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2-2-2 反证法


基础巩固强化 一、选择题 1.命题“三角形中最多只有一个内角是直角”的结论的否定是 ( ) A.有两个内角是直角 B.有三个内角是直角 C.至少有两个内角是直角 D.没有一个内角是直角 [答案] C [ 解析 ] “ 最多只有一个 ” 的含义是 “ 有且仅有一个或者没 有”,因此它的反面应是“至少有两个”. 2.设实数 a、b、c 满足 a+b+c=1,则 a、b、c 中至少有

一个 数不小于( A.0 1 C.2 [答案] B 1 [解析] 三个数 a、b、c 的和为 1,其平均数为3,故三个数中至 1 1 少有一个大于或等于3.假设 a、b、c 都小于3,则 a+b+c<1 与已知 矛盾. 3.a+b>c+d 的一个必要不充分条件是( A.a>c B.b>d ) ) 1 B.3 D.1 C.a>c 且 b>d [答案] D D.a>c 或 b>d [解析] A、B 是既不充分也不必要条件,C 是充分不必要条件, 只有 D 正确,可用反证法证明;若 a>c 或 b>d 不成立,则 a≤c 且 b≤d, 相加得, a+b≤c+d, 与 a+b>c+d 矛盾, 故条件是必要的. 又 取 a=10,b=1,c=4,d=8 知条件是不充分的. 4.实数 a、b、c 不全为 0 等价于( A.a、b、c 均不为 0 B.a、b、c 中至多有一个为 0 C.a、b、c 中至少有一个为 0 D.a、b、c 中至少有一个不为 0 [答案] D [解析] “不全为 0”的含义是至少有一个不为 0,其否定应为 “全为 0”. [点评] 要与“a、b、c 全不为 0”加以区别,“a、b、c 全不为 0”是指 a、b、c 中没有一个为 0,其否定应为“a、b、c 中至少有一 个为 0”. 5.命题“若 x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是( A.若 x2≥1,则 x≥1 或 x≤-1 B.或-1<x<1,则 x2<1 C.若 x>1 或 x<-1,则 x2>1 D.若 x≥1 或 x≤-1,则 x2≥1 [答案] D 6.如果两个数之和为正数,则这两个数( A.一个是正数,一个是负数 ) ) ) B.都是正数 C.不可能有负数 D.至少有一个是正数 [答案] D [解析] 两个数的和为正数,可以是一正一负,也可以是一正一 为 0,还可以是两正,但不可能是两负. 二、填空题 7.“x=0 且 y=0”的否定形式为________. [答案] x≠0 或 y≠0 [解析] “p 且 q”的否定形式为“綈 p 或綈 q”. 8.和两条异面直线 AB、CD 都相交的两条直线 AC、BD 的位置 关系是________. [答案] 异面 [解析] 假设 AC 与 BD 共面于平面 α,则 A、C、B、D 都在平 面 α 内,∴AB?α,CD?α,这与 AB、CD 异面相矛盾,故 AC 与 BD 异面. 9.在空间中有下列命题:①空间四点中有三点共线,则这四点 必共面;②空间四点,其中任何三点不共线,则这四点不共面;③垂 直于同一直线的两直线平行; ④两组对边分别相等的四边形是平行四 边形.其中真命题是________. [答案] ① [解析] 四点中若有三点共线,则这条直线与另外一点必在同一 平面内,故①真;四点中任何三点不共线,这四点也可以共面,如正 方形的四个顶点, 故②假; 正方体交于同一顶点的三条棱所在直线中, 一条与另两条都垂直,故③假;空间四边形 ABCD 中,可以有 AB= CD,AD=BC,例如将平行四边形 ABCD 沿对角线 BD 折起构成空

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