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2014届高三数学一轮复习巩固与练习:数学归纳法


巩固 1.一个关于自然数 n 的命 题,如果验证当 n=1 时命题成立,并在假设当 n=k(k≥1 * 且 k∈N )时命题成立的基础上, 证明了 当 n=k+2 时命题成立, 那么综合上述, 对于( ) A.一切正整数命题成立 B.一切正奇数命题成立 C.一切正偶数命题成立 D.以上都不对 解析:选 B.本题证的 是对 n=1,3,5,7,?命题成立,即命题对一切正奇数成立.

1 1 1 1 1 2.在数列{an}中,an=1- + - +?+ - ,则 ak+1=( ) 2 3 4 2n-1 2n 1 A.ak+ 2k+1 1 1 B.ak+ - 2k+2 2k+4 1 C.ak+ 2k+2 1 1 D.ak+ - 2k+1 2k+2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 解析:选 D.a1=1- ,a2=1- + - ,?,an=1- + - +?+ - ,ak=1 2 2 3 4 2 3 4 2n-1 2n 1 1 1 1 1 1 1 - + - +?+ - ,所以,ak+1=ak+ - . 2 3 4 2k-1 2k 2k+1 2k+2 3.设平面内有 k 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设 k 条直线的交点 个数为 f(k),则 f(k+1)与 f(k)的关系是( ) A.f(k+1)=f(k)+k+1 B.f(k+1)=f(k)+k-1 C.f(k+1)=f(k)+k D.f(k+1)=f(k)+k+2 解析:选 C.当 n=k+1 时,任取其中 1 条直线,记为 l,则除 l 外的其他 k 条直线的交 点的个数为 f(k),因为已知任何两条直线不平行,所以直线 l 必与平面内其他 k 条直线都 相交(有 k 个交点); 又因为已知任何三条直线不过同一点, 所以上面的 k 个交点两两不相同, 且与平面内其他的 f(k)个交点也两两不相同, 从而平面内交点的个数是 f(k)+k=f(k+1). * 2 3 5n-1 4.用数学归纳法证明当 n∈N 时 1+2+2 +2 +?+2 是 31 的倍数时,当 n=1 时原 式为________,从 k→k+1 时需增添的项是____________. 解析:把 n=k,n=k+1 相比较即可得出. 5k+3 答案:1+2+22+23+24 25k+25k+1+25k+2+2 +25k+4 4 2 n +n 2 5. 用数学归纳法证明 1+2+3+?+n = 时, n=k+1 时左端在 n=k 时的左端 当 2 加上________. 2 2 2 解析:n=k 时左端为 1+2+3+?+k ,n=k+1 时左端为 1+2+3+?+k +(k +1) 2 2 +(k +2)+?+(k+1) . 2 2 2 答案:(k +1)+(k +2)+?+(k+1) * 6.数列{an}满足 Sn=2n-an(n∈N ). (1)计算 a1,a2,a3,a4,并由此猜想通项公式 an; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想. 3 7 15 解:(1)a1=1,a2= ,a3= ,a4= , 2 4 8 n 2 -1 * 由此猜想 an= n-1 (n∈N ). 2

(2)证明:当 n=1 时,a1=1,结论成立. * 假设 n=k(k≥1,且 k∈N )时,结论成立, k 2 -1 即 ak= k-1 , 2 * 那么 n=k+1(k≥1,且 k∈N )时, ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak =2+ak-ak+1. ∴2ak+1=2+ak, k 2 -1 2+ k-1 k+1 2 2+ak 2 -1 ∴ak+1= = = , k 2 2 2 这表明 n=k+1 时,结论成立. n 2 -1 * ∴an= n-1 (n∈N ). 2 练习

