:1. cos 2 x ?
?

1 ? cos 2 x 2

(?1) n x 2n cos x ? ? (2n)! n ?0
1 cos x ? ? 2
2

(?1) n 2 2 n x 2 n ,于是 cos2 x ? ? (2n)! n ?0
?

? (?1) n 2 2 n?1 x 2 n (?1) n 2 2 n?1 x 2 n ? 1? ? ? (2n)! (2n)! n ?0 n ?1 ?



2. f ( x) 在 (?? , ? ) 为奇函数,所以

a0 ?
bn ?

f ( x)dx ? 0 , ???
?

1

?

an ?
2

f ( x) cos nxdx ???
?

1

?

? 0,

1

?

??
?

?

f ( x) sin nxdx ?
?

?

?

?
0

x sin nxdx ?

(?1) n ?1 ? 2 , n

(?1) n?1 ? 2 所以, f ( x) ? x ? ? sin nx n n ?1
当 x ? ?? 时,傅里叶级数收敛于

x ??

f (?? ? 0) ? f (? ? 0) ? 0。 2

第六大题

证明题

证明: 由积分中值定理,存在 c ? [n, n ? p] ,使

?

n? p n

cos 2 x cos 2c dx ? p x c

lim ?
n ??

n? p n

cos x cos 2c p dx ? lim p ? lim cos 2c ? 0 。 n ? ? c ? ?? x c c
计算题
? xn xn 2 n ? 2 n 2 , 收敛,由 M 判别法知 ( ) cosn?x 2 在 [0,2] cos n ? x ? ( ) ? ? n n 3 3 n ?0 3 n ?0 3

第七大题
?x ? [0,2] ,
一致收敛。

且函数

xn cos n?x 2 在 [0,2] 连续, n 3
? ? xn xn 1 1 3 2 2 ? (- ) n ? cos n ? x ? lim cos n ? x ? 。 ? ? n n x ?1 x ?1 3 1 4 3 n ?0 n ?0 3 n ?0 1+ 3 ?

lim f ( x ) ? lim ?
x ?1

练习题二答案 第一大题
判断题

1 ? ? , x ? 0 为瑕点,不能用求定积分的牛顿-莱布尼茨公式来计 x ?0 x 2 2 1 0 1 2 1 dx ? ? dx ? ? 2 dx , 算。正确做法: ? ?2 x 2 ?2 x 2 0 x 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 dx ? lim ( ? ) ? lim ? ? ? 而 ? 2 dx ? lim ,于是 ? ?2 x 2 dx 发散。 0 x ? ?0 ? ? 0 x 2 ? ?0 ? x ? ? ?0 ? ? 2
解:1.错误。因为 lim
? 1 1 1 2. 错误。反例: ? , lim a n ? lim ? 0 ,但是 ? 发散。 n?? n ?? n n ?1 n n ?1 n ?

an
3.正确。lim
n ??

n an

? lim
n ??

1 n

正项级数 ? 0,
?

?a
n ?1

?

n

收敛, 由比较法极限形式知

?
n ?1

?

an n

收敛。

4. 正确。

?
n ?1 ?

?

n2 n? cos n 5 3

n2 n? ? ? n cos 5 n ?1 3

,而

n2 n2 n? ,可由比值法的 cos ? 3n 5 3n
?

? n2 n? n2 极限形式证明 ? n 收敛,于是 ? n cos 5 n ?1 3 n ?1 3

n2 n? 收敛,即 ? n cos 绝对收敛。 5 n ?1 3

是绝对收敛的。

第二大题
解:1. 设 x

计算题

? sin t , x ? [?

? ?

, ] , dx ? cos tdt 2 2

?

1? x2 cos2 t dx ? dt ? ? csc 2 t ? cot2 tdt 4 4 ? x sin t
2

1 3 1 ( 1 ? x 2 )3 ? ? ? cot td cot t ? ? cot t ? C ? ? ?C 3 3 x3

2. lim

n 1 3 1 1 3? 3n 1 dx ? 3arctan x 0 ? lim ? ? 3? ? ? ? 2 2 2 01? x n ?? n ?? k 4 n k ?1 k ?1 n ? k 1 ? ( )2 n

n

3.

lim
x?0

?

x2 0

e x ?1 et ? 1 2x dt 1 ? t ? lim 1? x2 1 2x 3 1 ? ? lim lim 3 x?0 x ?0 2 x4 4x3 1 ? x 2 x?0 4 x

2

4. V x ? V2 ? V1 ? ? 5.

?

2

1

(3 ? x) dx ? ? ?
2

2

1

x3 4 1 2 ? ? ( ) 2 dx ? ? (9 x ? 3x 2 ? ) ? ? x 3 1 x1 3
1 1
2

2

2

?

