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2013石家庄市质检二高三数学(理)试题及答案


2013 年石家庄市高中毕业班教学质量检测(二)

高三数学(理科答案)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1-5 ADDCB

6-10 CCCAB

11-12DB

二、填空题:本大题共

4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 6 14. 24 15.

9 2

16.

3 2 1 n ? n 2 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (原则上只给出一种标准答案,其他解法请老师根据评分标准酌情处理) 17.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? 4 cos x cos( x ?

?
3

)?2

1 3 ? 4cos x( cos x+ sin x) ? 2 ? 3sin 2x ? 2cos2 x ? 2 2 2

? 3 sin 2 x ? cos 2 x ?1 ……………2 分
? 2sin(2 x ? ) ? 1 6

?

………………4 分

所以 f (x) 的最小正周期为 ? .……………6 分 (Ⅱ)因为 ?

, 4 ? ? 2? 所以 ? ? 2 x ? ? . ……………8 分 6 6 3 6

?

?x?

?

于是,当 2 x ?

?

6

?

?

2

, 即x ?

?

6

时,

f (x) 取得最大值 1;…………10 分
当 2x ?

?
6

??

?

, 即x ? ? 时, f ( x) 取得最小值—2.……………12 分 6 6

?

18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)依题意可知

55 ? 0.12 ? 65 ? 0.18+75 ? 0.40+85 ? 0.22+95 ? 0.08 ……………3 分 =74.6
所以综合素质成绩的的平均值为 74.6.……………5 分 ( 008+0. ) . , 022 =0 3 (Ⅱ)由频率分布直方图知优秀率为 10 ? 0. 由题意知 ? ? B (3, 故其分布列为

3 3 7 ) , p (? ? k ) ? C3k ( ) k ( )3? k 10 10 10
0 1 2 3

p

?
………………9 分

343 1000 3 9 ? .………………12 分 10 10

441 1000

189 1000

27 1000

E (? ) ? 3 ?

19. (本小题满分 12 分)

(Ⅰ)证明:连接 AC1,BC1, AN ? NC1 ,因为 AM=MB, 则 MN // BC1 . ……………2 分 又 BC1 ? 平面.BCC1 B1 , 所以 MN// 平面.BCC1B1 .…………4 分 (Ⅱ)作 B1O ? BC于O , 因为面 BCC 1 B1 ? 底面 ABC 所以 B1O ? 面ABC 以 O 为原点,建立如图所示空间直角坐 标系,则





A(0,3,0) ,B(-1,0,0),C(1,0,0) B1 (0, 3) . 由 AA ? CC1 ? BB1, 可 求 出 0, 1 A1 (1 3,3),C1 (2,0,3) ,
…………6 分 设 P(x,y,z), A1C1 ? ? A1 P .解得 P(

1

?

? 1,3 ?

3

?

, 3) ,

1 3 , 3 ) , CB1 ? (?1,0,3) . CP ? ( ,3 ? ? ?
设平面 B1CP 的法向量为 n1 ? (x,y,z)

??? ? ? n1 ? CP ? 0, 1? ? ? ,1) ………8 分 由 ? ???? 解得 n1 ? ( 3, 1-? ?n1 ? CB1 ? 0, ?
同理可求出平面 ACC1 A1 的法向量 n2 ? ( 3,1,-1) .…………10 分 由面 B1CP ? 平面 ACC1 A1 ,得 n1 ? n2 ? 0 ,即 3 ?

1? ? -1 ? 0 1- ?

解得: ? ? 3, 所以A1C1 ? 3 A1 P,从而C1 P : PA ? 2. ………………12 分 1 20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由定义知 l 2 为抛物线的准线,抛物线焦点坐标 F (

p ,0 ) 2

由抛物线定义知抛物线上点到直线 l 2 的距离等于其到焦点 F 的距离.

所以抛物线上的点到直线 l1 和直线 l 2 的距离之和的最小值为焦点 F 到直线 l1 的距离.…………2 分 所以 2 ?

2p ? 6 5

,则 p =2,所以,抛物线方程为 y 2 ? 4 x .………………4 分

(Ⅱ)设 M ( x0 , y0 ) ,由题意知直线 l 斜率存在,设为 k,且 k ? 0 ,所以直线 l 方程为 y - y0 ? k ( x - x 0 ) , 代入 y 2 ? 4 x 消 x 得: ky 2 - 4 y ? 4 y0 - ky0 ? 0.
2

由 ? ? 16-4k (4 y0 -ky0 ) ? 0,得k ?
2

2 . ………………6 分 y0

所以直线 l 方程为 y - y 0 ?

y2 - 4 2 2 ( x - x 0 ) ,令 x=-1,又由 y0 ? 4x0 得 N (?1, 0 ) y0 2 y0

2 y0 - 4 设 Q(x1 ,0) 则 QM ? ( x0 - x1 , y0 ), QN ? (-1 - x1 , ) 2 y0

由题意知 QM ? QN ? 0, ……………8 分
2 y0 -4 2 即(x0 -x1 )(-1-x1 ) ? ? 0 ,把 y0 ? 4x0 代入左式, 2

???? ???? ?

2 得: 1 - x1 )x0 ? x1 ? x1 - 2 ? 0 ,……………10 分 (

因为对任意的 x0 等式恒成立, 所以 ?

