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常用公式及结论--高中数学(全免费)


常用公式及结论--高中数学
1 常见结论的否定形式; 原结论 是 都是 大于 小于 对所有 x ,成立 对任何 x ,不成立 反设词 不是 不都是 不大于 不小于 存在某 x ,不成立 存在某 x ,成立 原结论 至少有一个 至多有一个 至少有 n 个 至多有 n 个 p 或q 反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1 )个 ?p

且 ?q

p 且q

?p 或 ?q

2 四种命题的相互关系(下图):(原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假.) 原命题 若p则q 互 互 否 否 否命题 若非p则非q 互逆 为 逆 为 逆 否 逆否命题 若非q则非p 互逆 互 互 否 逆命题 若q则p

充要条件: (1)、 p ? q ,则 P 是 q 的充分条件,反之,q 是 p 的必要条件; (2) 、 p ? q ,且 q ≠> p,则 P 是 q 的充分不必要条件; (3)、p ≠> p ,且 q ? p ,则 P 是 q 的必要不充分条件; 4、p ≠> p ,且 q ≠> p,则 P 是 q 的既不充分又不必要条件。 3 函数单调性: 增函数:(1)、文字描述是:y 随 x 的增大而增大。 (2) 、数学符号表述是:设 f(x)在 x ? D 上有定义,若对任意的

x1 , x2 ? D, 且x1 ? x2 ,都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则就叫 f(x)在 x ? D 上是增函数。D 则就是 f(x)的递增区间。
减函数:(1)、文字描述是:y 随 x 的增大而减小。 (2) 、数学符号表述是:设 f(x)在 x ? D 上有定义,若对任意的

x1 , x2 ? D, 且x1 ? x2 ,都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,则就叫 f(x)在 x ? D 上是减函数。D 则就是 f(x)的递减区间。
单调性性质:(1)、增函数+增函数=增函数; (2) 、减函数+减函数=减函数; (3)、增函数-减函数=增函数;(4)、减函数-增函数=减函数; 注:上述结果中的函数的定义域一般情况下是要变的,是等号左边两个函数定义域的交集。 复合函数的单调性: 函数 内层函数 外层函数 复合函数 等价关系: 单调 单调性 ↓ ↓ ↑ ↑ ↑ ↑
1

↑ ↓ ↓

↓ ↑ ↓

(1)设 x1 , x2 ? ? a, b? , x1 ? x2 那么

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b?上是增函数; x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? x1 ? x2

( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?

(2)设函数 y ? f ( x ) 在某个区间内可导, 如果 f ?( x ) ? 0 , 则 f ( x ) 为增函数; 如果 f ?( x ) ? 0 , 则 f ( x) 为减函数. 4 元素与集合的关系: x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . ? ? A ? A ? ? 5 集合 {a1 , a2 ,?, an } 的子集个数共有 2n 个;真子集有 2n ? 1 个;非空子集有 2n ? 1 个;非空的真子集 有 2n ? 2 个. 6 二次函数的解析式的三种形式: (1) 一般式 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ; (2) 顶点式 f ( x) ? a( x ? h)2 ? k (a ? 0) ;(当已知抛物线的顶点坐标 ( h, k ) 时,设为此式) (3) 零点式 f ( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 )(a ? 0) ; (当已知抛物线与 x 轴的交点坐标为 ( x1 ,0),( x2 ,0) 时, 设为此式) (4)切线式: f ( x) ? a( x ? x0 ) ? (kx ? d ), (a ? 0) 。 (当已知抛物线与直线 y ? kx ? d 相切且切点的
2

横坐标为 x0 时,设为此式) 7 真值表: 同真且真,同假或假

8 函数的奇偶性: (注:是奇偶函数的前提条件是:定义域必须关于原点对称) 奇函数: 定义:在前提条件下,若有 f (? x) ? ? f ( x)或f (? x) ? f ( x) ? 0 , 则 f(x)就是奇函数。 性质: (1) 、奇函数的图象关于原点对称; (2) 、奇函数在 x>0 和 x<0 上具有相同的单调区间; (3) 、定义在 R 上的奇函数,有 f(0)=0 . 偶函数: 定义:在前提条件下,若有 f ( ? x ) ? f ( x ) ,则 f(x)就是偶函数。 性质: (1) 、偶函数的图象关于 y 轴对称; (2) 、偶函数在 x>0 和 x<0 上具有相反的单调区间; 奇偶函数间的关系: (1)、奇函数·偶函数=奇函数; (2) 、奇函数·奇函数=偶函数; (3)、偶奇函数·偶函数=偶函数; (4)、奇函数±奇函数=奇函数(也有例外得偶函数的) (5)、偶函数±偶函数=偶函数; (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函数是偶函数. 9 函数的周期性: 定义:对函数 f(x) ,若存在 T ? 0,使得 f(x+T)=f(x) ,则就叫 f(x)是周期函数,其中,T 是 f(x) 的一个周期。 周期函数几种常见的表述形式: (1)、f(x+T)= - f(x) ,此时周期为 2T ;
2

(2) 、 f(x+m)=f(x+n) ,此时周期为 2 m ? n ; (3)、 f ( x ? m) ? ? 10 常见函数的图像:
y
y
y
y

1 ,此时周期为 2m 。 f ( x)

k<0
o

k>0
x
o

a<0
x

y=ax
0<a<1 1
o x

y=logax
0<a<1

a>1
o

a>0

1 a>1

x

y=kx+b

y=ax2+bx+c

11 对于函数 y ? f ( x ) ( x ? R ), f ( x ? a ) ? f (b ? x) 恒成立,则函数 f ( x ) 的对称轴是 x ? 函数 y ? f ( x ? a ) 与 y ? f (b ? x ) 的图象关于直线 x ? 12 分数指数幂与根式的性质: (1) a n ? (2) a
? m n

b?a 对称. 2

a?b ; 两个 2

m

n

a m ( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).
1
m n

?

?

1
n

a n n (3) ( a ) ? a .

a

m

( a ? 0, m, n ? N ? ,且 n ? 1 ).

(4)当 n 为奇数时, a ? a ;当 n 为偶数时, a ?| a |? ?
n n
n n

? a, a ? 0 . ? ? a, a ? 0

13 指数式与对数式的互化式: log a N ? b ? a b ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) . 指数性质: (1)1、 a
?p

?

