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第一次课堂讨论与习题课


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第一章 数学基础 1、条件期望 设 X ,Y 是两个随机变量,给定Y 以后, X 的条件期望记为 E ? X Y ? ,这个条件期望是随机变量Y 的函数,从而其自身 ? ?
也是一个随机变量。 如果已知条件期望 E ? X ?

Y ? 和Y 的边缘分布,则有 ?

E ? X ? ?

E ?E ? X Y ??, ?? ? ?
即条件期望的期望等于无条件的期望,这个公式称为 期望的累次法则或迭代期望法则。这个公式可以视为全概率公式的延伸。

2、条件方差
在风险理论里,还有一个利用条件期望计算方差的公式:

Var ? X ? ? Var E ? X Y ? ? E ?Var ? X Y ? ? ? ? ? ?
这个公式被称为方差分解公式,即总的方差被分解为条件期望的方差 和条件方差的期望之和。 首先利用期望累次法则计算

?

?

?Var ? X Y ? ? E ? X Y ? 2 ? E ? X ? ? E ?E ? X Y ?? ? E ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
2 2

? E ? X Y ?2 ? ? E ?Var ? X Y ? ? ? E ? ? ? ? ? ?
在上式左端减去 E

? X ?的平方,在右端减去 E ? E ? X Y ? ? 的平方, ?? ? ?

即得到上述方差分解公式。

3、矩母函数和母函数
(1)特征函数:? X

? ? ? e itx f ? x ? dx ? ?? itxk 或者? X ? t ? ? ? e P ? X ? xk ?
itX
k

? t ? ? E ?e ?

?

(2)矩母函数: M X

? t ? ? E ?e ? ? ??? e tx f ? x ? dx ? ? tx 或者 M X ? t ? ? ? e P ? X ? xk ?
tX
k

?

k

(3)母函数: PX

t ? ? E ? t ? ? ? t x f ? x ? dx ? ? ? ??
X

?

或者

PX ? t ? ? ? t P ? X ? xk ?
xk k

? X ? t ? ? PX ? e it ? ; M X ? t ? ? PX ? e t ? ;? X ? t ? ? M X ? it ?
4、矩母函数的性质
(1)若随机变量 X 的各阶原点矩存在,则

这几个函数具有下列关系:

tk M X ? t ? ? ? 0 ?k , k!
?

? ?k ? M Xk ? ? 0 ?

(2)若随机变量的期望和方差都存在,则
E ? X ? ? ? ln M X ? t ? ? ? ?
' t ?0 " t ?0

;

Var ? X ? ? ? ln M X ? t ? ? ? ?

第二章 个体保单的理赔额
1、保单限额: 是指每次保险事故中按保单约定 的最高赔付额。
?X, X ? L 理赔额Y ? X ? L ? ? ? L, X ? L 其中 X ? L ? min? X , L?

理赔额Y 的概率密度函数:
? fX ? y?, y?L ? fY ? y ? ? ? ? P ? X ? L? , y ? L ?

理赔额Y 的分布函数:

? FX ? y ? , y ? L FY ? y ? ? ? y?L ?1, 定义(有限期望函数) :设 X 是一个

随机变量, 给定实数 d , 则有限期望 函数被定义为:
E ? X ? d ? ? ? xf ? x ? dx ? d ?1 ? FX ? d ? ? ? ? ?1 ? FX ? x ? ? dx ? ? ? ?? ?? ?
d d

式 中 FX ? x ? 与 f X ? x ? 分 别为 随 机 变量 X 的分布函数与密度函数。

E?X ?d? 是 d 的增函数,且当 E ? X ? ? ? 时,有

lim E ? X ? d ? ? ? ?1 ? FX ? x ? ? dx ? E ? X ? ? ?? ? d ??
对于非负随机变量 X ,

?

E ? X ? d ? ? ? xf X ? x ? dx ? d ?1 ? FX ? d ? ? ? ?
d 0

? xFX ? x ? ? ? FX ? x ? dx ? d ?1 ? FX ? d ? ? ? ?
d 0 d 0

? d ? ? FX ? x ? dx
d 0

? ? ?1 ? FX ? x ? ? dx ? 0 ?
d

理赔额Y 的数学期望:

E ?Y ? ? E ? X ? L ? ? ? ?1 ? FX ? y ? ? dy ? 0 ?
L

2、免赔额 当损失额 X 低于某一限额 d 时, 保险公司不予赔偿,而当损失额高 于此限额时,保险公司只赔付高出 的部分 X ? d 。每次损失事故中, 被保险人获得的实际赔付额为:

