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抛物线同步练习题小题含答案


抛物线基础训练题
1. 抛物线 y2=8x 的准线方程是( A )。 (A)x=-2 (B)x=2 (C)x=-4 (D)y=-2 2. 过抛物线 y2=4x 的焦点 F,作倾斜角为 60°的直线,则直线的方程是( B )。

3 3 (x-1) (B)y= 3 (x-1) (C)y= (x-2) (D)y= 3 (x-2) 3 3 3.已知抛物线的焦点是 F(0,4),则此抛物线的标准方程是( A ) (A)x2=16y (B)x2=8y (C)y2=16x (D)y2=8x 4. 若抛物线 y=x2 与 x=-y2 的图象关于直线 l 对称,则 l 的方程是(B )。 (A)x-y=0 (B)x+y=0 (C)x=0 (D)y=0 5.AB 是过抛物线 y2=4x 焦点 F 的弦,已知 A,B 两点的横坐标分别是 x1 和 x2,且 x1+x2=6 则|AB|等于( B ) (A)10 (B)8 (C)7 (D)6 6.经过(1,2)点的抛物线的标准方程是(C )
(A)y= (A)y2=4x (B)x2=

1 y 2

(C) y2=4x 或 x2=

1 y 2

(D) y2=4x 或 x2=4y

7. 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1, y1)、 B(x2, y2)两点, 如果 AB 与 x 轴成 45°角, 那么|AB|等于 ( B) 。 (A)10 (B)8 (C)6 (D)4 8.抛物线的焦点在 y 轴上,准线与椭圆 方程是 C (A)y=24 (C)y=2 6 (B)y=2 6 或 y=-2 6 (D)y=2 2 或 y=-2 2

x2 y2 + =1 的左准线重合,并且经过椭圆的右焦点,那么它的对称轴 4 3

9. 顶点在原点,焦点是 F(6, 0)的抛物线的方程是 y2 ? 24 x 。 10 . 抛 物 线 x2 = 4y 的 焦 点 为 F , A 是 抛 物 线 上 一 点 , 已 知 |AF| = 4 + 2

2 , 则 AF 所 在 直 线 方 程 是

y?

2 ?1 2 ?1 x ? 1或y ? x ?1。 2 2
17 1 x 与圆 x2+y2-2ax+a2-1=0 有四个不同的交点,则 a 的取值范围是 (1, ) 。 2 8

11. 若抛物线 y2=

12.抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴的正半轴上,此抛物线的内接正三角形的一个顶点与抛物线的顶点重合, 已知该正三角形的高为 12,求抛物线上到焦点的距离等于 5 的点的坐标。 ? 4, ? 4? 13. 在抛物线 x2=ay (a>0)上求一点 N,(I)使它到点 M(0, ka) (k>0,k 为定值)的距离最小;(II)当 a 变化时, 求 N 点的轨迹。 14. 抛物线 y2=10x 的焦点到准线的距离是(B )。 (A)2.5 (B)5 (C)7.5 (D)10 15. 过点 F(0, 3)且和直线 y+3=0 相切的动圆圆心的轨迹方程是(C )。 (A)y2=12x (B)y2=-12x (C)x2=12y (D)x2=-12y 16. 已知点 P(4, m)是抛物线 y2=2px (p>0)上一点,F 是抛物线焦点,且|PF|=5,则抛物线方程是( B)。 (A)y2=x (B)y2=4x (C)y2=2x (D)y2=8x 17. 动点 P 到直线 x+4=0 的距离比到定点 M(2, 0)的距离大 2,则点 P 的轨迹是( C)。 (A)直线 (B)圆 (C)抛物线 (D)双曲线 x2 18. 抛物线 y=- 的准线方程是( B )。 8 (A)y=

1 32

(B)y=2 (C)y=

1 4

(D)y=4

19. 若 P1(x1 ,y1), P2(x2, y2)是抛物线 y2=2px (p>0)上不同的两点,则“y1y2=-p2”是“直线 P1P2 过抛物线焦点 F” 的( C )条件。
1

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 20. “直线 l 平行于抛物线的对称轴”是“直线 l 与抛物线仅有一个交点”的( A )条件。 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件 21. 抛物线的焦点在 x 轴上,准线方程是 x=-

