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人教版高中数学必修3全套教案


高中数学教案(人教 A 版必修全套) 【必修 3 教案|全套】
目 录
第一章 算法初步 ................................................................................................................................................... 1 1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构 ....................................................................................................... 7 1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句 ..................................................................................................... 29 1.2.2 条件语句 ............................................................................................................................................. 36 1.2.3 循环语句 ................................................................................................................................................ 44 1.3 算法案例 ................................................................................................................................................ 51 第二章 统计 ......................................................................................................................................................... 75 2.1 随机抽样 ................................................................................................................................................ 76 2.1.1 简单随机抽样 ..................................................................................................................................... 76 2.1.2 系统抽样 ............................................................................................................................................. 81 2.1.3 分层抽样 ............................................................................................................................................. 85 2.2 用样本估计总体 .................................................................................................................................... 89 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布 ..................................................................................................... 89 2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征.......................................................................................... 97 2.3 变量间的相关关系 .............................................................................................................................. 107 2.3.1 变量之间的相关关系 ....................................................................................................................... 107 2.3.2 两个变量的线性相关 ....................................................................................................................... 107 第三章 概率 ........................................................................................................................................................115 3.1 随机事件的概率 ...................................................................................................................................115 3.1.1 随机事件的概率 ................................................................................................................................115 3.1.2 概率的意义 ........................................................................................................................................118 3.1.3 概率的基本性质 ............................................................................................................................... 121 3.2.1 古典概型 ........................................................................................................................................... 124 3.2.2 (整数值)随机数(random numbers)的产生............................................................................. 128 3.3.1 几何概型 ........................................................................................................................................... 132 3.3.2 均匀随机数的产生 ........................................................................................................................... 136

第一章

算法初步

本章教材分析 算法是数学及其应用的重要组成部分, 是计算科学的重要基础.算法的应用是学习数学的一个重要方面. 学生学习算法的应用,目的就是利用已有的数学知识分析问题和解决问题.通过算法的学习,对完善数学的思 想,激发应用数学的意识,培养分析问题、解决问题的能力,增强进行实践的能力等,都有很大的帮助. 本章主要内容:算法与程序框图、基本算法语句、算法案例和小结.教材从学生最熟悉的算法入手,通 过研究程序框图与算法案例,使算法得到充分的应用,同时也展现了古老算法和现代计算机技术的密切关 系.算法案例不仅展示了数学方法的严谨性、科学性,也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步 受到数学思想方法的熏陶,激发学生的学习热情. 在算法初步这一章中让学生近距离接近社会生活,从生活中学习数学,使数学在社会生活中得到应用 和提高,让学生体会到数学是有用的,从而培养学生的学习兴趣.“数学建模”也是高考考查重点. 本章还是数学思想方法的载体,学生在学习中会经常用到“算法思想” “转化思想”,从而提高自己数学 能力.因此应从三个方面把握本章: (1)知识间的联系; (2)数学思想方法; (3)认知规律. 本章教学时间约需 12 课时,具体分配如下(仅供参考) :

1.1.2 1.2.1

1.1.1 算法的概念 程序框图与算法的基本逻辑结构 输入语句、输出语句和赋值语句 1.2.2 条件语句 1.2.3 循环语句 1.3 算法案例 本章复习
1.1 算法与程序框图 1.1.1 算法的概念 整体设计

约 1 课时 约 4 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 3 课时 约 1 课时

教学分析 算法在中学数学课程中是一个新的概念,但没有一个精确化的定义,教科书只对它作了如下描述:“在 数学中,算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤.”为了让学生更好理解这一概念, 教科书先从分析一个具体的二元一次方程组的求解过程出发,归纳出了二元一次方程组的求解步骤,这些 步骤就构成了解二元一次方程组的算法.教学中, 应从学生非常熟悉的例子引出算法, 再通过例题加以巩固. 三维目标 1.正确理解算法的概念,掌握算法的基本特点. 2.通过例题教学,使学生体会设计算法的基本思路. 3.通过有趣的实例使学生了解算法这一概念的同时,激发学生学习数学的兴趣. 重点难点 教学重点:算法的含义及应用. 教学难点:写出解决一类问题的算法. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1(情境导入) 一个人带着三只狼和三只羚羊过河,只有一条船,同船可容纳一个人和两只动物,没有人在的时候,
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如果狼的数量不少于羚羊的数量狼就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河?请同学们写出解决问题的步骤, 解决这一问题将要用到我们今天学习的内容——算法. 思路 2(情境导入) 大家都看过赵本山与宋丹丹演的小品吧,宋丹丹说了一个笑话,把大象装进冰箱总共分几步? 答案:分三步,第一步:把冰箱门打开;第二步:把大象装进去;第三步:把冰箱门关上. 上述步骤构成了把大象装进冰箱的算法,今天我们开始学习算法的概念. 思路 3(直接导入) 算法不仅是数学及其应用的重要组成部分,也是计算机科学的重要基础.在现代社会里,计算机已成为 人们日常生活和工作中不可缺少的工具.听音乐、看电影、玩游戏、打字、画卡通画、处理数据,计算机是 怎样工作的呢?要想弄清楚这个问题,算法的学习是一个开始. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)解二元一次方程组有几种方法? (2)结合教材实例 ?

? x ? 2 y ? ?1,(1) 总结用加减消元法解二元一次方程组的步骤. ?2 x ? y ? 1, (2) ? x ? 2 y ? ?1,(1) 总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤. ?2 x ? y ? 1, (2)

(3)结合教材实例 ?

(4)请写出解一般二元一次方程组的步骤. (5)根据上述实例谈谈你对算法的理解. (6)请同学们总结算法的特征. (7)请思考我们学习算法的意义. 讨论结果: (1)代入消元法和加减消元法. (2)回顾二元一次方程组

? x ? 2 y ? ?1,(1) 的求解过程,我们可以归纳出以下步骤: ? ?2 x ? y ? 1, (2)
第一步,①+②× 2,得 5x=1.③ 第二步,解③,得 x=

1 . 5 3 . 5

第三步,②-①× 2,得 5y=3.④ 第四步,解④,得 y=

1 ? ?x ? 5 , ? 第五步,得到方程组的解为 ? ?y ? 3. ? 5 ?
(3)用代入消元法解二元一次方程组

? x ? 2 y ? ?1,(1) 我们可以归纳出以下步骤: ? ?2 x ? y ? 1, (2)
第一步,由①得 x=2y-1.③
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第二步,把③代入②,得 2(2y-1)+y=1.④ 第三步,解④得 y=

3 .⑤ 5 3 5 1 . 5

第四步,把⑤代入③,得 x=2× -1=

1 ? ?x ? 5 , ? 第五步,得到方程组的解为 ? ?y ? 3. ? 5 ?
(4)对于一般的二元一次方程组 ?

