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函数高考命题解读


人教课标 A 版 第四期 函数高考命题解读——函数图象、函数与方程、函数模型
一、考查特点与命题趋向 函数是高中数学的核心内容, 贯穿了整个高中数学课程, 同时还是学习高等数学的基础, 所以在高考中,函数知识占有极其重要的地位。其试题不但形式多样(选择、填空、解答均 有) ,而且近年来更注重了在知识的交汇处命题,综合函数与三角、向量、不等式、解析几 何、立体几何等章节的

内容交叉,突出考查学生联系与转化、分类与讨论、数与形结合等重 要的数学思想、能力。知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高,是高考中考查 数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地。 从历年高考试题分析,在函数图象、函数与方程、函数模型及函数应用几方面的命题主 要围绕以下方面: 1.与基本函数图象有关的试题,要求学生能直接作出其图象或从图中(或列表中)读取 各种信息,注意利用平移变换、伸缩变换、对称变换这三种图象变换,得到所研究函数的图 象(简图) ,为进一步研究函数打下基础。 2.培养运用数形结合思想来解题的能力,会利用已得函数图象,来进一步研究函数的有 关性质,如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等基本属性; 3.利用函数图象解决方程、不等式中的问题; 4.新课标中增加的函数的零点与方程的根内容,要求结合二次函数的图像,判断一元二 次方程根的存在性及根的个数;了解函数的零点与方程根的联系;根据具体函数的图像,能 够借助计算器用二分法求相应方程的近似解; 5.函数模型的建立及其应用; 二、考点分类解读 考点 1 考查基本函数图象作图 例 1 ( 09 年福建省普通高中毕业班质量检查理科 4 )函数 { EMBED Equation.DSMT4 | y ? log 2 | x | 的图象大致是( ) 【解析】函数为偶函数,作出时的图象,再作关于轴对称图象,即得整个函数的图象,故可 知应选 C。 考点 2 融函数的性质于函数图象中 例 2(08 高考·山东理 3) .函数的图象是( )

【解析】函数为偶函数,又当时, ,从而,再由偶函数知图象关于轴对称,故选 A. C 点评:本例中的函数图象不易作出,但可以通过研究函数的奇偶性、取值范围等性质来驾驭 图象的特点,从而使问题得以解答,综合性较强。 考点 3 方程的根与函数零点 例 3 (08 高考·广东文 9) 设,若函数, ,有大于零的极值点,则( A、 B、 C、 D、 )

【解析】由题意知即有大于 0 的实根,即, 或者数形结合,令,则两曲线交点在第一象限,结合图像易得,选 A. 点评:本题很好地利用了函数的零点就是方程实数根,将所求问题加以转化,使解题思路得 以明确。

考点 4 应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解 例 4(09 福建省福州八中高三第四次质检理 5)若函数的一个正数零点附近的函数值用二分 法计算,其参考数据如下: f(1)=-2 f(1.375)=-0.260 f(1.5)=0.625 f(1.4375)=0.162 f(1.25)=-0.984 f(1.40625)=-0.054

那么方程的一个近似根(精确到 0.1)为 ( ) A. 1.5 B. 1.4 C. 1.3 D. 1.2 【解析】根据二分法求函数的零点条件· ,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到答案 B。 考点 5 函数模型及应用 例 5(08 高考·广东文 17)某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至 少 10 层、每层 2000 平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为 x(x≥10)层,则每平方米的平 均建筑费用为 560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应 建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=) 【解析】设楼房每平方米的平均综合费为 f(x)元,则

,

令 得

当 时, ;当 时, 因此 当时,f(x)取最小值; 答:为了楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层。 点评: 函数应用问题是高考的热点, 近年来高考题目重视对环境保护及节约能源等生活热点 问题的设置,加大函数应用题、探索题、开放题和信息题的考察力度,本例属于反比例函数 模型,可采用求导方法亦可通过基本不等式求解。 小结:解决函数应用问题应着重培养下面几个能力: (1)阅读理解、整理数据的能力:通过分析、画图、列表、归类等方法,快速弄清数据 之间的关系,数据的单位等; (2) 建立函数模型的能力: 关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数, 建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式, 注意不要忘记考察函 数的定义域; (3)求解函数模型的能力:主要是研究函数的单调性,求函数的值域、最大(小)值, 计算函数的特殊值等,注意发挥函数图象的作用。 考点 6 函数与其他章节知识交汇考查 例 6.(08 高考·山东理 12)设二元一次不等式组所表示的平面区域为,使函数的图象过区 域的的取值范围是( )

A.

B.

C.

D.

【解析】区域是三条直线相交构成的三角形(如图) 显然只能,此时只需研究过、两种情形即可, 因此,且即 点评:本题将函数图象和性质的考查,有机地同线性规划问题结合起来,给人耳目一新的感 觉,反映了今后高考命题的一个方向。


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