1 ,则抛物线的标准方程是( A )。 4 x x (A)y2=x (B)y2=-x (C)y2= (D)y2=- 2 2
(A)(-

22. 已知抛物线的顶点为(1, 1),准线方程为 x+y=0,则其焦点坐标为( D )。

1 1 1 1 1 1 , ) (B)( , ) (C)(- , - ) (D)(2, 2) 2 2 2 2 2 2
y1 y 2 的值为(B )。 x1x 2

23. 经过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点作一条直线 l 交抛物线于 A(x1 ,y1)、B(x2, y2),则 (A)4 (B)-4 (C)p2 (D)-p2 24. 抛物线 x2=4y 上一点 P 到焦点 F 的距离为 3,则 P 点的纵坐标为( B)。 (A)3 (B)2 (C)

5 2

(D)-2

25. 不论α 取任何实数,方程 2x2cosα +y2=1 所表示的曲线一定不是(C )。 (A)椭圆 (B)双曲线 (C)抛物线 (D)圆 26. 过抛物线 y2=4x 的顶点 O 作互相垂直的两弦 OM、ON,则 M、N 的横坐标 x1 与 x2 之积为(B )。 (A)4 (B)16 (C)32 (D)64 27. 若抛物线 y2=2px 上横坐标为 6 的点的焦半径为 10,则顶点到准线的距离为(D )。 (A)1 (B)2 (C)4 (D)8 28. 如果抛物线的顶点为原点,对称轴为 x 轴,焦点在直线 3x-4y-12=0 上,那么抛物线的方程是( C )。 (A)y2=-16x (B)y2=12x (C)y2=16x (D)y2=-12x 29. 圆心在抛物线 y2=2x 上,且与 x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是( D)。

3 1 2 ) +(y-1)2= 2 2 1 1 2 (C)(x- ) +(y-1)2= 2 4
(A)(x-

(B)(x+

1 1 2 ) +(y-1)2= 2 4 1 2 (D)(x- ) +(y-1)2=1 2

30. 过抛物线 y2=4x 的焦点,作直线与抛物线相交于两点 P 和 Q,那么弦 PQ 中点的轨迹方程是(C )。 (A)y2=2x-1 (B)y2=-2x+1 (C)y2=-2x+2 (D)y2=2x-2 31. 与圆(x+1)2+y2=1 外切且与 y 轴相切的动圆的圆心轨迹方程为( C )。 (A)y2=-4x (x<0) (B)y=0 (x>0) 2 (C)y =-4x (x<0)和 y=0 (x>0) (D)y2=-2x-1 (x<-1) 32. 若 AB 为抛物线 y2=4x 的弦且 A(x1, 4)、B(x2, 2),则|AB|=(B )。 (A)13 (B) 13
2

(C)6 (D)4 (B)有 3 个,且横坐标都小于

33. 抛物线 y =2px (p>0)的焦点为 F,以 F 为圆心,p 为直径作圆,则圆与抛物线的公共点(A )。 (A)只有(0, 0) (C)有 3 个,且只有 2 点的横坐标小于

p 2

p 2

(D)以上 3 种情况均有可能

34. 已 知 点 ( - 2, 3) 与 抛 物 线 y2=2px (p>0) 的 焦 点 的 距 离 是 5 , 则 抛 物 线 的 方 程 是 。 y2 ? 8 x 35. 已知圆(x-3)2+y2=16 与抛物线 y2=2px (p>0)的准线相切,则抛物线的方程是

y2 ? 4 x



36. 点 P 在 抛 物 线 y2= - x 上 运 动 , 点 Q 与 点 P 关 于 点 (1, 1) 对 称 , 则 点 Q 的 轨 迹 方 程 是 。 (2 ? y)2 ? ?(2 ? x)
2

37. 若抛物线的顶点是双曲线 x2 -

y2 =1 的中心,且准线与双曲线的右准线重合,则抛物线的焦点坐标为 3
13 。 。

y2 ? ?2 x
2



38. 已知点 P 是抛物线 y2=16x 上的一点,它到对称轴的距离为 12,则|PF|= 39. 抛物线 y =4x 上的点 P 到焦点的距离为 5,则 P 点的坐标为 40. 抛物线 y2=4x 与椭圆 x2+2y2=20 的公共弦长是

? 4? ? 4,

40 2



41. 抛物线 y2=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴,且|AB|=4 3 ,则焦点到 AB 的距离为 2 。 2 42. 设抛物线 y=ax (a>0)和直线 y=kx+b (k≠0)有两个交点,其横坐标分别为 x1, x2,而直线 y=kx+b (k≠0)与 x 轴的交点横坐标为 x3,则 x1, x2, x3 之间的关系是 x1x2=x3(x1+x2) 。 2 43. 若 AB 为抛物线 y =2px (p>0) 的焦点弦, l 是抛物线的准线,则以 AB 为直径的圆与 l 的公共点的个数 是 。答案:1 个 提示:设 A(x1, y1), B(x2, y2), A、B 两点到准线的距离和为|AC|+|BD|=|AF|+|BF|=|AB|, ∴AB 的中点到准线的