?a1 x ? b1 y ? c1 , (1) ? a 2 x ? b2 y ? c 2 , ( 2 )

其中 a1b2-a2b1≠0,可以写出类似的求解步骤: 第一步,①× 2-②× 1,得 b b (a1b2-a2b1)x=b2c1-b1c2.③ 第二步,解③,得 x=

b2 c1 ? b1c2 . a1b2 ? a 2 b1

第三步,②× 1-①× 2,得(a1b2-a2b1)y=a1c2-a2c1.④ a a 第四步,解④,得 y=

a1c2 ? a 2 c1 . a1b2 ? a 2 b1

b2 c1 ? b1c 2 ? ?x ? a b ? a b , ? 1 2 2 1 第五步,得到方程组的解为 ? ? y ? a1c 2 ? a 2 c1 . ? a1b2 ? a 2 b1 ?
(5)算法的定义:广义的算法是指完成某项工作的方法和步骤,那么我们可以说洗衣机的使用说明书是操作 洗衣机的算法,菜谱是做菜的算法等等. 在数学中,算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确有限的步骤. 现在,算法通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题. (6)算法的特征:①确定性:算法的每一步都应当做到准确无误、不重不漏.“不重”是指不是可有可无的,甚 至无用的步骤, “不漏” 是指缺少哪一步都无法完成任务.②逻辑性: 算法从开始的“第一步”直到“最后一步” 之间做到环环相扣,分工明确,“前一步”是“后一步”的前提, “后一步”是“前一步”的继续.③有穷性:算法 要有明确的开始和结束,当到达终止步骤时所要解决的问题必须有明确的结果,也就是说必须在有限步内 完成任务,不能无限制地持续进行. (7)在解决某些问题时,需要设计出一系列可操作或可计算的步骤来解决问题,这些步骤称为解决这些问题 的算法.也就是说,算法实际上就是解决问题的一种程序性方法.算法一般是机械的,有时需进行大量重复 的计算,它的优点是一种通法,只要按部就班地去做,总能得到结果.因此算法是计算科学的重要基础. 应用示例 思路 1 例 1 (1)设计一个算法,判断 7 是否为质数. (2)设计一个算法,判断 35 是否为质数. 算法分析: (1)根据质数的定义,可以这样判断:依次用 2—6 除 7,如果它们中有一个能整除 7,则 7 不 是质数,否则 7 是质数.
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算法如下: (1)第一步,用 2 除 7,得到余数 1.因为余数不为 0,所以 2 不能整除 7. 第二步,用 3 除 7,得到余数 1.因为余数不为 0,所以 3 不能整除 7. 第三步,用 4 除 7,得到余数 3.因为余数不为 0,所以 4 不能整除 7. 第四步,用 5 除 7,得到余数 2.因为余数不为 0,所以 5 不能整除 7. 第五步,用 6 除 7,得到余数 1.因为余数不为 0,所以 6 不能整除 7.因此,7 是质数. (2)类似地,可写出“判断 35 是否为质数”的算法:第一步,用 2 除 35,得到余数 1.因为余数不为 0,所 以 2 不能整除 35. 第二步,用 3 除 35,得到余数 2.因为余数不为 0,所以 3 不能整除 35. 第三步,用 4 除 35,得到余数 3.因为余数不为 0,所以 4 不能整除 35. 第四步,用 5 除 35,得到余数 0.因为余数为 0,所以 5 能整除 35.因此,35 不是质数. 点评:上述算法有很大的局限性,用上述算法判断 35 是否为质数还可以,如果判断 1997 是否为质数就麻 烦了,因此,我们需要寻找普适性的算法步骤. 变式训练 请写出判断 n(n>2)是否为质数的算法. 分析:对于任意的整数 n(n>2),若用 i 表示 2—(n-1)中的任意整数,则“判断 n 是否为质数”的算法包含下 面的重复操作:用 i 除 n,得到余数 r.判断余数 r 是否为 0,若是,则不是质数;否则,将 i 的值增加 1,再 执行同样的操作. 这个操作一直要进行到 i 的值等于(n-1)为止. 算法如下:第一步,给定大于 2 的整数 n. 第二步,令 i=2. 第三步,用 i 除 n,得到余数 r. 第四步,判断“r=0”是否成立.若是,则 n 不是质数,结束算法;否则,将 i 的值增加 1,仍用 i 表示. 第五步,判断“i>(n-1)”是否成立.若是,则 n 是质数,结束算法;否则,返回第三步. 例 2 写出用“二分法”求方程 x2-2=0 (x>0)的近似解的算法. 分析:令 f(x)=x2-2,则方程 x2-2=0 (x>0)的解就是函数 f(x)的零点. “二分法”的基本思想是: 把函数 f(x)的零点所在的区间 [a,b] (满足 f(a)· f(b)<0) “一分为二”, [a,m] 得到 和[m,b].根据“f(a)·f(m)<0”是否成立,取出零点所在的区间[a,m]或[m,b] ,仍记为[a,b].对所得的区 间[a,b]重复上述步骤,直到包含零点的区间[a,b]“足够小”,则[a,b]内的数可以作为方程的近似解. 解:第一步,令 f(x)=x2-2,给定精确度 d. 第二步,确定区间[a,b] ,满足 f(a)· f(b)<0. 第三步,取区间中点 m=

a?b . 2

第四步,若 f(a)· f(m)<0,则含零点的区间为[a,m] ;否则,含零点的区间为[m,b].将新得到的含零点的 区间仍记为[a,b]. 第五步,判断[a,b]的长度是否小于 d 或 f(m)是否等于 0.若是,则 m 是方程的近似解;否则,返回第三 步. 当 d=0.005 时,按照以上算法,可以得到下表.

a 1 1 1.25 1.375 1.375 1.406 25 1.406 25 1.414 062 5

b 2 1.5 1.5 1.5 1.437 5 1.437 5 1.421 875 1.421 875
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|a-b| 1 0.5 0.25 0.125 0.062 5 0.031 25 0.015 625 0.007 812 5