1 ap



(2) 、 a ? 1 ( a ? 0 ) ; (3)、 amn ? (am )n
0

(4)、 ar ? a s ? ar ? s (a ? 0, r, s ? Q) 指数函数:

; (5)、 a n ?

m

n

am



(1)、 y ? a x (a ? 1) 在定义域内是单调递增函数; (2) 、 y ? a x (0 ? a ? 1) 在定义域内是单调递减函数。注: 指数函数图象都恒过点(0,1) 对数性质: (1)、 loga M ? loga N ? loga (MN ) ; (2) 、 log a M ? log a N ? log a (3)、 log a b ? m ? log a b
m

M ; N

;(4)、 log a m b ?
n

n ? log a b ; (5)、 log a 1 ? 0 m

(6)、 loga a ? 1 对数函数:



(7)、

a l o agb ? b

(1)、 y ? loga x(a ? 1) 在定义域内是单调递增函数;
3

(2) 、 y ? loga x(0 ? a ? 1) 在定义域内是单调递减函数;注: 对数函数图象都恒过点(1,0) (3)、

log ?a , x? ( 0 或 , 1) a x? , a x? 0

?(? 1,

)

(4)、 loga x ? 0 ? a ? (0,1)则x ? (1, ??) 或 a ? (1, ??)则x ? (0,1) 14 对数的换底公式 : log a N ? 对数恒等式: a
log a N

log m N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ). log m a

? N ( a ? 0 ,且 a ? 1 , N ? 0 ). n n 推论 log am b ? log a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , N ? 0 ). m
15 对数的四则运算法则:若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) loga (MN ) ? loga M ? loga N ; (3) log a M ? n log a M (n ? R) ;
n

(2) log a (4) log a m

16 平均增长率的问题(负增长时 p ? 0 ) : 17 等差数列:

M ? log a M ? log a N ; N n N n ? log a N (n, m ? R) 。 m

如果原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p ,则对于时间 x 的总产值 y ,有 y ? N (1 ? p) x . 通项公式: (1) an ? a1 ? (n ? 1)d ,其中 a1 为首项,d 为公差,n 为项数, an 为末项。 (2)推广: an ? ak ? (n ? k )d (3) an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 前 n 项和: (1) S n ? (注:该公式对任意数列都适用)

n(a1 ? an ) ;其中 a1 为首项,n 为项数, an 为末项。 2 n(n ? 1) d (2) S n ? na1 ? 2
(3) Sn ? Sn?1 ? an (n ? 2) (4) Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an (注:该公式对任意数列都适用) (注:该公式对任意数列都适用)

常用性质: (1) 、若 m+n=p+q ,则有 am ? an ? a p ? aq ; 注:若 am是an , a p 的等差中项,则有 2 am ? an ? a p ? n、m、p 成等差。 (2) 、若 ?an ? 、 ?bn ? 为等差数列,则 ?an ? bn ? 为等差数列。 (3) 、 ?an ? 为等差数列, Sn 为其前 n 项和,则 Sm , S2m ? Sm , S3m ? S2m 也成等差数列。 (4) 、 a p ? q, aq ? p, 则a p ? q ? 0 ; (5) 1+2+3+?+n= 等比数列:
4

n( n ? 1) 2

通项公式: (1) an ? a1q

n ?1

?

a1 n ? q (n ? N * ) ,其中 a1 为首项,n 为项数,q 为公比。 q
n?k

(2)推广: an ? ak ? q

(3) an ? Sn ? Sn?1 (n ? 2) 前 n 项和: (1) Sn ? Sn?1 ? an (n ? 2) (2) Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an

(注:该公式对任意数列都适用) (注:该公式对任意数列都适用) (注:该公式对任意数列都适用)

? na1 ? (3) Sn ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q ?

(q ? 1) (q ? 1)

常用性质: (1) 、若 m+n=p+q ,则有 am ? an ? a p ? aq ; 注:若 am是an , a p 的等比中项,则有 am ? an ? a p ? n、m、p 成等比。
2

(2) 、若 ?an ? 、 ?bn ? 为等比数列,则 ?an ? bn ? 为等比数列。 18 分期付款(按揭贷款) :每次还款 x ? 19 三角不等式: (1)若 x ? (0, (2) 若 x ? (0,

ab(1 ? b) n 元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ). (1 ? b) n ?1

?
2

) ,则 sin x ? x ? tan x .

) ,则 1 ? sin x ? cos x ? 2 . 2 (3) | sin x | ? | cos x |? 1 .
20 同角三角函数的基本关系式 : sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? =
2 2

?

sin ? , cos?

21 正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限) 22 和角与差角公式 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? . 1 ? tan ? tan ?

a sin ? ? b cos ? = a 2 ? b 2 sin(? ? ? )
(辅助角 ? 所在象限由点 (a, b) 的象限决定, tan ? ? 23 二倍角公式及降幂公式

b ). a

sin 2? ? sin ? cos ? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
1 ? tan 2 ? . 1 ? tan 2 ? sin 2? 1 ? cos 2? tan ? ? ? 1 ? cos 2? sin 2?
5

cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? ?

tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?

sin 2 ? ?

1 ? cos 2? 1 ? cos 2? , cos 2 ? ? 2 2

24 三角函数的周期公式 函数 y ? sin(? x ? ? ) , x ? R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) , x ? R(A, ω , ? 为常数,且 A ≠ 0) 的周期

T?

2? ? ? ;函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k? ? , k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A≠0)的周期 T ? . |? | |? | 2
三角函数的图像: y

y=sinx


1

y=cosx
π/2 π 3π/2 2π

y
1

-π/2 -2π -3π/2

o
-1

x

-2π -3π/2



-π/2

o
-1

π/2

π

3π/2



x

25 正弦定理 :

a b c ? ? ? 2 R (R 为 ?ABC 外接圆的半径). sin A sin B sin C ? a ? 2 R sin A, b ? 2 R sin B, c ? 2 R sin C ? a : b : c ? sin A : sin B : sin C

26 余弦定理:

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ; b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ; c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C .
27 面积定理:

1 1 1 aha ? bhb ? chc ( ha、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 1 1 1 (2) S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B . 2 2 2 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 (| OA | ? | OB |) 2 ? (OA ? OB) 2 . (3) S ?OAB ? 2 a ? b-c斜边 2S? r?内切圆 ? , r直角?内切圆 ? a?b?c 2
(1) S ? 28 三角形内角和定理 : 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B )

?

C ? A? B ? 2C ? 2? ? 2( A ? B) . ? ? 2 2 2

29 实数与向量的积的运算律:设λ 、μ 为实数,那么: ? ? (1) 结合律:λ (μ a )=(λ μ ) a ; ? ? ? (2)第一分配律:(λ +μ ) a =λ a +μ a ; 30 a 与 b 的数量积(或内积): a · b =| a || b | cos ? 。 31 平面向量的坐标运算:

?

(3)第二分配律:λ ( a + b )=λ a +λ b .

? ?

?

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? ? ? (2)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a - b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . ??? ? ??? ? ??? ? (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ,则 AB ? OB ? OA ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) . ? ? (4)设 a = ( x, y ), ? ? R ,则 ? a = (? x, ? y ) . ? ? ? ? (5)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a · b = ( x1 x2 ? y1 y2 ) .
(1)设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a + b = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) .

?

?

32 两向量的夹角公式:

? ? a ?b cos ? ? ? ? ? | a |?| b |

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x12 ? y12 ? x2 ? y2

( a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ).

?

?

33 平面两点间的距离公式:

??? ? ??? ? ??? ? d A, B = | AB |? AB ? AB ? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 (A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 ) ).
6

34 向量的平行与垂直 :设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,且 b ? 0 ,则:

?

?

?

?

? ? ? ? a || b ? b =λ a ? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 .(交叉相乘差为零) ? ? ? ? ? ? a ? b ( a ? 0 ) ? a · b =0 ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .(对应相乘和为零)

P( x, y ) 是线段 PP 35 线段的定比分公式 : 设P 且 PP ? ? PP2 , P2 ( x2 , y2 ) , 1 1 2 的分点, ? 是实数, 1 ( x1 , y1 ) ,

??? ?

????