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1.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,x +y 能被 x+y 整除”,第二步归纳假设应 写成( ) * A.假设 n=2k+1(k∈N )正确,再推 n=2k+3 正确 * B.假设 n=2k-1 (k∈N )正确,再推 n=2k+1 正确 * C.假设 n=k(k∈N )正确,再推 n=k+1 正确 D.假设 n=k(k≥1)正确,再推 n=k+2 正 确 解析:选 B.首先要注意 n 为奇数,其次还要使 n=2k-1 能取到 1,故选 B. 2 * 2.用数学归纳法证明等式 1+3+5+?+(2n-1)=n (n∈N )的过程中,第二步假设 n =k 时等式成立,则当 n=k+1 时应得到( ) 2 A.1+3+5+?+(2k+1)=k 2 B.1+3+5+?+(2k+1)=(k+1) 2 C.1+3+5+?+(2k+1)=(k+2) 2 D.1+3+5+?+(2k+1)=(k+3) 解析:选 B.∵n=k+1 时, 等式左边=1+3+5+?+(2k-1)+(2k+1) 2 2 =k +(2k+1)=(k+1) .故选 B. n+2 1-a 2 n+1 3.用数学归纳法证明:“1+a+a +?+a = (a≠1)”在验证 n=1 时,左端 1-a 计算所得的项为( ) A.1 B.1+a 2 2 3 C.1+a +a D.1+a+a +a 2 解析:选 C.当 n=1 时,左端=1+a+a . * 4.下列代数式(其中 k∈N )能被 9 整除的是( ) k k-1 A.6+6·7 B.2+7 k+1 k C.2(2+7 ) D.3(2+7 ) k 解析:选 D.(1)当 k=1 时,显然只有 3(2+7 )能被 9 整除. * n n+1 (2)假设当 k=n(n∈N )时,命题成立,即 3(2+7 )能被 9 整除,那么 3(2+7 )=21(2 n +7 )-36. 这就是说,k=n+1 时命题也成立. 2 3 n-1 n * 5.已知 1+2×3+3×3 +4×3 +?+n×3 =3 (na-b)+c 对一切 n∈N 都成立,则 a、b、c 的值为( )
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n

n

1 1 1 A.a= ,b =c= B.a=b=c= 2 4 4 1 C.a=0,b=c= D.不存在这样的 a、b、c 4 * 解析:选 A.∵等式对一切 n∈N 均成立, ∴n=1,2,3 时等式成立,即