1.414 062 5

1.417 968 75

0.003 906 25

于是, 开区间 (1.414 062 5,1.417 968 75) 中的实数都是当精确度为 0.005 时的原方程的近似解.实际上, 上述步骤也是求 2 的近似值的一个算法. 点评:算法一般是机械的,有时需要进行大量的重复计算,只要按部就班地去做,总能算出结果,通常把 算法过程称为“数学机械化”.数学机械化的最大优点是它可以借助计算机来完成, 实际上处理任何问题都需 要算法.如:中国象棋有中国象棋的棋谱、走法、胜负的评判准则;而国际象棋有国际象棋的棋谱、走法、 胜负的评判准则;再比如申请出国有一系列的先后手续,购买物品也有相关的手续?? 思路 2 例 1 一个人带着三只狼和三只羚羊过河,只有一条船,同船可容纳一个人和两只动物,没有人在的时候, 如果狼的数量不少于羚羊的数量就会吃羚羊.该人如何将动物转移过河?请设计算法. 分析:任何动物同船不用考虑动物的争斗但需考虑承载的数量,还应考虑到两岸的动物都得保证狼的数量 要小于羚羊的数量,故在算法的构造过程中尽可能保证船里面有狼,这样才能使得两岸的羚羊数量占到优 势. 解:具体算法如下: 算法步骤: 第一步:人带两只狼过河,并自己返回. 第二步:人带一只狼过河,自己返回. 第三步:人带两只羚羊过河,并带两只狼返回. 第四步:人带一只羊过河,自己返回. 第五步:人带两只狼过河. 点评:算法是解决某一类问题的精确描述,有些问题使用形式化、程序化的刻画是最恰当的.这就要求我们 在写算法时应精练、简练、清晰地表达,要善于分析任何可能出现的情况,体现思维的严密性和完整性. 本题型解决问题的算法中某些步骤重复进行多次才能解决,在现实生活中,很多较复杂的情境经常遇到这 样的问题,设计算法的时候,如果能够合适地利用某些步骤的重复,不但可以使得问题变得简单,而且可 以提高工作效率. 例 2 喝一杯茶需要这样几个步骤:洗刷水壶、烧水、洗刷茶具、沏茶.问:如何安排这几个步骤?并给 出两种算法,再加以比较. 分析:本例主要为加深对算法概念的理解,可结合生活常识对问题进行分析,然后解决问题. 解:算法一: 第一步,洗刷水壶. 第二步,烧水. 第三步,洗刷茶具. 第四步,沏茶. 算法二: 第一步,洗刷水壶. 第二步,烧水,烧水的过程当中洗刷茶具. 第三步,沏茶. 点评:解决一个问题可有多个算法,可以选择其中最优的、最简单的、步骤尽量少的算法.上面的两种算 法都符合题意,但是算法二运用了统筹方法的原理,因此这个算法要比算法一更科学. 例 3 写出通过尺轨作图确定线段 AB 一个 5 等分点的算法. 分析:我们借助于平行线定理,把位置的比例关系变成已知的比例关系,只要按照规则一步一步去做就能 完成任务. 解:算法分析: 第一步,从已知线段的左端点 A 出发,任意作一条与 AB 不平行的射线 AP. 第二步,在射线上任取一个不同于端点 A 的点 C,得到线段 AC.
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第三步,在射线上沿 AC 的方向截取线段 CE=AC. 第四步,在射线上沿 AC 的方向截取线段 EF=AC. 第五步,在射线上沿 AC 的方向截取线段 FG=AC. 第六步,在射线上沿 AC 的方向截取线段 GD=AC,那么线段 AD=5AC. 第七步,连结 DB. 第八步,过 C 作 BD 的平行线,交线段 AB 于 M,这样点 M 就是线段 AB 的一个 5 等分点. 点评:用算法解决几何问题能很好地训练学生的思维能力,并能帮助我们得到解决几何问题的一般方法, 可谓一举多得,应多加训练. 知能训练 设计算法判断一元二次方程 ax2+bx+c=0 是否有实数根. 解:算法步骤如下: 第一步,输入一元二次方程的系数:a,b,c. 第二步,计算 Δ=b2-4ac 的值. 第三步,判断 Δ≥0 是否成立.若 Δ≥0 成立,输出“方程有实根”;否则输出“方程无实根”,结束算法. 点评:用算法解决问题的特点是:具有很好的程序性,是一种通法.并且具有确定性、逻辑性、有穷性.让 我们结合例题仔细体会算法的特点. 拓展提升 中国网通规定: 拨打市内电话时, 如果不超过 3 分钟, 则收取话费 0.22 元; 如果通话时间超过 3 分钟, 则超出部分按每分钟 0.1 元收取通话费, 不足一分钟按一分钟计算.设通话时间为 (分钟)通话费用 y 元) t , ( , 如何设计一个程序,计算通话的费用. 解:算法分析: 数学模型实际上为:y 关于 t 的分段函数. 关系式如下:

?0.22, (0 ? t ? 3), ? y= ?0.22 ? 0.1(t ? 3), (t ? 3, t ? Z ), ?0.22 ? 0.1([T ? 3] ? 1), (T ? 3, t ? Z ). ?
其中[t-3]表示取不大于 t-3 的整数部分. 算法步骤如下: 第一步,输入通话时间 t. 第二步,如果 t≤3,那么 y=0.22;否则判断 t∈Z 是否成立,若成立执行 y=0.2+0.1× (t-3);否则执行 y=0.2+0.1× [t-3]+1). ( 第三步,输出通话费用 c. 课堂小结 (1)正确理解算法这一概念. (2)结合例题掌握算法的特点,能够写出常见问题的算法. 作业 课本本节练习 1、2. 设计感想 本节的引入精彩独特,让学生在感兴趣的故事里进入本节的学习.算法是本章的重点也是本章的基础, 是一个较难理解的概念.为了让学生正确理解这一概念,本节设置了大量学生熟悉的事例,让学生仔细体会 反复训练.本节的事例有古老的经典算法,有几何算法等,因此这是一节很好的课例.

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1.1.2 程序框图与算法的基本逻辑结构
整体设计 教学分析 用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性,但是对于在一定条件下才会被执行的步骤,以及在一定 条件下会被重复执行的步骤,自然语言的表示就显得困难,而且不直观、不准确.因此,本节有必要探究使 算法表达得更加直观、准确的方法.程序框图用图形的方式表达算法,使算法的结构更清楚、步骤更直观也 更精确.为了更好地学好程序框图,我们需要掌握程序框的功能和作用,需要熟练掌握三种基本逻辑结构. 三维目标 1.熟悉各种程序框及流程线的功能和作用. 2.通过模仿、操作、探索,经历通过设计程序框图表达解决问题的过程.在具体问题的解决过程中,理解 程序框图的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构. 3.通过比较体会程序框图的直观性、准确性. 重点难点 数学重点:程序框图的画法. 数学难点:程序框图的画法. 课时安排 4 课时 教学过程 第 1 课时 程序框图及顺序结构 导入新课 思路 1(情境导入) 我们都喜欢外出旅游,优美的风景美不胜收,如果迷了路就不好玩了,问路有时还听不明白,真是急 死人,有的同学说买张旅游图不就好了吗,所以外出旅游先要准备好旅游图.旅游图看起来直观、准确,本 节将探究使算法表达得更加直观、准确的方法.今天我们开始学习程序框图. 思路 2(直接导入) 用自然语言表示的算法步骤有明确的顺序性,但是对于在一定条件下才会被执行的步骤,以及在一定 条件下会被重复执行的步骤,自然语言的表示就显得困难,而且不直观、不准确.因此,本节有必要探究使 算法表达得更加直观、准确的方法.今天开始学习程序框图. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)什么是程序框图? (2)说出终端框(起止框)的图形符号与功能. (3)说出输入、输出框的图形符号与功能. (4)说出处理框(执行框)的图形符号与功能. (5)说出判断框的图形符号与功能. (6)说出流程线的图形符号与功能. (7)说出连接点的图形符号与功能. (8)总结几个基本的程序框、流程线和它们表示的功能. (9)什么是顺序结构? 讨论结果: (1)程序框图又称流程图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形. 在程序框图中,一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤;带有方向箭头的流程线将程序框连接起 来,表示算法步骤的执行顺序. (2)椭圆形框: 表示程序的开始和结束,称为终端框(起止框) .表示开始时只有一个出口;表示结
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束时只有一个入口. (3)平行四边形框: 表示一个算法输入和输出的信息,又称为输入、输出框,它有一个入口和一个出 口. (4)矩形框: 表示计算、赋值等处理操作,又称为处理框(执行框) ,它有一个入口和一个出口. (5)菱形框: 是用来判断给出的条件是否成立,根据判断结果来决定程序的流向,称为判断框,它 有一个入口和两个出口. (6)流程线: 表示程序的流向. (7)圆圈: 连接点.表示相关两框的连接处,圆圈内的数字相同的含义表示相连接在一起. (8)总结如下表. 图形符号 名称 终端框(起止框) 输入、输出框 处理框(执行框) 判断框 功能 表示一个算法的起始和结束 表示一个算法输入和输出的信息 赋值、计算 判断某一条件是否成立, 成立时在出口处标明 “是”或“Y”;不成立时标明“否”或“N” 连接程序框

流程线

连接点

连接程序框图的两部分

(9)很明显,顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的,这是任何一个算法都离不开的基本结构. 三种逻辑结构可以用如下程序框图表示:

顺序结构 条件结构 循环结构 应用示例 例 1 请用程序框图表示前面讲过的“判断整数 n(n>2)是否为质数”的算法. 解:程序框图如下:

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点评:程序框图是用图形的方式表达算法,使算法的结构更清楚,步骤更直观也更精确.这里只是让同学们 初步了解程序框图的特点,感受它的优点,暂不要求掌握它的画法. 变式训练 观察下面的程序框图,指出该算法解决的问题.