? x1 ? ? x2 ???? ???? x? ? ??? ? OP ? ? OP ? 1? ? 2 则? ? OP ? 1 y ? ? y 1 ? ? 2 ?y ? 1 ? 1? ? ? ??? ? ???? ???? 1 ). ? OP ? tOP ? (1 ? t ) OP 1 2 (t ? 1? ? 36 三角形的重心坐标公式: △ABC 三个顶点的坐标分别为 A(x1,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ),则△ABC x ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ). 的重心的坐标是 G ( 1 3 3
37 三角形五“心”向量形式的充要条件: 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B , C 所对边长分别为 a , b, c ,则

??? ? 2 ??? ? 2 ???? 2 ??? ? ??? ? ???? ? (2) O 为 ?ABC 的重心 ? OA ? OB ? OC ? 0 . ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? (3) O 为 ?ABC 的垂心 ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA . ??? ? ??? ? ??? ? ? (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . ??? ? ??? ? ???? (5) O 为 ?ABC 的 ?A 的旁心 ? aOA ? bOB ? cOC .
(1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC .
2 2

38 常用不等式: (1) a, b ? R ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).

a?b ? ab (当且仅当 a=b 时取“=”号). 2 (3) a3 ? b3 ? c3 ? 3abc(a ? 0, b ? 0, c ? 0).
(2) a, b ? R ? ? (4) a ? b ? a ? b ? a ? b .

2ab a?b a 2 ? b2 ? ab ? ? (当且仅当 a=b 时取“=”号)。 a?b 2 2 39 极值定理:已知 x, y 都是正数,则有
(5) (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 p ; (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 (3)已知 a, b, x, y ? R? ,若 ax ? by ? 1 则有

1 2 s . 4

1 1 1 1 by ax ? ? (ax ? by )( ? ) ? a ? b ? ? ? a ? b ? 2 ab ? ( a ? b ) 2 。 x y x y x y a b (4)已知 a, b, x, y ? R? ,若 ? ? 1 则有 x y a b ay bx x ? y ? ( x ? y )( ? ) ? a ? b ? ? ? a ? b ? 2 ab ? ( a ? b ) 2 x y x y 2 2 40 一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0(或 ? 0) (a ? 0, ? ? b2 ? 4ac ? 0) ,如果 a 与 ax ? bx ? c 同号,则 2 其解集在两根之外;如果 a 与 ax ? bx ? c 异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异
号两根之间.即:
7

x1 ? x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) ; x ? x1 , 或x ? x2 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? 0( x1 ? x2 ) .
41 含有绝对值的不等式 :当 a> 0 时,有

x ? a ? x 2 ? a 2 ? ?a ? x ? a .

x ? a ? x2 ? a2 ? x ? a 或 x ? ? a .
42 斜率公式 :

k?

y2 ? y1 (P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ). x2 ? x1

43 直线的五种方程: (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).

y ? y1 x ? x1 ( y1 ? y2 )( P ? 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )). y2 ? y1 x2 ? x1 两点式的推广: ( x2 ? x1 )( y ? y1 ) ? ( y2 ? y1 )( x ? x1 ) ? 0 (无任何限制条件! ) x y ? ? 1 ( a、b 分别为直线的横、纵截距, a ? 0、b ? 0 ) (4)截距式 a b (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0). ? ? 直线 Ax ? By ? C ? 0 的法向量: l ? ? ( A, B) ,方向向量: l ? ( B, ? A)
(3)两点式 44 夹角公式:

k2 ? k1 | . ( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1) 1 ? k2 k1 A B ? A2 B1 (2) tan ? ?| 1 2 | .( l1 : A1x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A1 A2 ? B1B2 ? 0 ). A1 A2 ? B1B2 ? 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 . 2 45 l1 到 l2 的角公式: k ? k1 (1) tan ? ? 2 .( l1 : y ? k1 x ? b1 , l2 : y ? k2 x ? b2 , k1k2 ? ?1 ) 1 ? k2 k1 A B ? A2 B1 (2) tan ? ? 1 2 .( l1 : A ). 1x ? B 1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 , A 1 A2 ? B 1B2 ? 0 A1 A2 ? B1 B2 ? 直线 l1 ? l2 时,直线 l1 到 l2 的角是 . 2 | Ax0 ? By0 ? C | 46 点到直线的距离 : d ? (点 P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ). A2 ? B 2
(1) tan ? ?| 47 圆的四种方程: (1)圆的标准方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 . (2)圆的一般方程 x2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4F >0).
2 2

(3)圆的参数方程 ?

? x ? a ? r cos ? . ? y ? b ? r sin ?

(4)圆的直径式方程 ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 (圆的直径的端点是 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ). 48 点与圆的位置关系:点 P( x0 , y0 ) 与圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的位置关系有三种: 若d ?

(a ? x0 ) 2 ? (b ? y0 ) 2 ,则 d ? r ? 点 P 在圆外;
8

d ? r ? 点 P 在圆内. 49 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 : 直 线 Ax ? By ? C ? 0 与 圆 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 的 位 置 关 系 有 三 种 Aa ? Bb ? C (d ? ): A2 ? B 2 d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
50 两圆位置关系的判定方法:设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O1O2 ? d ,则:

d ? r ? 点 P 在圆上;

d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4条公切线 ; d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3条公切线 ;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2条公切线 ;
d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线 ;

内含

内切 r2-r1

相交

外切 相离 r1+r2

0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线 .

o

d

d

d

d

? x ? a cos? x2 y 2 c b2 51 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程是 ? . 离心率 e ? ? 1 ? 2 , a b a a ? y ? b sin ?
b2 a2 准线到中心的距离为 ,焦点到对应准线的距离(焦准距) p ? 。 c c b2 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为: 2? . a 2 2 x y 52 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积: a b a2 a2 ?F PF PF1 ? e( x ? ) ? a ? ex , PF2 ? e( ? x ) ? a ? ex ; S ?F1PF2 ? c | yP |? b 2 tan 1 。 c c 2
53 椭圆的的内外部:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的内部 ? a 2 b2 x2 y 2 (2)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的外部 ? a b
(1)点 P( x0 , y0 ) 在椭圆 54 椭圆的切线方程: (1) 椭圆

2 2 x0 y0 ? ? 1. a 2 b2 2 2 x0 y0 ? ? 1. a 2 b2

xx y y x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 xx y y x y (2)过椭圆 2 ? 2 ? 1 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 02 ? 02 ? 1 . a b a b 2 2 x y 2 2 2 2 2 (3)椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? c . a b
55 双曲线

x2 y2 c b2 a2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0) e ? ? 1 ? 的离心率 ,准线到中心的距离为 ,焦点到对应 a 2 b2 c a a2 b2 b2 准线的距离(焦准距) p ? 。过焦点且垂直于实轴的弦叫通经,其长度为: 2? . c a 2 2 a a 焦半径公式 PF1 ?| e( x ? ) |?| a ? ex | , PF2 ?| e( ? x) |?| a ? ex | , c c ?F1 PF 2 两焦半径与焦距构成三角形的面积 S ?F1PF2 ? b cot 。 2