? 1-x1 ? 0, 2 ?x1 ? x1 -2 ? 0.

所以 x1 ? 1 即在 x 轴上存在定点 Q(1,0)在以 MN 为直径的圆上.……………12 分 21. (本小题满分 12 分)

( ? 解: (Ⅰ)f(x)的定义域为 0, ?) f ' ( x) ? ,

1 1 ? 2m x2 ? 2m x ? x x

当m ? 0时,f (x)在(0, ? ?)单调递增; 当m ? 0时,由f'(x) ? 0得x ? 1 2m

x ? (0,-

1 1 ) 时, f ' ( x) >0, f (x) 在 (0,) 上单调递增; 2m 2m

x ?( -

1 1 ,??) 时, f ' ( x) <0, f (x) 在 ( ,??) 上单调递减. 2m 2m

综上所述: 当m ? 0时,f (x)在(0, ? ?)单调递增.

当m ? 0时, (x) 在 (0,f
(Ⅱ)要证

1 1 ) 上单调递增,在 ( ,??) 上单调递减.…………3 分 2m 2m

f (a) ? f (b) 1 a a a ? ,只需证 ln ? ? 1 ,令 ? t ? 1, 即证 ln t ? t ? 1 ? 0 , a ?b b b b b 1 令 g (t ) ? ln t ? t ? 1, g ?(t ) ? ? 1 ? 0 , t
因此 g (t ) ? g (1) ? 0 得证.…………………6 分

a 2( ? 1) ln a ? ln b 2 a ? 要证 ,只要证 ln ? b , a a ?b a?b b ?1 b a 令 ? t ? 1 ,只要证 (t ? 1) ln t ? 2(t ? 1) ? 0 , b 1 令 h(t ) ? (t ? 1) ln t ? 2t ? 2, h?(t ) ? ln t ? ? 1 , t 1 1 h??(t ) ? ? 2 ? 0 因此 h?(t ) ? h?(1) ? 0 , t t
所以 h(t ) ? h(1) ? 0 得证.………………9 分 另一种的解法: 令

a 2(t -1) = t >1 , h(t )= ln t , b t +1

则 h?(t )= -

1 4 t 2 +2t -3 = >0 t t +1 t (t +1)2

t >0 ,

所以 h(t ) 在 (1,+?) 单调递增,

h(t )>h(1)=0,

a 2( -1) a 即 ln > b , 得证. a b +1 b 2 ln a ? ln b 1 2 1 ? ? ,( a ? b ? 0 ) ? ln(n ? 1) ? ln n ? (Ⅲ)由(Ⅱ)知 ,则 a?b a ?b b 2n ? 1 n
ln(n ? 1) ? (ln(n ? 1) ? ln n) ? .......(ln 3 ? ln 2) ? (ln 2 ? ln1)
所以

2 2 2 2 1 1 1 ? ? ? ......... ? ln(n ? 1) ? 1 ? ? ? ...... .………………12 分 3 5 7 2n ? 1 2 3 n

请考生在第 22~24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1 几何证明选讲 证明:(Ⅰ)由弦切角定理知 ?DBE ? ?DAB …………2 分 由 ?DBC ? ?DAC , ?DAB ? ?DAC 所以 ?DBE ? ?DBC , 即 BD平分?CBE. …………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知 BE ? BH . 所以 AH ? BH ? AH ? BE ,……………7 分 因为 ?DAB ? ?DAC , ?ACB ? ?ABE , 所以 ?AHC ∽ ?AEB ,
O

A

C H D B E

AH HC ? 所以 ,即 AH ? BE ? AE ? HC …………10 分 AE BE 即: AH ? BH ? AE ? HC .
23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解:(Ⅰ)原式可化为 (x 2 ? y 2 ) ? 12x - 10,…………2 分 3
2 2 即 ( x - 2) ? y ?

2 . ……………4 分 3

(Ⅱ)依题意可设 Q(4 cos? ,2 sin ? ), 由(Ⅰ)知圆 C 圆心坐标(2,0)。

QC ? (4 cos ? -2) 2 ? 4sin 2 ? ? 12 cos 2 ? -16 cos ? ? 8

2 2 ? 2 3( cos ? - )2 ? ,……………6 分 3 3
QC min ? 2 6 ,…………8 分 3 6 .…………10 分 3

所以 PQ min ?

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 解:(Ⅰ)由题意原不等式可化为: x - 1 ? 1 - x 即: x - 1 ? 1 - x 2 或x - 1 ? x 2 - 1 由 x - 1 ? 1 - x 得 x ? 1或x ? -2
2 2 由 x - 1 ? x - 1 得 x ? 1或x ? 0

2

……………2 分

综上原不等式的解为 x ? 1或x ? 0 ……………5 分 (Ⅱ)原不等式等价于 x-1 ? x ? 3 ? m 的解集非空. 令 h( x) ? x - 1 ? x ? 3 ,即 h( x) ? x - 1 ? x ? 3 min ? m ,…………8 分 由 x - 1 ? x ? 3 ? x - 1 - x - 3 ? 4 ,所以 h( x) min ? 4 ,所以 m ? 4 .………………10 分


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