解:这是一个累加求和问题,共 99 项相加,该算法是求

1 1 1 1 ? ? ??? 的值. 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ? 100

例 2 已知一个三角形三条边的边长分别为 a,b,c,利用海伦—秦九韶公式设计一个计算三角形面积的算 法 , 并 画 出 程 序 框 图 表 示 . ( 已 知 三 角 形 三 边 边 长 分 别 为 a,b,c , 则 三 角 形 的 面 积 为 S= ,其中 p= p( p ? a)( p ? b)( p ? c) )

a?b?c .这个公式被称为海伦—秦九韶公式) 2

算法分析:这是一个简单的问题,只需先算出 p 的值,再将它代入分式,最后输出结果.因此只用顺序结构 应能表达出算法. 算法步骤如下: 第一步,输入三角形三条边的边长 a,b,c. 第二步,计算 p= 第三步,计算 S= 第四步,输出 S. 程序框图如下:

a?b?c . 2

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) .

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点评:很明显,顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的,它是最简单的逻辑结构,它是任何一个算法 都离不开的基本结构. 变式训练 下图所示的是一个算法的流程图,已知 a1=3,输出的 b=7,求 a2 的值.

解:根据题意

a1 ? a 2 =7, 2

∵a1=3,∴a2=11.即 a2 的值为 11. 例 3 写出通过尺轨作图确定线段 AB 的一个 5 等分点的程序框图. 解:利用我们学过的顺序结构得程序框图如下:

点评:这个算法步骤具有一般性,对于任意自然数 n,都可以按照这个算法的思想,设计出确定线段的 n 等分点的步骤,解决问题,通过本题学习可以巩固顺序结构的应用. 知能训练 有关专家建议,在未来几年内,中国的通货膨胀率保持在 3?%左右,这将对我国经济的稳定有利无
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害.所谓通货膨胀率为 3%,指的是每年消费品的价格增长率为 3%?.在这种情况下,某种品牌的钢琴 2004 年的价格是 10 000 元,请用流程图描述这种钢琴今后四年的价格变化情况,并输出四年后的价格. 解:用 P 表示钢琴的价格,不难看出如下算法步骤: 2005 年 P=10 000× (1+3%)=10 300; 2006 年 P=10 300× (1+3%)=10 609; 2007 年 P=10 609× (1+3%)=10 927.27; 2008 年 P=10 927.27× (1+3%)=11 255.09; 因此,价格的变化情况表为: 年份 钢琴的价格 程序框图如下: 2004 10 000 2005 10 300 2006 10 609 2007 10 927.27 2008 11 255.09

点评:顺序结构只需严格按照传统的解决数学问题的解题思路,将问题解决掉.最后将解题步骤 “细化”就 可以.“细化”指的是写出算法步骤、画出程序框图. 拓展提升 如下给出的是计算 ______________.

1 1 1 1 ? ? ??? 的值的一个流程图,其中判断框内应填入的条件是 2 4 6 20

答案:i>10. 课堂小结 (1)掌握程序框的画法和功能. (2)了解什么是程序框图,知道学习程序框图的意义.
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(3)掌握顺序结构的应用,并能解决与顺序结构有关的程序框图的画法. 作业 习题 1.1A 1. 设计感想 首先,本节的引入新颖独特,旅游图的故事阐明了学习程序框图的意义.通过丰富有趣的事例让学生了 解了什么是程序框图,进而激发学生学习程序框图的兴趣.本节设计题目难度适中,逐步把学生带入知识的 殿堂,是一节好的课例. 第 2 课时 条件结构 导入新课 思路 1(情境导入) 我们以前听过这样一个故事,野兽与鸟发生了一场战争,蝙蝠来了,野兽们喊道:你有牙齿是我们一 伙的,鸟们喊道:你有翅膀是我们一伙的,蝙蝠一时没了主意.过了一会儿蝙蝠有了一个好办法,如果野兽 赢了,就加入野兽这一伙,否则加入另一伙,事实上蝙蝠用了分类讨论思想,在算法和程序框图中也经常 用到这一思想方法,今天我们开始学习新的逻辑结构——条件结构. 思路 2(直接导入) 前面我们学习了顺序结构,顺序结构像是一条没有分支的河流,奔流到海不复回,事实上多数河流是 有分支的,今天我们开始学习有分支的逻辑结构——条件结构. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)举例说明什么是分类讨论思想? (2)什么是条件结构? (3)试用程序框图表示条件结构. (4)指出条件结构的两种形式的区别. 讨论结果: (1)例如解不等式 ax>8(a≠0),不等式两边需要同除 a,需要明确知道 a 的符号,但条件没有给出,因此需要 进行分类讨论,这就是分类讨论思想. (2)在一个算法中,经常会遇到一些条件的判断,算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.条件结构 就是处理这种过程的结构. (3)用程序框图表示条件结构如下. 条件结构:先根据条件作出判断,再决定执行哪一种操作的结构就称为条件结构(或分支结构) ,如图 1 所示.执行过程如下:条件成立,则执行 A 框;不成立,则执行 B 框.

图1 图2 注:无论条件是否成立,只能执行 A、B 之一,不可能两个框都执行.A、B 两个框中,可以有一个是空 的,即不执行任何操作,如图 2. (4)一种是在两个“分支”中均包含算法的步骤,符合条件就执行“步骤 A”,否则执行“步骤 B”;另一种是 在一个“分支”中均包含算法的步骤 A,而在另一个“分支”上不包含算法的任何步骤,符合条件就执行“步骤 A”,否则执行这个条件结构后的步骤. 应用示例
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例 1 任意给定 3 个正实数,设计一个算法,判断以这 3 个正实数为三边边长的三角形是否存在,并 画出这个算法的程序框图. 算法分析:判断以 3 个任意给定的正实数为三条边边长的三角形是否存在,只需验证这 3 个数中任意两个 数的和是否大于第 3 个数.这个验证需要用到条件结构. 算法步骤如下: 第一步,输入 3 个正实数 a,b,c. 第二步,判断 a+b>c,b+c>a,c+a>b 是否同时成立.若是,则存在这样的三角形;否则,不存在这样的三角 形. 程序框图如右图:

点评:根据构成三角形的条件,判断是否满足任意两边之和大于第三边,如果满足则存在这样的三角形, 如果不满足则不存在这样的三角形.这种分类讨论思想是高中的重点,在画程序框图时,常常遇到需要讨论 的问题,这时要用到条件结构. 例 2 设计一个求解一元二次方程 ax2+bx+c=0 的算法,并画出程序框图表示. 算法分析:我们知道,若判别式 Δ=b2-4ac>0,则原方程有两个不相等的实数根 x1=

?b? ? ?b? ? ,x2= ; 2a 2a
b ; 2a

若 Δ=0,则原方程有两个相等的实数根 x1=x2= ?