1 距离为 2 |AB|,∴以 AB 为直径的圆与准线 l 相切,交点个数为 1
44. 已知抛物线 y2=6x 过点 P(4, 2)的弦的两个端点作点 P 被平分,求这条弦所在直线方程。 答案:3x―2y―8=0 提示:设相交弦为 AB,A(x1, y1), B(x2, y2),则 y12=6x1, y22=6x2, 两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=6(x1-x2), y1+ y1 ? y 2 3 3 y2=4, ∴ k=

x1 ? x 2

= 2 , ∴直线的方程是 y-2= 2 (x-4), 3x―2y―8=0

45. 抛物线 y=ax2 (a<0)的焦点坐标为(A )。

1 1 a a (A)(0, - 4a ) (B)(0, 4a ) (C)(- 4 , 0) (D)( 4 , 0) 3 46. 直线 y=x+ 2 被抛物线 x2=2y 截得的弦长为( )。
(A) 41 (B) 29 (C)4 2 (D)2 5

答案:C 47. 已知定点 A(3, 2), F 是抛物线 y2=2x 的焦点, 点 P 是抛物线上的动点, 当|PA|+|PF|最小时, 点 P 的坐标为 ( ) 。 (A)(0, 0) (B)(1,

1 2 ) (C)(2, 2) (D)( 2 , 1)

答案:C 提示:由 P 点作准线的垂线 PD,D 为垂足,则|PA|+|PF|=|PA|+|PD|,当 P、A、D 三点共线时,|PA|+|PD|最小, 此时 P 点坐标为(2, 2) 48. 已知抛物线的顶点为原点,焦点在 y 轴上,抛物线上的点(m, -2),到焦点的距离为 4,则 m 等于( )。 (A)4 (B)-2 (C)±4 (D)±2 答案:C

1 提示:设抛物线方程是 x2=-2py, m2=4p, ∴抛物线方程是 x2=- 2 m2x, 抛物线上的点(m, -2)到焦点的距离是 m2 4,则到准线的距离也是 4,∴ 8 +2=4, m=±4
3

49. M 为抛物线 x2=y 上一动点,以 OM 为边作一正方形 MNPO,则动点 P 的轨迹方程是( )。 (A)y2=x (B)y2=-x (C)y2=±x (D)x2=±y 答案:C 提示:设 P 点坐标是(x, y), M 点坐标是(x0, y0), 且 OM⊥OP,|OM|=|OP|, 解得 x02=y2, y02=x2, 把 x0, y0 代入到 x2=y 中得 y2=±x 50. 若 AB 为抛物线 y2=2px (p>0)的焦点弦,且 A1, B1 分别为 A, B 在准线上的射影,则∠A1FB1 等于( )。 (A)90° (B)60° (C)45° (D)30° 答案:A 提示:直角梯形四边形 AA1B1B 中,AA1⊥A1B1,BB1⊥A1B1,且 AA1=AF,BB1=BF,∴∠A1FB1=90° 51. 抛物线 y2=-8x 中,以(-1, 1)为中点的弦的方程是( )。 (A)x─4y─3=0 (B)x+4y+3=0 (C)4x+y-3=0 (D)4x+y+3=0 答案:D 提示: 设相交弦为 AB, A(x1, y1), B(x2, y2),则 y12=-8x1, y22=-8x2, 两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=-8(x1-x2), y1+y2=2, 代入得 k=-4,∴弦的方程是 4x+y+3=0 52. 点 M 到直线 y+5=0 的距离跟它到点 F(0, 4)的距离之差等于 1,则点 M 的轨迹是( )。 (A)直线 (B)抛物线 (C)双曲线 (D)椭圆 答案:B 53. 以抛物线 x=5y2 与圆 x2+y2-2x=0 的交点为顶点的多边形面积为( )。

