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2000-2012上海向量复数高考题


(2000 年—2012 年)平面向量和复数上海高考题
一、 填空题
1.(00 文、理秋)已知向量 OA ? ?? 12?、 OB ? ? 3, m?,若 OA ? AB ,则 m ? 2.(2001 春)若复数 z 满足方程 zi ? i ? 1 ( i 是虚数单位) ,则 z=
?



3. (200

1 春)若非零向量 ? 、 ? 满足| ? ? ? |=| ? ? ? |,则 ? 与 ? 所成角的大小为 4.(02 文理秋) 若 z ? C, 且(3 ? z)i ? 1(i 为虚数单位) ,则 z ?
?

?

?

?

?

?

?

?



5. (02 文理秋) 已知向量 a和b 的夹角为 120 ,且 | a |? 2, | b |? 5, 则(2a ? b) ? a = 6. (2003 春)已知 z 为复数,则 z ? z ? 2 的一个充要条件是 z 满足 7.(04 文秋)已知点 A(-1,5)和向量 a ={2,3},若 AB =3 a ,则点 B 的坐标为 . .

8.(04 理秋)已知点 A(1, -2),若向量 AB 与 a ={2,3}同向, AB =2 13 ,则点 B 的坐标 为 9.(2004 春)若复数 z 满足 z (1 ? i ) ? 2 ,则 z 的实部是__________ 10.(05 文理秋)直角坐标平面 xoy 中,若定点 A(1,2)与动点 P(x,y)满足 OP ? OA =4。则 点 P 的轨迹方程是 .

i ( i 为虚数单位) 11. ( 06 文秋)若复数 z 满足 z ? ( m ? 2) ? (m ? 1) ,其中 m ? R 则

z ? ____ 。
AB ?C 12. (2005 春) 在△ ABC 中, 若 ?C ? 90 ,AC ? BC ? 4 , 则B
? ?

?

.

z = iz( i 为虚数单位) 13. (06 理秋) 若复数 z 同时满足 z - z =2 i , , 则 z =_____________.
? ? ? 14.(2006 春) 若向量 a、b 的夹角为 150? , a ? 3 ,
?

? ? ? b ? 4 ,则 2a ? b ?

15.(07 文秋)若向量 a, b 的夹角为 60 , a ? b ? 1 ,则 a a ? b ? 16.(07 文理秋)对于非零实数 a,b ,以下四个命题都成立: ① a?

?

?



1 ? 0; a

② (a ? b) ? a ? 2ab ? b ;
2 2 2
2 ④ 若 a ? ab ,则 a ? b .

③ 若 | a | ? | b | ,则 a ? ?b ;

那么,对于非零复数 a,b ,仍然成立的命题的所有序号是



? ? ? ? ? ? ? ? ? 17. (2007 春)若向量 a , b 满足 a ? 2 , b ? 1 , a ? a ? b ? 1 ,则向量 a , b 的夹角
的大小为
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18.(08 文理秋)若复数 z 满足 z ? i(2 ? z ) ( i 是虚数单位) ,则 z ? 19. ( 08 文 理 秋 ) 若 向 量 a 、 b 满 足 | a |? 1, | b |? 2 , 且 a 与 b 的 夹 角 为



? ,则 3

| a ? b |?

. .

20. (08 文秋) 若 z 是实系数方程 x2 ? 2x ? p ? 0 的一个虚根, 且 | z |? 2 , 则p? 21.(09 文理秋)已知 F1 、 F2 是椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1 ( a > b >0)的两个焦点, P 为椭圆 a2 b2

C 上一点,且 PF 1 F2 的面积为 9,则 b =________ 1 ? PF 2 . 若 ?PF
22. ( 09 理 秋 ) 若 复 数 z 满 足 z (1+i) =1-i (I 是 虚 数 单 位 ) , 则 其 共 轭 复 数

z =________________
23. (2009 春)计算: ( 1 ? i ) 2 ? ( i 为虚数单位). ? ? ? ? ? ? 24. (2009 春) 已知 a ? 3, b ? 2 . 若 a ? b ? ?3 , 则 a 与 b 夹角的大小为 25.(10 文理秋)若复数 z ? 1 ? 2i ( i 为虚数单位) ,则 z ? z ? z ? ___________。 26. (10 文秋) 在平面直角坐标系中, 双曲线 ? 的中心在原点, 它的一个焦点坐标为 ( 5, 0) ,

.

e1 ? (2,1) 、 e2 ? (2, ?1) 分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线 ? 上的点 P ,若
,则 a 、 b 满足的一个等式是___________。 OP ? ae1 ? be2 ( a 、 b ? R ) 27.(10 理秋)如图所示,直线 x ? 2 与双曲线 ? :

x2 ? y2 ? 1的 y 4
E1 O E2 x

渐近线交于 E1 , E2 两点,记 OE1 ? e1 , OE2 ? e2 。 任取双曲线 ? 上的点 P ,若 OP ? ae1 ? be2 ( a 、

b? R) ,则 a 、 b 满足的一个等式是___________。 2i 28.(2010 春)计算: =______________( i 为虚数单位) 。 1? i

? 1, 则 29. ( 11 文 理 秋 ) 在 正 三 角 形 ABC 中 , D 是 BC 上 的 点 , A B ? 3, B D

AB ? AD ?
30.(12 文理)计算:



3?i = 1? i

(i 为虚数单位).