9

56 双曲线的方程与渐近线方程的关系:

x2 y2 x2 y2 b ? ? 1 ? 2 ? 0 ? y ? ? x. ? 渐近线方程: 2 2 2 a b a b a 2 2 x y x y b (2)若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? . a b a b a 2 2 2 2 x y x y (3)若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ? a b a b ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上). (4) 焦点到渐近线的距离总是 b 。
(1)若双曲线方程为 57 双曲线的切线方程:

xx y y x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 02 ? 02 ? 1 . 2 a b a b 2 2 xx y y x y (2)过双曲线 2 ? 2 ? 1 外一点 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 02 ? 02 ? 1 . a b a b 2 2 x y 2 2 2 2 2 (3)双曲线 2 ? 2 ? 1 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? c . a b 58 抛物线 y 2 ? 2 px 的焦半径公式: p 抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦半径 CF ? x0 ? . 2 p p 过焦点弦长 CD ? x1 ? ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p . 2 2 b 2 4ac ? b 2 2 ) ? (a ? 0) 的图象是抛物线: 59 二次函数 y ? ax ? bx ? c ? a ( x ? 2a 4a b 4ac ? b 2 b 4ac ? b 2 ? 1 , ); , ); (1)顶点坐标为 ( ? (2)焦点的坐标为 (? 2a 4a 2a 4a 4ac ? b 2 ? 1 (3)准线方程是 y ? . 4a
(1)双曲线 60 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB ? 或 AB ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

(1 ? k 2 )[( x2 ? x1 ) 2 ? 4 x2 ? x1 ] ?| x1 ? x2 | 1 ? tan 2 ? ?| y1 ? y2 | 1 ? co t 2 ?

(弦端点 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,由方程 ?

? y ? kx ? b 2 消去 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 ?F( x , y) ? 0

? ? 0 , ? 为直线 AB 的倾斜角, k 为直线的斜率, | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 .
61 证明直线与平面的平行的思考途径: (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 62 证明直线与平面垂直的思考途径: (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面。 63 证明平面与平面的垂直的思考途径: (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直; (3) 转化为两平面的法向量平行。
10

64 向量的直角坐标运算:

设 a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) 则: (1) a + b = (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (2) a - b = (a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ; (3)λ a = (? a1 , ? a2 , ? a3 ) (λ ?R); (4) a · b = a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ; 65 夹角公式: 设 a = (a1 , a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) ,则 cos ? a , b ?? 66 异面直线间的距离 :

?

?

?
?

? ? ?

?

?

?

?

? ?

a1b1 ? a2b2 ? a3b3
2 2 2 a ? a2 ? a3 b12 ? b2 ? b32 2 1

.

??? ? ?? ? ? | CD ? n | ? ( l1 , l2 是两异面直线,其公垂向量为 n , C、D 是 l1 , l2 上任一点, d 为 l1 , l2 间的距离). d? |n| 67 点 B 到平面 ? 的距离: ??? ? ?? ? | AB ? n | ? ? ( n 为平面 ? 的法向量, A ? ? , AB 是 ? 的一条斜线段). d? |n| 4 3 2 68 球的半径是 R,则其体积 V ? ? R ,其表面积 S ? 4? R . 3
69 球的组合体: (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体 :正方体的内切球的直径是正方体的棱长 , 正方体的棱切球的直径是正方体 的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.

6 a 12 1 3 6 6 6 (正四面体高 a 的 ),外接球的半径为 a (正四面体高 a 的 ). 4 4 3 4 3 70 分类计数原理(加法原理) : N ? m1 ? m2 ? ? ? mn . 分步计数原理(乘法原理) : N ? m1 ? m2 ??? mn . n! * m 71 排列数公式 : An = n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) = .( n , m ?N ,且 m ? n ).规定 0!? 1 . (n ? m)!
(3)球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 72 组合数公式: C
m n =

Anm n(n ? 1) ? (n ? m ? 1) n! * = = ( n ?N , m ? N ,且 m ? n ). m m! ? (n ? m)! 1? 2 ? ? ? m Am
m

组合数的两个性质:(1) C n = C n
n 0 n

n?m
1

;(2) C n + C n
n ?1 n?r

m

m ?1

= C n ?1 .规定 C n ? 1 .
m 0

73 二项式定理 (a ? b) ? C n a ? C n a 二项展开式的通项公式 Tr ?1 ? C n a
r

2 n?2 2 r n?r r n n b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b ;

1, 2 ?,n) . b r (r ? 0,

f ( x) ? (ax ? b) n ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ? ? an x n 的展开式的系数关系:

a0 ? a1 ? a2 ? ? ? an ? f (1) ; a0 ? a1 ? a2 ? ? ? (?1)n an ? f (?1) ; a0 ? f (0) 。
74 互斥事件 A,B 分别发生的概率的和:P(A+B)=P(A)+P(B). n 个互斥事件分别发生的概率的和:P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). 75 独立事件 A,B 同时发生的概率:P(A·B)= P(A)·P(B). n 个独立事件同时发生的概率:P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An). 76 n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率: Pn (k ) ? Cn P (1 ? P)
k k n ?k

.

77 数学期望: E? ? x1P 1 ? x2 P 2 ? ? ? xn P n ??
11

数学期望的性质 (1) E ( a? ? b) ? aE (? ) ? b .

(2)若 ? ~ B ( n, p ) ,则 E? ? np .

(3) 若 ? 服从几何分布,且 P(? ? k ) ? g (k , p) ? q k ?1 p ,则 E? ?
2 2 2

1 . p

78 方差: D? ? ? x1 ? E? ? ? p1 ? ? x2 ? E? ? ? p2 ? ? ? ? xn ? E? ? ? pn ? ? 标准差: ?? = D? . 方差的性质: (1) D ? a? ? b ? ? a D? ;
2

(2)若 ? ~ B ( n, p ) ,则 D? ? np (1 ? p ) .
(3) 若 ? 服从几何分布,且 P(?

? k ) ? g (k , p) ? qk ?1 p ,则 D? ?
2 2

q . p2

方差与期望的关系: D? ? E? ? ? E? ? .
? 1 2 79 正态分布密度函数: f ? x ? ? e 26 , x ? ? ??, ?? ? , 2? 6 式中的实数μ , ? ( ? >0)是参数,分别表示个体的平均数与标准差. ? x?? ? 对于 N (? , ? 2 ) ,取值小于 x 的概率: F ? x ? ? ? ? ?. ? ? ? P?x1 ? x0 ? x2 ? ? P?x ? x2 ? ? P?x ? x1 ? 80 f ( x ) 在 x0 处的导数(或变化率) : f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ?( x0 ) ? y? x ? x0 ? lim ? lim . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?s s(t ? ?t ) ? s(t ) ? lim 瞬时速度: ? ? s?(t ) ? lim . ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t ?v v(t ? ?t ) ? v(t ) ? lim 瞬时加速度: a ? v?(t ) ? lim . ?t ?0 ?t ?t ?0 ?t 81 函数 y ? f ( x ) 在点 x0 处的导数的几何意义: 函数 y ? f ( x ) 在点 x0 处的导数是曲线 y ? f ( x ) 在 P( x0 , f ( x0 )) 处的切线的斜率 f ?( x0 ) ,相应的切 线方程是 y ? y0 ? f ?( x0 )( x ? x0 ) .

? x ? ? ?2

82 几种常见函数的导数: (1) C? ? 0 (C 为常数).(2) ( x n )? ? nxn?1 (n ? Q) .(3) (sin x)? ? cos x . (4) (cos x)? ? ? sin x . (5) (ln x)? ?

