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2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 直线、平面平行的判定及性质


§8.4

直线、平面平行的判定及性质

[高考调研 考纲解读 ?以立体几何的定义、公理 和定理为出发点,认识和 理解空间中线面平行、面 面平行的判定定理与有关 性质.

明确考向] 考情分析 ?线面平行、面面平行的判 定及性质是命题的热点. ?着重考查线线、线面、面 面平行的转化及应用.题 型多为选择题与解答题.

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知识梳理 1.直线与平面平行 (1)判定定理:

文字语言 1 如果平面□____的一 判 条直线和这个平面内 定 的一条直线平行,那 定 么这条直线和这个平 理 面平行(简记为线线平 行?线面平行).

图形语言

符号语言

2 □

? ? ??l ? ?

∥α

(2)性质定理: 文字语言 如果一条直线和一个平 性 面平行,经过这条直线 质 的平面和这个平面相 定 交,那么这条直线就和 理 3 □____平行(简记线面 平行?线线平行). ?a∥b 4 □ ? ? ? ? ? 图形语言 符号语言

2.平面与平面平行 (1)判定定理: 文字语言 如果一个平面内有两条 判 5 □____的直线都平行 6 □ 图形语言 符号语言 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

定 于另一个平面,那么这 定 两个平面平行(简记为 理 “线面平行?面面平 行”) ?α∥β

(2)两平面平行的性质定理: 文字语言 性 如果两平行平面同 9 □ 图形语言 符号语言 ? ? ?? ? ?

7 时和第三个平面□ 质 定 ____,那么它们的 理 8 □____平行

a∥b

1 答案: □ 外 α;a?β;α∩β=b ∥β;b∥β =b

2 3 4 □ l?α;a?α;a∥l □ 交线 □ a∥ 5 6 □相交 □a?α;b?α;a∩b=P;a

7 8 9 □ 相交 □ 交线 □ α∥β;α∩γ=a;β∩γ

名师微博 ●三种转化 平行关系的转化 平面与平面平行的判定与性质和直线与平面平行的判定 与性质一样,体现了转化与化归的思想.三种平行关系如 图.

性质过程的转化实施,关键是作辅助平面,通过作辅助 平面得到交线,就可把面面平行化为线面平行并进而化为线 线平行,注意作平面时要有确定平面的依据.

●两个防范 (1)在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否 则,会出现错误. (2)把线面平行转化为线线平行时,必须说清经过已知直 线的平面与已知平面相交,则直线与交线平行.

基础自测 1.已知α∥β,a?α,B∈β,则在β内过点B的所有直线中 ( ) A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.存在唯一一条与a平行的直线

解析:因为a与B确定一个平面,该平面与β的交线即为 符合条件的直线.

答案:D

2.对于直线m、n和平面α,下面命题中的真命题是 ( ) A.如果m?α,n?α,m、n是异面直线,那么n∥α B.如果m?α,n?α,m、n是异面直线,那么n与α相交 C.如果m?α,n∥α,m、n共面,那么m∥n D.如果m∥α,n∥α,m、n共面,那么m∥n

解析:A中n与α可能相交,B中n与α可能平行,D中m、 n可能相交,C中m即m、n所在平面与α的交线.

答案:C

3.已知直线a、b和平面α、β,则在下列命题中,真命 题为( )

A.若a∥β,α∥β,则a∥α B.若α∥β,a?α,则a∥β C.若α∥β,a?α,b?β,则a∥b D.若a∥β,b∥α,α∥β,则a∥b

解析:A中a可能在α内,C中a、b可能异面,D中a、b可 能异面,B中α∥β,a?α,则a与β无公共点,∴a∥β.

答案:B

4.在四面体ABCD中,M、N分别为△ACD和△BCD的 重心,则四面体的四个面中与MN平行的是__________.

解析:∵M、N分别为△ACD与△BCD的重心, ∴MN∥AB.∴MN∥面ABC,MN∥面ABD.

答案:面ABC、面ABD

5.a、b、c为三条不重合的直线,α、β、γ为三个不重 合的平面,现给出六个命题: a∥c? ? ? ?a∥b; ① b∥c? ? ∥β; a∥γ? ? ? ?a∥b; ② b∥γ? ? α∥c? ? ? ?α ③ β∥c? ?

α∥γ? ? ? ?α∥β; ④ β∥γ? ? ∥a.

a∥c? ? ? ?α∥a; ⑤ α∥c? ?

a∥γ? ? ? ?α ⑥ α∥γ? ?

其中所有正确命题的序号是__________.

解析:①三线平行公理; ②两直线同时平行于一平面,这两条直线可相交、平行 或异面; ③两平面同时平行于一直线,这两个平面相交或平行; ④面面平行传递性; ⑤一直线和一平面同时平行于另一直线,这条直线和平 面可平行或直线在平面内;

⑥一直线和一平面同时平行于另一平面,这条直线和平 面可平行也可能直线在平面内,故①④正确.

答案:①④

考点一

直线与平面平行的判定与性质

[例1]

如图所示,已知P、Q是正方体ABCD-A1B1C1D1的

面A1B1BA和面ABCD的中心. 证明:PQ∥平面BCC1B1.

证明:方法一,如图①,取B1B中点E,BC中点F,连接 PE、QF、EF,



∵△A1B1B中,P、E分别是A1B和B1B的中点,∴PE綊

1 2

A1B1. 1 同理QF綊2AB.

又A1B1綊AB,

∴PE綊QF.

∴四边形PEFQ是平行四边形. ∴PQ∥EF.