31.(12 文秋)在矩形 ABCD 中,边 AB 、 AD 的长分别为 2、1,若 M 、 N 分别是边 BC 、

CD 上的点,且满足

BM BC

?

CN CD

,则 AM ? AN 的取值范围是

32.(12 理秋)在平行四边形 ABCD 中, ?A ?

?
3

,边 AB 、 AD 的长分别为 2、1,若 M 、

N 分 别 是 边 BC 、 CD 上 的 点 , 且 满 足
是 .

| BM | | BC |

?

| CN | | CD |

, 则 AM ? AN 的 取 值 范 围

33. (2012 春)若复数 z 满足 iz ? 1 ? i ( i 为虚数单位 ) ,则 z ? _______. 34. (2012 春)若复数 z 满足 | z ? i |? 面积为___.

2(i 为虚数单位 ) ,则 z 在复平面内所对应的图形的

二、 选择题
35.(00 理秋)复数 z ? ?3(cos

?

? i sin )( i是虚数单位 )的三角形式是 ( 5 5

?



( A)3[cos(? ) ? i sin(? )], 5 5 4? 4? (C )3(cos ? i sin ), 5 5

?

?

( B )3(cos ? i sin ). 5 5 6? 6? ( D )3(cos ? i sin ). 5 5

?

?

36. (01 文秋) 如图在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中, M 为 AC 与 BD 的交点, 若 = 、 = ,则下列向量中与 相等的向量是( )

= 、

1 1 a? b?c 2 2 1 1 (C) a ? b ? c 2 2
(A) ?

(B)

1 1 a? b?c 2 2 1 1 (D) ? a ? b ? c 2 2


37.(02 文秋) 如图,与复平面中的阴影部分(含边界)对应的复数集合是( A. ? z | z |? 1, Re z ?

? ?

? 1 , z ? C? 2 ?
y

0.5 -1 O 1 x

B. ? z | z |? 1, Re z ?

? ?

? 1 , z ? C? 2 ? ? 1 , z ? C? 2 ? ? 1 , z ? C? 2 ?
?
)

C. ? z | z |? 1, Im z ?

? ?

D. ? z | z |? 1, Im z ?

? ?

38. (2002 春)若 a、b 、c 为任意向量,m∈R,则下列等式不一定成立的是 ( (A) (a ? b ) ? c ? a ? (b ? c ) (B) (a ? b ) ? c ? a ? c ? b ? c (C) m(a ? b ? ma ? mb ) 39. (2003 春) 复数 z ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

? ?

? ?

? ?

?

??

??

(D) (a ? b )c ? a(b ? c ) )

? ? ?

? ? ?

m ? 2i ( m ? R, i 为虚数单位) 在复平面上对应的点不可能位于( 1 ? 2i

(A)第一象限; (B)第二象限; (C)第三象限; (D)第四象限. 40. (2004 春)在 ?ABC 中,有命题 ① AB ? AC ? BC ;② AB ? BC ? CA ? 0 ;③若 ( AB ? AC) ? ( AB ? AC) ? 0 ,则 ?ABC 为等腰三角形;④若 AC ? AB ? 0 ,则 ?ABC 为锐角三角形. 上述命题正确的是 ( ) (A)①② (B)①④ (C)②③

(D)②③④ )

41.(06 文理秋)如图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是( (A) AB ? DC (C) AB ? AD ? BD (B) AD ? AB ? AC (D) AD ? CB ? 0

42.(07 文秋)已知 a,b ? R ,且 2 ? a i, 方程的两个根,那么 a,b 的值分别是( A. a ? ?3, b ? 2 C. a ? ?3, b ? ?2

b ? 3 i ( i 是虚数单位)是一个实系数一元二次
) B. a ? 3, b ? ?2

D. a ? 3, b ? 2

43.(07 理秋)直角坐标系 xOy 中, i ,j 分别是与 x,y 轴正方向同向的单位向量.在直角 三角形 ABC 中,若 AB ? 2 i ? j , A.1 B.2

?

?

