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北京建华实验学校2011-2012第一学期期中考试数学试卷



2011— 学期高二年级期中练习数学试题 高二年级 北京建华实验学校 2011—2012 学年度第 1 学期高二年级期中练习数学试题 2011-11-2
考试时间: 考试时间: 90 分钟 满分: 满分:100 分 命题人: 命题人: 刘先锋

8.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,若满足 c 大小是 A、 60° B、120° C、 60° 或 120°

2

= a 2 + b 2 + ab ,则角 C 的
( )

D、 45° )

班级:

一 得分





总分

9.已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , S3 = 3 , S6 = 27 ,则此等比数列的公比 q 等于( A.2 B. ?2 C.

小题, 在每小题四个选项中只有一项符合要求. 只有一项符合要求 一、本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题四个选项中只有一项符合要求. 1.设 a,b,c,d∈R,且 a>b,c>d,则下列结论正确的是 ( ) A.a+c>b+d 2.数列 ? B.a-c>b-d C.ac>bd D.

1 2

D. ?

1 2

10. 已知等比数列 {an } 的各项均为正数, 公比 q ≠ 1 , 设 P = 大小关系为

a b > d c
( )

a4 + a8 ,Q = a3 ? a9 , P 与 Q 的 则 2
( ) D.无法确定

1 1 1 1 , , ? , ,LL 的一个通项公式是 2 4 8 16

A. P > Q

B. P < Q

C. P = Q

1 A. ? n 2
C .

(?1) n B. 2n
D .

小题, 把答案填在题中横线上. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上 填空题: 11.在 ?ABC 中,若满足

(?1) n +1 2n

(?1) n 2 n+1
( D. 120
0

cos A b = ,则 ?ABC 是 cos B a

(填形状) ;

12.已知 )

π
6

<x< y<

π
3

,则 x ? y 的取值范围是____________________;

3.在△ABC 中,三内角 A、B、C 成等差数列,则角 B 等于 A. 30
0

13.若 x > 0 则函数 y = x +

B. 60

0

C. 90

0

4 的最小值是___________,取到最小值时, x = _______ ; x
____;

1 4.已知 {a n } 是等比数列, a 2 = 2,a 5 = ,则公比 q = 4 1 1 A.? B .? 2 C .2 D. . 2 2
5.已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 Sn ,若 a4 + a5 = 18, 则S8 等于 A.18 B.36 C.54 D.72

14.在数列 {a n } 中, a1 = 1 ,且对于任意正整数 n,都有 an +1 = an + n ,则 a100 = ( )

小题, 三、解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 解答题:本大题共 小题 分 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分 10 分) ( ) 已知数列

{an } 满足 an = 2n + 2n ? 1 ,求 {an } 的前 n 项的和 Sn .

6.在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 ∠A = c 边长为

π
3

,a =

3 , b = 1 ,则
( )

A .1 1 1 > a?c b?c

B .2

C . 3 ?1 1 1 < a?c b?c

D.3 . ( )

7.若 a > b > c ,则下列不等式成立的是

A.

B.

C . ac > bc

D . ac < bc

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姓名:

16. (本小题满分 10 分) 已知数列 {an } 是等差数列,且 a1 ⑴ 求数列 {an } 的通项公式; ⑵ 令 bn
n = an ?3 (n ∈ N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和的公式.

18. (此题理科班做,文科班不做。本小题满分 12 分)

= 2 , a1 + a2 + a3 = 12 。

2 已知函数 f ( x) = x + bx + c ,对于任意的 x ∈ R ,恒有 2 x + b ≤ f ( x ) .

(1)证明:当 x ≥ 0 时, f ( x ) ≤ ( x + c ) 2 ; (2)如果不等式 f (c ) ? f (b) ≤ M (c 2 ? b 2 ) 恒成立,求 M 的最小值. 19. (此题文科班做,理科班不做。本小题满分 12 分) 某村计划建造一个室内面积为 800 m 的矩形蔬菜温室。在温室内,沿左.右两侧与后侧内墙 各保留 1 m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时?蔬菜 的种植面积最大。最大种植面积是多少?
1m
2

班级:

1m

种种种
1m

3m

17. (本小题满分 12 分) 在三角形 ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别为 a、b、c,且 (Ⅰ)求∠B 的大小; (Ⅱ)若 b =

cos C 2 sin A ? sin C = . cos B sin B

7 , a + c = 4, 求三角形 ABC 的面积.

