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7-1向量及其线性运算


第七章

第一节 向量及其线性运算
一、空间直角坐标系 二 、向量的概念与线性运算 三 、向量的坐标

一、空间直角坐标系 1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点O, 由三条互相垂直的数轴
按右手规则组成一个空间直角坐标系. z 即以右手握住 z 轴, 当右手的四个手指,从
从x轴正向以 角

度转向 2

?

定点 o ?
x

y轴正向时,大拇指的指向 就是 z轴的正向.

y

空间直角坐标系

? 坐标原点 ? 坐标轴 ? 坐标面(三个) ? 卦限(八个)
Ⅶ Ⅳ

z z 轴(竖轴)



yoz 面
? xoy面 o



y y轴(纵轴)


x x轴(横轴)




在直角坐标系下
? 点 M ?? ? 有序数组 ( x, y, z )
1? ?1

有序数 x、y、 z 分别称为点 M 的横坐标、纵坐标、 竖坐标, 记为 M(x, y, z). z 特殊点的坐标 : 原点 O(0,0,0) ;
z R( 0,0, z ) ?

B(0, y , z )

C ( x ,0, z )

坐标轴上的点 P, Q , R ;

点M在x轴、y M y 轴 o y 、z轴上的投影Q(0, y ,0) x
?

x

P ( x ,0,0)

A( x , y ,0)

坐标面上的点 A , B , C .

坐标面 :
o

z

y

坐标轴 :

x

三元有序数组 ( x , y , z ) 的全体所构成的集合:
R ? {( x , y , z ) x ? R, y ? R, z ? R}
3

称为三维欧氏空间.

2. 空间两点间的距离
设 M1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x2 , y2 , z2 )为空间两点,

d ? M1 M 2 ? ?

在直角三角形?M1NM2 及

R2 R1

z

?

?M1PN 中,用勾股定理,得
d
2

?

M1

M2
Q1
? ?

? M1 N

2

? NM 2

2

o
P1? P2
?

Q2

P

N

y

x

d 2 ? M1 N

2

? NM 2
2

2
2

z
R2 R1
?

? ( M1 P ? PN ) ? NM 2 ? P1 P2
2

2

?

M1

M2
Q1
?

? Q1Q2
2

2

? R1 R2
2

2

o
2

?

Q2

? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )
2

P2

P1?
?

P

N

y

x
2 2

? d ? M1 M 2 ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 ) .

空间两点间距离公式 特殊地:若两点分别为 M ( x , y , z ) , O(0,0,0)
d ? OM ?
x ? y ?z .
2 2 2

例1 已知点 A(7, ? 1, 12)、B(1, 7, ? 12), 在z轴上
求一点C,使?ACB为直角 .



? ? 点C在z轴上, 可设C (0,0, z ).

B

依题意,有 AB 2 ? AC 2 ? BC 2 即 (1 ? 7)2 ? (7 ? 1)2 ? ( ?12 ? 12)2
? (0 ? 7) ? (0 ? 1) ? ( z ? 12)
2 2 2 2 2

A

C

? (0 ? 1) ? (0 ? 7) ? ( z ? 12)

2

解得 z ? ?12 ,故所求点为 C (0, 0, ? 12).

二、向量的概念与线性运算
1. 向量的概念

向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量(又称矢量).
向量表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
以 M 1 为起点, M 2 为终点的有向线段.

向量的模 :

向量的大小,
M1

? a

M2

向径 (矢径): 起点为原点的向量.

自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量.
? a
M2

零向量:

? ? 相等向量: 若向量a与b 的大小相等,且方向相 同, ? ? 则称 a 与 b 相等, 记作 a ? b ;

模为 0 的向量,

M1

? a

? ? a b

负向量: 大小相等但方向相反的向量,
? a ? ?a

? 记作 ? a .

平行向量: 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作 a∥b ;

规定: 零向量与任何向量平行 ;
注: 因为平行向量可平移到同一直线上,

故两向量平行又称两向量共线 .
向量共面:若 n (≥3)个向量经平移可移到

同一平面上 , 则称此 n 个向量共面 .

2. 向量的线性运算 (1) 向量的加法 平行四边形法则:
b a?b

三角形法则:
a?b b

? ? 特殊地:若 a‖b ? b 同向: ? a ? 反向: b ? a

a

a
? ? ? c ?a?b ? ? ? c ?a?b

? ? ? | c |?| a | ? | b |
? ? ? | c |? | a | ? | b |

向量的加法符合下列运算规律: ① 交换律:
? ? ? ? a ? b ? b ? a.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ② 结合律: a ? b ? c ? (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ).
(a ? b) ? c

c
b?c b

a ? (b ? c) ? ? ? a?b a?b?c ? ? ? a ③ a ? ( ? a ) ? 0.