X ?d ? 0, Id ? X ? ? X ? ? X ? d ? ? ? ? X ? d, X ? d

因为只有当 X ? d 时,被保险人 才会提出索赔,因此对于保险人来 说,每次损失事件中的理赔额为:

?未定义, X ? d Y ? Id ? X ? X ? d ? ? ?X - d, X ? d
理赔额 Y 的分布是在 X ? d 的条件 下,X ? d 的分布,因此理赔额Y 的 分布函数为:

FY ? y ? ? P ?Y ? y ? ? P ? X ? d ? y X ? d ? P ? X ? d ? y, X ? d ? ? P?X ? d? P ?d ? X ? y ? d ? ? P?X ? d? ? FX ? y ? d ? ? FX ? d ? 1 ? FX ? d ?

而当 y ? 0 时, Y ? y ? ? 0 。 因此Y 的 F 概率密度函数为:

? fX ? y ? d ? , y?0 dFY ? y ? ? fY ? y ? ? ? ? 1 ? FX ? d ? dy ? 0, y?0 ?

由于 I d ? X ? ? X ? ? X ? d ? ,因此 被保险人获得实际赔付额的数学期 望为:
E ? Id ? X ? ? ? E ? X ? ? E ? X ? d ?
?

? ? ?1 ? FX ? x ? ? dx ? ? ?1 ? FX ? x ? ? dx ? ? 0 ? 0 ?
d

? ? ?1 ? FX ? x ? ? dx ? d ?

?

保险人理赔额的数学期望则为
E ?Y ? ? E ? I d ? X ? X ? d ? ? E ? Id ? X ? ? P?X ? d?
?

? ?

d

?1 ? FX ? x ? ? dx ? ? 1 ? FX ? d ?

若保单同时规定保单限额 L 和免赔 额 d ,则赔付额为

I ? X ? ? ? X ? L? ? ? X ? d ? X ?d ? 0, ? ? ?X ? d, d ? X ? L ?L ? d, X ? L ?
因此,每次损失事件中,被保险人 的实际赔付额的数学期望为:
E ? I ? X ? ? ? E ? X ? L? ? E ? X ? d ?
L d

? ? ?1 ? FX ? x ? ? dx ? ? ?1 ? FX ? x ? ? dx ? ? 0 ? 0 ? ? ? ?1 ? FX ? x ? ? dx ? d ?
L

而保险人理赔额的数学期望则为:

E ?Y ? ? E ? I ? X ? X ? d ? ? E ? X ? L? ? E ? X ? d ? 1 ? FX ? d ?
L

? ?

d

?1 ? FX ? x ? ? dx ? ? 1 ? FX ? d ?

习题 2.2 假设某险种的实际损失 额 的 分 布 函 数 为

f ? x ? ? 0.04 xe ?0.2 x , x ? 0。已知免

赔额为 30,求每次损失事故中的平 均赔付额。 【解】

E ? I 30 ? ? E ? X ? ? E ? X ? 30 ?
?

? ? ?1 ? FX ? x ? ? dx ? 30 ?
其中:

FX ? x ? ? ? f ? x ?dx ? 0.04? xe ?0.2 x dx
x x 0 0

? 0.04 ? ?5 xe ?0.2 x ? ?

x 0

? 5 ? e ?0.2 x dx ? ? 0 ?
x x 0

? 0.04 ? ?5 xe ?0.2 x ? 25e ?0.2 x ? ? ?0.2 xe ?0.2 x ? e ?0.2 x ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 0.2 x ? e ?0.2 x

? ?

从而,赔付额的数学期望为:

E ? I 30 ? ? ? ?1 ? FX ? x ? ? dx ? 30 ? ??

?

? 1 ? 0.2 x ? e ?0.2 x dx 30
?0.2 x ? 30

?

? ?5 ? 1 ? 0.2 x ? e ? 35e ?6 ? 5e ?6

? ? e ?0.2 x dx
30

?

