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连云港2012高二文科数学第一学期期末试题答案


连云港市 2012-2013 学年度第一学期期末测试

高二数学试题(选修历史)参考答案
一、填空题: 1.有的平行四边形是矩形 6. 6? 12. 3(4n ? 1) 二、解答题: 15.若不等式 x2 ? (m ? 1) x ? 1 ? 0 的解集为 R, 则 ? ? (m ? 1)2 ? 4 ? 0 ,解之.得 ?1 ? m ? 3 ,即 p:

?1 ? m ? 3 .???????(4 分) 方程
?m ? 1 ? 0, x2 y2 即 q : m ? 1 .?(6 分) ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,则 ? m ?1 m ? 2 ?m ? 2 ? 0,

2.2 8.

3. [2, ??)

4.

? 3

1 5. (0, ] 2
11.4

7.

x2 y 2 ? ?1 2 8
13.

2? 3

9.

1 3

10. 3+2 2

2 2 或? 4 4

14. ?120

因为“p 且 q”为假命题,“p 或 q”为真命题,所以 p 和 q 一真一假.??????(8 分)
??1 ? m ? 3, (1)当 p 真 q 假时, ? 得 ?1 ? m ? 1 ;?????????????(10 分) ?m ? 1, ?m ? ?1或m ? 3, (2)当 p 假 q 真时, ? 得 m ? 3 . ????????????(12 分) ?m>1,

综上,m 的取值范围是 ( ? ?, ? 1] ? [3,+?) . ??????????????? (14 分) 16. (1)因为 A, B, C 成等差数列,所以 A ? C ? 2 B ,又? A ? B ? C ? ? ,? B=

?
3



sin A ? cos A ? 2 sin( A ? ) ? 2 ,? sin( A ? ) ? 1 . 4 4
?0 ? A ? ? ,

?

?

?
4

? A?

?
4

?

5? ? ? ? ,? A ? = , A ? . 4 4 2 4

根据正弦定理,得

a 3 a b ,即 . = = ? ? sin A sin B sin sin 4 3

解之,得 a ? 2 . (2)根据余弦定理,得 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,

S 高二数学试题(选修历史) 1

于是, 3 ? a 2 ? c2 ? ac ? 2ac ? ac ? ac , 当且仅当 a=c 时,取“=” .
1 3 3 3 ac ? 所以 S = ac sin B = . 2 4 4

17. (1)半球面部分面积为 2? r 2 ,

2 由题意得 ? r l + ? r 3 =V ,? l = 3
2

2 V ? ? r3 3 .???????????????(4 分) ? r2

2 V ? ? r3 2V 4 2 3 圆柱侧面部分面积为 2? rl =2? r ? ? ? ? r ,?????????(6 分) 2 ?r r 3

所以建造费用 y ? 2c ? 2? r 2 ? c( (2) y ' ? 2c ? (? 令 y' ? 0得?

2V 4 2 V 4 ? ? r ) ? 2c( ? ? r 2 ) .????????(8 分) r 3 r 3
????????????????(10 分)

V 8 ? ? r) . r2 3

3V V 8 . ? ? r =0 ,? r = 3 2 8? r 3 3V 所以,当仓库的半径 r = 3 时,总的建造费用最少.??????????(14 分) 8?

18. (1) f '( x) ? 3ax2 ? 2bx ? 3 ,

1 1 ? ? ?8a ? 4b ? 6 ? ? ?7, ?a ? , 由题意,得 ? 解之,得 ? 3 3 ?12a ? 4b ? 3 ? ?3, ?b ? ?1, ? ?

1 1 因此 f ( x) ? x3 ? x2 ? 3x ? . 3 3
f '( x) ? x2 ? 2x ? 3 ,令 f '( x) ? 0 得 x1 ? ?1, x2 ? 3 .

列表如下: x
f '( x) f ( x)

?4

(?4, ?1)

?1

( ? 1,3)

3 0

(3, 4)

4 /


? 25

+ ↗

0
2



+ ↗

?

26 3

?

19 3

由上表知, f min ( x) ? ?25, f max ( x) ? 2 . (2) h(2) ?
h '( x) ? f (2) ? 5 ?7 ? 5 ? ? ?2 , g (2) 1

f '( x) g ( x) ? g '( x)[f ( x)+5] , g 2 ( x)

S 高二数学试题(选修历史) 2

f '(2) g (2) ? g '(2)[f (2)+5] = 所以切线斜率 k ? h '(2) ? g 2 (2)

1 ?3 ? 1 ? (? ) ? [(?7) ? 5] 2 ? ?4 , 1

所求切线方程为 y ? ( ? 2)= ? 4( x ? 2) ,即 4 x ? y ? 6 ? 0 . 设直线 l 与曲线 y ? f ( x) 相切于点 ? x0 , y0 ? ,
2 由(1)得,过该切点的切线斜率为 k ? x0 ? 2x0 ? 3 ? ?4 ,

解得 x0 = 1,所以 f ( x0 ) ? ? 又因为点 (1, ?

10 . 3

10 不在直线 l 上, ) 3 所以直线 l 与曲线 y ? f ( x) 不相切.
9 ?1 ? a 2 ? 4b2 ? 1, ? ?c 1 19. (1)由题意得 ? ? , ?a 2 ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? ?