三角形法则可推广到多个向量相加.
s ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5
a4

a5

a3

(2) 向量的减法
? ? ? ? a ? b ? a ? (?b )

s
a1
a2

? ?b

? ? a?b

? a

? ? a?b

3. 向量与数的乘法
(1) 定义7.1 设? 是一个数 , ? 与 a 的乘积是一个

新向量, 记作
规定:

? ?a.

总之:

? ? ?a ? ? a

1? ? a 如: 2

可见
? ? 1a ? a ; ? ? ? ? 1 a ? ?a ; a ? 2a

(2) 运算规律

结合律
分配律

? ? ? ? ( ? a ) ? ? (? a ) ? ? ? a

? ? ? ? ? (a ? b ) ? ? a ? ? b ? ? 例2 设ea 表示与非零向量a 同方向的单位向量, ? ? ? ? a ? 则 a ?| a | ea 或 ? ? ea . |a| ? ? ? 证 令 b ?| a | ea ? ? ? ? ea 与a同方向,而a ? 0 ? ? ? ? b 与ea 同方向,从而与 同方向. a

又?

? ?? ?? ? ? b ? a ea ? a ea ? a ? 1 ? a
? a ? ? ? ea |a|

? ? ? ? ? a ? b ?| a | ea
即 ? ( a ? 0)

按照向量与数的乘积的规定,
上式表明:一个非零向量除以它的模的结果是

一个与原向量同方向 的单位向量.

例3 化简

1? ? ? a ? b ? 5( ? b ? 2

? ? b ? 3a 5

)



1? ? ? a ? b ? 5( ? b ? 2

? ? b ? 3a 5

)

? 5 ? ? (1 ? 3)a ? ( ?1 ? ? 1) b 2 ? 5? ? ?2a ? b . 2

4. 两个向量的平行关系

定理7.1

? ? ? ? 设向量 a ? 0,那么向量 b 平行于 a 的

充分必要条件是:存在 唯一的实数 ? , ? ? 使 b ? ?a . ? ? 证(充分性) 由数与向量的乘法定义,知 b‖ a ? ? ‖ (必要性) 设 b a ? ? b ? ? 当a与b 同方向时; ? ?, ? a 令? ?? ? 则 b 与 ? a 同向, ? b ? ? ? , 当a与b 反方向时, ? ? a ?



?

? ? b ? ? ? ?a ? ? a ? ? a ? b . a ? ? b ? ?a .

再证数 ? 的唯一性 : 设又有 b=? a , 则 (? ? ?) a ? 0
故 ? ? ? ? 0 , 即? ? ? .

推论7.1

? ? 向量 a与b 共线

? 不全为零的 ? ? ? 的两个数 ?、? ,使 ? a ? ? b ? 0. ? ? (此时,称向量 a与b 线性相关)

?

? ? 定理7.2 设向量 a与b 不平行(不共线),则三个向量 ? ? ? a、b 、c 共面 ? ? 唯一的一对 ? 和 ?,使 数 ? ? ? c ? ? a ? ? b. ? ? ? (此时,称向量c 可用向量a、b 线性表示)

? ? 则 将a与b 平行移动,使它们的起 点重合, ? ? ? ? ? a与? b 必在a与b 所确定的平面?上, ? ?b ? ? ? ? ? ? 而c 是以? a、?b 为邻边的 b c b 平行四边形的对角线向 量, ? ? a ?a

证 充分性(?):

?

?

? ? ? ? c 在平面?上,即a、 、c 共面. b

? ? ? 若a、 、c 共面,将 b ? ? ? O a、b 、c 平行移动,使它们 ? ? ? 的起点重合,设为 . 再过c 的终点分别作a , b 的 O ? ? 平行线,与a , b 所在直线 的交点依次为A,B. ? ?? ? ? ?? ? ? OA // a , OB // b

必要性(?):

? ? b b

? ? B? b ?b ? ? c c ? ?a ? ? ? a ?A a a

? ?

? 由定理7.1,知 ? 唯一的一对数?,?,使 ? ?? ? ?? ? ? OA ? ? a , OB ? ? b ? ? ?? ?? ? ? ? 故 c ? OA ? OB ? ? a ? ? b .

推论7.2

? ? ? 三个向量 a、b 、c 共面

?