? 5 ? 1 ? 6 ? e ?6 ? 5e ?0.2 x ? 40e ?6 ? 0.09915

? 30

3 、 停 止 损 失 再 保 险 (Stop Loss Reinsurance)

当保险事故造成的损失额可能非 常巨大时,一个保险公司往往不敢 独自承担这样的巨额风险,保险监 管机构也不允许这样做,因为一旦 损失时间发生就会造成保险公司的 财物困难甚至破产。 1、1981 年,由中国人民保险公 司承保的“莲花城”号轮船在新加 坡爆炸,受损 2100 万美元; 2、1990 年,广州白云机场的空 难事件中,三架波音飞机相撞,赔 偿金额 9000 万美元。 地震灾害造成的生命和财产损失

更是难以估量,因此我国保险法第 103 条规定: “保险公司对每一危险 单位,即对一次保险事故可能造成 的最大损失范围所承担的责任,不 得超过其实有资本金加公积金总和 的百分之十;超过的部分应当办理 再保险。 ” 保险法中第 28 条、第 29 条、第 30 条规定了再保险分出人、再保险 接受人各自承担的责任,特别规定 “再保险分出人不得以再保险接受 人未履行再保险责任为由,拒绝履 行或者延迟履行其原保险责任。 ”

“停止损失再保险”也被叫做限 额损失再保险,是再保险中比较常 见的一种形式。 停止损失再保险中, 再保险承受人承担的风险为:

S?d ? 0, Id ? S ? ? ? ?S ? d, S ? d 其中 S 为总的理赔额。从这个数学
模型可以看出,再保险承受人只承 担超出部分,而再保险分出人自留 的风险为:

?S, S ? d S ? Id ? S ? ? ? ?d , S ? d

从上述模型可以看出,再保险承受 人承担的风险类似于免赔额的形 式,而再保险分出人自留的风险相 当于限额损失的形式。 无论对原保险人还是再保险人, 都必须研究自留多少、分保多少的 问题,即自留额 d 的确定问题。 设总理赔额 S 的分布函数为

FS ? s ? ,则再保险人所承担风险的
数学期望为:

E ? I d ? S ? ? ? ? ?1 ? FS ? s ? ? ds ? d ?
?

而原保险人自留风险的数学期望 为:

E ? S ? I d ? S ? ? ? ? ?1 ? FS ? s ? ? ds ? 0 ?
d

可以证明,停止损失再保险,不仅 使原保险人自留风险的方差最小, 而且使其期望效用最大。其它任何 再保险方案都不能使二者同时达到 最优。 第三章 个体风险模型 1、 个体风险模型:

设S ?

?X
i ?1

n

i

,其中 X i 代表第 i 张保单可能发生的理赔额,并且

该模型满足下列假定: (1) X 1 , X 2 ,... X n 相互独立; (2) 每张保单至多发生一次理赔; (3) 保单总数 n 是固定的,即模型是封闭的。 2、 个体风险模型中 S 的分布 (1) 卷积方法 两个相互独立连续随机变量和的卷积公式

FS ? s ? ? P ? X ? Y ? s ? ? ? ??

x ? y? s

?? f ? x , y ? dxdy

x ? y? s s

??

f X ? x ? fY ? y ? dxdy

0

? s? x f ? y ? dy ? dx fX ? x? ? Y ? 0 ? ? ?

? FY ? s ? x ? * FX ? x ?

? ? f X ? x ? FY ? s ? x ? dx
s 0

两个相互独立离散随机变量和的卷积公式:

FS ? s ? ? ? FY ? s ? x ? f X ? x ?
x? s

(2) 矩母函数法

MS ?t ? ? E e

? ? ? ? M ? t ? ? ? M ? t ??
tS n i ?1 Xi Xi

n

根据概率论中的逆转公式求出 S 的分布。 (3) 近似方法 根据中心极限定理,假设 X 1 , X 2 ,..., X n 独立同分布,且有 标准化后,有:

E ? X i ? ? ? , Var ? X i ? ? ? 2 ,则当 n ? ? 时,将随机变量 S

? S ? E?S? ? P? ? x ? ? ?? x? ? ? Var ? S ? ? ? ?
3、 两个重要的概率公式

? 2?

1

x ??

e

?t2 2

dt

E ? X i ? ? E ? E ? X i I i ? ? ? E ?ui I i ? ? ui E ? I i ? ? ui qi ? ? ? ? ? ?
Var ? X i ? ? Var ? E ? X i I i ? ? ? E ?Var ? X i I i ? ? ? ? ? ? ? ui2qi ? 1 ? qi ? ? ?i2qi
若S ?