1 1 ; (log a x)? ? log a e . x x

(6) (e x )? ? e x ; (a x )? ? a x ln a . 83 导数的运算法则: (1) (u ? v)' ? u ' ? v' .(2) (uv)' ? u 'v ? uv' .(3) ( ) ?
'

u v

u 'v ? uv ' (v ? 0) . v2

84 判别 f ( x0 ) 是极大(小)值的方法: 当函数 f ( x ) 在点 x0 处连续时, (1)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x ) ? 0 ,右侧 f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f ?( x ) ? 0 ,右侧 f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x0 ) 是极小值. 85 复数的相等: a ? bi ? c ? di ? a ? c, b ? d .( a, b, c, d ? R ) 86 复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值) | z | = | a ? bi | = a ? b .
2 2

12

87 复平面上的两点间的距离公式:

d ?| z1 ? z2 |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2 ( z1 ? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i ).
88 实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ,
2

?b ? b2 ? 4ac ; 2a b 2 ②若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1 ? x2 ? ? ; 2a 2 ③若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个共轭复数根
①若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 x1,2 ?
2

?b ? ?(b 2 ? 4ac)i 2 x? (b ? 4ac ? 0) . 2a

高中数学公式提升
一、集合、简易逻辑、函数 1. 研究集合必须注意集合元素的特征即三性 ( 确定 , 互异 , 无序 ); 已知集合 A={x,xy,lgxy}, 集合 B={0,|x|,y},且 A=B,则 x+y= 2. 研究集合 , 首先必须弄清代表元素 , 才能理解集合的意义。已知集合 M={y | y=x2 ,x ? R},N={y |
2 2 y=x +1,x?R},求 M∩N;与集合 M={(x,y)|y=x2 ,x?R},N={(x,y)|y=x +1,x?R}求 M∩N 的区别。 3. 集合 A、B, A ? B ? ? 时,你是否注意到“极端”情况: A ? ? 或 B ? ? ;求集合的子集 A ? B

时是否忘记 ? . 例如: ?a ? 2?x 2 ? 2?a ? 2?x ? 1 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,求 a 的取植范围,你讨 论了 a=2 的情况了吗?
n n

2 ? 1, 4. 对于含有 n 个元素的有限集合 M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为 2 ,
2 n ? 1, 2 n ? 2. 如满足条件 {1} ? M ? {1,2,3,4} 的集合 M 共有多少个
5. 解集合问题的基本工具是韦恩图; 某文艺小组共有 10 名成员,每人至少会唱歌和跳舞中的一项,其 中 7 人会唱歌跳舞 5 人会,现从中选出会唱歌和会跳舞的各一人, 表演一个唱歌和一个跳舞节目,问有 多少种不同的选法? 6. 两集合之间的关系。 M ? {x x ? 2k ? 1, k ? Z}, N ? {x x ? 4k ? 1, k ? Z} 7. (CUA)∩( CU B) = CU(A∪B) (CUA)∪( CUB) = CU(A∩B); A ? B ? B ? B ? A ; 8、可以判断真假的语句叫做命题. 逻辑连接词有“或” 、 “且”和“非”. p、q 形式的复合命题的真值表: (真且真,同假或假) p 真 真 假 假 q 真 假 真 假
13

P且q 真 假 假 假

P或q 真 真 真 假

9、 命题的四种形式及其相互关系: 原命题 若p则q 互 否 否 否 否命题 否 若﹃p则﹃q 互 互 互 逆 互 为 逆 否 否 逆 逆否命题 若﹃q则﹃p 逆 逆命题 若q则p 互 否

原命题与逆否命题同真同假;逆命题与否命题同真同假. 10、你对映射的概念了解了吗?映射 f:A→B 中,A 中元素的任意性和 B 中与它对应元素的唯一性,哪 几种对应能够成映射? 11、函数的几个重要性质: ①如果函数 y ? f ?x ? 对于一切 x ? R ,都有 f ?a ? x ? ? f ?a ? x ? 或 f ( 2a-x ) =f (x ) ,那么函数

函数 y ? f ?x ? +a ( a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 助图象沿 y 轴向上平移 a 个单位得到的;函数

y ? f ?x ? 的图象关于直线 x ? a 对称. ②函数 y ? f ?x ? 与函数 y ? f ?? x ? 的图象关于直线 x ? 0 对称; 函数 y ? f ?x ? 与函数 y ? ? f ?x ? 的图象关于直线 y ? 0 对称; 函数 y ? f ?x ? 与函数 y ? ? f ?? x ? 的图象关于坐标原点对称. ③若奇函数 y ? f ?x ? 在区间 ?0,?? ? 上是递增函数,则 y ? f ?x ? 在区间 ?? ?,0? 上也是递增函数. ④若偶函数 y ? f ?x ? 在区间 ?0,?? ? 上是递增函数,则 y ? f ?x ? 在区间 ?? ?,0? 上是递减函数. ⑤函数 y ? f ?x ? a ? ( a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴向左平移 a 个单位得到的; 函数 y ? f ?x ? a ? ( ( a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 的图象沿 x 轴向右平移 a 个单位得到的; y ? f ?x ? +a ( a ? 0) 的图象是把函数 y ? f ?x ? 助图象沿 y 轴向下平移 a 个单位得到的.
x(4 ? x) lg( x ? 3)2

12、求一个函数的解析式和一个函数的反函数时,你标注了该函数的定义域了吗? 13、求函数的定义域的常见类型记住了吗?函数 y= 的定义域是 ;

复合函数的定义域弄清了吗?函数 f ( x) 的定义域是[0,1],求 f (log 0.5 x ) 的定义域. 函数 f ( x) 的定义域 是[ a, b ], b ? ?a ? 0, 求函数 F ( x) ? f ( x) ? f (? x) 的定义域 14、一个函数的奇偶性时,你注意到函数的定义域是否关于原点对称这个必要非充分条件了吗? 在公共 定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个奇函数与一个偶函数的乘 积是奇函数; 15、据定义证明函数的单调性时,规范格式是什么?(取值, 作差, 判正负.)可别忘了导数也是判定函数 单调性的一种重要方法。 16、函数 y ? x ?

和 0, a 上单调递减)这可是一个应用广泛的函数! 17、函数问题时,你注意到真数与底数的限制条件了吗?(真数大于零,底数大于零且不等于 1)字母底 数还需讨论呀. 18、换底公式及它的变形,你掌握了吗?( log a b ? 19、你还记得对数恒等式吗?( a
2 log a b

?

?

a x

?a ? 0? 的单调区间吗?(该函数在 ?? ?,?

a 和

? ?

a ,?? 上单调递增;在 ? a ,0

?

?

?

log c b , log a n b n ? log a b ) log c a

? b) 2 20、“实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有实数解”转化为“ ? ? b ? 4ac ? 0 ” ,你是否注意到必 2 须 a ? 0 ;当 a=0 时, “方程有解”不能转化为 ? ? b ? 4ac ? 0 .若原题中没有指出是“二次”方
程、函数或不等式,你是否考虑到二次项系数可能为零的情形?
14

二、三角、不等式 21、三角公式记住了吗?两角和与差的公式________________; 二倍角公式:________________;解题 时本着“三看”的基本原则来进行:“看角,看函数,看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用, 化切割为弦,用倍角公式将高次降次, 22、在解三角问题时,你注意到正切函数、余切函数的定义域了吗?正切函数在整个定义域内是否为单 调函数?你注意到正弦函数、余弦函数的有界性了吗? 23、在三角中,你知道 1 等于什么吗?( 1 ? sin x ? cos x ? sec x ? tan x
2 2 2 2

? tan x ? cot x ? tan

?