? ? AC ? 3 i ? k j ,则 k 的可能值个数是(
C.3
2



D.4

44.(07 理秋)已知 2 ? ai, b ? i 是实系数一元二次方程 x ? px ? q ? 0 的两根,则 p, q 的

值为 (

) B、 p ? 4, q ? 5 C、 p ? 4, q ? ?5 D、 p ? ?4, q ? ?5

A、 p ? ?4, q ? 5

45. (2007 春)如图,平面内的两条相交直线 OP1 和 OP2 将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、 Ⅲ、Ⅳ (不包括边界)
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a、b 满足 若 OP ? aOP 1 ? bOP 2 ,且点 P 落在第Ⅲ部分,则实数


P2 Ⅰ

(

) (A) a ? 0, b ? 0 (C) a ? 0, b ? 0

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(B) a ? 0, b ? 0 (D) a ? 0, b ? 0

P1
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o

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46. (2008 春)已知向量 a ? ( 2, ? 3), (A)

b ? (3, ? ) ,若 a // b ,则 ? 等于 (
(C) ?

)

2 . 3

(B) ?2 .

9 . 2

(D) ?

2 . 3

47. (2008 春)已知 z ? C ,且 z ? 2 ? 2i ? 1, ( ) (A) 2 .

i 为虚数单位,则 z ? 2 ? 2i 的最小值是
(D) 5 .
2

(B) 3 .

(C) 4 .

“?2 ? a ? 2” 48.(09 理秋) 是“实系数一元二次方程 x ? ax ? 1 ? 0 有虚根”的 (
(A)必要不充分条件 (C)充要条件 49.(10 理秋)直线 l 的参数方程是 ? (A) ( 1, (B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

)

? x ? 1 ? 2t (t ? R) ,则 l 的方向向量 d 可以是( ?y ? 2 ? t
(C) ( ? 2, 1 ) (D) ( 1,



2) .

(B) ( 2, 1 ) .

?2)

50. ( 11 文 秋 ) 设 A1 , A2 , A3 , A 是 4 平 面 上 给 定 的 4 个 不 同 的 点 , 则 使

MA1 ? MA2 ? MA3 ? MA4 ? 0 成立的点 M 的个数为(
A 0 B 1 C 2

) D 4

51. ( 11 理 秋 ) 设 A 是 1 , A2 , A 3 , A4 , A 5 空 间 中 给 定 的 5 个 不 同 的 点 , 则 使

MA1 ? MA2 ? MA3 ? MA4 ? MA5 ? 0 成立的点 M 的个数为(
A 0 B 1 C 5

) D ( 10 ) (D) a // b .

52. (2011 春)若向量 a ? (2,0),b ? (1,1) ,则下列结论正确的是 (A) a ? b ? 1 . (B) a ? b . (C) (a ? b) ? b .

53. (2011 春)若 a1 , a 2 , a3 均为单位向量, 则 a1 ? (

3 6 , ) 是 a1 ? a2 ? a3 ? ( 3, 6 ) 的 3 3
( )

(A)充分不必要条件. (C)充要条件.

(B)必要不充分条件. (D)既不充分也不必要条件. )

2 54.(12 文理秋)若 1 ? 2 i 是关于 x 的实系数方程 x ? bx ? c ? 0 的一个复数根,则(

A. b ? 2, c ? 3

B. b ? 2, c ? ?1

C. b ? ?2, c ? ?1

D. b ? ?2, c ? 3

三、 解答题
55.(00 文秋) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分。 已知复数 z0 ? 1 ? mi(m ? 0), z ? x ? yi 和,其中 x, y, x?, y ? 均为实数, i 为虚数单位, 且对于任意复数 z ,有 w ? z0 ? z , | w |? 2 | z | 。 (1)试求 m 的值,并分别写出 x ? 和 y ? 用 x 、 y 表示的关系式: (2)将( x 、 y )用为点 P 的坐标,( x ? 、 y ? )作为点 Q 的坐标,上述关系式可以看 作是坐标平面上点的一个变换: 它将平面上的点 P 变到这一平面上的点 Q .已知点 P 经该变 换后得到的点 Q 的坐标为 ( 3,2) ,试求点 P 的坐标; (3)若直线 y ? kx 上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上,试求 k 的值。 56.(00 理秋) (本小题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分。 已知复数 z0 ? 1 ? mi(m ? 0), z ? x ? yi和w ? x? ? y?i, 其中x, y, x?, y? 均为实数, i 为 虚数单位,且对于任意复数 z, 有w ? z0 ? z, | w |? 2 | z | 。 (1)试求 m 的值,并分别写出 x ? 和 y ? 用 x 、 y 表示的关系式; (2)将( x 、 y )作为点 P 的坐标,( x ? 、 y ? )作为点 Q 的坐标,上述关系可以看作是 坐标平面上点的一个变换:它将平面上的点 P 变到这一平面上的点 Q , 当点 P 在直线 y ? x ? 1 上移动时,试求点 P 经该变换后得到的点 Q 的轨迹方程; (3)是否存在这样的直线:它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若 存在,试求出所有这些直线;若不存在,则说明理由。

57.(01 秋)(理)对任意一个非零复数 z,定义集合 Mz={ω |ω =z2n-1,n∈N}.

(1)设 a 是方程 x+ 求其和为零的概率 P;



的一个根,试用列举法表示集合 Ma.若在 Ma 中任取两个数,

(2)设复数ω ∈Mz,求证 Mω

Mz .