?X
i ?1

n

i

,则有
n n

E ? S ? ? ? ?i qi ; Var ? S ? ? ? ?i2qi ? 1 ? qi ? ? ? i2qi 。
i ?1 i ?1

【习题 3.2】

某保险公司承保了两个保险标的, 它们的理赔额随机变量分别为 X 1 , X 2 , X1 ? U ? 0,75? , X 2 ? U ? 0,150 ? , X 1 , X 2 相互独立,令 S ? X 1 ? X 2 ,求 P ? S ? 100? 。 【解】

P ? S ? 100 ? ? ??

x1 ? x2 ?100

f X1 ? x1 ? f X 2 ? x2 ? dx1dx2

? 100? x1 f ? x ? dx ? dx ? ? f X1 ? x1 ? ? X2 2 2? ? 0 0 ? ? 1 75 1 ? 100 ? x1 1 ? ?? dx2 ? dx1 ? ?0 0 75 150 ? ? 75 100 ? x 1 ?? dx1 0 75 ? 150 2 ? x1 ? 75 1 ? ? 100 x1 ? ?0 75 ? 150 ? 2 ?
75

4687.5 ? ? 0.4166 75 ? 150

【例题 1】 设某保险公司共售出汽车保单 2500 张,保单持有者被分成两类,情况 如下表所示: 理赔额 Bk 的分布 类型 k 每类人数 nk 理赔概率 qk
?
L

1 2

500 2000

0.10 0.05

1 2

2.5 5.0

其中理赔额 Bk 服从参数为 ? ? , L? 的截尾指数分布,即它的概率密度函数为:

? 0, ? f ? x ? ? ?? e ? ? x , ?e ? ? L , ?

x?0 0? x? L x?L

要求收取的保费总额低于理赔总额的概率不超过 5%,试计算安全附加保 费率? 。 解: S 表示理赔总额, 用 题目要求保费总额低于理赔总额的概率不超过 5%, 意思是指

P ? S ? ? 1 ? ? ? E ? S ? ? ? 5% ? P ? S ? ? 1 ? ? ? E ? S ? ? ? 95%
将 S 标准化后,有

? S ? E ? S ? ?1 ? ? ? E ? S ? ? E ? S ? ? ? S ? E?S? ?E ? S ? ? ? ? P? ? P? ? ? ? Var ? S ? ? ? Var ? S ? Var ? S ? Var ? S ? ? ? ? ? ? ? ?E ? S? ? ? ? 0.95 ? ?? ? Var ? S ? ? ? ?
由标准正态函数表查得
E ? S ? , Var ? S ?
?E ? S?
Var ? S ? ? 1.645 , 因 此 问 题 归 结 为 计 算

的问题。

E ? S ? ? ? ?1q1 ? ? ?2q2
i ?1 i ?1 2 2 Var ? S ? ? ? ?12q1 ? 1 ? q1 ? ? ? 12q1 ? ? ?2 q2 ? 1 ? q2 ? ? ? 2 q2 i ?1 i ?1 500

500

2000

?

?

2000

?

?

2 其中 ?k , ? k 代表第 k 类保单理赔额的数学期望和方差。

?1 ? ? x?1e ? ? x dx ? L1e ? ? L ?
L1
1 1 1

1 ? e ? ?1 L1

0

?1
1 ? e ? ?2 L2

? 1 ? e ?2.5 ? 0.9179 1 ? e ?10 ? ? 0.5000 2

?2 ? ? x?2e ? ? x dx ? L2e ? ? L ?
L2
2 2 2

0

?2

? ? ? x ?1e
2 1 L1 2 0

? ?1 L1

dx ? L e

2 ? ?1 L1 1

? 1? e ?? ? ?1

? ?1 L1

? ? ?

2

?

1 ? 2?1 L1e ? ?1 L1 ? e ?2 ?1 L1

?12

? 1 ? 2 ? 2.5 ? e ?2.5 ? e ?5 ? 0.5828 1 ? 20 ? e ?10 ? e ?20 ? ? 0.2498 4

2 ?2 ?

1 ? 2?2 L2e ? ?2 L2 ? e ?2 ?2 L2

?22

E ? S ? ? ? 0.9179 ? 0.1 ? ? 0.5 ? 0.05
i ?1 i ?1

500

2000

? 45.8950 ? 50.0000 ? 95.895 Var ? S ? ? ? 0.91792 ? 0.1 ? 0.9 ? 0.5828 ? 0.1
i ?1 500

?

?

? ? 0.52 ? 0.05 ? 0.95 ? 0.2498 ? 0.05
i ?1

2000

?

?

? 500 ? 0.1341 ? 2000 ? 0.02436 ? 115.78

?E ? S?
Var ? S ? ? 1.645 给出

??