若 Δ<0,则原方程没有实数根.也就是说,在求解方程之前,可以先判断判别式的符号,根据判断的结果执 行不同的步骤,这个过程可以用条件结构实现. 又因为方程的两个根有相同的部分, 为了避免重复计算, 可以在计算 x1 和 x2 之前, 先计算 p= ? 解决这一问题的算法步骤如下: 第一步,输入 3 个系数 a,b,c. 第二步,计算 Δ=b2-4ac. 第三步,判断 Δ≥0 是否成立.若是,则计算 p= ?

b ? , q= . 2a 2a

b ? ,q= ;否则,输出“方程没有实数根”,结束算法. 2a 2a

第四步,判断 Δ=0 是否成立.若是,则输出 x1=x2=p;否则,计算 x1=p+q,x2=p-q,并输出 x1,x2. 程序框图如下:

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例 3 设计算法判断一元二次方程 ax2+bx+c=0 是否有实数根,并画出相应的程序框图. 解:算法步骤如下: 第一步,输入 3 个系数:a,b,c. 第二步,计算 Δ=b2-4ac. 第三步,判断 Δ≥0 是否成立.若是,则输出“方程有实根”;否则,输出“方程无实根”.结束算法. 相应的程序框图如右:

点评:根据一元二次方程的意义,需要计算判别式 Δ=b2-4ac 的值.再分成两种情况处理: (1)当 Δ≥0 时, 一元二次方程有实数根; (2)当 Δ<0 时,一元二次方程无实数根.该问题实际上是一个分类讨论问题,根据一元二次方程系数的不 同情况,最后结果就不同.因而当给出一个一元二次方程时,必须先确定判别式的值,然后再用判别式的值 的取值情况确定方程是否有解.该例仅用顺序结构是办不到的,要对判别式的值进行判断,需要用到条件结 构. 例 4 (1)设计算法,求 ax+b=0 的解,并画出流程图. 解:对于方程 ax+b=0 来讲,应该分情况讨论方程的解. 我们要对一次项系数 a 和常数项 b 的取值情况进行分类,分类如下: (1)当 a≠0 时,方程有唯一的实数解是 ?

b ; a

(2)当 a=0,b=0 时,全体实数都是方程的解; (3)当 a=0,b≠0 时,方程无解. 联想数学中的分类讨论的处理方式,可得如下算法步骤:
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第一步,判断 a≠0 是否成立.若成立,输出结果“解为 ?

b ”. a

第二步,判断 a=0,b=0 是否同时成立.若成立,输出结果“解集为 R”. 第三步,判断 a=0,b≠0 是否同时成立.若成立,输出结果“方程无解”,结束算法. 程序框图如下:

点评:这是条件结构叠加问题,条件结构叠加,程序执行时需依次对“条件 1”“条件 2”“条件 3”……都进行 判断,只有遇到能满足的条件才执行该条件对应的操作. 知能训练 设计算法,找出输入的三个不相等实数 a、b、c 中的最大值,并画出流程图. 解:算法步骤: 第一步,输入 a,b,c 的值. 第二步,判断 a>b 是否成立,若成立,则执行第三步;否则执行第四步. 第三步,判断 a>c 是否成立,若成立,则输出 a,并结束;否则输出 c,并结束. 第四步,判断 b>c 是否成立,若成立,则输出 b,并结束;否则输出 c,并结束. 程序框图如下:

点评:条件结构嵌套与条件结构叠加的区别: (1)条件结构叠加,程序执行时需依次对“条件 1”“条件 2”“条件 3”……都进行判断,只有遇到能满足的 条件才执行该条件对应的操作. (2)条件结构的嵌套中,“条件 2”是“条件 1”的一个分支,“条件 3”是“条件 2”的一个分支……依此类推, 这些条件中很多在算法执行过程中根据所处的分支位置不同可能不被执行. (3)条件结构嵌套所涉及的“条件 2”“条件 3”……是在前面的所有条件依次一个一个的满足“分支条件成 立”的情况下才能执行的此操作,是多个条件同时成立的叠加和复合. 例 5 “特快专递”是目前人们经常使用的异地邮寄信函或托运物品的一种快捷方式.某快递公司规定甲、乙 两地之间物品的托运费用根据下列方法计算:
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f= ?

?0.53?, (? ? 50), ?50 ? 0.53 ? (? ? 50) ? 0.85, (? ? 50).

其中 f(单位:元)为托运费,ω 为托运物品的重量(单位:千克). 试画出计算费用 f 的程序框图.

分析:这是一个实际问题,根据数学模型可知,求费用 f 的计算公式随物品重量 ω 的变化而有所不同,因 此计算时先看物品的重量,在不同的条件下,执行不同的指令,这是条件结构的运用,是二分支条件结构. 其中,物品的重量通过输入的方式给出. 解:算法程序框图如右图: 拓展提升 有一城市,市区为半径为 15 km 的圆形区域,近郊区为距中心 15—25 km 的范围内的环形地带,距中 心 25 km 以外的为远郊区,如右图所示.市区地价每公顷 100 万元,近郊区地价每公顷 60 万元,远郊区 地价为每公顷 20 万元,输入某一点的坐标为(x,y),求该点的地价.

2 2 分析:由该点坐标(x,y),求其与市中心的距离 r= x ? y ,确定是市区、近郊区,还是远郊区,进而

?100,0 ? r ? 15, ? 确定地价 p.由题意知,p= ?60,15 ? r ? 25, ?20, r ? 25. ?
解:程序框图如下:

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课堂小结 (1)理解两种条件结构的特点和区别. (2)能用学过的两种条件结构解决常见的算法问题. 作业? 习题 1.1A 组 3. 设计感想 本节采用引人入胜的方法引入正课,选用的例题难度适中,有的经典实用,有的新颖独特,每个例题 都是很好的素材.条件结构是逻辑结构的核心,是培养学生逻辑推理的好素材,本节设计符合新课标精神, 难度设计略高于教材. 第 3 课时 循环结构 导入新课 思路 1(情境导入) 我们都想生活在一个优美的环境中,希望看到的是碧水蓝天,大家知道工厂的污水是怎样处理的吗? 污水进入处理装置后进行第一次处理,如果达不到排放标准,则需要再进入处理装置进行处理,直到达到 排放标准.污水处理装置是一个循环系统,对于处理需要反复操作的事情有很大的优势.我们数学中有很多 问题需要反复操作,今天我们学习能够反复操作的逻辑结构——循环结构. 思路 2(直接导入) 前面我们学习了顺序结构,顺序结构像一条没有分支的河流,奔流到海不复回;上一节我们学习了条 件结构,条件结构像有分支的河流最后归入大海;事实上很多水系是循环往复的,今天我们开始学习循环 往复的逻辑结构——循环结构. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)请大家举出一些常见的需要反复计算的例子. (2)什么是循环结构、循环体? (3)试用程序框图表示循环结构. (4)指出两种循环结构的相同点和不同点. 讨论结果: (1)例如用二分法求方程的近似解、数列求和等. (2)在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定的条件反复执行某些步骤的情况,这就是循环结 构.反复执行的步骤称为循环体. (3)在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构.即从算法某处开始,按照一定条件重复执
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行某一处理的过程.重复执行的处理步骤称为循环体. 循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环结构. 1°当型循环结构,如图(1)所示,它的功能是当给定的条件 P 成立时,执行 A 框,A 框执行完毕后, 返回来再判断条件 P 是否成立,如果仍然成立,返回来再执行 A 框,如此反复执行 A 框,直到某一次返 回来判断条件 P 不成立时为止,此时不再执行 A 框,离开循环结构.继续执行下面的框图. 2°直到型循环结构,如图(2)所示,它的功能是先执行重复执行的 A 框,然后判断给定的条件 P 是 否成立,如果 P 仍然不成立,则返回来继续执行 A 框,再判断条件 P 是否成立.继续重复操作,直到某一 次给定的判断条件 P 时成立为止,此时不再返回来执行 A 框,离开循环结构.继续执行下面的框图. 见示意图:

当型循环结构 直到型循环结构 (4)两种循环结构的不同点: 直到型循环结构是程序先进入循环体, 然后对条件进行判断, 如果条件不满足, 就继续执行循环体,直到条件满足时终止循环. 当型循环结构是在每次执行循环体前,先对条件进行判断,当条件满足时,执行循环体,否则终止循 环. 两种循环结构的相同点: 两种不同形式的循环结构可以看出,循环结构中一定包含条件结构,用于确 定何时终止执行循环体. 应用示例 思路 1 例 1 设计一个计算 1+2+??+100 的值的算法,并画出程序框图. 算法分析:通常,我们按照下列过程计算 1+2+??+100 的值. 第 1 步,0+1=1. 第 2 步,1+2=3. 第 3 步,3+3=6. 第 4 步,6+4=10. ?? 第 100 步,4 950+100=5 050. 显然,这个过程中包含重复操作的步骤,可以用循环结构表示.分析上述计算过程,可以发现每一步都 可以表示为第(i-1)步的结果+i=第 i 步的结果. 为了方便、有效地表示上述过程,我们用一个累加变量 S 来表示第一步的计算结果,即把 S+i 的结果 仍记为 S,从而把第 i 步表示为 S=S+i, 其中 S 的初始值为 0,i 依次取 1,2,…,100,由于 i 同时记录了循环的次数,所以也称为计数变量. 解决这一问题的算法是: 第一步,令 i=1,S=0. 第二步,若 i≤100 成立,则执行第三步;否则,输出 S,结束算法. 第三步,S=S+i. 第四步,i=i+1,返回第二步. 程序框图如右:

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上述程序框图用的是当型循环结构,如果用直到型循环结构表示,则程序框图如下:

点评:这是一个典型的用循环结构解决求和的问题,有典型的代表意义,可把它作为一个范例,仔细体会 三种逻辑结构在程序框图中的作用,学会画程序框图. 变式训练 已知有一列数

1 2 3 n , , ,?, ,设计框图实现求该列数前 20 项的和. 2 3 4 n ?1 i ,可实现累加,注意 i 只能加到 i ?1

分析:该列数中每一项的分母是分子数加 1,单独观察分子,恰好是 1,2,3,4,…,n,因此可用循环 结构实现,设计数器 i,用 i=i+1 实现分子,设累加器 S,用 S= S ? 20. 解:程序框图如下: 方法一:

方法二:

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点评:在数学计算中,i=i+1 不成立,S=S+i 只有在 i=0 时才能成立.在计算机程序中,它们被赋予了其他 的功能,不再是数学中的“相等”关系,而是赋值关系.变量 i 用来作计数器,i=i+1 的含义是:将变量 i 的 值加 1,然后把计算结果再存贮到变量 i 中,即计数器 i 在原值的基础上又增加了 1. 变量 S 作为累加器,来计算所求数据之和.如累加器的初值为 0,当第一个数据送到变量 i 中时,累 加的动作为 S=S+i,即把 S 的值与变量 i 的值相加,结果再送到累加器 S 中,如此循环,则可实现数的累 加求和. 例 2 某厂 2005 年的年生产总值为 200 万元, 技术革新后预计以后每年的年生产总值都比上一年增长 5%, 设计一个程序框图,输出预计年生产总值超过 300 万元的最早年份. 算法分析:先写出解决本例的算法步骤: 第一步,输入 2005 年的年生产总值. 第二步,计算下一年的年生产总值. 第三步,判断所得的结果是否大于 300,若是,则输出该年的年份,算法结束;否则,返回第二步. 由于“第二步”是重复操作的步骤, 所以本例可以用循环结构来实现.我们按照“确定循环体”“初始化变量”“设 定循环控制条件”的顺序来构造循环结构. (1)确定循环体:设 a 为某年的年生产总值,t 为年生产总值的年增长量,n 为年份,则循环体为 t=0.05a,a=a+t,n=n+1. (2) 初始化变量: 若将 2005 年的年生产总值看成计算的起始点, n 的初始值为 2005, 的初始值为 200. 则 a (3)设定循环控制条件:当“年生产总值超过 300 万元”时终止循环,所以可通过判断“a>300”是否成立来 控制循环. 程序框图如下:

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思路 2 例 1 设计框图实现 1+3+5+7+…+131 的算法. 分析:由于需加的数较多,所以要引入循环结构来实现累加.观察所加的数是一组有规律的数(每相临两 数相差 2) 那么可考虑在循环过程中, , 设一个变量 i, i=i+2 来实现这些有规律的数, 用 设一个累加器 sum, 用来实现数的累加,在执行时,每循环一次,就产生一个需加的数,然后加到累加器 sum 中. 解:算法如下: 第一步,赋初值 i=1,sum=0. 第二步,sum=sum+i,i=i+2. 第三步,如果 i≤131,则反复执第二步;否则,执行下一步. 第四步,输出 sum. 第五步,结束. 程序框图如右图.

点评: (1)设计流程图要分步进行,把一个大的流程图分割成几个小的部分,按照三个基本结构即顺序、 条件、循环结构来局部安排,然后把流程图进行整合. (2)框图画完后,要进行验证,按设计的流程分析是否能实现所求的数的累加,分析条件是否加到 131 就结束循环,所以我们要注意初始值的设置、循环条件的确定以及循环体内语句的先后顺序,三者要有机 地结合起来.最关键的是循环条件,它决定循环次数,可以想一想,为什么条件不是“i<131”或“i=131”, 如果是“i<131”,那么会少执行一次循环,131 就加不上了. 例 2 高中某班一共有 40 名学生,设计算法流程图,统计班级数学成绩良好(分数>80)和优秀(分数>90)的 人数. 分析:用循环结构实现 40 个成绩的输入,每循环一次就输入一个成绩 s,然后对 s 的值进行判断.设两个计 数器 m,n,如果 s>90,则 m=m+1,如果 80<s≤90,则 n=n+1.设计数器 i,用来控制 40 个成绩的输入,注意 循环条件的确定. 解:程序框图如下图:

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知能训练 由相应的程序框图如右图,补充完整一个计算 1+2+3+…+100 的值的算法.(用循环结构)