9 (A) 5
答案:D

27 (B) 5

9 (C) 25

27 (D) 25

9 3 27 提示:联立方程组 x=5y2 与 x2+y2-2x=0,解得交点坐标是(0, 0), ( 5 , ± 5 ), ∴S△= 25

54. 抛物线 y=4x2 的准线方程是( )。

1 (A)x=-1 (B)y=-1 (C)x=- 16
答案:D

1 (D)y=- 16

55. 动点 P(x, y)与两个定点(-1, 0), (1, 0)的连线的斜率之积为 a,则 P 点的轨迹一定不是( )。 (A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线 (D)抛物线 答案:D 56. 过抛物线 y2=8x 上一点 P(2, -4)与抛物线仅有一个公共点的直线有( )。 (A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)1 条或 3 条
4

答案:B 提示:一条是切线,另一条是过 P 点平行于对称轴的直线,即 y=2 57. 已知抛物线 x2=4y 的焦点 F 和点 A(-1, 8),点 P 为抛物线上一点,则|PA|+|PF|的最小值为( )。 (A)16 (B)6 (C)12 (D)9 答案:D 提示:由 P 点作准线的垂线 PD,D 为垂足,则|PA|+|PF|=|PA|+|PD|,当 P、A、D 三点共线时,|PA|+|PD|最小, 最小值是 A 点到准线的距离 |AD|=9 题目:58. 抛物线的顶点在原点,对称轴为坐标轴,且点(-5, 2 5 )在抛物线上,则抛物线的方程为( )。

5 5 (A)y2=-4x (B)x2= 5 y (C)y2=-4x 或 x2= 2 y (D)x2=-4y
答案:C

5 5 5 提示: 设抛物线的方程是 y2=-2px 或 x2=2qy, 将点(-5, 2 )的坐标分别代入求得 p=4 与 q= 2 , ∴抛物线的 5 5 方程是 y2=-4x 或 x2= 2 y
题目:59. 已知双曲线 y2-x2=1 与抛物线 y2=(k-1)x 有两个不同的交点,则实数 k 的取值范围为( )。 (A)k=-1 或 3 (B)k=1 或 k=-3 (C)-1<k<3 (D)k<-1 或 k>3 答案:A 提示:联立方程组 y2-x2=1 与 y2=(k-1)x,消去 y 得 x2-(k-1)x+1=0, △=0, 解得 k=3 或 k=-1 题目:60. 若动圆与定圆(x+2)2+y2=4 相外切,且与直线 x=2 相切,则动圆的圆心轨迹方程为( )。 (A)y2=12(x-1) (B)y2=-12(x-1) (C)y2=-8x (D)y2=8x 答案:B 提示:设动圆圆心坐标为 P(x, y),半径为 r,定圆(x+2)2+y2=4 圆心为 M(-2, 0), 半径是 2,则|PM|=2+r,P 点 到直线 x=2 的距离是 r, ∴ P 点到直线 x=4 的距离是 r+2,即 P 点轨迹是以(-2, 0)为焦点,x=4 为准线的抛物线, ∴轨迹方程是 y2=-12(x-1) 题目:61. 抛物线 y2=2px 的内接△AOB 的重心恰是抛物线的焦点,则 AB 所在的直线方程是( )。

3 (A)x=2p (B)x= 4 p (C)x=3p (D)x=4p
答案:B

x1 ? x 2 ? 0 p y1 ? y 2 ? 0 ? 3 2, 3 提示: ∵抛物线 y2=2px 的内接△AOB 的重心恰是抛物线的焦点, ∴ =0, ∴y1=-y2, 3 3 3 x1= 2 p-x2, 且 x1=x2, ∴x1= 4 p, 直线方程是 x= 4 p
题目:62. 若 AB 为抛物线 y2=2px (p>0)的动弦,且|AB|=a (a>p),则 AB 的中点 M 到 y 轴的最近距离是( )。
5

1 1 1 1 1 1 (A) 2 a (B) 2 p (C) 2 a+ 2 p (D) 2 a- 2 p
答案:D

1 1 1 1 1 1 提示: 设动弦 AB, A(x1, y1), B(x2, y2), 中点 M(x0, y0), 则 x0+ 2 p= 2 (x1+ 2 p+x2+ 2 p)= 2 p+ 2 (x1+x2), 当 1 1 A、B、F 三点共线时,即 x1+x2=a-p 时,值为最小,此时 M 点到 y 轴的距离为 x0= 2 a- 2 p
题目:63. PQ 为经过抛物线 y2=2px (p>0)的焦点的任意一条弦,MN 为 PQ 在准线上的射影,PQ 绕准线旋转一周 所得的旋转面面积为 S1,以 MN 为直径的球面面积为 S2,则下列结论正确的是( )。 (A)S1<S2 (B)S1≥S2 (C)S1>S2 (D)不确定 答案:B 提示:S1=π (|PM|+|NQ|)PQ, S2=π |MN|2, |PM|+|NQ|≥|PQ|, |PQ|≥|MN|, ∴S1≥S2 题目:64. 抛物线 y=4x2 上的点到直线 y=4x-5 的最近距离是 。

