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1.2.2 函数的表示法 第2课时 分段函数及映射


第2课时

分段函数及映射

1

1.通过实例体会分段函数的概念; 了解分段函数在解决实际问题中的应用;(重点) 2.了解映射的概念及表示方法;(难点) 3.会判断一个对应关系是否是映射.

2

? x 2 ? 4x ? 4, ? x ? 2 ? 画出函数 y ? ? 的图象. ? x ? 1, ? x ? 2? ? ? 2

y

y ? x 2 ? 4x ? 4

看清自变量的 值所在的区间

x
x y? ?1 2

O

2
3

探究点1 分段函数
有些函数在它的定义域中,对于自变量的不同取 值范围,对应关系不同,这种函数通常称为分段函数.

注意
(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数; (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各 段值域的并集.
4

变式练习:
以下叙述正确的有( C ) (1)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是 各段值域的并集. (2)分段函数在定义域的不同部分有不同的对应关系, 但它是一个函数.

(3)若D1、D2分别是分段函数的两个不同对应关系的
值域,则D1∩D2 ≠φ 也能成立. (A)1个 (C)3个 (B)2个 (D)0个
5

1.求分段函数的函数值:
x+2, (x≤-1); 例1 已知函数f(x)= x2, (-1<x<2); 2x, (x≥2).

1 (1)求 f ? 3? ,f( ) ,f ? ?5 ? 的值; 2 (2)若f(x)=3,求x的值.
1 解:(1) f ? 3? ? 6,f( 1 ) ? ,f ? ?5 ? ? ?3 2 4

(2)x ? 3
6

2.画分段函数的图象

例2

画出函数 y ? x 的图象.

?x y?? ?? x
y

x ? 0, x ? 0.

在它的定义域中, 对于自变量的不同 取值范围,对应关 系不同.

5 4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x

7

3.求分段函数的解析式 例3 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定:

(1)5公里以内(含5公里),票价2元; (2)5公里以上,每增加5公里,票价增加1元(不足5公里 的按5公里计算). 如果某条线路的总里程为20公里,请根据题意, 写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象.

8

解:设票价为y元,里程为x公里,由题意可知,自变量x 的取值范围是(0,20] 由“招手即停”公共汽车票价的制定规定,可得到以下 y 函数解析式: 5 ○ 2, 0<x ≤ 5 3, 5 < x ≤ 10 4 ○ y= 4, 10 < x ≤ 15 3 ○ 5, 15 < x≤20 2○ 根据这个函数解析式, 1 可画出函数图象, 如右图: O

5

10 15 20

x
9

?x ? 3 1.已知 f ( x) ? ? ? f [ f ( x ? 4)]

( x ? 9) ( x ? 9)

求 f ?15 ? , f ? 7 ? 的值. 解: f ?15 ? ? 12,f ? 7 ? ? 6

10

v/cm·s-1 2.某质点在30s内运动速度vcm/s 30 25 是时间t的函数,它的图象如右图, 20 15 用解析式表示出这个函数. 10 t+10, (0 ≤ t<5) 30 t/s

解:v(t)=

3t,(5 ≤ t<10) 30,(10 ≤t <20)

O 5 10

20

-3t+90,(20 ≤ t≤30)

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探究点2 映射
填写下图中的对应关系

(1)相应国家的首都 B A
中 国 韩 国 北 京 首 尔 X的首都

(2)求平方
A
1 - 1 2 -2 3 - 3

(3)乘以2
A
1 2 3

B
1 4 9

B
1 2 3 4 5 6

x

x
多对一

一对一

x2

x

2x 一对一

(1),(2),(3)的共同特征:集合A中的任何一个元素,在集 合B中都有唯一的元素和它对应.
12

映射的概念
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确 定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合 B中都有唯一确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B

为从集合A到集合B的一个映射.
注意

若对应是映射,必须满足两个条件:

①A中任何一个元素在B中都有元素与之对应. ②A在B中所对应的元素是唯一的.
13

因此还可以用映射的概念来定义函数:

如果A、B是非空数集,那么A到B的映射f:A→B,
就叫做A到B的函数, 记作:y=f(x) 函数是一种特殊的映射

函数

映射

对应

14

例4

以下给出的对应是不是从集合A到B的映射?

(1)集合A={P|P是数轴上的点},集合B=R,对应关系 f:数轴上的点与它所代表的实数对应; 是 (2)集合A={P|P是平面直角坐标系中的点},集合B= {(x,y) | x∈R,y∈R},对应关系f:平面直角坐标系 中的点与它的坐标对应;是 (3)集合A={x|x是三角形},集合B={x|x是圆},对应

关系f:每一个三角形都对应它的内切圆;是
(4)集合A={x|x是新华中学的班级},集合B={x|x是新 华中学的学生},对应关系f:每一个班级都对应班里的

学生. 不是
15

1.(2012·西安高一检测)设A=[0,2], B=[1,2], 在下 列各图中,能表示f:A→B的函数是( D y y 2 2 ).

(A) 1
0 y 2 (C) 1 0 1 2

1 (B)
x

1

2

0 y 1 2 (D)1 x 0

2

x

1

2

x
16

2.判断下列对应是否为映射?

a b c

e
f

a b

e

a
b c

e f

f
g

c
d 不是

g
d

g





17

3.判断下列对应是不是从A到B的映射:
(1)A=N,B=N*,f:x→|x-2|;
1 (2)A={x|0≤x≤6},B={y|0≤y≤2},f:x→y= x; 2 (3)A={x|x≥3,x∈N},B={a|a≥0,a∈Z},

f:x→a= x 2 ? 2x ? 4 ; 解:(1)集合A中的元素2在对应关系下,B中没有元素 与之对应,故不是映射. (2)A中元素6在对应关系下,B中没有元素与之对应, 故不是映射. (3)是映射.
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4.(2011·泰安模拟)某市居民自来水收费标准如下: 每户每月用水不超过4吨为每吨1.80元,当用水超过4 吨,超过部分每吨3.00元,某月甲、乙两户居民共缴 水费y元,已知甲、乙两户的用水量分别为5x、3x(吨). (1)求y关于x的函数; (2)若甲、乙两户该月共缴水费26.40元,分别求出甲、 乙两户该月的用水量和水费. 4 14.4x,0≤x≤ , 【解析】(1)依题意得y=
5 4 4 20.4x-4.8, <x≤ , 5 3 24x-9.6,x> 4 . 3

19

(2)由于y=f(x)在各段区间上均单调递增,
4 当x∈(0, 4 )时,y≤f( )<26.4; 5 5 4 当x∈( , 4 )时,y≤f( 4 )<26.4; 5 3 3 4 当x∈( ,+∞)时,令24x-9.6=26.4,得x=1.5. 3

所以甲用户的用水量为5x=7.5(吨), 缴水费4×1.8+3.5×3=17.7 (元),

乙用户用水量为3x=4.5(吨),
缴水费4×1.8+0.5×3=8.7(元).

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你能说出函数与映射之间的异同吗?

(1)函数是特殊的映射,映射不一定是函数,映射是函数 的推广; (2)函数是非空数集A到非空数集B的映射,而对于映射,

A和B不一定是数集。

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回顾本节课你有什么收获
图象 解析式

分段函数的概念
映射的 概念 核心概念 分段函数 的函数值
22

昨天是已经走过的,明天是即将走过

的,惟有今天正在走过??

23


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