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形如几何题的证明4


几何大全

2007 年 03 月

形如 ab = cd ± ef 型问题的证明
【知识要点】 知识要点】
解答形如

a2 c = 问题有以下几种方法: b2 d

(1)证

a c a2 c2 a2 c 2 = ( x 为待定线段) ,则可得 2 = 2 ,再证 x = cd ,故有 2 = b x d b x b
2

(2) a = be , 证 则证

a2 c e c a2 f f c = ,再证 = ;或者是分别证 a 2 = ef , b 2 = eg 得 2 = ,求证 = 2 d b d g g d b b
2 2

(3)证明由 a, c 和 b, d 确定的两三角形相似,则可知面积比为相似比平方,既 a : b ,再证两面积比为

c : d ,则

a2 c = b2 d

【典型例题】 典型例题】
例 1 如图, ?ABC 中, BAC = 120° , E、 在 BC 边上, ?ADE 是等边三角形, 在 ∠ 点 D 且 求证: B D E C

CE DE 2 = BC AB 2

A

例 2 如图,过□ABCD 的顶点 A 的直线交 BD 于 P,交 CD 于 Q,并交 BC 的延长线于 R,求证:

PQ : PR = PD 2 : PB 2

A P Q B C R

D

1

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2007 年 03 月

例 3 如图,已知 ?ABC 中, ∠ACB = 90°, CD ⊥ AB 于 D, DE ⊥ AC 于 E, DF ⊥ BC 于 F,求证: (1)
3 3 CD 3 = AE ? BF ? AB ; (2) AC : BC = AE : BF

C E F A D B

AB 2 OB 例 4 已知:如图,AE、AF 分别为 ?ABC 的内、外角平分线,O 为 EF 中点,求证: = AC 2 OC
A

B

E C

D

F

【经典练习】 ?ABC 经典练习】
1.如图,四边形 ABCD 中,BD 平分 ∠ABC ,交 AC 于 E,并且 BD = AB ? BC ,求证:
2

AD 2 AE = CD 2 EC
D

A

E B C

AD AE 2 2.在 Rt?ABC 中,CD 是斜边上的高,CE 是角平分线,求证: = DE BE 2

2

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2007 年 03 月

3.如图, ?ABC 中,AD 是 BC 上的中线,∠CAD = ∠B ,E 在 AD 的延长线上,∠E = ∠AOB ,求证:

AC 2 AE = AB 2 AD

A

B

D

C

E

AB 3 AD = 4.如图, ?ABC 中, ∠ABC = 90° ,延长 AC 边上的高 BD 到 E,使 CE ⊥ BC ,求证: BC 3 DE
A D E

B

C

5.已知:如图所示, ?ABC 中, ∠B = 90° , ∠BAC 的平分线与边 BC 相交于 D,求证: A

AB 2 BC = 2 2 DC AD

B

D

C

3


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