1.645 ? Var ? S ? E?S?

1.645 ? 115.78 ? ? 0.1846 95.895

第四章 聚合风险模型
【知识要点】 一、聚合风险模型
S ? ? Xi ,
i ?1 N

其中 N 代表保险期内所有保单发生理赔的次数, X i 代表第 i 次发生理赔时的理赔额, S 代表保险期内的理赔总额。 聚合风险模型基于以下假设

(1)理赔次数 N 与各理赔额 X i 之间是相互独立的; (2)对不同的 i ,理赔额 X i 是独立且同分布的。 二、理赔次数和理赔额的分布 (1) 泊松分布 P ? ? ? : P ? N ? n ? ?
? ? 0 , n ? 0,1,2,...
E ? N ? ? ? , Var ? N ? ? ? , M N ? t ? ? exp ?? e t ? 1 ? ? ?

?n
n!

e?? ,

?

?

(2) 负二项 NB ? r , p ? 分布: P ? N ? n ? ? ?

? r ? n ? 1? r n ?pq , ? r ?1 ?

0 ? p ? 1, p ? q ? 1, r ? 0 , n ? 0,1,2,... ,

E?N? ?

rq rq , Var ? N ? ? 2 , p p
r

? p ? MN ?t? ? ? , t ? ln q 1 ? qe t ? ? ?

【注】负二项分布可以看作是泊松分布的一种推广。 假设泊松参数 ? 也是一个随机变量,且有密度函数 f ? ? ? ,由全概率公式,得理赔次数的分布为:
P ? N ? n? ? ? P ? N ? n ? ? ? ? f ? ? ? d ?
? 0

特别当 ? 的密度函数为伽马分布 f ? ? ? ? 时, N 服从参数 p ?
?
1??

? ? ? ?1e ??? , ? ? 0 ? ?? ?

, r ? ? 的负二项分布。

(3) 理论上任何分布都可作为理赔额的分布。常用的 有指数分布、伽马分布、均匀分布等。 三、 理赔总额 S 的分布(复合分布) 1、理赔总额 S 的数字特征

E?S? ? E? X ?E?N ? Var ? S ? ? E 2 ? X ?Var ? N ? ? E ? N ?Var ? X ?

M S ? t ? ? M N ? ln M X ? t ? ?
2、理赔总额 S 的分布特征 计算分布函数的卷积法与矩母函数法。

四、 复合泊松分布 在聚合风险模型 S ? ? X i 中,当 N 服从泊松分布时,
i ?1 N

由于泊松分布的数学期 S 的分布就称为复合泊松分布。 望和方差均等于其参数 ? ,即 E ? N ? ? ? , Var ? N ? ? ? , 将其代入前面的公式,得到

E ? S ? ? E ? N ? E ? X ? ? ? E ? X ? ? ??1 , Var ? S ? ? E ? N ?Var ? X ? ? E 2 ? X ?Var ? N ? ? ? ?Var ? X ? ? E 2 ? X ? ? ? ? E X 2 ? ??2 ? ?
其中 ?1 , ?2 分别是理赔额的一阶和二阶原点矩。 理赔总 额的矩母函数为:

? ?

ln M t M S ? t ? ? M N ? ln M X ? t ? ? ? exp ? ? e X ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? exp ? ? ? M X ? t ? ? 1? ? ? ?

?

?

关于泊松分布的几个定理: (1) 可加性定理:如果 S1 , S2 ,..., Sm 是相互独立且 S i 服 从参数为 ?i 的复合泊松分布,理赔额的分布为 pi ? x ? , i ? 1,2,..., m , 则 S ? ? Si 服从参数 ? ? ? ?i 的复合泊松分布,且
i ?1 i ?1 n n

个别理赔额的分布为 p ? x ? ? ?
N

?i pi ? x ? 。 i ?1 ?
n

(2) 分解性定理: 理赔总额 S ? ? X i 是一个复合泊松
i ?1

分布, 参数为 ? 。 若个体理赔额是一个离散分布:

X P

x1 p1

x2 ? xn p2 ? pn
n i ?1

则理赔总额随机变量 S 可以表示为 S ? ? xi N i , 且 N 1 , N 2 ,..., N m 相互独立并服从参数 ?i ? ? pi ? i ? 1,2,.., n? 泊松分布。 五、 聚合理赔量的正态近似 (1) S 为复合泊松分布,其参数为 ? ,则当 ? ? ? 时, 有

? ? ? S ? ?? ? S ? ?? 1 P? ? x? ? P? ? x ? ? ?? x? ? ?? ? ? ? ? 2 ? ?2 ? ? ? 2 ? ? ? ?