1 0

f ( x)dx ? xf ( x) 0 ? ? xdf ( x) ? 0 ? ? x f ?( x)dx ? ?? xe ? x dx
1 0 0 0

1

?

1 1 ? x2 1 ? x2 2 e d ( ? x ) ? e 2 ?0 2

1 0

?

e ?1 . 2

?1

第三大题
1.设 a n ?

判敛题

n?3 2 n ?1 1 ? 1? , bn ? (?1) 。 3 n ?1 n ?1 n

{an } 单调递减,且 1 ? an ? 2 ,即 {an } 有界;
由莱布尼茨判别法知

?b
n ?1

?

n

?

(? 1 ) ?
n ?1 ? n ?1

?

n ?1 3

1 n

收敛,

所以由阿贝尔判别法知级数

(? 1 ) ?
n ?1

n?3 1 ? 收敛。 n ?1 3 n
1 dx 收敛知 ? 4
?? 1

2.

sin 2 x x?3 x ? 2

?

1 x?3 x ? 2

?

1 x
4 3

,由

?

?? 1

x3

sin 2 xdx 收敛。 x?3 x ? 2

第四大题

计算题

1 a n?1 解: lim ? lim n ? 1 ? 1 ,所以收敛半径 R ? 1 。 n ?? a n ?? 1 n n
当 x ? 1 时,级数为

? n ,发散;
n ?1

?

1

当 x ? ?1 时,级数为

? (?1)
n ?1

?

n

1 ,由莱布尼茨定理知其收敛; n

于是幂级数的收敛域为 [?1,1) 。 在 (?1,1) 内设幂级数的和函数为 S ( x) , 即 S ( x) ?
?

?n x
n ?1

?

1

n

?

于是

S ?( x) ? ? x n ?1 ?
n ?1

1 . 1? x

两边从 0 到 x 积分,得

S ( x) ? S (0) ? ?

x 0

1 dx ? ? l n1 ( ? x) , 1? x

1 ? x) . 注意到 S (0) ? 0 ,于是 S ( x) ? ? ln(
因为级数

1 ? x)在x ? ?1 处有定义且连续, 和函数 ? ln( ? n x 在x ? ?1处收敛,
n n ?1

?

1

所以在 [?1,1) 内

xn ? ? l n1 (? x)   (?1 ? x ? 1) . ? n ?1 n

?

第五大题
解:1.
2

计算题

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? )? ( ? )? ? x 3 1? x 4 ? x x ? 5x ? 4 3 x ? 4 x ? 1 3 1 ? x 12 1? 4

? 1 ? ? x n , x ? (?1,1) 又 1 ? x n ?0

x ? ? ( ) n , x ? (?4,4) x n ?0 4 1? 4
1 1 ? 所以 2 x ? 5x ? 4 3

1

?

? xn ?
n ?0

?

x 1 1 1 ( ) n ? ? (1 ? n?1 ) x n ? 4 12 n?0 4 n ?0 3

?

?

, x ? (?1,1)

2. f ( x) 在 (?? ,0) ? (0, ? ) 为奇函数,所以 an ? 0 。

bn ?

??

2

?
0

f ( x) sin nxdx bn ?

??
n

4

?
0

sin nxdx ?

4 [1 ? ( ?1) n ] n?

所以, f ( x) ?

? n? [1 ? (?1)
n ?1

?

4

] sin nx
f (0 ? 0) ? f (0 ? 0) ?0 2

当 x ? 0 时,傅里叶级数收敛于

当 x ? ?? 时,傅里叶级数收敛于

f (?? ? 0) ? f (? ? 0) ?0 2

第六大题
证明:对
?
2 0

?

?
2 0

sin n xdx ,设 x ?
0

?
2

? t , dx ? ? dt , x ? 0 ? t ?

?
2

;x ?

?
2

? t ? 0。

?

sin n xdx ? ? ? ? sin n (
2

?
2

? t )dt ?

?

?
2 0

cosn tdt ? ? 2 cosn xdx (定积分和积分变量无关)
0

?

第七大题
解:?x ? [0,2? ] ,
? ? 1 1 1 1 , 收敛,由 M 判别法知 sin nx ? sin nx 在 [0,2? ] 一 ? ? n n n n 2 2 n ?0 2 n ?0 2

致收敛。且函数

1 sin nx 在 [0,2? ] 连续,于是 2n
2?

?

2? 0

f ( x)dx ?

?

0

0dx ? ?

1 n n ?1 2

?

?

2? 0

sin nxdx ? 0 ? 0 ? 0 。


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