4

? sin

?

2

? cos 0 ? ?? 这些统称为 1 的代换) 常数 “1”的种种代换有着广

泛的应用. (还有同角关系公式:商的关系,倒数关系,平方关系; 诱导公试:奇变偶不变,符号看象限) 24、在 三 角 的 恒 等 变 形 中 , 要 特 别 注 意 角 的 各 种 变 换 . ( 如 ? ? (? ? ? ) ? ? , ? ? (? ? ? ) ? ? ,

???
2

? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 等) 2? ?2 ? ?

25、你还记得三角化简题的要求是什么吗?项数最少、函数种类最少、分母不含三角函数、且能求出值 的式子,一定要算出值来) 26、你还记得三角化简的通性通法吗?(切割化弦、降幂公式、用三角公式转化出现特殊角 . 异角化同 2 2 角,异名化同名,高次化低次) ;你还记得降幂公式吗?cos x=(1+cos2x)/2;sin x=(1-cos2x)/2 27、你还记得某些特殊角的三角函数值吗?

6? 2 6? 2 5 ?1 ) , sin 75? ? cos15? ? , sin 18? ? 4 4 4 1 28、你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗?( l ? ? r , S 扇形 ? lr ) 2
( sin 15? ? cos 75? ? 29、 辅助角公式:a sin x ? b cos x ? 角的值由 tan ? ?

a 2 ? b 2 sin ?x ? ? ? (其中? 角所在的象限由 a, b 的符号确定,?

b 确定)在求最值、化简时起着重要作用. a

30、三角函数(正弦、余弦、正切)图象的草图能迅速画出吗?能写出他们的单调区、对称轴,取最值 时的 x 值的集合吗?(别忘了 k ? Z) 三角函数性质要记牢。函数 y= A sin(? ? x ? ? ) ? k 的图象及性质: 振幅|A|,周期 T=

2?

?

, 若 x=x0 为此函数的对称轴,则 x0 是使 y 取到最值的点,反之亦然,使 y 取到 , 减区间为 ;

最值的 x 的集合为 ,当 ? ? 0, A ? 0 时函数的增区间为 当 ? ? 0 时要利用诱导公式将 ? 变为大于零后再用上面的结论。 五点作图法:令 ?x ? ? 依次为 0 31、三角函数图像变换还记得吗? 平移公(1)如果点 P ( x , y ) 按 向 量 a ? ?h, k ?
?

?

2

,? ,

3? ,2? 求出 x 与 y,依点 ?x, y ? 作图 2
平移至 P′(x′,y′) ,则

' ? ? x ? x ? h, ? ' ? ? y ? y ? k.

(2) 曲线 f(x,y)=0 沿向量 a ? ?h, k ? 平移后的方程为 f(x-h,y-k)=0 32、有关斜三角形的几个结论:(1) 正弦定理: (2) 余弦定理: (3)面积公式 33、在用三角函数表示直线的倾斜角、两条异面直线所成的角等时,你是否注意到它们各自的取值范围 及意义? ①异面直线所成的角、直线与平面所成的角、向量的夹角的取值范围依次是 ? 0,

?

? ? ?? , [0, ], [0, ? ] . ? 2 ? 2?

15

②直线的倾斜角、 l1 到 l 2 的角、 l1 与 l 2 的夹角的取值范围依次是 [ 0, ? ), [ 0, ? ), ( 0 , 34、不等式的解集的规范书写格式是什么?(一般要写成集合的表达式) 35、分式不等式

?
2

].

f ?x ? ? a?a ? 0 ? 的一般解题思路是什么?(移项通分,分子分母分解因式,x 的系数变 g ?x ?

为正值,奇穿偶回) 36、含有两个绝对值的不等式如何去绝对值?(一般是根据定义分类讨论)

?a?b? 37、利用重要不等式 a ? b ? 2 ab 以及变式 ab ? ? 你是否注意到 a, b? R ? ? 等求函数的最值时, ? 2 ?
(或 a ,b 非负) ,且“等号成立”时的条件,积 ab 或和 a+b 其中之一应是定值?(一正二定三相 等)

2

a2 ? b2 a ? b 2ab ? ? ab ? , (a , b ? R ? ) (当且仅当 a ? b ? c 时, 38、 取等号) ; 2 2 a?b

a、 b、 c ? R,

; a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca (当且仅当 a ? b ? c 时,取等号) 39、在解含有参数的不等式时, 怎样进行讨论? (特别是指数和对数的底 0 ? a ? 1 或 a ? 1 ) 讨论完之后, 要写出:综上所述,原不等式的解集是??. 40、解含参数的不等式的通法是“定义域为前提,函数增减性为基础,分类讨论是关键. ” 41、对于不等式恒成立问题,常用的处理方式?(转化为最值问题) 三、数列 42、等 差 数 列 中 的 重 要 性 质 :( 1 ) 若 m ? n ? p ? q , 则 a m ? a n ? a p ? a q ;( 2 )
数列{a2n?1}, {a 2n }, {ka n ? b}仍成等差数列 ; Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n 仍成等差数列
3 2 1 2 1 2 3 2

(3)若三数成等差数列,则可设为a-d、a、a+d;若为四数则可设为a- d 、a- d 、a+ d 、a+ d ; (4)在等差数列中,求Sn 的最大(小)值,其思路是找出某一项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或0, 而它后面各项皆取负(正)值,则从第一项起到该项的各项的和为最大(小).即:当a1 >0,d<0,解不等式 组 an ≥0 an+1 ≤0 可得Sn 达最大值时的n的值;当a1 <0,d>0,解不等式组 an ≤0 an+1 ≥0 可 得 Sn 达最小值时的 n 的值 ; ( 5 ) .若 an ,bn 是等差数列 ,Sn ,Tn 分别为 an ,bn 的前 n 项和 , 则
a m S 2m?1 。 . (6) .若{ a n }是等差数列, 则{ a an }是等比数列, 若{ a n }是等比数列且 a n ? 0 , 则{ log a an } ? b m T2m?1

是等差数列. 43、等比数列中的重要性质: (1) 若m? n ? p ? q , 则 am ? an ? a p ? aq ; (2)S k ,S 2k ? S k ,S 3k ? S 2k 成等比数列 44、你是否注意到在应用等比数列求前 n 项和时,需要分类讨论. ( q ? 1 时, S n ? na1 ; q ? 1 时,

45、等比数列的一个求和公式:设等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,公比为 q , 则 46、等差数列的一个性质:设 S n 是数列 ?an ? 的前 n 项和, ?an ? 为等差数列的充要条件是 47、你知道怎样的数列求和时要用“错位相减”法吗?(若 cn ? an bn ,其中 ?an ? 是等差数列,?bn ?是等 比数列,求 ?cn ?的前 n 项的和) 48、用 an ? S n ? S n?1 求数列的通项公式时,你注意到 a1 ? S1 了吗? 49、你还记得裂项求和吗?(如 四、排列组合、二项式定理
16

a1 (1 ? q n ) ) Sn ? 1? q

S m? n ? S m ? q m S n .