(文) 对任意一个非零复数 z,定义集合 Mz={ω |ω =zn,n∈N}.

(1)设 z 是方程 x+ 求其和为零的概率 P;

=0 的一个根,试用列举法表示集合 Ma.若在 Ma 中任取两个数,

(2)设集合 Mz 中只有 3 个元素,试写出满足条件的一个 z 的值,并说明理由 .

58. (2002 春) (本题满分 12 分) 已知 z、 为复数, (1+3i)z 为纯虚数, 求 。

z , 且 2?i

2,

59.(03 文理秋) (本题满分 12 分) 已知复数 z1= cos ? ? i ,z2= sin ? ? i ,求| z1·z2|的最大值和最小值. 60.(03 文秋) (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 7 分. 在以 O 为原点的直角坐标系中,点 A(4,-3)为△OAB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|, 且点 B 的纵坐标大于零. (1)求向量 AB 的坐标; (2)求圆 x ? 6x ? y ? 2 y ? 0 关于直线 OB 对称的圆的方程;
2 2

(3)是否存在实数 a,使抛物线 y ? ax ? 1 上总有关于直线 OB 对称的两个点?若不存
2

61.(04 文理秋) (本题满分 12 分) 已 知 复 数 z1 满 足 (1+i)z1= - 1+5i, z2=a - 2 - i, 其 中 i 为 虚 数 单 位 ,a∈R, 若

z1 ? z 2 < z1 ,求 a 的取值范围.

62.(05 文理秋) (本题满分 12 分)在复数范围内解方程 z 位)

2

? ( z ? z )i ?

3?i (i 为虚数单 2?i

63.(05 理秋) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 8 分, 第 3 小题满分 6 分. 2 n 在直角坐标平面中,已知点 P1(1,2),P2(2,2 ),┄,Pn(n,2 ),其中 n 是正整数.对平面上任 一点 A0,记 A1 为 A0 关于点 P1 的对称点, A2 为 A1 关于点 P2 的对称点, ┄, AN 为 AN-1 关于点 PN 的对称点. (1)求向量 A0 A2 的坐标; (2)当点 A0 在曲线 C 上移动时, 点 A2 的轨迹是函数 y=f(x)的图象,其中 f(x)是以 3 为周 期的周期函数,且当 x∈(0,3]时,f(x)=lgx.求以曲线 C 为图象的函数在(1,4]上的解析 式; (3)对任意偶数 n,用 n 表示向量 A0 An 的坐标. 64.(2005 春) (本题满分 12 分)已知 z 是复数, z ? 2 i 、

z 均为实数( i 为虚数单位) , 2?i

且复数 ( z ? a i ) 2 在复平面上对应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围. 65. ( 2006 春) ( 本题满分 12 分 ) 已知复数 w 满足 w ? 4 ? (3 ? 2w) i ( i 为虚数单位) ,

z?

5 ? | w ? 2 | ,求一个以 z 为根的实系数一元二次方程. w
?
2

66. (09 文秋)(本题满分 14) 已知复数 z=a+bi (a、 b∈ R ) (i 是虚数单位)是方程 x -4x+5=0 的根,复数 w=u+3i(u∈R)满足|w-z|<2 5,求 u 的取值范围. 67.(10 文秋) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.

x2 y 2 已知椭圆 ? 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) , A(0, b) 、 B(0, ?b) 和 Q ( a, 0) 为 ? 的三 a b
个顶点. (1)若点 M 满足 AM ?

1 ( AQ ? AB) ,求点 M 的坐标; 2

( 2 )设直线 l1 : y ? k1 x ? p 交椭圆 ? 于 C 、 D 两点,交直线 l2 : y ? k2 x 于点 E .若

k1 ? k2 ? ?

b2 ,证明: E 为 CD 的中点; a2

(3) 设点 P 在椭圆 ? 内且不在 x 轴上, 如何构作过 PQ 中点 F 的直线 l , 使得 l 与椭圆 ?

a ? 10 ,b ? 5 ,点 P 的坐标是(-8, 的两个交点 P 1 、P 2 满足 PP 1 ? PP 2 ? PQ ?令
-1) ,若椭圆 ? 上的点 P 1、P 2 满足 PP 1、P 2 的坐标. 1 ? PP 2 ? PQ ,求点 P 68.(10 理秋) (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分.

x2 y 2 已知椭圆 ? 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,点 P 的坐标为( ? a, b ) . a b
(1)若直角坐标平面上的点 M 、 A(0,?b), B(a,0) 满足 PM ? 的坐标; ( 2 )设直线 l1 : y ? k1 x ? p 交椭圆 ? 于 C 、 D 两点,交直线 l2 : y ? k2 x 于点 E .若

1 ( PA ? PB ) ,求点 M 2

k1 ? k2 ? ?