? 三个不全为零的数 、? 、?,使 ? ? ? ? ? ? a ? ? b ? ? c ? 0. ? ? ? (此时,称三个向量 、b 、c 线性相关) a

例4 试用向量方法证明:对角线互相平分的四边 D 形必是平行四边形. C 证 依题设,有
? ??

AM ? MC ,BM ? MD ,
? ?? ? ??
? ?? ? ??

? ??

? ??

? ??

M A
? ??

? AD ? AM ? MD ? MC ? BM ? BC
? ?? ? ??

? ??

B



AD 与 BC 平行且相等, 结论得证.

例5 分析

? ? 已知不共线的非零向量 和b , 求它们 a
?? 夹角平分线上的单位向 c . 量 ? ? a 不一定等于b , 所以对角线AB

不一定是夹角平分线 .



? ? a ? ? a ?, a

? ? b ? ? ? b b

b?

? ? b

? c
? a

B

A ?? a

? ?? ?? ?? ? a ? 1 ? b ,因此以a ,b 为边的平行四边形

?? ?? 的对角线恰好是 ,b 夹角平分线. a

?? ? ?? ? ? ? 令c ? a ? b , 则c 在a , b 的夹角平分线上

?

? ?? ?? ? c a ?b ? ? c ? ? ?? ?? a ?b c
? ? a b ?? ? ? ? ba? a b ? ? ?? ? a b ba? ? ? ? a b

?

?? ab ?? . ab

三、向量的坐标
1. 向量的坐标表示
? 将 a 平行移动,使其起点与坐标原点O重合, ? 其终点 M ( x , y , z ) 则 a 可用向径 OM 表示, ? ? z a 唯一确定. a 由 ? R( 0,0, z ) ?z a OM ? OM ? ? M ?M M ? y o o y a ? OP ? OQ ? OR Q ( 0, y ,0) x
?

? 设 a 为任一向量, 在空间直角坐标系下,

x

P ( x ,0,0)

M?

? ? ? 设 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴正方向上的单位向量,

称为基本单位向量,则 向量 a 沿三 个坐标轴方 向的分向量 x
?
? o i o

z
R(0,0, z ) ?z
? k

x

?

? ?a j

M
y

y

Q(0, y,0)

P (x,0,0)

M?

?? ? ? a ? OM ? OP ? OQ ? OR ? ? ? ? ? xi ? y j ? zk 向量 a 的 坐标分解式

? 1? ? a ?? 1? 有序数组 ( x , y , z ) ?

称有序数 x、y、z为 ? 向量 a 的坐标,记为
?? ? ? 当 a ? AB 时,

z

z

z R(0,0, z ) ?? A ?

? a
M

?

B
y

? ? a ? { x, y, z} 或 a ? ( x, y, z )
x

x ? (x,0,0) x P

?? o ?? o k ?a o ii jj

k?

y

y

Q(0, y,0)

M?

若 A( x1 , y1 , z1 ), B( x2 , y2 , z2 ), 则
?? ? ?? ? ?? ? ? a ? AB ? OB ? OA ? ? ? ? ? ? ? ( x2 i ? y2 j ? z2 k ) ? ( x1 i ? y1 j ? z1 k ) ? ? ? ? ( x2 ? x1 )i ? ( y2 ? y1 ) j ? ( z2 ? z1 )k

ax ? x2 ? x1

? 恰好为 a 的终点坐标

与起点坐标之差
? ——向量 a 的坐标 ? ——向量 a 的坐标分解式 ? ——向量 a 的坐标表达式



a y ? y2 ? y1

az ? z2 ? z1



? ? ? ? a ? a x i ? a y j ? az k

? a x , a y , az ( )

? x2 ? x1, 2 ? y1,2 ? z1 ( y z )

? 注 1°将 a 平行移动,使其起点与坐标原点O重合, ? 则 a的终点的坐标为 (a x , a y , a z ).

注 2° 由于向量和它的坐标 1 – 1 对应,所以对于
? ? a ? a x , a y , az ( ), ? bx , b y , bz b ( )

? ? 若 a ? b ,则必有

a x ? bx
a y ? by

a z ? bz

2. 向量线性运算的坐标表达式


则 (1)

? ? a ? ( a x , a y , a z ), b ? (b , b , b ) , ? 为实数, x y z ? ? a ? b ? (a x ? bx , a y ? b y , a z ? bz )
? ? ? ? (a x ? bx )i ? (a y ? b y ) j ? (a z ? bz )k ;

(2)

? ? a ? (? a x , ? a y , ? a z ) ? ? ? ? ( ? a x )i ? ( ? a y ) j ? ( ? a z )k .

