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导数重庆理科历年高考题


导数高考题
1、 (08 重庆)设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0), 曲线 y=f(x)通过点(0,2a+3) ,且 在点(-1,f(-1) )处的切线垂直于 y 轴. (Ⅰ)用 a 分别表示 b 和 c; (Ⅱ)当 bc 取得最小值时,求函数 g(x)=-f(x)e-x 的单调区间.

2、 (09 重庆) 设函数 f

( x) ? ax2 ? bx ? k (k ? 0) 在 x ? 0 处取得极值, 且曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂直于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 . (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ?

ex ,讨论 g ( x) 的单调性. f ( x)

3、 (10 重庆)已知函数 f ? x ? ? (I) (II)

x ?1 ? ln ? x ? 1? , 其中实数 a ? 1 。 x?a 若 a=-2,求曲线 y ? f ? x ? 在点 ? 0, f ? 0?? 处的切线方程;

若 f ? x ? 在 x=1 处取得极值,试讨论 f ? x ? 的单调性。

4 、 (11 重 庆 ) 设 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? 1 的 导 数 f ?(1) ? 2a, f ?(2) ? ?b, 其 中 常 数 a, b ? R . (Ⅰ)求曲线 y ? f ? x ? . 在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程。 (Ⅱ)设 g ? x ? ? f ?( x)e?1. 求函数 g ? x ? 的极值。

5、 (12?重庆) 设 f ( x) ? a ln x ? 直于 y 轴. (Ⅰ) 求 a 的值; (Ⅱ) 求函数 f ( x ) 的极值。

1 3 ? x ? 1 ,其中 a ? R ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂 2x 2

6、 (13?重庆) 设 f ( x) ? a( x ? 5)2 ? 6ln x ,其中 a ? R ,曲线 y ? f ( x) 在点(1, f (1) )处的切线 与 y 轴相较于点(0,6) . (Ⅰ)确定 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值.

7、 (14?重庆)

已知函数 f(x)=ae2x﹣be﹣2x﹣cx(a,b,c∈R)的导函数 f′(x)为偶 函数,且曲线 y=f(x)在点(0,f(0) )处的切线的斜率为 4﹣c. (Ⅰ)确定 a,b 的值; (Ⅱ)若 c=3,判断 f(x)的单调性; (Ⅲ)若 f(x)有极值,求 c 的取值范围.

1、解:(Ⅰ)因为 f ( x) ? ax2 ? bx ? c, 所以f ?( x) ? 2ax ? b. 又因为曲线 y ? f ( x) 通过点(0,2a+3), 故 f (0) ? 2a ? 3, 而f (0) ? c, 从而c ? 2a ? 3. 又曲线 y ? f ( x) 在 (-1, f(-1)) 处的切线垂直于 y 轴, 故 f ?(?1) ? 0, 即-2a+b=0,因此 b=2a. 3 9 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bc ? 2a (2a ? 3) ? 4(a ? ) 2 ? , 4 4 3 9 故当 a ? ? 时, bc 取得最小值- . 4 4 3 3 此时有 b ? ? , c ? . 2 2 3 2 3 3 3 3 从而 f ( x) ? ? x ? x ? , f ?( x) ? ? x ? , 4 2 2 2 2 3 3 3 g ( x ) ? ? f ( x )c ? x ? ( x 2 ? x ? )e ? x , 4 2 2 3 所以 g ?( x) ? ( f ( x) ? f ?( x)e ? x ? ? ( x 2 ? 4)e ? x . 4 令 g ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? ?2, x2 ? 2. 当 x ? (??, ?2)时, g?( x) ? 0, 故g ( x)在x ? (??, ?2)上为减函数; 当 x ? (?2, 2)时,g?( x) ? 0, 故g ( x)在x ? (2, ??)上为减函数. 当 x ? (2, ??)时,g?( x) ? 0,故g ( x)在x ? (2, ??)上为减函数. 由此可见,函数 g ( x) 的单调递减区间为(-∞,-2)和(2,+∞) ; 单调递增区间为(-2,2). 2、解(Ⅰ)因 f ( x) ? ax2 ? bx ? k (k ? 0), 故f ?( x) ? 2ax ? b 又 f ( x) 在 x=0 处取得极限值,故 f ?( x) ? 0, 从而 b ? 0 由曲线 y= f ( x) 在(1,f(1) )处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 相互垂直可知 该切线斜率为 2,即 f ?(1) ? 2, 有2a=2,从而a=1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知, g ( x) ?
ex (k ? 0) x2 ? k

ex ( x2 ? 2x ? k ) (k ? 0) ( x 2 ? k )2 令 g ?( x) ? 0, 有x2 ? 2 x ? k ? 0 (1)当 ? ? 4 ? 4k ? 0,即当k>1时,g?(x)>0在R上恒成立, 故函数g(x)在R上为增函数 e x ( x ? 1)2 ? (2)当 ? ? 4 ? 4k ? 0,即当k=1时, g ( x) ? 2 ? 0( x ? 0) ( x ? k )2 K=1 时,g(x)在 R 上为增函数 (3) ? ? 4 ? 4k ? 0,即当0<k<1时, 方程 x2 ? 2 x ? k ? 0 有两个不相等实根 g ?( x) ?

x1 ? 1? 1? k , x2 ? 1? 1? k
当 x ? (??,1 ? 1 ? k )是g?( x) ? 0, 故g ( x)在(? ?,1 ? 1 ? k )上为增 函数

当 x? 时, g ?( x ) ? 0, 故 g ( x)在( 上为减函 ( 1 ? 1 ? k ,1 ? 1 ? k) 1 ? 1 ? k ,1 ? 1 ? k) 数 时, g ?( x) ? 0, 故 g ( x)在( 上为增函数 x? ( 1 ? 1 ? k,+?) 1 ? 1 ? k,+?) 3

4、解: (I)因 f ( x) ? x ? ax ? bx ? 1, 故 f ?( x) ? 3x ? 2ax ? b.
3 2 2

令 x ? 1, 得f ?(1) ? 3 ? 2a ? b, 由已知 f ?(1) ? 2a,因此3 ? 2a ? b ? 2a, 解得b ? ?3. 又令 x ? 2, 得f ?(2) ? 12 ? 4a ? b, 由已知 f ?(2) ? ?b, 因此 12 ? 4a ? b ? ?b, 解得 a ? ? .

