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第一册等可能性事件的概率 -数学教案


等可能性事件的概率 【教学目的】 通过等可能事件概率的讲解,使学生得到一种较简单的、较现实的计算事件概率的方法。 1.了解基本事件;等可能事件的概念; 2.理解等可能事件的概率的定义,能运用此定义计算等可能事件的概率 【教学重点】 熟练、准确地应用排列、组合知识,是顺利求出等可能事件概率的重要方法。1.等可能事件 的概率的意义: 如果在一次试验中可能出现的结果有 n 个, 而且所有结果出现的可能性都相 等,那么每一个基本事件的概率都是 ,如果事件 A 包含 m 个结果,那么事件 A 的概率 P(A)= 。2.等可能事件 A 的概率公式的简单应用。 【教学难点】 等可能事件概率的计算方法。 试验中出现的结果个数 n 必须是有限的, 每个结果出现的可能 性必须是相等的。 【教学过程】 一、 复习提问 1.下面事件:①在标准大气压下,水加热到 800C 时会沸腾。②掷一枚硬币,出现反面。 ③实数的绝对值不小于零;是不可能事件的有 A. ② B. ① C. ①② D. ③ 2.下面事件中:①连续掷一枚硬币,两次都出现正面朝上;②异性电荷,相互吸引;③在标 准大气压下,水在 10C 结冰。是随机事件的有 A. ② B. ③ C. ① D.②③ 3.下列命题是否正确,请说明理由 ①“当x∈R 时,sinx+cosx≤1”是必然事件; ②“当x∈R 时,sinx+cosx≤1”是不可能然事件; ③“当x∈R 时,sinx+cosx<2”是随机事件; ④“当x∈R 时,sinx+cosx<2”是必然事件; 3.某人进行打靶练习,共射击 10 次,其中有 2 次击中 10 环,有 3 次击中 9 环,有 4 次击中 8 环,有 1 次未中靶,试计算此人中靶的频率,假设此人射击 1 次,问中靶的概率大约是多 少? 4.上抛一个刻着 1、2、3、4、5、6 字样的正六面体方块出现字样为“3”的事件的概率是多 少?出现字样为“0”的事件的概率为多少?上抛一个刻着六个面都是“P”字样的正方体 方块出现字样为“P”的事件的概率为多少? 二、 新课引入 随机事件的概率,一般可以通过大量重复试验求得其近似值。但对于某些随机事件,也可以 不通过重复试验, 而只通过对一次试验中可能出现的结果的分析来计算其概率。 这种计算随 机事件概率的方法,比经过大量重复试验得出来的概率,有更简便的运算过程;有更现实的 计算方法。这一节课程的学习,对有关排列、组合的基本知识和基本思考问题的方法有较高 的要求。 三、 进行新课 上面我们已经说过:随机事件的概率,一般可以通过大量重复试验求得其近似值。但对于某 些随机事件, 也可以不通过重复试验, 而只通过对一次试验中可能出现的结果的分析来计算 其概率。 例如,掷一枚均匀的硬币,可能出现的结果有:正面向上,反面向上。由于硬币是均匀的, 可以认为出现这两种结果的可能发生是相等的。即可以认为出现“正面向上”的概率是 1/2,

出现“反面向上”的概率也是 1/2。这与前面表 1 中提供的大量重复试验的结果是一致的。 又如抛掷一个骰子,它落地时向上的数的可能是情形 1,2,3,4,5,6 之一。即可能出现的结 果有 6 种。由于骰子是均匀的,可以认为这 6 种结果出现的可能发生都相等,即出现每一种 结果的概率都是 1/6。这种分析与大量重复试验的结果也是一致的。 现在进一步问:骰子落地时向上的数是 3 的倍数的概率是多少? 由于向上的数是 3,6 这 2 种情形之一出现时, “向上的数是 3 的倍数”这一事件(记作事件 A)发生。因此事件 A 的概率 P(A)=2/6=1/3 定义 1 基本事件:一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。 通常此试验中的某一事件 A 由几个基本事件组成。如果一次试验中可能出现的结果有n个, 即此试验由n个基本事件组成, 而且所有结果出现的可能性都相等。 那么每一个基本的概率 都是 。如果某个事件 A 包含的结果有m个,那么事件 A 的概率 P(A)= 。亦可表示为 P (A)= 。 四、 课堂举例: 【例题 1】有 10 个型号相同的杯子,其中一等品 6 个,二等品 3 个,三等品 1 个.从中任 取 1 个,取到各个杯子的可能性是相等的。由于是从 10 个杯子中任取 1 个,共有 10 种等可 能的结果。又由于其中有 6 个一等品,从这 10 个杯子中取到一等品的结果有 6 种。因此, 可以认为取到一等品的概率是 。同理,可以认为取到二等品的概率是 3/10,取到三等品的 概率是 。这和大量重复试验的结果也是一致的。 【例题 2】从 52 张扑克牌中任意抽取一张(记作事件 A) ,那么不论抽到哪一张都是机会均 等的,也就是等可能性的,不论抽到哪一张花色是红心的牌(记作事件 B)也都是等可能性 的;又不论抽到哪一张印有“A”字样的牌(记作事件 C)也都是等可能性的。所以各个事 件发生的概率分别为 P(A)= =1,P(B)= = ,P(C)= = 在一次试验中,等可能出现的n个结果组成一个集合 I,这n个结果就是集合 I 的n个元素。 各基本事件均对应于集合 I 的含有 1 个元素的子集, 包含m个结果的事件 A 对应于 I 的含有 m个元素的子集 A.因此从集合的角度看,事件 A 的概率是子集 A 的元素个数(记作car d(A) )与集合 I 的元素个数(记作card(I) )的比值。即 P(A)= = 例如,上面掷骰子落地时向上的数是 3 的倍数这一事件 A 的概率 P(A)= = = 【例 3】 先后抛掷两枚均匀的硬币,计算: (1)两枚都出现正面的概率; (2)一枚出现正面、一枚出现反面的概率。 分析:抛掷一枚硬币,可能出现正面或反面这两种结果。因而先后抛掷两枚硬币可能出现 的结果数,可根据乘法原理得出。由于硬币是均匀的,所有结果出现的可能性都相等。又在 所有等可能的结果中, 两枚都出现正面这一事件包含的结果数是可以知道的, 从而可以求出 这个事件的概率。同样,一枚出现正面、一枚出现反面这一事件包含的结果数是可以知。道 的,从而也可求出这个事件的概率。 解:由乘法原理,先后抛掷两枚硬币可能出现的结果共有 2×2=4 种,且这 4 种结果出现 的可能性都相等。 (1)记“抛掷两枚硬币,都出现正面”为事件 A,那么在上面 4 种结果中,事件 A 包含的结 果有 1 种,因此事件 A 的概率 P(A)=1/4 答:两枚都出现正面的概率是 1/4。 (2)记“抛掷两枚硬币,一枚出观正面、一枚出现反面”为事件 B。那么事件 B 包含的结果 有 2 种,因此事件 B 的概率 P(B)=2/4=1/2