b2 ,证明: E 为 CD 的中点; a2
,如果椭圆 ? 上存在不同的两

(3)对于椭圆 ? 上的点 Q(a cos? , b sin ? ) (0 ? ? ? ? )

个交点 P 1、P 2 满足 PP 1、P 2 的步骤,并求出使 P 1、 1 ? PP 2 ? PQ ,写出求作点 P

P2 存在的 ? 的取值范围.
69.(2010 春) (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分 在平面上,给定非零向量 b ,对任意向量 a ,定义 a ? a ?
'

2( a ? b ) b
2

b。

(1)若 a ? (2,3),b ? (?1,3) ,求 a ' ; (2)若 b ? (2,1) ,证明:若位置向量 a 的终点在直线 Ax ? By ? C ? 0 上,则位置向量 a ' 的终点也在一条直线上; (3)已知存在单位向量 b ,当位置向量 a 的终点在抛物线 C : x ? y 上时,位置向量 a ' 终
2

点总在抛物线 C : y ? x 上,曲线 C 和 C′关于直线 l 对称, 问直线 l 与向量 b 满足什么关
' 2

系?

70.(11 文理秋) (12 分)已知复数 z1 满足 ( z1 ? 2)(1 ? i) ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,复数 z2 的 虚部为 2 , z1 ? z2 是实数,求 z2 。

解答过程:
90 ? 5. 13 填空题 1. 4 2. ? 3 ? i 3. 1- i 4. 10. 1 11. 3 12. -1+i 13. 16 14 .0.5
17. 1 ? i . 26、 ab ? 18. 6. (5,4) 7. Rez>1 8. (5,4) 9. x+2y-4=0 15 .2 16. ②④

3? 19 . 7 20 .4 4

21.3

22. i

23. 6 ? 2i

24. ? 2i

25.

2 ? 3
34.

2?

1 4

27. ab ?

1 15 28、 4 2

29. 1 ? i

30、1-2i 31、?1,4?

32.?2,5? 33.1- i

二、选择题 35、C 36、A 37、D 38.D 39. A 40.C 41、C 42、A 43、B 44、A 45. B 46. C 47. B

48、A 49、C 50、B 51.B 52、B 53.C 54. B 三、解答题 55、 (文) 解: (1)由题设, | w |?| z0 ? z |?| z0 || z |? 2 | z |,? | z0 |? 2 , 于是由 1 ? m 2 ? 4, 且m ? 0, 得m ? 3 因此由 x ? ? y ?i ? (1 ? 3i ) ? ( x ? yi ) ? x ? 3 y ? ( 3 x ? y )i , ?(3 分)

?x? ? x ? 3 y 得关系式? ? y ? ? 3x ? y

?(5 分)

(2)由题意,有 ?

?x ? 3 y ? 3 ? 3x ? y ? 2

?(7 分)

3 ? ?x ? 4 3 , 解得? y?1 ? 4 ? 3 1 3, ) 。 即 P 点的坐标为 ( 4 4

?(10 分)

(3)∵直线 y ? kx 上的任意点 P ( x, y ) ,其经变换后的点 Q( x ? 3 y, 3x ? y) 仍在该 直线上, ∴ 3x ? y ? k ( x ? 3 y) , 即 ( 3k ? 1) y ? ( 3 ? k ) x ?(13 分)

[解法一]∵当 k ? 0 时, y ? 0 , y ? 3x 不是同一条直线, ∴k ? 0, 于是

3k ? 1 3?k , ? 1 k
2

?(16 分)

即 3k ? 2k ? 3 ? 0 解得 k ?

3 或k ? ? 3 3

?(18 分)

[解法二]取直线 y ? kx 上的点 (1, k ) 。

得( 3k ? 1)k ? 3 ? k , 即 3k 2 ? 2k ? 3 ? 0, 得k ? 3 或k ? ? 3 . 3
?(16 分)

经检验, y ?

3 x或y ? ? 3x 确实满足条件 3

?(18 分)

(理) 解(1)由题设, w ? z 0 ? z ? z 0 z ? 2 z ,? z 0 ? 2 , 于是由 1 ? m 2 ? 4, 且m ? 0, 得m ? 3 , 因此由 x ? ? y ?i ? (1 ? 3i ) ? ( x ? yi ) ? x ? 3 y ? ( 3 x ? y )i , ?(3 分)

得关系式 ?

? x? ? x ? 3 y ? y ? ? 3x ? y

?(5 分)

(2)设点 P( x, y) 在直线 y ? x ? 1 上,则其经变换后的点 Q( x ?, y ?) 满足

? x ? ? (1 ? 3 ) x ? 3 , ? ? y ? ? ( 3 x ? 1) x ? 1
消去 x ,得 y? ? (2 ? 3) x? ? 2 3 ? 2 , 故点 Q 的轨迹方程为 y ? (2 ? 3) x ? 2 3 ? 2

?(7 分)

?(10 分)

(3)假设存在这样的直线,∵平行坐标轴的直线显然不满足条件, ∴所求直线可设为 y ? kx ? b(k ? 0) , [解法一]∵该直线上的任一点 P( x, y) ,其经变换后得到的点 ?(12 分)

Q( x ? 3 y, 3x ? y) 仍在该直线上,
∴ 3x ? y ? k ( x ? 3 y) ? b , 即 ? ( 3k ? 1) y ? (k ? 3) x ? b , 当 b ? 0 时,方程组 ?