3 2

3 2 5 x ? 3x ? 1, 从而f (1) ? ? 2 2 3 又因为 f ?(1) ? 2 ? ( ? ) ? ?3, 故曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线方程为 2 5 y ? (? ) ? ?3( x ? 1), 即6 x ? 2 y ? 1 ? 0. 2
因此 f ( x) ? x ?
3

(II)由(I)知 g ( x) ? (3x ? 3x ? 3)e ,
2

?x

从而有 g ?( x) ? (?3x ? 9 x)e .
2 ?x

令 g ?( x) ? 0, 得 ? 3x2 ? 9x ? 0, 解得x1 ? 0, x2 ? 3. 当 x ? (??,0)时, g ?( x) ? 0, 故g ( x)在(??,0) 上为减函数; 当 x ? (0,3)时, g ?( x) ? 0, 故g ( x) 在(0,3)上为增函数; 当 x ? (3, ??) 时, g ?( x) ? 0, 故g ( x)在(3, ??) 上为减函数; 从而函数 g ( x)在x1 ? 0 处取得极小值 g (0) ? ?3, 在x2 ? 3 处取得极大值 g (3) ? 15e?3 . 5、 (1)因 f ? x ? ? a ln x ?

1 3 a 1 3 ? x ? 1 ,故 f ? ? x ? ? ? 2 ? 2x 2 x 2x 2

由于曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线垂直于 y 轴,故该切线斜率为 0,即 f ? ?1? ? 0 , 从而 a ?

?

?

1 3 ? ? 0 ,解得 a ? ?1 2 2

(2)由(1)知 f ? x ? ? ? ln x ?

1 3 ? x ? 1? x ? 0 ? , 2x 2

1 1 3 3x 2 ? 2 x ? 1 ? f ? x? ? ? ? 2 ? ? x 2x 2 2x2
? f ?? x? ? (3x ? 1)( x ? 1) 2x2
1 3 1 不在定义域内,舍去) , 3

令 f ? ? x ? ? 0 ,解得 x1 ? 1, x2 ? ? (因 x2 ? ?

当 x ? ? 0,1? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ? 0,1? 上为减函数; 当 x ? ?1, ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,故 f ? x ? 在 ?1, ?? ? 上为增函数; 故 f ? x ? 在 x ? 1 处取得极小值 f ?1? ? 3 。
2 6、 (I)因 f ( x) ? a( x ? 5) ? 6ln x ,故 f ?( x) ? 2a ( x ? 5) ?

6 . x

令 x ? 1 ,得 f (1) ? 16a , f ?(1) ? 6 ? 8a ,所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线 方程为 y ? 16a ? 6 ? 8a( x ? 1) ,由点(0,6)在切线上可得 6 ? 16a ? 8a ? 6 ,故 a ?

5 ) (II)由 (I) 知 f (x) ? ( x ?

1 2

2

? 6ln ( x x 0) ?

1 . 2 6 ( x ? 2)( x ? 3) , f ?( x) ? x ? 5 ? ? . x x

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x1 ? 2, x2 ? 3 . 当 0 ? x ? 2 或 x ? 3 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0, 2),(3, ??) 上为增函数; 当 2 ? x ? 3 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (2,3) 上为减函数.

由 此 可 知 f ( x ) 在 x ? 2 处 取 得 极 大 值 f ( 2 )?

9 ? 6 ln 2 ,在 x ? 3 处取得极小值 2

f (3) ? 2 ? 6ln 3 .
7、 (1) f '( x) ? 2ae2 x ? 2be?2 x ? c 为偶函数,则 f (? x) ? f ( x) ,即

2ae?2 x ? 2be2 x ? c ? 2ae2 x ? 2be?2 x ? c 对 x ? R 恒成立,也即

2(a ? b)(e2 x ? e?2 x ) ? 0 对 x ? R 恒成立,得 a ? b ? 0 , b ? a
因为曲线 y ?

f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线的斜率为 4 ? c .所以

f '(0) ? 4 ? c ,即 2a ? 2b ? c ? 4 ? c , a ? b ? 2 ,又 b ? a 得
a ? b ?1
(2) 若 c ? 3, 则 f '( x) ? 2e2 x ? 2e?2 x ? 3 ? 2 ? 2 e2 x ? e?2 x ? 3 ? 4 ? 3 ? 1 ? 0 ,x ? R

? f ( x) 在 (??, ??) 上是增函数。
(3) f ( x) ? e2 x ? e?2 x ? cx , f '( x) ? 2e2 x ? 2e?2 x ? c ,若

f ( x) 有极值,则

2 f '( x) 的取值有正,有负,有零。令 t ? e2 x ,则 g (t ) ? 2t ? ? c ? 0 , t ? 0 的取值有 t
正,有负,有零,也即 ? (t ) ? 2t ? ct ? 2 ? 0 有两个不相等的正实数根(因为 ? (0) ? 2 ? 0 ,
2

?? ? c 2 ? 16 ? 0 ? 满足 ? c 得 c ? 4 。所以 c 的取值范围 (4, ??) 。 ? 0 ? ?4


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