第 2 页 共 4 页

参考答案
一、选择题: 选择题: 1. A 2.B 3. B 4. D 5. D 6. B 7. B 8. B 9.A 10.A

∴ sin( B + C ) = 2sin A cos B 1 π 即  B = Q 0 < ∠B < π ∴∠B = cos 2 3
(2)Q b = -----6

二、填空题: 填空题: 11.等腰三角形或直角三角形 13. ?

π
6

< x? y<0

13 . 4, 2

14. 4951

7, a + c = 4,
-------8

小题, 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 解答题: 15.解: S n = 2 + 2 + 2 + L + 2
2 3

∴16 = (a + c)2 = a 2 + c 2 + 2ac = b 2 + 2ac cos B + 2ac = 7 + 3ac

(

n

) + (2 × 1 + 2 × 2 + 2 × 3 + L + 2n ) + (? 1)n --------4

∴ ac = 3 ∴S
18、解答:
ABC

2 ? 2 n+1 n(n + 1) = +2 ? n = n 2 + 2 n+1 ? 2 --------10 1? 2 2
16.解:解: (1)Q a1

=

1 1 3 3 3 ac sin B = × 3 × = 2 2 2 4

------12

= 2 , a1 + a2 + a3 = 12

(1)函数 f ( x ) = x 2 + bx + c ,对于任意的 x ∈ R ,恒有 2 x + b ≤ f ( x )

∴ 3a1 + 3d = 12,即d = 2 ------2 ∴ an = 2 + (n ? 1) ? 2 = 2n. --------4
(2)由已知: bn

= 2n ? 3n
① ② ----6

Q Sn = 2 ? 3 + 4 ? 32 + 6 ? 33 + …+2n ? 3n 3S n = 2 ? 32 + 4 ? 33 + 6 ? 34 + …+2n ? 3n +1
①-②得

-2Sn = 2 ? 3 + 2 ? 32 + 2 ? 33 + ??? + 2 ? 3n ? 2n ? 3n+1
=

6(1 ? 3n ) ? 2n ? 3n +1 1? 3

-----8

3 ? 3n +1 3 1 ∴ Sn = + n ? 3n +1 = + (n ? )3n +1 . 2 2 2

--------10 令t =

---8

17.解: (1)

Q

cos C 2sin A ? sin C = . cos B sin B

b ,因为 c ≥ b ,所以 ?1 < t < 1 c 1 1 3 在区间 (?1,1) 是增函数,所以 g (t ) < 2 ? = 1+ t 2 2

而函数 g (t ) = 2 ?

∴ sin B cos C = 2 sin A cos B ? sin C cos B
第 3 页 共 4 页

这样,当 c > b 时, M ≥ 当 c = b 时,由 c ≥

3 2

------10

b2 + 1 可得 b = ±2, c = 2 , 4
2 2

这时 f (c ) ? f (b) = 0 或 f (c ) ? f (b) = ?8 , c ? b = 0

3 f (c) ? f (b) ≤ (c 2 ? b 2 ) 恒成立 2
综上所述, M ≥

----11

3 3 , M 的最小值是 2 2
----2

-----12

19.解:设矩形温室的左侧边长为 a m ,后侧边长为 b m , 则 ab = 800 -----4
2

∴ S = (a ? 4)(b ? 2) = ab ? 4b ? 2a + 8 = 808 ? 2(a + 2b) ≤ 808 ? 4 2ab = 648(m 2 ). ----8
当 a = 2b, 即a = 40( m), b = 20( m)时, S 最大值 = 648( m ) ------11 答:当矩形温室的左侧边长为 40m,后侧边长为 20m 时,蔬菜的种植面积最大,最大种植 2 面 积为 648m . ------12

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