? ? ( 3k ? 1) ? 1 ?k ? 3 ? k

无解, ?(16 分)

故这样的直线不存在。 当 b ? 0 时,由
2

? ( 3k ? 1) k ? 3 ? , 1 k

得 3k ? 2k ? 3 ? 0 , 解得 k ?

3 或k ? ? 3, 3 3 x 或 y ? ? 3x , 3
? (18

故这样的直线存在, 其方程为 y ? 分) [解法二]取直线上一点 P(?

b b 3b ,0) ,其经变换后的点 Q(? ,? ) 仍在该直线上, k k k

∴?

3b b ? k (? ) ? b , k k

得b ? 0,

?(14 分)

故所求直线为 y ? kx , 取直线上一点 P (0, k ) , 其经变换后得到的点 Q(1 ? 3k , 3 ? k ) 仍在该直线上。 ∴ 3 ? k ? k (1 ? 3k ) , 即 3k 2 ? 2k ? 3 ? 0 ,得 k ? ?(16 分)

3 或k ? ? 3, 3 3 x 或 y ? ? 3x , 3
?(18 分)

故这样的直线存在,其方程为 y ?

56、 Ma={

(1+i),-

(1-i),-

(1+i),

(1-i)}.

∴P=

=

.

(2)∵ω ∈Mz,∴存在 m∈N,使得ω =z

2m-1

.于是对任意 n∈N,ω Mz .

2n-1

=z

(2m-1)(2n-1)



由于(2m-1)(2n-1)是正奇数, ω 2n-1∈Mz,所以 Mω 57、[解]

| z1 ? z 2 |?| 1 ? sin ? cos? ? (cos? ? sin ? )i | ? (1 ? sin ? cos? ) 2 ? (cos? ? sin ? ) 2 1 ? 2 ? sin 2 ? cos2 ? ? 2 ? sin 2 2? . 4 3 故 | z1 ? z 2 | 的最大值为 , 最小值为 2 . 2
58、?=±(7-i)

? ?u 2 ? v 2 ? 100 ?| AB |? 2 | OA | ,即? 59、 (1)设 AB ? {u, v}, 则由? 得 ? | AB | ? | OA | ? 0 ?4u ? 3v ? 0, ?
?u ? 6 ?u ? ?6 , 或? .因为OB ? OA ? AB ? {u ? 4, v ? 3}, ? ?v ? 8 ?v ? ?8

所以 v-3>0,得 v=8,故 AB ={6,8}. (2)由 OB =(10,5) ,得 B(10,5) ,于是直线 OB 方程: y ?

1 x. 2

由条件可知圆的标准方程为:(x-3)2+y(y+1)2=10, 得圆心(3,-1) ,半径为 10 . 设圆心(3,-1)关于直线 OB 的对称点为(x ,y)则

y ?1 ?x ? 3 ? 2? ?0 ? ?x ? 1 ? 2 2 , 得? , 故所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=10 ? ?y ? 3 ? y ? 1 ? ?2 ? ?x ?3
(3)设 P (x1,y1), Q (x2,y2) 为抛物线上关于直线 OB 对称两点,则

王新敞
奎屯

新疆

y ? y2 ? x1 ? x 2 2 ?2 1 ?0 ? x1 ? x 2 ? ? ? ? 2 2 ? ? a , 得? , ?y ? y 5 ? 2 a 1 2 ? ?x x ? ? ?2 1 2 ? ? 2a 2 ? ? x1 ? x 2 2 5 ? 2a x? ? 0的两个相异实根 , a 2a 2 4 5 ? 2a 3 于是由? ? 2 ? 4 ? ? 0, 得a ? . 2 2 a 2a 3 故当 a ? 时,抛物线 y=ax2-1 上总有关于直线 OB 对称的两点. 2 即x1 , x 2为方程x 2 ?

60、[解]

| z1 ? z 2 |?| 1 ? sin ? cos? ? (cos? ? sin ? )i | ? (1 ? sin ? cos? ) 2 ? (cos? ? sin ? ) 2 1 ? 2 ? sin 2 ? cos2 ? ? 2 ? sin 2 2? . 4 3 故 | z1 ? z 2 | 的最大值为 , 最小值为 2 . 2 ? 1 ? 5i 61、由题意得 z1= =2+3i, 1? i
2 于是 z1 ? z 2 = 4 ? a ? 2i = ( 4 ? a ) ? 4 , z1 = 13 .

(4 ? a ) 2 ? 4 < 13 ,得 a2-8a+7<0,1<a<7.