第一步,设 i 的值为_____________. 第二步,设 sum 的值为_____________. 第三步,如果 i≤100 执行第_____________步,否则,转去执行第_____________步. 第四步,计算 sum+i 并将结果代替_____________. 第五步,计算_____________并将结果代替 i. 第六步,转去执行第三步. 第七步,输出 sum 的值并结束算法. 分析:流程图各图框的内容(语言和符号)要与算法步骤相对应,在流程图中算法执行的顺序应按箭头方 向进行. 解:第一步,设 i 的值为 1. 第二步,设 sum 的值为 0. 第三步,如果 i≤100,执行第四步,否则,转去执行第七步.
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第四步,计算 sum+i 并将结果代替 sum. 第五步,计算 i+1 并将结果代替 i. 第六步,转去执行第三步. 第七步,输出 sum 的值并结束算法. 拓展提升 设计一个算法,求 1+2+4+…+249 的值,并画出程序框图. 解:算法步骤: 第一步,sum=0. 第二步,i=0. 第三步,sum=sum+2i. 第四步,i=i+1. 第五步,判断 i 是否大于 49,若成立,则输出 sum,结束.否则,返回第三步重新执行. 程序框图如右图:

点评: (1) 如果算法问题里涉及的运算进行了许多次重复的操作, 且先后参与运算的数之间有相同的规律, 就可引入变量循环参与运算(我们称之为循环变量) ,应用于循环结构.在循环结构中,要注意根据条件设 计合理的计数变量、累加和累乘变量及其个数等,特别要求条件的表述要恰当、精确. (2)累加变量的初始值一般取 0,而累乘变量的初始值一般取 1. 课堂小结 (1)熟练掌握两种循环结构的特点及功能. (2)能用两种循环结构画出求和等实际问题的程序框图,进一步理解学习算法的意义. 作业 习题 1.1A 组 2. 设计感想 本节的引入抓住了本节的特点,利用计算机进行循环往复运算,解决累加、累乘等问题.循环结构是逻 辑结构中的难点,它一定包含一个条件结构,它能解决很多有趣的问题.本节选用了大量精彩的例题,对我 们系统掌握程序框图有很大的帮助. 第 4 课时 程序框图的画法 导入新课 思路 1(情境导入) 一条河流有时像顺序结构,奔流到海不复回;有时像条件结构分分合合向前进;有时像循环结构,虽 有反复但最后流入大海.一个程序框图就像一条河流包含三种逻辑结构,今天我们系统学习程序框图的画 法. 思路 2(直接导入) 前面我们学习了顺序结构、条件结构、循环结构,今天我们系统学习程序框图的画法.
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推进新课 新知探究 提出问题 (1)请大家回忆顺序结构,并用程序框图表示. (2)请大家回忆条件结构,并用程序框图表示. (3)请大家回忆循环结构,并用程序框图表示. (4)总结画程序框图的基本步骤. 讨论结果: (1)顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的,这是任何一个算法都离不开的基本结构.框图略. (2)在一个算法中,经常会遇到一些条件的判断,算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.条件结构就 是处理这种过程的结构.框图略. (3)在一些算法中要求重复执行同一操作的结构称为循环结构.即从算法某处开始,按照一定条件重复执行 某一处理过程.重复执行的处理步骤称为循环体. 循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环结构.框图略. (4)从前面的学习可以看出,设计一个算法的程序框图通常要经过以下步骤: 第一步,用自然语言表达算法步骤. 第二步,确定每一个算法步骤所包含的逻辑结构,并用相应的程序框表示,得到该步骤的程序框图. 第三步,将所有步骤的程序框图用流程线连接起来,并加上终端框,得到表示整个算法的程序框图. 应用示例 例 1 结合前面学过的算法步骤,利用三种基本逻辑结构画出程序框图,表示用“二分法”求方程 x2-2=0 (x>0)的近似解的算法. 算法分析: (1)算法步骤中的“第一步”“第二步”和“第三步”可以用顺序结构来表示(如下图) :

(2)算法步骤中的“第四步”可以用条件结构来表示(如下图).在这个条件结构中,“否”分支用“a=m”表示 含零点的区间为[m,b],并把这个区间仍记成[a,b] ;“是”分支用“b=m ”表示含零点的区间为[a,m] , 同样把这个区间仍记成[a,b].

(3)算法步骤中的“第五步”包含一个条件结构,这个条件结构与“第三步”“第四步”构成一个循环结构,循 环体由“第三步”和“第四步”组成, 终止循环的条件是“|a-b|<d 或 f(m)=0”.在“第五步”中, 还包含由循环结构 与“输出 m”组成的顺序结构(如下图).
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(4)将各步骤的程序框图连接起来,并画出“开始”与“结束”两个终端框,就得到了表示整个算法的程序框 图(如下图).

点评:在用自然语言表述一个算法后,可以画出程序框图,用顺序结构、条件结构和循环结构来表示这个 算法,这样表示的算法清楚、简练,便于阅读和交流. 例 2 相传古代的印度国王要奖赏国际象棋的发明者,问他需要什么.发明者说:陛下,在国际象棋的第一 个格子里面放 1 粒麦子,在第二个格子里面放 2 粒麦子,第三个格子放 4 粒麦子,以后每个格子中的麦粒 数都是它前一个格子中麦粒数的二倍,依此类推(国际象棋棋盘共有 64 个格子),请将这些麦子赏给我, 我将感激不尽.国王想这还不容易,就让人扛了一袋小麦,但不到一会儿就没了,最后一算结果,全印度一 年生产的粮食也不够.国王很奇怪,小小的“棋盘”,不足 100 个格子,如此计算怎么能放这么多麦子?试用 程序框图表示此算法过程. 解:将实际问题转化为数学模型,该问题就是要求 1+2+4+……+263 的和. 程序框图如下:

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点评:对于开放式探究问题,我们可以建立数学模型(上面的题目可以与等比数列的定义、性质和公式联 系起来)和过程模型来分析算法,通过设计算法以及语言的描述选择一些成熟的办法进行处理. 例 3 乘坐火车时,可以托运货物.从甲地到乙地,规定每张火车客票托运费计算方法是:行李质量不超 过 50 kg 时按 0.25?元/kg;超过 50 kg 而不超过 100 kg 时,其超过部分按 0.35 元/kg;超过 100 kg 时, 其超过部分按 0.45 元/kg.编写程序,输入行李质量,计算出托运的费用. 分析: 本题主要考查条件语句及其应用. 先解决数学问题, 列出托运的费用关于行李质量的函数关系式. 设 行李质量为 x kg,应付运费为 y 元,则运费公式为:

?0.25x,0 ? x ? 50, ? y= ?0.25 ? 50 ? 0.35( x ? 50),50 ? x ? 100, ?0.25 ? 50 ? 0.35 ? 50 ? 0.45( x ? 100), x ? 100, ? ?0.25x,0 ? x ? 50, ? 整理得 y= ?0.35x ? 5,50 ? x ? 100, ?0.45x ? 15, x ? 100. ?
要计算托运的费用必须对行李质量分类讨论,因此要用条件语句来实现. 解:算法分析: 第一步,输入行李质量 x. 第二步,当 x≤50 时,计算 y=0.25x,否则,执行下一步. 第三步,当 x≤100,计算 y=0.35x-5,否则,计算 y=0.45x-15. 第四步,输出 y. 程序框图如下:

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知能训练 设计一个用有理数数幂逼近无理指数幂 5 解:算法步骤: 第一步,给定精确度 d,令 i=1. 第二步,取出 2 的到小数点后第 i 位的不足近似值,记为 a;取出 2 的到小数点后第 i 位的过剩近似值, 记为 b. 第三步,计算 m=5b-5a. 第四步,若 m<d,则得到 5 第五步,得到 5 程序框图如下:
2 2 2

的算法,画出算法的程序框图.