S n ? an 2 ? bn (a, b 为常数)其公差是 2a.

1 1 1 ? ? .) n(n ? 1) n n ? 1

50、解排列组合问题的依据是:分类相加,分步相乘,有序排列,无序组合. 51、解排列组合问题的规律是:相邻问题捆绑法;不邻问题插空法;多排问题单排法;定位问题优先法; 多元问题分类法;有序分配问题法;选取问题先排后排法;至多至少问题间接法,还记得什么时候 用隔板法? 52、排列数公式是: 组合数公式是: 排列数与组合数的关系是: Pn ? m! ? Cn
m m

组合数性质: C n = C n

m

n?m

m ?1 m C nm + C n = C n ?1
r n r ?1 n ?1

?C
r ?0

n

r n

= 2n

C ?C
r r

r r ?1

?C

r r ?2

??? C ? C
n 0 n

二项式定理: (a ? b) ? C n a ? C n a
1

n ?1

2 n?2 2 r n?r r n n b ? Cn a b ? ? ? Cn a b ? ? ? Cn b

二项展开式的通项公式: Tr ?1 ? C n a
r

n?r

1, 2 ?,n) b r (r ? 0,

五、立体几何 53、有关平行垂直的证明主要利用线面关系的转化:线//线 ? 线//面 ? 面//面,线⊥线 ? 线⊥面 ? 面⊥面,垂直常用向量来证。 54、作出二面角的平面角主要方法是什么?(定义法、三垂线法)三垂线法:一定平面,二作垂线,三 作斜线,射影可见. 55、二面角的求法主要有:解直角三角形、余弦定理、射影面积法、法向量 56、求点到面的距离的常规方法是什么?(直接法、等体积变换法、法向量法) 57、你记住三垂线定理及其逆定理了吗? 58、有关球面上两点的球面距离的求法主要是找球心角,常常与经度及纬度联系在一起,你还记得经度 及纬度的含义吗?(经度是面面角;纬度是线面角) 59、你还记得简单多面体的欧拉公式吗?(V+F-E=2,其中 V 为顶点数,E 是棱数,F 为面数),棱的两种 算法, 你还记得吗?(①多面体每面为 n 边形, 则 E=

nF mV ; ②多面体每个顶点出发有 m 条棱, 则 E= ) 2 2

六、解析几何 60、设直线方程时,一般可设直线的斜率为 k,你是否注意到直线垂直于 x 轴时,斜率 k 不存在的情况? (例如: 一条直线经过点 ? ? 3,? ? , 且被圆 x 2 ? y 2 ? 25 截得的弦长为 8, 求此弦所在直线的方程。 该题就要注意,不要漏掉 x+3=0 这一解.) 61、定比分点的坐标公式是什么?(起点,中点,分点以及 ? 值可要搞清) 线段的定比分点坐标公式 设 P(x,y) ,P1(x1,y1) ,P2(x2,y2) ,且 P 1 P ? ? PP 2 ,则
? ?

? ?

3? 2?

? x? ? ? ? ?y ? ? ?

x1 ? ?x 2 1? ? y1 ? ?y 2 1? ?

x ? x2 ? x? 1 ? ? 2 中点坐标公式 ? ? y ? y1 ? y 2 ? 2 ?
? x1 ? x 2 ? x3 y1 ? y 2 ? y 3 ? , ? 在利 3 3 ? ?

62、若 A( x1 , y1 ),B( x2 , y 2 ),C ( x3 , y3 ) , 则△ABC 的重心 G 的坐标是 ?

用定比分点解题时,你注意到 ? ? ?1 了吗? 63、在解析几何中,研究两条直线的位置关系时,有可能这两条直线重合,而在立体几何中一般提到的 两条直线可以理解为它们不重合. 64、直线方程的几种形式:点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式.以及各种形式的局限性.(如点 斜式不适用于斜率不存在的直线) 65、对不重合的两条直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 ,有:

? A1 B2 ? A2 B1 l1 // l 2 ? ? ; l1?l 2 ? A1 A2 ? B1 B2 ? 0 . ? A1C 2 ? A2 C1
66、直线在坐标轴上的截矩可正,可负,也可为 0.
17

67、直线在两坐标轴上的截距相等,直线方程可以理解为

x y ? ? 1 ,但不要忘记当 a=0 时,直线 y=kx a b

在两条坐标轴上的截距都是 0,也是截距相等. 68、两直线 Ax ? By ? C1 ? 0 和 Ax ? By ? C2 ? 0 的距离公式 d=—————————— 69、直线的方向向量还记得吗?直线的方向向量与直线的斜率有何关系?当直线 L 的方向向量为 m = (x0,y0)时,直线斜率 k=———————;当直线斜率为 k 时,直线的方向向量 m =————— 70、到角公式及夹角公式———————,何时用? 71、处理直线与圆的位置关系有两种方法: (1)点到直线的距离; (2)直线方程与圆的方程联立,判别 式. 一般来说,前者更简捷. 72、处理圆与圆的位置关系,可用两圆的圆心距与半径之间的关系. 73、在圆中,注意利用半径、半弦长、及弦心距组成的直角三角形并且要更多联想到圆的几何性质. 74、在利用圆锥曲线统一定义解题时,你是否注意到定义中的定比的分子分母的顺序?两个定义常常结 伴而用, 有时对我们解题有很大的帮助, 有关过焦点弦问题用第二定义可能更为方便。 (焦半径公式: 椭圆:|PF1|=———— ;|PF2|=———— ;双曲线:|PF1|=———— ;|PF2|=———— (其中 F1 为左焦点 F2 为右焦 点) ;抛物线:|PF|=|x0|+

p ) 2

75、在用圆锥曲线与直线联立求解时,消元后得到的方程中要注意:二次项的系数是否为零?判别式 ? ? 0 的限制. (求交点,弦长,中点,斜率,对称,存在性问题都在 ? ? 0 下进行). 76、椭圆中,a,b,c 的关系为————;离心率 e=————;准线方程为————;焦点到相应准线距离为———— 双 曲线中,a,b,c 的关系为————;离心率 e=————;准线方程为————;焦点到相应准线距离为———— 77、通径是抛物线的所有焦点弦中最短的弦. 78、你知道吗?解析几何中解题关键就是把题目中的几何条件代数化,特别是一些很不起眼的条件,有 时起着关键的作用:如:点在曲线上、相交、共线、以某线段为直径的圆经过某点、夹角、垂直、 平行、中点、角平分线、中点弦问题等。圆和椭圆参数方程不要忘,有时在解决问题时很方便。数 形结合是解决解几问题的重要思想方法,要记得画图分析哟! 79、你注意到了吗?求轨迹与求轨迹方程有区别的。求轨迹方程可别忘了寻求范围呀! 80、在解决有关线性规划应用问题时,有以下几个步骤:先找约束条件,作出可行域,明确目标函数, 其中关键就是要搞清目标函数的几何意义,找可行域时要注意把直线方程中的 y 的系数变为正值。 如:求 2<5a-2b<4,-3<3a+b<3 求 a+b 的取值范围,但也可以不用线性规划。 七、向量 81、两向量平行或共线的条件,它们两种形式表示,你还记得吗?注意 a ? ? b 是向量平行的充分不必要 条件。(定义及坐标表示) 82、向量可以解决有关夹角、距离、平行和垂直等问题,要记住以下公式:| a | = a · a , cosθ =
2

a?b | a || b |

?