62、原方程化简为 z

2

? ( z ? z )i ? 1 ? i ,

设 z=x+yi(x、y∈ R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i,

∴ x2+y2=1 且 2x=-1,解得 x=-

1 3 且 y=± , 2 2

∴ 原方程的解是 z=-

1 3 ± i. 2 2

63、 [解](1)设点 A0(x,y), A0 为 P1 关于点的对称点 A0 的坐标为(2-x,4-y), A1 为 P2 关于点的对称点 A2 的坐标为(2+x,4+y), ∴ A0 A2 ={2,4}. (2) ∵ A0 A2 ={2,4}, ∴ f(x)的图象由曲线 C 向右平移 2 个单位,再向上平移 4 个单位得到. 因此, 曲线 C 是函数 y=g(x)的图象,其中 g(x)是以 3 为周期的周期函数,且当 x∈ (-2,1] 时,g(x)=lg(x+2)-4.于是,当 x∈ (1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4. 另解设点 A0(x,y), A2(x2,y2),于是 x2-x=2,y2-y=4, 若 3< x2≤6,则 0< x2-3≤3,于是 f(x2)=f(x2-3)=lg(x2-3). 当 1< x≤4 时, 则 3< x2≤6,y+4=lg(x-1). ∴ 当 x∈ (1,4]时,g(x)=lg(x-1)-4. (3) A0 An = A0 A2 ? A2 A4 ? ? ? An?2 An , 由于 A2 k ?2 A2 k ? 2 P2 k ?1 P2 k ,得

A0 An =2( P1 P2 ? P3 P4 ? ? ? Pn?1 Pn )
=2({1,2}+{1,23}+┄ +{1,2n-1}) =2{ 64、

n 2(2 n ? 1) 4(2 n ? 1) , }={n, } 2 3 3
?? 2 分

[解] 设 z ? x ? yi ( x、y ? R) , ? z ? 2i ? x ? ( y ? 2)i ,由题意得 y ? ?2 .

z x ? 2i 1 ? ? ( x ? 2i )( 2 ? i ) 2?i 2?i 5 1 1 ? (2 x ? 2) ? ( x ? 4)i 5 5 由题意得 x ? 4 . ∴ z ? 4 ? 2i . ?
∵ ( z ? ai) 2 ? (12 ? 4a ? a 2 ) ? 8(a ? 2)i ,

?? 6 分

?? 9 分

?12 ? 4a ? a 2 ? 0 根据条件,可知 ? ,解得 2 ? a ? 6 , ?8(a ? 2) ? 0
∴ 实数 a 的取值范围是 (2, 6) . ?? 12 分

65、[解法一] ? w(1 ? 2 i) ? 4 ? 3 i, ? w ?

4 ? 3i ?2?i, 1 ? 2i

??4 分

? z?

5 ? | ?i |? 3 ? i . 2?i

??8 分

若实系数一元二次方程有虚根 z ? 3 ? i ,则必有共轭虚根 z ? 3 ? i . ? z ? z ? 6, z ? z ? 10 ,

? 所求的一个一元二次方程可以是 x 2 ? 6 x ? 10 ? 0 .
[解法二] 设 w ? a ? b i ( a、b ? R) a ? b i ? 4 ? 3 i ? 2a i ? 2b ,

??12 分

?a ? 4 ? 2b, 得 ? ?b ? 3 ? 2a,
? w?2?i,

? a ? 2, ? ? ?b ? ?1,
??4 分

以下解法同[解法一].

66、解:原方程的根为 x1, 2 ? 2 ? i,
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? a, b ? R ? ,
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? z ? 2 ? i,
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?| w ? z |?| (u ? 3i ) ? (2 ? i ) |? (u ? 2) 2 ? 4 ? 2 5 ,
? ?2 ? u ? 6 . 1 1 ? ? S ? ab sin C ? ? 4 ? sin ? 3. 2 2 3
67、 (1)设点 M 的坐标为 ?x 0 , y 0 ?, 由题意可知

AQ ? (a ,?b), AB ? (0,?2b),

?

?

1 ? ? a 3b ? ? AM ? ( AQ? AB) ? ? ,? ? ? ?x0 , y 0 ? b ? 2 ?2 2 ?
?

?

…….4 分

?a b? ? 点M的坐标为 ? ,? ?. ?2 2?

?y ? k 1 x ? p, ? 2 (2) 由 ? x 2 y 2 得(b 2 ? a 2 k 1 ) x 2 ? 2a 2 k 1px ? a 2 p 2 ? a 2 b 2 ? 0 , ? 2 ? 2 ? 1, b ?a

? a 2 k 1p b2p ? ? ? CD中点坐标为 ? , ? b2 ? a 2k 2 b2 ? a 2k 2 ? ?. 1 1 ? ?
? k1 ? k 2 ? ? b2 b2 , ? k ? ? . 2 a2 a 2 k1

…….7 分

? y ? k 1 x ? p, ? a 2 k 1p b2p ? 2 ? 得 l 与 l 的交点 E 的坐标为 ? , 由? b 1 2 ? b2 ? a 2k 2 b2 ? a 2k 2 1 1 ? ?y ? ? a 2 k x, 1 ?