?1=3(a-b)+c ? 2 ?1+2×3=3 (2a-b)+c ?1+2×3+3×32=33(3a-b)+c ? ?3a-3b+c=1 ? 整理得?18a-9b+c=7 ?81a-27b+c=34 ?
1 1 解得 a= ,b=c= . 2 4 1 6. 在数列{an} 中, 1= , Sn=n(2n-1)an, a 且 通过求 a2, 3, 4, a a 猜想 an 的表达式为( ) 3 1 1 A. B. (n-1)(n+1) 2n(2n+1) 1 1 C. D. (2n-1)(2n+1) (2n+1)(2n+2) 1 解析:选 C.由 a1= ,Sn=n(2n-1)an, 3 得 S2=2(2×2-1)a2,即 a1+a2=6a2, 1 1 ∴a2= = ,S3=3(2×3-1)a3, 15 3×5 1 1 即 + +a3=15a3. 3 15 1 1 1 ∴a3= = ,a4= .故选 C . 35 5×7 7×9 n 7. 利用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)?(n+n)=2 ×1×3×?×(2n-1),∈N ”时, n * 从“n=k”变到“n=k+1”时,左边应增乘的因式是________. * 解析:当 n=k(k∈N )时,左式为(k+1)(k+2)?(k+k); 当 n=k+1 时,左式为(k+1+1)·(k+1+2)·?·(k+1+k-1)·(k+1+k) ·(k +1+k+1), (2k+1)(2k+2) 则左边应增乘的式子是 =2(2k+1). k+1 答案:2(2k+1) 2 2 2 2 8.若 f(n)=1 +2 +3 +?+(2n) ,则 f(k+1)与 f(k)的递推关系式是______ __. 2 2 2 解析:∵f(k)=1 +2 +?+(2k) , 2 2 2 2 2 ∴f(k+1)=1 +2 +?+(2k) +(2k+1) +(2k+2) , 2 2 ∴f(k+1)=f(k)+(2k+1) +(2k+2) . 2 2 答案:f(k+1)=f(k)+(2k+1) +(2k+2) 9.数列{an}中,已知 a1=1,当 n≥2 时,an-an-1=2n-1,依次 计算 a2,a3,a4 后,猜 想 an 的表达式是________. 解析:计算出 a1=1,a2=4,a3=9,a4=16. 2 可猜想 an=n . 2 答案:n * 10.对于 n∈N ,用数学归纳法证明:
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1 1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+?+(n-1)·2+n·1= n(n+1)(n+2). 6 证明:设 f(n)=1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+?+(n-1)·2+n·1. (1)当 n=1 时,左边=1,右边=1,等式成立; (2)设当 n=k 时等式成立,即 1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+?+(k-1)·2+k·1= 1 k(k+1)(k+2), 6 则当 n=k+1 时, f(k+1)=1·(k+1)+2[(k+1)-1]+3[(k+1)-2]+?+[(k+1)-2]·3+[(k+1) -1]·2+(k+1)·1 =f(k)+1+2+3+?+k+(k+1) 1 1 = k(k+1)(k+2)+ (k+1)(k+1+1) 6 2 1 = (k+1)(k+2)(k+3). 6 * ∴由(1)(2)可知当 n∈N 时等式都成立. 11.已知点 Pn(an,bn)满足 an+1=an·bn+1,bn+1= 2(n∈N )且点 P1 的坐 标为(1,- 1-4an 1). (1)求过点 P1,P2 的直线 l 的方程; * (2)试用数学归纳法证明:对于 n∈N ,点 Pn 都在(1)中的直线 l 上. 解:(1)由 P1 的坐标为(1,-1)知 a1=1,b1=-1. b1 1 ∴b2= 2= . 1-4a1 3 1 a2=a1·b2= . 3 1 1 ∴点 P2 的坐标为( , ) 3 3 ∴直线 l 的方程为 2x+y=1. (2)证明:①当 n=1 时, 2a1+b1=2×1+(-1)=1 成立. * ②假设 n=k(k∈N ,k≥1)时,2ak+bk=1 成立, 则当 n=k+1 时, 2ak+1+bk+1=2ak·bk+1+bk+1= 2(2ak+1) 1-4ak bk 1-2ak = = =1, 1-2ak 1-2ak ∴当 n=k+1 时,命题也成立 . * 由①②知,对 n∈N ,都有 2an+bn=1, 即点 Pn 在直线 l 上. 12.已知正项数列{an}和{bn}中,a1=a(0<a<1),b1=1-a.当 n≥2 时,an=an-1bn,

bn

*

bk

bn=

bn-1 . 2 1-a n-1
(1)证明:对任意 n∈N ,有 an+bn=1; (2)求数列{an}的通项公式. 解:(1)证明:用数学归纳法证明. ①当 n=1 时,a1+b1=a+(1-a)=1,命题成立; * ②假设 n=k(k≥1 且 k∈N )时命题成立,即 ak+bk=1,则当 n=k+1 时,ak+1+bk+1=
*

akbk+1+bk+1=(ak+1)·bk+1=(ak+1)·

bk bk bk = =1. 2= 1-ak 1-ak bk

∴当 n=k+1 时,命题也成立. * 由①、②可知,an+bn=1 对 n∈N 恒成立. anbn an(1-an) an (2)∵an+1=anbn+1= , 2= 2 = 1-an 1-an 1+an 1 1+an 1 ∴ = = +1,

an+1
1

an

an



an+1 an an

1 - =1.

1 1 1 数列{ }是公差为 1 的等差数列,其首项为 = ,

a1 a

a = +(n-1)×1,从而 an= . an a 1+(n-1)a
1 1


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