???????????????????(2 分)

解之得 ?

?a 2 ? 4, ? x2 y 2 所以椭圆 E 的标准方程为 ? ? 1 .??????????(4 分) 4 3 ?b 2 ? 3. ?

(2)由(1)知,A(2,0) ,F(1,0) ,右准线方程为 x ? 4 .

3 3 当直线 l 与 x 轴垂直时,l 方程为 x =1 ,可得 B,C 两点坐标分别为 (1, ),(1, ? ) . 2 2
所以直线 BA 方程为
y?0 x?2 = ,当 x =4 时,得 y = ? 3 ,即 M (4, ? 3) ; 3 ? 0 1? 2 2

直线 CA 方程为

y?0 x?2 = ,当 x =4 时,得 y =3 ,即 N (4,3) . 3 ? ? 0 1? 2 2

???? ? ??? ? 因此 FM ? (3, ?3), FN ? (3,3), ???? ??? ? ? FM ? FN ? 3 ? 3+( ? 3) ? 3=0 ,即 FN⊥FM.???????????????(8 分)
当直线 l 与 x 轴不垂直时,设其方程为 y ? k ( x ? 1) (k ? 0) .

S 高二数学试题(选修历史) 3

? x2 y2 ? 1, ? ? 4k 2 ? 6 k 2 +1 由题意得 ? 4 解之得 x = ,代入直线 l 方程得 3 4k 2 +3 ? y ? k ( x ? 1), ?
B( 4k 2 ? 6 k 2 ? 1 6k k 2 ? 1 ? 3k 4k 2 ? 6 k 2 ? 1 ?6k k 2 ? 1 ? 3k , ), C ( , ). 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

?? (10 分)

直线 BA 方程为

y?0 6k k ? 1 ? 3k ?0 4k 2 ? 3
2

=

x?2 4k ? 6 k 2 ? 1 ?2 4k 2 ? 3
2



当 x=4 时,得 M (4,

6k k 2 +1 ? 3k 3 k 2 +1 ? 2k 2 ? 3

) ,所以 FM ? (3,

6k k 2 ? 1 ? 3k 3 k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 3

) .?(12 分)

同理可求得 FN ? (3,

6k k 2 ? 1 ? 3k 3 k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 3 ?

) .???????????????(14 分) 6k k 2 ? 1 ? 3k

? FM ? FN ? 9 ?

6k k 2 ? 1 ? 3k

3 k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 3 3 k 2 ? 1 ? 2k 2 ? 3

?9?

36k 4 ? 27k 2 36k 2 (k 2 ? 1) ? 9k 2 ?9? ?0, ? 4k 4 ? 3k 2 9(k 2 ? 1) ? (2k 2 ? 3) 2

所以 FN⊥FM. 综上,对于任意与 x 轴不重合的直线 l,都有 FN⊥FM.??????????(16 分) 20. (1)因为 a1 =b1 =2, a4 ? b3 ? 3, S3 ? b2 ? 19 ,

19 ? ?2 ? 3d ? 2q 2 ? 3, ?d ? 3, ?d ? , 所以 ? 解之,得 ? 或? 3 ?q ? 2, ?q ? ?3. ?6 ? 3d ? 2q ? 19, ?
因为 {bn } 是各项均为正数,所以 q ? 0 ,故 d ? 3, q ? 2 .
an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? 3(n ? 1) ? 3n ? 1 ,

bn ? b1 ? qn?1 ? 2 ? 2n?1 ? 2n .

(ⅱ) Tn =anb1 +an-1b2 + ??? +a1bn ? (3n ? 1) ? 2 ? (3n ? 4) ? 22 ? ??? ? 2 ? 2n ,
2Tn ? (3n ? 1) ? 22 ? (3n ? 4) ? 23 ? ??? ? 2 ? 2n?1 ,

S 高二数学试题(选修历史) 4

?Tn ? 6n ? 2 ? 3 ? (22 ? 23 ? ??? ? 2n ) ? 2n? 2
? 6n ? 2 ? 12(2n ?1 ? 1) ? 2n ? 2 ? 6n ? 10 ? 10 ? 2n,

?Tn ? 10 ? 2n ? 6n ? 10 .

由 Tn >10220 ? 6n ,得 2n ? 1023 , n ? 10 . 符合条件的 n 的最小值为 10. (2)设存在符合条件的数列 {an } 的公差为 d,则 Sn ? na ? 且
S2 n 4a ? 2(2n ? 1) d ?k, ? k (k ? 0) ,即 2a ? (n ? 1)d Sn

n(n ? 1) d. 2

化简得 (4d ? dk )n ? 4a ? 2d ? 2ak ? dk ? 0 对所有 n? N*成立.
?4d ? dk =0, 所以有 ? ?4a ? 2d ? 2ak ? dk =0,

当 d=0 时,k=2,数列 {an } 通项公式为 an ? a ; 当 d ? 0 时,k=4, d ? 2a ,数列 {an } 通项公式为 an ? 2an ? a .

S 高二数学试题(选修历史) 5


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