? ? ?, ?

? l1与l 2的交点E为CD的中点 .
(3)设 OF 的斜率为 k 1 , 过F作斜率为k 2 ? ? 由 ( 2 )

…….10 分

b2 的直线叫椭圆于 P 1 .P 2 两点。 k 1a 2

?


? ?

,F



P PP PP 1. P 2的中点,四边形 1QP 2 是平行四边形,所以 1 ? PP 2 ? PQ,
直线 P 1P 2即为所求。 …….13 分

由 a=10,b=5 及点 P(-8,-1)得 PQ 中点为 S ?1,? ?, OS的斜率k OS ? ? .

? ?

1? 2?

1 2

52 1 1 过点S且斜率k ? ? 2 ? 的直线l的方程是y ? (x ? 2) . 2 10 ? k OS 2 …….15 分 记l与?的交点为P1. P2,则 PP 1 ? PP 2 ? PQ .
? x 2 y2 ? ? 1, ? ?100 25 解得P1 (8,3),P 2 (?6,?4) 由? 1 ? y ? (x ? 2), ? 2 ?
68、 (1)设点 M 的坐标为 ?x 0 , y 0 ?, 由题意可知
? ? ?

…….18 分

AQ ? (a ,?b), AB ? (0,?2b),

?

?

1 ? ? a 3b ? ? AM ? ( AQ? AB) ? ? ,? ? ? ?x0 , y 0 ? b ? 2 ?2 2 ?
?

?

…….4 分

?a b? ? 点M的坐标为 ? ,? ?. ?2 2?

?y ? k 1 x ? p, ? 2 (2) 由 ? x 2 y 2 得(b 2 ? a 2 k 1 ) x 2 ? 2a 2 k 1px ? a 2 p 2 ? a 2 b 2 ? 0 , ? 2 ? 2 ? 1, b ?a

? a 2 k 1p b2p ? ? ? CD中点坐标为 ? ? b2 ? a 2k 2 , b2 ? a 2k 2 ? ?. 1 1 ? ?
? k1 ? k 2 ? ? b2 b2 , ? k ? ? . 2 a2 a 2 k1

…….7 分

? y ? k 1 x ? p, ? a 2 k 1p b2p ? 得l1与l 2的交点E的坐标为? ? , 由? b2 ? b2 ? a 2k 2 b2 ? a 2k 2 1 1 ? ?y ? ? a 2 k x, 1 ?

? ? ?, ?

? l1与l 2的交点E为CD的中点 .

…….10 分

? a cos? ? a b sin ? ? b ? (3)第一步: 取PQ的中点R? , ?; 2 2 ? ?
第二步: 过点R作斜率为?

??11分

b(cos? ? 1) 的直线交?于P 1、P 2两点。 a(1 ? sin ? )
? ? ?

由(2)可知,R是P PP PP1 ? PP2 ? PQ 1P 2的中点,则 1QP 2是平行四边形,有

??13分

? a cos? ? a b sin ? ? b ? 要使P R? , ?必须在椭圆内 1、P 2 两点存在,则点点 2 2 ? ? ? (cos? ? 1) 2 ? a cos? ? a 将x ? 带入椭圆?的方程,得y 2 ? b 2 ?1 ? ?, 2 4 ? ?

? (cos? ? 1) 2 ? b 2 (sin? ? 1) 2 当且仅当 ? b 2 ?1 ? ?时,点R在椭圆内 4 4 ? ?
整理得(1 ? sin ? ) 2 ? (cos? ? 1) 2 ? 4 即2 sin ? ? 2 cos? ? 1, 亦即    sin(? ? ??16分 2 , 又0 ? ? ? ? , 4 4 ? 2 ?        0 ? ? ? ? arcsin . 4 4 )?
69、 (1)a ? (
'

?

??18分

17 6 1 1 ,? ) ; (2)a ' 的终点在直线 ? (3 A ? 4 B) x ? (?4 A ? 3B) y ? C ? 0 上; 5 5 5 5

(3) b ? ?(

2 2 ,? ) ,曲线 C 和 C′关于直线 l : y ? x 对称, l 的方向向量 d ? (1,1) 。 2 2

由 d ? b ? 0 得 d ? b ,直线 l 与向量 b 垂直.

70、解: ( z1 ? 2)(1 ? i) ? 1 ? i ? z1 ? 2 ? i ??????(4 分) 设 z2 ? a ? 2i, a ? R ,则 z1 z2 ? (2 ? i)(a ? 2i) ? (2a ? 2) ? (4 ? a)i ,??????(12 分) ∵ z1 z2 ? R ,∴ z2 ? 4 ? 2i ??????(12 分)


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