4 17 答案: 17
题 目 : 65. 抛 物 线 的 顶 点 在 原 点 , 对 称 轴 为 坐 标 轴 , 且 焦 点 在 直 线 x - y + 2=0 上 , 则 抛 物 线 的 方 程 是 。 答案:x2=8y 或 y2=-8x 提示:焦点有两种可能,即焦点为(-2, 0)或(0, 2), ∴ 抛物线的方程是 x2=8y 或 y2=-8x 题目: 66. 抛物线的顶点在原点,对称轴为 x 轴,且被直线 y=2x + 1 截得的弦长为 15 ,则抛物线的方程 为 。 答案:y2=12x 或 y2=-4x 提示:设抛物线方程为 y2=2px 或 y2=-2px, 与直线 y=2x+1 联立,化简后用弦长公式分别求得 p=6, 或 p=1, ∴ 抛物线的方程是 y2=12x 或 y2=-4x 题目:67. 抛物线 y2=2x 与圆(x-a)2+y2=4 有且仅有两个公共点,则 a 的取值范围是 。

5 答案:-2<a<2 或 a= 2 5 提示: 联立方程组 y2=2x 与(x-a)2+y2=4, 化简得 x2-(2a-2)x+a2-4=0, △=0 时,得 a= 2 , 当△>0 且 a2-4<0 5 时,方程 x2-(2a-2)x+a2-4=0 有且只有一个正根,此时抛物线与圆有且仅有两个公共点,∴-2<a<2 或 a= 2
题目:68. 过抛物线 y2=2px (p>0)的对称轴上一点 C(p, 0)引一条直线与抛物线交于 A、B 两点且 A 点的纵坐标为

1 - 2 p,则 B 点的纵坐标为
答案:4p



6

p 4 1 提示:设直线方程是 y=k(x-p), A(x1, y1), B(x2, y2), C(p, 0), A( 8 ,- 2 p), kAC= 7 , 又 y12=2px1, y22=2px2, 两式 2p 4 y1 ? y 2 7 相减得 k= = , ∴y2=4p
题目: 69. 直线 x - 2y - 2=0 与抛物线 x=2y2 交于 A 、 B 两点, F 是抛物线的焦点,则△ ABF 的面积 为 。

15 5 答案: 16

1 提示:联立方程组 x-2y-2=0 与 x=2y2,化简得 x2-6x+4=0, 代入弦长公式得弦长等于 5,又焦点( 8 , 0)到直 15 5 3 5 线的距离是 8 , ∴S△ABF= 16
题目:70. 顶点在坐标原点,焦点为曲线 y=2 x ? 1 与坐标轴的交点的抛物线方程是 答案:x2=8y 或 y2=-4x 提示:y=2 x ? 1 与坐标轴的交点坐标是(0, 2)与(-1, 0), ∴抛物线的方程是 x2=8y 或 y2=-4x 题目:71. 抛物线方程为 Ax2+By=0 (AB≠0),则焦点坐标为 。 。

B 答案:(0, - 4 A )
题目:72. 如果抛物线 y2=px (p>0)和圆(x-2)2+y2=3 在 x 轴上方相交于 A、B 两点,且弦 AB 的中点 M 在直线 y=x 上,求抛物线的方程。

7 ? 17 2 答案:y2= x

4?p 提示: 联立方程组 y2=px 与(x-2)2+y2=3 化简得 x2-(4-p)x+1=0, ∴x0= 2 , x1x2=1, 又 y12=2px1, y22=2px2, 1 1 1 px px x x 1 + 2 ), y02= 4 (px1 +px2+2p 1 2 )= 4 (6p - p2), 又 x0=y0, 代入得 p2-7p+ 8=0, 解得 p= y0= 2 (
7 ? 17 7 ? 17 7 ? 17 2 2 2 , 又 4-p>0, 舍去 p= , ∴抛物线的方程是 y2= x
题目:73. 抛物线 x2=4y 上有一点 Q 到焦点的距离为 3,那么 Q 点的纵坐标是( )。 (A)-2 (B)2 (C)4 (D)1 答案:B

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