?

?

其中 ? , ? 2 分别为个别理赔额的均值和方差。 (2) S 为复合负二项分布, 参数为 r , p , 则当 r ? ? 时, 有
? ? P? ? ? ? ? rq S? ? ? p ? x ? ? ?? x? ? rq 2 rq 2 ? ? ? ? 2 p p ?

其中 ? , ? 2 分别为个别理赔额的均值和方差。

p ? q ? 1。

【例题】 例1 理赔总额 S 服从参数 r ? 3, p ? 的复合负二项分布, 理赔额服从参数 ? ? 1的指数分布,求 (1) M S ? t ? ; (2) E ? S ? , Var ? S ? 。 解: (1)负二项分布的矩母函数
? p ? ? 1 ? MN ?t? ? ? ?? , t ? 1 ? qe ? ? 2 ? e t ? ? ?
3 r

1 2

指数分布的矩母函数为 M X ? t ? ?

? ? ?t

?

1 , 1? t

? 1? t ? S 的矩母函数为 M S ? t ? ? M N ? ln M X ? t ? ? ? ? ? ? 1 ? 2t ?

3



(2)

dM S ? t ? E?S? ? dt
d 2MS ? t ? Var ? S ? ? dt 2

t ?0

d ? 1? t ? ? ? dt ? 1 ? 2t ? ?

3

?1 ? t ? t ?0 ? 3 ? 4 ? 1 ? 2t ?
2

t ?0

?3

? E2 ? S ? ? t ?0

3 ? 8t 2 ? 12t ? 6

?

?

? 1 ? 2t ?

5

? 32 ? 9 t ?0

例2 对复合二项分布,参数 r ? 1, p ? ,个别索赔额服 从参数为 ? 的指数分布,已知 M S ?1.0? ? 3 ,求 ? 。

1 3

解:复合二项分布的矩母函数为

? p ? ? 1 ? MN ?t? ? ? ?? t ? 1 ? qe ? ? 3 ? 2e t ? , ? ? 指数分布的矩母函数为

r

MX ?t ? ?
根据 M S
MS ?t ? ?

?
N

? ?t ? t ? ? M ? ln M ? t ? ? ,有
X



1 3 ? 2?

? ??t

?

? ?t ,由 M S ?1.0? ? 3 ,有 ? ? 3t

? ?1 ? 3 ? ? ? 4。 ? ?3

例3 已知 N 服从负二项分布,参数 r ? 2, p ? 0.2 ,并已知 S 的均值 E ? S ? ? 12.8 和方差Var ? S ? ? 105.92 ,求个别理赔额 X 的 均值 E ? X ? 和方差Var ? X ? 。 解:

rq 2 ? 0.8 rq 2 ? 0.8 E?N? ? ? ? 8, Var ? N ? ? 2 ? ? 40 2 p 0.2 p 0.2

E ? S ? ? E ? X ? E ? N ? ? 12.8 ? 8E ? X ? ? E ? X ? ? 1.6

Var ? S ? ? E 2 ? X ?Var ? N ? ? E ? N ?Var ? X ? ? 105.92 ? 1.62 ? 40 ? 8Var ? X ? ? 105.92 105.92 ? 102.4 ? Var ? X ? ? ? 0.44 8
例4 如果 S1 服从复合泊松分布,参数 ?1 ? 3 ,理赔额有 p ?1? ? p ? 2? ? p ? 3? ? 1 3 ; S 2 服从复合泊松分布,参数 ?2 ? 2 ,理赔额有 p ?1? ? p ? 2? ? 1 2 。计算 S1 ? S2 的个别 理赔额分布。

解: S1 ? S2 服从参数 ? ? ?1 ? ?2 ? 5 的泊松分布。 理赔额的概率密度函数为:

?i 3 2 P ? x ? ? ? Pi ? x ? ? P1 ? x ? ? P2 ? x ? 5 5 i ?1 ?
n

3 1 2 1 2 P ? 1? ? ? ? ? ? ? 0.4 5 3 5 2 5 3 1 2 1 2 P ? 2 ? ? ? ? ? ? ? 0.4 5 3 5 2 5 3 1 2 1 P ? 3 ? ? ? ? ? 0 ? ? 0.2 5 3 5 5
例 5 若聚合理赔模型中的个别理赔额服从正态分布
2 3 4 ? ? 1 N ?100, 9 ? ,理赔次数 N ? ? ? ,求理赔总 ? 0.5 0.2 0.2 0.1 ?