答:一枚出现正面、一枚出现反面的概率是 1/2。 【例 4】 在 100 件产品中,有 95 件合格品,5 件次品。从中任取 2 件,计算: (1)2 件都是合格品的概率; (2)2 件都是次品的概率; (3)1 件是合格品、1 件是次品的概率。 分析:从 100 件产品中任取 2 件可能出现的结果数,就是从、100 个元素中任取 2 个的组合 数。由于是任意抽取,这些结果出现的可能性都相等。又由于在所有产品中有 95 件合格品、 5 件次品,取到 2 件合格品的结果数,就是从 95 个元素中任取 2 个的组合数;取到 2 件次 品的结果数,就是从 5 个元素中任取 2 个的组合数;取到 1 件合格品、1 件次品的结果数, 就是从 95 个元素中任取 1 个元素的组合数与从 5 个元素中任取 1 个元素的组合数的积,从 而可以分别得到所求各个事件的概率。 解:(1)从 100 件产品中任取 2 件,可能出现的结果共有 种,且这些结果出现的可能性都相 等。又在 种结果中,取到 2 件合格品的结果有 种。记“任取 2 件,都是’合格品”为事件 A,那么事件 A 的概率 P(A)= / =893/990 答:2 件都是合格品的概率为 893/990 (2)记“任取 2 件,都是次品”为事件 B。由于在 种结果中,取到 2 件次品的结果有 C52 种, 事件 B 的概率 P(B)= / =1/495 答:2 件都是次品的概率为 1/495 (3)记“任取 2 件,1 件是合格品、I 件是次品”为 C。由于在 种结果中,取到 1 件合格品、 l 件次品的结果有 种,事件 C 的概率 P(C)= / =19/198 答:1 件是合格品、1 件是次品的概率为 19/198 【例 5】 某号码锁有 6 个拨盘,每个拨盘上有从 0 到 9 共十个数字,当 6 个拨盘上的数字 组成某一个六位数字号码(开锁号码)时,锁才能打开。如果不知道开锁号码,试开一次就把 锁打开的概率是多少? 分析:号码锁每个拨盘上的数字,从 0 到 9 共有十个。6 个拨盘上的各一个数字排在—起, 就是一个六位数字号码。根据乘法原理,这种号码共有 10 的 6 次方个。由于不知道开锁号 码,试开时采用每一个号码的可能性都相等。又开锁号码只有一个,从而可以求出试开一次 就把锁打开的概率。 解:号码锁每个拨盘上的数字有 10 种可能的取法。根据乘法原理,6 个拨盘上的数字组成 的六位数字号码共有 10 的 6 次方个。又试开时采用每一个号码的可能性都相等,且开锁号 码只有一个,所以试开一次就把锁打开的概率 P=1/1000000 答:试开一次就把锁打开的概率是 1/1000000 五、课堂小结:用本节课的观点求随机事件的概率时,首先对于在试验中出现的结果的可能 性认为是相等的; 其次是对于通过一个比值的计算来确定随机事件的概率, 并不需要通过大 量重复的试验。因此,从方法上来说这一节课所提到的方法,要比上一节所提到的方法简便 得多,并且更具有实用价值。 六、课堂练习 1.(口答)在 40 根纤维中,有 12 根的长度超过 30 毫米。从中任取 1 根,取到长度超过 30 毫 米的纤维的概率是多少? 2. 10 支铅笔中, 8 支正品和 2 支副品。 在 有 从中任取 2 支, 恰好都取到正品的概率是多少?

七、布置作业:课本第 120 页习题 10.5 第 2――-6 题


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