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指数函数与对数函数的图像与性质


(二) 、指数函数和对数函数
一、指数和对数
1、指数的概念 (1)整数指数幂 n ①正整数指数幂:a = -n ③负整数指数幂:a = (2)分数指数幂 ①正分数指数幂 a n (a ? 0, m, n ? N? ) = ②负分数指数幂 a 2、指数的运算性质 (1) a ? a ?
m n

②零指数幂:a =

0

m

?

m n

(a ? 0, m, n ? N ? ) =
(2) (am )n ? (a,b>o,m,n ? R)

(3) (a ? b)n =

例 1、计算下列各式的值 (1) 6 1 ? 3 3 3 ? 3 0.125 4 8

7 10 ? 2 (2) (2 )0.5 ? 0.1?2 ? (2 ) 3 ? 3.20 9 27

25 - 1 1 -2.5 2 (3)0.0001 +27 -( ) +( ) 49 9

1 2

4 3

1 4 1 ? ? 7 (4)(0.064) 3 ? (? )0 ? [(?2)3 ] 3 ? 16?0.75 ? ?0.01 2 8

3、对数 b (1)对数的概念:如果 a(a>0, a ? 1)的 b 次幂等于 N,即 a =N,那么数 b 叫做以 a 为底 N 的 记作 .其中 a 叫做对数的 ,N 叫做 (2)对数的性质:① loga 1 ? ④ log a b ? ② log a a ? ③a
loga N



=

n logc b n (两个推论⑴ loga b ? logb a ? 1 ,⑵ log a m b ? log a b ) m logc a

(3)对数的运算性质 如果 a>o ,a ? 1,M>0,N>0,则

(1) log a ( MN ) ?
例 1、求下列各式的值

(2) log a

M ? N

(3) log a M n ?

(1)log 1 81
9

(2)4 lg 2 ? 3lg 5 ? lg

1 5

1 32 4 (3) lg ? lg 8 ? lg 245 2 49 3

(4)2 log 3 2 ? log 3

32 ? log 3 8 ? 5log5 3 9

(5)(log3 2 ? log9 2)(log4 3 ? log8 3)

二、指数函数和对数函数 1、指数函数的图像和性质 函数 底数的范围 y=ax(a>0, a ? 1) a>1 0<a<1

图像

(1)定义域 (2) 图像都过点( 性质 (3)当 x>0 时,y 当 x<0 时, y (4) 在 R 上是 2、对数函数的图像和性质 函数 底数的范围 ; 函数 ,

值域 ) y ; 函数 (3)当 x>0 时, 当 x<0 时, y (4) 在 R 上是

y ? loga x (a>0, a ? 1)
a>1 0<a<1

图像 (1)定义域 (2) 图像都过点( 性质 (3)当 x>1 时,y 当 0<x<1 时,y (4) 在 3、 指数函数和对数函数的关系 ; 函数 值域 , ) (3)当 x>1 时,y ; 当 0<x<1 时,y (4) 在 上是 函数

上是

[练习题] 一、 选择题 1.下列不等式成立的是(



5 5 A ( ) ?0.24 ? ( ) 6 6

1 ? 4

B log 2 5 ? log 7 5

1 C ( ) ?? ? 1

?

D log a ? ? log a e


2.若点 (m, n) 在函数 y ? a x 的图像上,则下列哪一点一定在函数 y ? loga x (a ? 0, a ? 1) 的图像上( A. (m, n) B. (?n, m) C. (?m, n) D. (n, m)

3.函数 y=(a-1)x 在 R 上是减函数,则 ( ) A.a>0,且 a ? 1 B.a>2 C.a<2

D.1<a<2

4.函数y ? log 2 x ? 2的定义域是 ( )

A.(3,+?)
5.已知函数 f(x)= ?

B.[3,+?)
?log 2 x ( x ? 0), ?3
x

C.(4,+?)
则 f[f(

D.[4,+?)
)A.9 B. 1
9

(x ? 0),

1 )]的值是( 4

C.-9

D.- 1
9

6.设 a>1,函数 f(x)=logax 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为

1 ,则 a 等于( ) 2

A. 2

B.2

C.2 2

D.4
)

7.函数y=2x +a的图像不过第二象限,则a的取值范围是( A.a<-1 B. a>-1 C. a ? -1 D. a ? -1

8.若关于自变量 x 的函数 y ? loga ?2 ? ax? 在 ?0,1? 上是减函数,则 a 的取值范围是( A. ?0,1? B. ?1.2? C. ?0,2? D. ?2, ? ??



二、填空题 x-1 9.函数 f(x)=a +3 的图像一定过定点 M,则点 M 的坐标是 x 10.函数 f(x)=a -1 的定义域和值域都是[0,2],则 a 等于

11.函数f ( x) ? a x ? loga ( x ?1)在[0,1]上最大值和最小值之和是a,则a=
12.方程 log3(1-2·3x)=2x+1 的解 x=_______. 三、解答题 13.已知 x ? ?0,2? ,求 f ?x ? ? 4
x? 1 2

? 3 ? 2 x ? 5 的最值.

14.已知函数 f ( x) ? log2 (2 ? 2x ) .(1) 求函数 f ( x ) 的定义域; (2) 判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性,并说明理由;(3)求f(x)>0时x的范围.

15(思考题)、已知 f ( x ) ? log a 1 ? mx 是奇函数 (其中 a ? 1 ) (1)求 m 的值; (2)讨论 f ( x) 的单调性;
x ?1

(3)当 f ( x) 定义域区间为 (1, a ? 2) 时, f ( x) 的值域为 (1,??) ,求 a 的值.

【高考试题鉴赏】 1. 【2014·山东卷(理 3) 】函数 f ( x) ?

1 (log 2 x)2 ? 1

的定义域为

(A) (0, ) (B) (2, ??) (C) (0, )

1 2

1 2

1 (2, ??) (D) (0, ] [2, ??) 2

2.【2014·福建卷(理 4,文 8) 】若函数 y ? loga x(a ? 0, 且a ? 1) 的图像如右图所示,则下列函数图像正 确的是( )

3.【2014·山东卷(文 6) 】已知函数 y ? loga ( x ? c)(a, c为常数,其中a ? 0, a ? 1) 的图象如右图,则下 列结论成立的是( )(A) a ? 0, c ? 1 (B) a ? 1, 0 ? c ? 1 (C) 0 ? a ? 1, c ? 1 (D) 0 ? a ? 1,0 ? c ? 1

E

O

x

4.【2014·天津卷(文 4) 】设 a = log 2 p , b = log 1 p , c = p
2

- 2

,则(



(A) a > b > c

(B) b > a > c
1 ? 3

(C) a > c > b , b ? log 2

(D) c > b > a )

5.【2014·辽宁卷(理 3,文 3) 】已知 a ? 2 A. a ? b ? c B. a ? c ? b

C. c ? a ? b

1 1 , c ? log 1 ,则( 3 2 3 D. c ? b ? a


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