额 S 的均值和方差。 解:根据题意,理赔额的均值和方差分别为: E ? X ? ? 100, Var ? X ? ? 9 。 理赔次数的均值与方差分别为:
E ? N ? ? 1 ? 0.5 ? 2 ? 0.2 ? 3 ? 0.2 ? 4 ? 0.1 ? 1.9 Var ? N ? ? 1 ? 0.5 ? 2 ? 0.2 ? 3 ? 0.2 ? 4 ? 0.1 ? 1.9 ? 1.09
2 2 2 2 2



赔总额的均值和方差则为

E ? S ? ? E ? N ? E ? X ? ? 1.9 ? 100 ? 190

Var ? S ? ? E 2 ? X ?Var ? N ? ? E ? N ?Var ? X ? ? 100 2 ? 1.09 ? 1.9 ? 9 ? 10917

例 6 设理赔次数服从负二项分布 NB ? r , p ? ,其中参数

p?

1 , 且 Var ? N ? ? 24 , 理 赔 额 的 分 布 为 3

3 4 ? ? 2 X ?? ,求理赔总额的均值与方差。 0.1 0.4 0.5 ? ? ?

解:负二项分布的均值和方差分别为:
E?N? ?

1 2 rq rq , Var ? N ? ? 2 ,? p ? ,? q ? , p p 3 3

由Var ? N ? ? 从而 E ? N ? ?

rq r ? 2 3 ? ? ? 6r ? 24 ? r ? 4 , 2 2 p ?1 3 ?
rq 4 ? 2 3 ? ? ? 8。 p ?1 3?

理赔额的均值和方差分别为

E ? X ? ? 2 ? 0.1 ? 3 ? 0.4 ? 4 ? 0.5 ? 3.4 Var ? X ? ? 2 2 ? 0.1 ? 3 2 ? 0.4 ? 4 2 ? 0.5 ? 3.4 2 ? 0.44

从而有

E ? S ? ? E ? N ? E ? X ? ? 8 ? 3.4 ? 27.2

Var ? S ? ? E 2 ? X ?Var ? N ? ? E ? N ?Var ? X ? ? 3.4 2 ? 24 ? 8 ? 0.44 ? 280.96

例 7 某人在上班途中总能捡到钱,已知他 1 小时内捡到 钱的次数服从参数 ? ? 0.5 的泊松分布;而捡到的钱的面 额服从以下分布:1 元(60%) 元(20%) ,5 ,10 元(20%) 。 设 S 代表他 1 小时内捡到的总钱数,求 S 的方差。 解:由题意,

E ? N ? ? Var ? N ? ? 0.5 E ? X ? ? 1 ? 0.6 ? 5 ? 0.2 ? 10 ? 0.2 ? 3.6 Var ? X ? ? 1 2 ? 0.6 ? 52 ? 0.2 ? 10 2 ? 0.2 ? 3.6 2 ? 12.64




Var ? S ? ? E 2 ? X ?Var ? N ? ? E ? N ?Var ? X ? ? 3.6 2 ? 0.5 ? 0.5 ? 12.64 ? 12.8

例 8 设理赔次数 N 服从 ? ? 2 的泊松分布,个别理赔额的 分布为 f X ? x ? ? 0.1x ? x ? 1,2,3,4? ,计算总理赔额等于 1,2, 3,4 的概率。 解:总理赔额 S ? 1N1 ? 2 N 2 ? 3 N 3 ? 4 N 4 ,其中 N i 服从参数 ?? i 的分布,其中 ? 1 ? 0.1, ? 2 ? 0.2,? 3 ? 0.3,? 4 ? 0.4 。 根据 P ? N ? n ? ?
?n
n! e ? ? 和利用独立随机变量和的卷积公式

得到:
x 1N1 2 N 2 1N1 * 2 N 2 0 0.8187 0.6703 0.5488 1 0.1637 0 0.1098 0.2305 0.0446 0.0483 2 0.0164 0.2681 3 0.0011 0 4 0.0001 0.0536 3 N 3 1N1 * 2 N 2 * 3 N 3 0.5488 0.3012 0 0 0.3293 0 0.0603 0.1265 0.2052 0.0362 4N4 fS ? x ? 0.4493 0.1353 0 0 0 0.0271 0.0568 0.0922