x1 x 2 ? x12 ? y12

y1 y 2 x2 2 ? y 2 2

83、利用向量平行或垂直来解决解析几何中的平行和垂直问题可以不用讨论斜率不存在的情况,要注意

a ? b ? 0 是向量 a和向量b 夹角为钝角的必要而非充分条件。 84、向量的运算要和实数运算有区别:如两边不能约去一个向量,向量的乘法不满足结合律,即
a(b ? c) ? (a ? b)c ,切记两向量不能相除。
85、你还记得向量基本定理的几何意义吗?它的实质就是平面内的任何向量都可以用平面内任意不共线 的两个向量线性表示,它的系数的含义与求法你清楚吗? 86、一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量,这是题目中的天然条件,要注意运用,对于一个向 量等式,可以移项,两边平方、两边同乘以一个实数,两边同时取模,两边同乘以 一个向量,但不 能两边同除以一个向量。 87、 向量的直角坐标运算 设 a ? ?a1 , a2 , a3 ?, b ? ?b1 , b2 , b3 ? ,则 a ? b ? ?a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ?
?

?

?

?

?

a ? b ? ?a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ?

?

? a ? ??a1 , ?a2 , ?a3 ??? ? R ?
?

18

? ?

a? b ? a1b1 ? a2 b2 ?a 3 b3
? ?

?

2 2 a ? a? a ? a12 ? a2 ? a3

? ?

cos ? a , b ??
? ?

a1 b1 ? a 2 b2 ? a3b3
2 2 2 a12 ? a 2 ? a3 b12 ? b2 ? b32

a// b ? a1 ? ?b1 ,a 2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 , ?? ? R ? , a ? b ? a1b1 ? a2 b2 ? a3b 3 ? 0 设 A= ?x1 , y1 , z1 ? , B= ?x 2 , y 2 , z 2 ?,
则 AB ? OB? OA ? ?x 2 , y 2 , z 2 ? ? ? ?

?

?

?x1 , y1 , z1 ? = ?x2 ? x1 , y2 ? y1 , z 2 ? z1 ?

AB ? AB? AB ?

?

?

?

?x2 ? x1 ?2 ? ? y 2 ? y1 ?2 ? ?z 2 ? z1 ?2

八、导数 88、导数的几何意义即曲线在该点处的切线的斜率,学会定义的多种变形。
n 89、几个重要函数的导数:① C ? 0 ,(C 为常数)② x
'

导数的四运算法则 ?? ? ? ? ? ? ? ? 90、利用导数可以证明或判断函数的单调性,注意当 f ’(x)≥0 或 f ’(x)≤0,带上等号。 91、 f ? (x0)=0 是函数 f(x)在 x0 处取得极值的非充分非必要条件,f(x)在 x0 处取得极值的充分要条件是 什么?
' ' '

? ? ? nx ?n ? Q ?
' n ?1

92、利用导数求最值的步骤: (1)求导数 f ' ?x ? (2)求方程 f ' ?x ? =0 的根 x1 , x2 ,?, xn

(3)计算极值及端点函数值的大小 (4)根据上述值的大小,确定最大值与最小值. 93、求函数极值的方法:先找定义域,再求导,找出定义域的分界点,根据单调性求出极值。告诉函数 的极值这一条件,相当于给出了两个条件:①函数在此点导数值为零,②函数在此点的值为定值。 九、概率统计 94、有关某一事件概率的求法:把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识),转 化为若干个互斥事件中有一个发生的概率,利用对立事件的概率,转化为相互独立事件同时发生的 概率,看作某一事件在 n 次实验中恰有 k 次发生的概率,但要注意公式的使用条件。 (1)若事件 A、B 为互斥事件,则 P(A+B)=P(A)+P(B) (2)若事件 A、B 为相互独立事件,则 P(A·B)=P(A) ·P(B) (3)若事件 A、B 为对立事件,则 P(A)+P(B)=1 一般地, p A ? 1 ? P? A? (4)如果在一次试验中某事件发生的概率是 p,那么在 n 次独立重复试验中这个事恰好发生 K 次的概 率: Pn ?K ? ? Cn p ?1 ? p ?
k k n?k

??

95、抽样方法主要有:简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时,它的主要特征 是从总体中逐个抽取;系统抽样,常常用于总体个数较多时,它的主要特征就是均衡成若干部分, 每一部分只取一个;分层抽样,主要特征分层按比例抽样,主要使用于总体中有明显差异。它们的 共同特征是每个个体被抽到的概率相等。 96、用总体估计样本的方法就是把样本的频率作为总体的概率。 十、解题方法和技巧 97、总体应试策略:先易后难,一般先作选择题,再作填空题,最后作大题,选择题力保速度和准确度 为后面大题节约出时间,但准确度是前提,对于填空题,看上去没有思路或计算太复杂可以放弃, 对于大题,尽可能不留空白,把题目中的条件转化代数都有可能得分,在考试中学会放弃,摆脱一 个题目无休止的纠缠,给自己营造一个良好的心理环境,这是考试成功的重要保证。 98、解答选择题的特殊方法是什么? (顺推法,估算法,特例法,特征分析法,直观选择法,逆推验证法、数形结合法等等) 99、 答填空题时应注意什么?(特殊化,图解,等价变形) 100、解答应用型问题时,最基本要求是什么? 101、 审题、找准题目中的关键词,设未知数、列出函数关系式、代入初始条件、注明单位、作答学会 跳步得分技巧,第一问不会,第二问也可以作,用到第一问就直接用第一问的结论即可,要学会用
19

“由已知得” “由题意得” “由平面几何知识得”等语言来连接,一旦你想来了,可在后面写上“补 证”即可。

数学高考应试技巧
数学考试时,有许多地方都要考生特别注意.在考试中掌握好各种做题技 巧,可以帮助各位在最后关头鲤鱼跃龙门。 考试注意: 1.考前5分钟很重要 在考试中,要充分利用考前5分钟的时间。考卷发下后,可浏览题目。当准备 工作(填写姓名、考号等)完成后,可以翻到后面的解答题,通读一遍,做到 心中有数。 2.区别对待各档题目 考试题目分为易、中、难三种,它们的分值比约为3:5:2。考试中大家要 根据自身状况分别对待。 ⑴做容易题时,要争取一次做完,不要中间拉空。这类题要100%的拿分。 ⑵做中等题时,要静下心来,尽量保证拿分,起码有80%的完成度。 ⑶做难题时,大家通常会感觉无从下手。这时要做到: ①多读题目,仔细审题。 ②在草稿上简单感觉一下。 ③不要轻易放弃。许多同学一看是难题、大题,不多做考虑,就彻底投降。解 答题多为小步设问,许多小问题同学们都是可以解决的,因此,每一个题、每 一个问,考生都要认真对待。 3.时间分配要合理 ⑴考试时主要是在选择题上抢时间。 ⑵做题时要边做边检查,充分保证每一题的正确性。不要抱着“等做完后再重 新检查”的念头而在后面浪费太多的时间用于检查。 ⑶在交卷前30分钟要回头再检查一下自己的进度。注意及时填机读卡。

二〇一〇年一月

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