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1.3.2函数的极值与导数


1.3.2 函数的极值与导数
班别:____ 组别:____ 姓名:____ 评价:____
【学习目标】 1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).

☆预习案☆

(约

分钟)

依据课前预习案通读教材, 进行知识梳理, 完成预习自测题目, 并将预习中不能解决的问题填写到后面 “我

的疑惑”处。
【知识要点】 (阅读课文 26—29 页,完成导学案) 1.极值点与极值 (1)极小值与极小值点 如图,若函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其他点的函数值都小,f′(a)=0 , 而且在点 x=a 附近的左侧 ,右侧 ,则把点 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值.

(2)极大值与极大值点 如图,函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近其他点的函数值都大 , f′(b)=0 ,而且在点 x= b 附近的左侧 ,右侧 ,则把点 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值。极小值 ,极大值和极小值统称为 .

点、极大值点统称为

想一想: (1)若求得某点处的导数值为 0,此点一定是极值点吗? (2)函数的极大值一定大于极小值吗?在区间内可导函数的极大值和极小值是唯一的吗? 2.求函数 f(x)极值的方法 解方程 f′(x)=0,当 f′(x0)=0 时: (1)如果在 x0 附近的左侧 f′(x) (2)如果在 x0 附近的左侧 f′(x) 0,右侧 f′(x) 0,右侧 f′(x) 0,那么,f(x0)是极大值. 0,那么,f(x0)是极小值.

【预习自测】 1.函数 y=x2-4x+a 的单调递增区间为_____

___;单调递减区间为_______ ).

_.

2.函数 f(x)的定义域为 R,导函数 f′(x)的图象如图所示,则函数 f(x)( A.无极大值点,有四个极小值点 B.有三个极大值点,两个极小值点 C.有两个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点 3.函数 y=1+3x-x3 有( A.极小值-1,极大值 1 【我的疑惑】 ). B.极小值-2,极大值 3

C.极小值-2,极大值 2

D.极小值-1,极大值 3

请你将预习中未能解决或有疑惑的问题写下来,等待课堂上与老师和同学探究解决。

☆探究案☆ (约
1

分钟)

【例题 1】求函数 f (x) ?

1 3 x ? 4 x ? 4 的极值。 3

☆训练案☆ (约
【基础训练】——把最简单的题做好就叫不简单! 1.下列函数存在极值的是( ). 1 A.y= x B.y=x-ex C.y=x3+x2+2x-3

分钟)

D.y=x3

2.函数 f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+3 既有极大值又有极小值,则实数 a 的取值范围是________.

3.求下列函数的极值. (1) f(x)=2x3-6x2-18x+7; 3 (2)f(x)= +3ln x x

4.设函数 f(x)=x3-6x+5,x∈R.
2

(1)求函数 f(x)的单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f(x)=a 有三个不同的实数根,求实数 a 的取值范围.

【能力训练】——挑战高手,我能行! 5.已知函数 f(x)=ax3+bx2+cx(a≠0)在 x=± 1 处取得极值,且 f(1)=-1.
3

(1)求常数 a,b,c 的值; (2)判断 x=± 1 是函数的极大值点还是极小值点,试说明理由,并求出极值.

【自主总结】——概念、定义、公式、定理、题型、方法…… 1、学会了 2、掌握了 3、还有疑难

1.3.2 函数的极值与导数答案
【知识要点】略 【预习自测】 1.答案:(2,+∞) (-∞,2) 2.解析 f′(x)的符号由正变负,则 f(x0)是极大值,f′(x)的符号由负变正,则 f(x0)是极小值,由图象易知有两个极大值
4

点,两个极小值点.答案 C 3.解析 f′(x)=-3x2+3, 由 f′(x)=0 可得 x1=1, x2=-1.由极值的判定方法知 f(x)的极大值为 f(1)=3, 极小值为 f(- 1)=1-3+1=-1,故选 D.答 【典型例题】 【例题 1】P94 例 4 【基础训练】 1 1.解析 A 中 f′(x)=- 2,令 f′(x)=0 无解,且 f(x)为双曲函数,∴A 中函数无极值.B 中 f′(x)=1-ex,令 f′(x)=0 x 可得 x=0.当 x<0 时,f′(x)>0;当 x>0 时,f′(x)<0.∴y=f(x)在 x=0 处取极大值,f(0)=-1.C 中 f′(x)=3x2+2x+2,Δ =4-24=-20<0.∴y=f(x)无极值,D 也无极值.故选 B. 答案 B 2.解析 ∵f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),令 3x2+6ax+3(a+2)=0,即 x2+2ax+a+2=0,∵函数 f(x)有极大值和极小 值,∴方程 x2+2ax+a+2=0 有两个不相等的实数根,即Δ=4a2-4a-8>0,解得 a>2 或 a<-1. 答案 (-∞,-1)∪(2,+∞)

3.解: (1)f′(x)=6x2-12x-18,令 f′(x)=0,解得 x1=-1,x2=3.当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (-∞,-1) + ? -1 0 极大值 (-1,3) - 3 0 极小值 (3,+∞) + ?

∴当 x=-1 时,f(x)取得极大值,f(-1)=17;当 x=3 时,f(x)取得极小值,f(3)=-47. 3 (2)函数 f(x)= +3ln x 的定义域为(0,+∞), x 3 3 3(x-1) f′(x)=- 2+ = ,令 f′(x)=0 得 x=1. x x x2 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (0,1) - ? 1 0 极小值 3 (1,+∞) + ?

因此当 x=1 时,f(x)有极小值,并且 f(1)=3. 4.解 (1)f′(x)=3x2-6,令 f′(x)=0,

解得 x=- 2或 x= 2. 因为当 x> 2或 x<- 2时,f′(x)>0; 当- 2<x< 2时,f′(x)<0, 所以 f(x)的单调递增区间为(-∞,- 2),( 2,+∞); 单调递减区间为(- 2, 2). 当 x=- 2时,f(x)有极大值 5+4 2; 当 x= 2时,f(x)有极小值 5-4 2.
5

(2)由(1)的分析知 y=f(x)的大致走向 如图所示,当 5-4 2<a<5+4 2时, 直线 y=a 与 y=f(x)的图象有三个不 同的交点,即方程 f(x)=a 有三个不同 的实数根.

【能力训练】 5.解 (1)f′(x)=3ax2+2bx+c. ∵x=± 1 是函数 f(x)的极值点, ∴x=± 1 是方程 f′(x)=0 的两根, 即 3ax2+2bx+c=0 的两根,

?-3a=0, 由根与系数的关系,得? c ?3a=-1 ②
又 f(1)=-1,∴a+b+c=-1.③ 1 3 由①②③解得 a= ,b=0,c=- . 2 2 1 3 (2)f(x)= x3- x, 2 2 3 3 3 ∴f′(x)= x2- = (x-1)(x+1), 2 2 2 当 x<-1 或 x>1 时,f′(x)>0, 当-1<x<1 时,f′(x)<0, ∴函数 f(x)在(-∞,-1)和(1,+∞)上是增函数, 在(-1,1)上是减函数, ∴当 x=-1 时,函数取得极大值 f(-1)=1, 当 x=1 时,函数取得极小值 f(1)=-1.

2b



6


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