(3) 平行向量对应坐标成比例:
? ? 当 a ? 0 时,

?
对应坐标 成比例

?

? bx ? ? a x by bz bx ? ? ? ?b y ? ?a y ? az ay ax ?b ? ?a z ? z

注 若 a x ? 0, a y ? 0, a z ? 0, 则上式 理解为:
bx ? 0 , by ay ? bz az .

例6

? ? ? ? ? ? ? 设向量 a ? ?i ? 2 j ? k , b ? ?2 j ? ? k, ? ? 问实数 ?、? 取何值时,a与b 平行,并
求与它们平行的单位向 . 量 ? ? ? a // b



? 它们对应坐标成比例, 即

?
0

?

2 ?2

?

?1

?

? ? ? 0,? ? 1.
? 与a平行的单位向量为 ? a 2 1 ? e ? ? ? ? ? 0, , ( ? ) a 5 5

? ? ? ② 3x?2y ? b ? ? 其中 a ? 2, 2 , b ? ? 1, ? 2 . ( 1, ) ( 1, )

例7 求解以向量为未知元的线性方程组 ? ? ? ① 5x?3y ? a



2×① -3×② , 得

? ? ? x ? 2 a ? 3 b ? 7 , ? 1 , 10 ( )

代入②得

? 1 ? ? y ? (3 x ? b ) 2

? 11 , ? 2 , 16 ( )

例8 已知两点
? ? ?1 , 在AB直线上求一点 M , 使

及实数

解 设 M 的坐标为

AM ? ? MB
? ??
? ??

如图所示

A M B



AM ? ( x ? x1 , y ? y1 , z ? z1 )

? MB ? ? ( x2 ? x , y2 ? y , z2 ? z )

o
A

?

? x ? x1 ? ? ( x2 ? x ) ? ? y ? y1 ? ? ( y2 ? y ) ? ? z ? z1 ? ? ( z2 ? z )

B

M

x1 ? ? x 2 1? ?

,

解得

y1 ? ? y 2 1? ? z1 ? ? z 2 1? ?

, —— 定比分点公式

.

当 ? ? 1 时,

点 M 为 AB 的中点 , 于是得
x1 ? x 2 2

中点公式:

,

y1 ? y 2 2

,

z1 ? z 2 2

3. 向量的模与方向余弦的坐标表达式 (1) 向量的模
? ? 设 r ? x , y , z) 作 OM ? r , 则有 ( ,
z
R M
Q y

? r ? OM ? OP ? OQ ? OR

由勾股定理得
? r ? OM
P x

o
N

?

x ? y ?z

2

2

2

对两点



因为
z

o x

y

?

( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ( z2 ? z1 )

2

2

2

(2) 方向角与方向余弦 两非零向量的夹角:
? ? 设有两非零向量 a ,b , 任取空间一点

O,
? a
? b



? =∠AOB (0≤ ?≤ ? )
? ? 为向量 a , b

的夹角. 记作

类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 方向角:

与三坐标轴正向的夹角? , ? , ? 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. 向量方向余弦的坐标表示式:
x cos ? ? ? ? r y cos ? ? ? ? r z cos ? ? ? ? r
x x ? y ?z y x ? y ?z z x ? y ?z
2 2 2 2 2 2 2 2 2

z
? ? r o ? ?

y

x

方向余弦的性质:

方向余弦通常用来表示向量的方向.

例9 已知两点
? ??
? ??



计算向量M M 的模 、方向余弦和方向角 . 1 2

解 M 1 M 2 ? ( 1 ? 2 , 3 ? 2 , 0 ? 2 ) ? ( ?1 , 1 , ? 2 )
2 2 2 ( ?1) ? 1 ? ( ? 2 ) ? 2

1 1 2 ? (? , , ? ) 2 2 2

cos ? ? ? , cos ? ? , cos ? ? ? 2 2 2 3? 2? ? , , 3 3 4

1

1

2

例10 设点 A 位于第一卦限, 向径 OA 与 x 轴 、y 轴 的夹角依次为
? ?
, 3 4 , 且 O A ? 6,

求点 A 的坐标 .



已知 ?
2

?

?

,? ?

?
4
2

,


2

3

cos ? ? 1 ? cos ? ? cos ? ?
1

1 4

因点 A 在第一卦限 , 故 cos ? ? , 于是

2 1 2 1 ? ? OA ? O A OA ? 6 ( , , ) ( 3 , 3 2 , 3) 2 2 2

故点 A 的坐标为 ( 3 , 3 2 , 3) .