又PQ?平面BCC1B1,EF?平面BCC1B1, ∴PQ∥平面BCC1B1. 方法二,如图②,连接AB1,B1C. ∵△AB1C中,P、Q分别是AB1和AC的中点,∴PQ∥ B1C. 又PQ?平面BCC1B1,B1C?平面BCC1B1, ∴PQ∥平面BCC1B1.

方法点睛 利用判定定理时关键是找平面内与已知直线 平行的直线.可先直观判断平面内是否已有,若没有,则需 作出该直线,常考虑三角形的中位线、平行四边形的对边或 过已知直线作一平面找其交线.

变式训练1 如图,若PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是 矩形,E、F分别是AB、PD的中点,求证:AF∥平面PCE.

证明:取PC的中点M,连接ME、MF,则FM∥CD且FM 1 = CD. 2

1 又∵AE∥CD且AE=2CD, ∴FM綊AE,即四边形AFME是平行四边形.

∴AF∥ME,又∵AF?平面PCE,EM?平面PCE, ∴AF∥平面PCE.

考点二

平面与平面平行的判定与性质

[例2]

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、P分

别为所在边的中点. 求证:平面MNP∥平面A1C1B.

证明:连接D1C,则MN为△DD1C的中位线,∴MN∥ D1C. 又∵D1C∥A1B,∴MN∥A1B.同理,MP∥C1B. 而MN与MP相交,MN,MP在平面MNP内,A1B,C1B在 平面A1C1B内. ∴平面MNP∥平面A1C1B.

方法点睛

证明面面平行的方法有:①面面平行的定

义;②面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直 线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行;③利用垂直 于同一条直线的两个平面平行;④两个平面同时平行于第三 个平面,那么这两个平面平行;⑤利用“线线平行”、“线 面平行”、“面面平行”的相互转化.

变式训练2 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F, G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点,求证: (1)B,C,H,G四点共面; (2)平面EFA1∥平面BCHG.

证明:(1)∵GH是△A1B1C1的中位线, ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四点共 面. (2)∵E、F分别为AB、AC的中点,∴EF∥BC, ∵EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,

∴EF∥平面BCHG. ∵A1G綊EB,∴四边形A1EBG是平行四边形,

∴A1E∥GB. ∵A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG.

∴A1E∥平面BCHG, ∵A1E∩EF=E, ∴平面EFA1∥平面BCHG.

考点三

线面平行中的探索问题

[例3]

如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面

ABC,若D是棱CC1的中点,问在棱AB上是否存在一点E,使 DE∥平面AB1C1?若存在,请确定点E的位置;若不存在,请 说明理由.

解析:存在点E,且E为AB的中点. 下面给出证明:如图,取BB1的中点F,连接DF, B1C1 DF∥

∵AB的中点为E,连接EF,则EF∥AB1. ∵B1C1与AB1是相交直线, ∴平面DEF∥平面AB1C1. 而DE?平面DEF, ∴DE∥平面AB1C1.

方法点睛

解决探索性问题一般要采用执果索因的方

法,假设求解的结果存在,从这个结果出发,寻找使这个结 论成立的充分条件,如果找到了符合题目结果要求的条件, 则存在;如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾), 则不存在.

变式训练3 如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的 正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,在侧面PBC内有BE⊥PC于 6 E,且BE= 3 a,试在AB上找一点F,使EF∥平面PAD.

解析:在平面PCD内,过E作EG∥CD交PD于G,连接 AG,在AB上取点F,使AF=EG,则F即为所求作的点.

EG∥CD∥AF,EG=AF, ∴四边形FEGA为平行四边形. ∴FE∥AG. 又AG?平面PAD,FE?平面PAD, ∴EF∥平面PAD. 又在△BCE中, CE= BC -BE = 3 = 3 a.
2 2

2 2 a -3a
2

在Rt△PBC中,BC2=CE· CP, a2 ∴CP= = 3a. 3 3a EG PE PC-CE 2 又∵CD=PC= PC ,∴EG=AF=3a. ∴点F为AB的一个三等分点.

答题模板构建(五) 立体几何中的探索性问题 [试题] (2012· 太原模拟,12分)如图,在四棱锥S-

ABCD中,已知底面ABCD为直角梯形,其中AD∥BC,∠ 2 BAD=90° ,SA⊥底面ABCD,SA=AB=BC=2.tan∠SDA=3.

(1)求四棱锥S-ABCD的体积; (2)在棱SD上找一点E,使CE∥平面SAB,并证明.

2 规范解答:(1)∵SA⊥底面ABCD,tan∠SDA= 3 ,SA= 2,∴AD=3.(3分) 由题意知四棱锥S-ABCD的底面为直角梯形, 且SA=AB=BC=2, 1 1 VS-ABCD=3×SA×2×(BC+AD)×AB 1 1 10 =3×2×2×(2+3)×2= 3 .(6分)

(2)当点E位于棱SD上靠近D的三等分点处时,可使CE∥ 平面SAB.(8分)

取SD上靠近D的三等分点为E,取SA上靠近点A的三等分 点为F,连接CE,EF,BF, 2 2 则EF綊3AD,BC綊3AD,

∴BC綊EF.∴CE∥BF.

又∵BF?平面SAB,CE?平面SAB, ∴CE∥平面SAB.

模板建构:对于探索问题,书写步骤的格式有两种: 一种是: 第一步,探求出点的位置. 第二步,证明符合要求. 第三步,给出明确答案. 第四步,反思回顾.查看关键点.易错点和答题规范.

另一种是:从结论出发,“要使什么成立”,“只须使 什么成立”,寻求使结论成立的充分条件,类似于分析法.


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