0.3595 0.1364

例 9 保险人承保了 1000 份保险金额为 1 万元的一年期 意外险保单,假设每个被保险人索赔的概率为 0.0002, 求理赔总额超过 12000 元的概率。 解:

E ? S ? ? 1000bq ? 1000 ? 10000 ? 0.0002 ? 2000 Var ? S ? ? 1000 ? b 2q ? 1 ? q ? ? 1000 ? 100002 ? 0.0002 ? ? 1 ? 0.0002 ? ? 19996000

P ? S ? 12000 ? ? 1 ? P ? S ? 12000 ? ? S ? E ? S ? 12000 ? E ? S ? ? ? ? 1? P? ? ? Var ? S ? Var ? S ? ? ? ? ? 12000 ? 2000 ? ? 1? ?? ? ? 1999600 ? ? 1 ? ? ? 2.236 ? ? 1 ? 0.9873 ? 1.27%

2008年春季精算考试试题(风险理论) 1. 某保险公司承保了如下特性的保单组合: (1) 每张保单最多发生一次索赔,并且索赔发生的概率为 0.02; (2) 索赔发生时的个体理赔额分布如下: 理赔额 1 2 3 4 概 率 0.4 0.3 0.2 0.1 (3) 安全附加系数为 1/3。 为了使所收取保费总额低于赔付总额的概率不超过5%,保险公司 需承保的最小保单数是( )。 (A) 1300

(B) 1350 (C) 1400 (D) 1450 (E) 1500 【解】每张保单的实际赔付额用随机变量 X ? BI 表示,其中 B 表示该张保单发生理赔条件下的理赔额,其均值和方差分别为: E ? B ? ? ? , Var ? B ? ? ? 2 ; I 是一个 0-1 分布的随机变量,参数 为 q ,代表每张保单发生理赔的概率。则有 E ? X ? ? ? q; Var ? X ? ? ? 2q ? 1 ? q ? ? ? 2q 。 根据题意, ? ? 1? 0.4 ? 2 ? 0.3 ? 3 ? 0.2 ? 4 ? 0.1 ? 2
? 2 ? 12 ? 0.4 ? 22 ? 0.3 ? 32 ? 0.2 ? 42 ? 0.1 ? 22 ? 1

设保险公司承保的最小保单数为 n ,则理赔总额的均值与方差为:

E ? S ? ? n? q ? 2 ? 0.02n ? 0.04n Var ? S ? ? n ? ? 2q ? 1 ? q ? ? ? 2q ? ? n ? 22 ? 0.02 ? 0.98 ? 1 ? 0.02 ? ? 0.0984n ? ? ? ?

根据题意要求 P ? ?1 ? ? ? E ? S ? ? S ? ? 5%,即 P ? S ? ?1 ? ? ? E ? S ? ? ? 95%,
? S ? E ? S ? ?1 ? ? ? E ? S ? ? E ? S ? ? ? P ? S ? ?1 ? ? ? E ? S ? ? ? P ? ? ? Var ? S ? ? Var ? S ? ? ? ? 1 ? ? 0.04n ? ? ? E?S? ? ? ? ? ?? 3 ? ?? ? ? ? 0.0425 n ? 95% ? Var ? S ? ? 0.0984n ? ? ? ? ? ?

?

?

由此得 0.0425 n ? 1.645 ? n ? 1498 ,按题意选 ? E ? 1500 。 2. 设 X 服从[0,100]上均匀分布,Y 服从[0,200]上 均匀分布, X 与Y 相互独立,令 S ? X ? Y ,并记 FS ? x ?

为 S 的概率分布函数, FS ? 220? 等于( )。 (A) 0.9 (B) 0.85 (C) 0.84 (D) 0.79 (E) 0.54 【解】首先确定积分区域分别为: ? 0 ? x ? 20;0 ? y ? 200? 和 ? 20 ? x ? 100;0 ? y ? 220 ? x ?

? ?
20 0

200

0

f X ? x ? fY ? y ? dydx ? ?

100 20

?

220 ? x

0

f X ? x ? fY ? y ? dydx

100 220 ? x 1 ? 20 ? 200 ? ?? dx 20 100 ? 200 20000

? x ? 220 ? 20 ? 0.2 ? 40000 ? 14400 ? 0.2 ? 0.64 ? 0.84 ? 0.2 ? 40000 100 40000 按题意应选 ? C ? 0.84 。
2


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