内容小结
1. 空间直角坐标系 (轴、面、卦限)

(注意它与平面直角坐标系的区别)
2. 空间两点间距离公式
M1 M 2 ?

? x2 ? x1 ? ? ? y2 ? y1 ? ? ? z2 ? z1 ?
2 2

2

3. 向量的概念

(注意与标量的区别)

4. 向量的加减法

(平行四边形法则)

5. 向量与数的乘法 (注意数乘后的方向)

6. 向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.

(注意分向量与向量的坐标的区别)
7. 向量的模与方向余弦的坐标表示式. 8.

思考题
设有向量 P1 P2 ,已知 P1 P2 ? 2 ,它与 x 轴 和 y 轴的夹角分别为

?
3



?
4

,如果 P1 的坐标

为(1,0,3) ,求P2 的坐标.



设 P2 的坐标为( x , y , z ) , 则

P1 P2 ? x ? 1, y , z ? 3 ( )
P1 P2
?

z?3 ? ( , , ) ? P1 P2 P1 P2 P1 P2 P1 P2 P1 P2 y

x ?1

设向量 P1 P2 的方向角为

? 、 ? 、?
? 4
2? 3
y

??

? 3

, cos ? ?

1 2

, ??

, cos ? ?

2 2

,

? cos 2 ? ? cos 2 ? ? cos 2 ? ? 1,
? cos ? ? ? , ? ? , 2 3
P1 P2
?

1

?

? ?

.

z?3 ? ( , , ) ? P1 P2 P1 P2 P1 P2 P1 P2 P1 P2

x ?1

? (cos ? , cos ? , cos ? ).

cos ? ?

x ?1

P1 P2
cos ? ? cos ? ? y?0

? ?

x ?1 2 y?0 2

?

1 2

? x ? 2,
2 2

P1 P2
z?3

?

? y?

2,

P1 P2

?

z?3 2

??

1 2

? z ? 4, z ? 2,

P2 的坐标为 ( 2, 2 ,4),

( 2, 2 ,2).

备用题
例1-1 求点 M(4,3,-2) 到 y 轴的距离. 解 过点 M作 y 轴的垂面,则垂足点为P(0,3,0). 故点M 到 y 轴的距离为:
PM ? ( 4 ? 0 ) 2 ? ( 3 ? 3 ) 2 ? ( ?2 ? 0 ) 2

?

16 ? 4 ? 2 5

例1-2 设 P 在 x 轴上,它到 P1 ( 0, 2 ,3) 的距离为
到点 P2 ( 0, 1, ? 1) 的距离的两倍,求点P 的坐标.

解 因为 P 在x 轴上,设P点坐标为 ( x ,0,0),
PP1 ? PP2 ?
?

x ? ? 2? ? 3 ?
2 2 2

x ? 11,
2

x ? ? ? 1? ? 1 ?
2 2 2

x ? 2,
2

PP ? 2 PP2 , ? 1

x ? 11 ? 2 x ? 2

2

2

解得 x ? ?1,

所求点为 (1,0,0), ( ?1,0,0).

例1-3 求证以 M1( 4,3,1) 、M 2 (7,1,2) 、M 3 (5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.

解 M M 2 ? (7 ? 4)2 ? (1 ? 3)2 ? ( 2 ? 1)2 ? 14, 1 2
M2M3 M 3 M1
2

? (5 ? 7 )2 ? ( 2 ? 1)2 ? ( 3 ? 2)2 ? 6, ? (4 ? 5) ? ( 3 ? 2) ? (1 ? 3) ? 6,
2 2 2

2

?

M 2 M 3 ? M 3 M1 ,

原结论成立.

? ? ? ? 例9-1 求平行于向量a ? 6i ? 7 j ? 6k 的单位向
量的分解式.


?

? 所求向量有两个,一个与 a 同向,一个反向
? | a |? 6 ? 7 ? ( ?6) ? 11,
2 2 2

? a 6 ? 7 ? 6 ? ?? ? a ? ? ? i ? j? k, | a | 11 11 11 ? a 6 ? 7 ? 6 ? ?? j? k. 或 ?a ?? ? ?? i ? |a | 11 11 11

例9-2 设 m ? i ? j , n ? ?2 j ? k , 求以向量 m , n 为边的平行四边形的对角线的长度 . 解 对角线的长为
? m ? n ? ( 1 , ? 1 ,1 ) m ? n ? (1, 3 , ? 1 ) |m ?n|

n
m

? |m?n ?
|m?n ?

3
11

该平行四边形的对角线的长度各为 3, 11


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D7.1 向量及其线性运算

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