的近似值为 5a;否则,将 i 的值增加 1,返回第二步.

的近似值为 5a.

拓展提升

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求4?

1 4? 1

,画出程序框图.

1 4 ??? 4 ??? ??? ? ? ?
( 共10 个 4 )

分析:如果采用逐步计算的方法,利用顺序结构来实现,则非常麻烦,由于前后的运算需重复多次相同的 运算,所以应采用循环结构,可用循环结构来实现其中的规律.观察原式中的变化的部分及不变项,找出 总体的规律是 4+

1 ,要实现这个规律,需设初值 x=4. x

解:程序框图如下:

课堂小节 (1)进一步熟悉三种逻辑结构的应用,理解算法与程序框图的关系. (2)根据算法步骤画出程序框图. 作业 习题 1.1B 组 1、2. 设计感想 本节是前面内容的概括和总结,在回忆前面内容的基础上,选择经典的例题,进行了详尽的剖析,这 样降低了学生学习的难度.另外,本节的练习难度适中,并且多为学生感兴趣的问题,这样为学生学好本节 内容作好充分准备,希望大家喜欢这一节课.

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1.2 基本算法语句

1.2.1 输入语句、输出语句和赋值语句
整体设计 教学分析 通过上一节的学习,学生了解了算法的含义,学习了用算法步骤和程序框图表示算法的方法,本节介 绍用程序设计语言表示算法的方法. 算法步骤和程序框图表示的算法,计算机是不能理解的,程序是算法 的精确形式, 是计算机可以理解的算法.本节的教学重点是通过实例使学生理解三种基本算法语句的结构和 用法,并在此基础上编写由算法语句组成的程序,从而更细致地刻画算法,进一步体会算法的基本思想. 三维目标 1.理解学习基本算法语句的意义. 2.学会输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法. 3.理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系,学会算法语句的写法. 重点难点 教学重点:输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法. 教学难点:算法语句的写法. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1(情境导入) 中国足球队在亚洲杯上的失利说明, 中国足球仍然需要请外国教练.高水平的外国教练有先进的足球理 念,有系统科学的训练计划,有先进的足球技术,但由于语言不通不能直接传授给队员. 算法步骤、程序 框图虽然容易掌握,但计算机不能理解,因此我们需要学习算法语句. 思路 2(直接导入) 前面我们学习了程序框图的画法,为了让计算机能够理解算法步骤、 程序框图, 我们开始学习算法语句. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)指出输入语句的格式、功能、要求. (2)指出输出语句的格式、功能、要求. (3)指出赋值语句的格式、功能、要求. (4)利用框图总结三种语句的功能、格式、特点. (5)指出三种语句与框图的对应关系. 讨论结果: (1)输入语句的格式:INPUT“提示内容”; 变量 例如:INPUT “x=”;x 功能:实现算法的输入变量信息(数值或字符)的功能. 要求: 1°输入语句要求输入的值是具体的常量. 2°提示内容提示用户输入的是什么信息,必须加双引号,提示内容 “原原本本”的在计算机屏幕上显示, 提示内容与变量之间要用分号隔开. 3°一个输入语句可以给多个变量赋值,中间用“,”分隔. 形式如:INPUT“a=,b=,c=,”;a,b,c (2)输出语句的一般格式:PRINT“提示内容”;表达式 例如:PRINT“S=”;S
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功能:实现算法输出信息(表达式)的功能. 要求: 1°表达式是指算法和程序要求输出的信息. 2°提示内容提示用户要输出的是什么信息,提示内容必须加双引号,提示内容要用分号和表达式分开. 3°如同输入语句一样,输出语句可以一次完成输出多个表达式的功能,不同的表达式之间可用“,”分隔. 形式如:PRINT “a,b,c:”;a,b,c (3)赋值语句的一般格式:变量=表达式. 赋值语句中的“=”称作赋值号. 功能:将表达式所代表的值赋给变量. 要求: 1°赋值语句左边只能是变量名字,而不是表达式,右边表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式. 如:2=x 是错误的. 2°赋值号的左右两边不能对换 .赋值语句是将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量 .如 “A=B”“B=A”的含义运行结果是不同的,如 x=5 是对的,5=x 是错的,A+B=C 是错的,C=A+B 是对的. 3°不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解、解方程等) ,如 y=x2-1=(x-1)(x+1),这是 实现不了的.在赋值号右边表达式中每一个变量的值必须事先赋给确定的值.在一个赋值语句中只能给一个 变量赋值,不能出现两个或以上的“=”.但对于同一个变量可以多次赋值. (4)三种语句的功能、格式、特点如下: 在 QBASIC 语言中, 输入语句?是 INPUT 语句, 输出语句是 PRINT 语句, 赋值语句是 LET 语句 (“LET” 可以省略).下表列出了这三种语句的一般格式、主要功能和相关说明,供教师教学时参考,不要求学生掌 握.

INPUT 语句 格 式 功 能 INPUT“提示内容”;变量 可对程序中的变量赋值 ①又称“键盘输入语句”, 在程 序运行过程中, 停机等候用户 由键盘输入数据, 而不需要在 写程序时指定 ②“提示内容”和它后面的“;” 可以省略 说 明

③一个语句可以给多个变量 ③一个语句可以 赋值,中间用“,”分隔 输出多个表达式. ④无计算功能 不同的表达式之 间可用“,”分隔 ⑤用户由键盘输入的数据必 须是常量, 输入多个数据时用 ④有计算功能, “,”分隔,且个数要与变量的 能直接输出计算 个数相同 公式的值

PRINT 语句 赋值语句 PRINT“ 提 示 内 LET 变量=表达式 容”;表达式 可输出表达式的 可对程序中的变量赋值, 值,计算 计算 ①在程序运行过程中给 ①又称“打印语 变量赋值 句”,将表达式的 值在屏幕上显示 ②“LET”可以省略,“=” 出来 的右侧必须是表达式, 左 侧必须是变量 ②表达式可以是 变量、计算公式 ③一个语句只能给一个 或系统信息 变量赋值 ④有计算功能 ⑤将一个变量的值赋给 另一个变量, 前一个变量 的值保持不变; 可先后给 一个变量赋多个不同的 值, 但变量的取值总是最 后被赋予的值

(5)指出三种语句与框图的对应关系如下图.

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应用示例 思路 1 例 1 用描点法作函数 y=x3+3x2-24x+30 的图象时,需要求出自变量和函数的一组对应值 .编写程序,分别 计算当 x=-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5 时的函数值. 算法分析:根据题意,对于每一个输入的自变量的值,都要输出相应的函数值.写成算法步骤如下: 第一步,输入一个自变量的 x 的值. 第二步,计算 y=x3+3x2-24x+30. 第三步,输出 y. 程序框图如下图:

显然,这是一个由顺序结构构成的算法,按照程序框图中流程线的方向,依次将程序框中的内容写成 相应的算法语句,就得相应的程序. 解:程序: INPUT “x”;x y=x^3+3*x^2-24*x+30 PRINT y END 点评:前面我们学习了算法步骤、程序框图,我们对照程序框图与算法语句可以得到它们之间的对应关系. 例如:在这个程序中,第 1 行中的 INPUT 语句就是输入语句.这个语句的一般格式是

INPUT

“提示内容”;变量

其中,“提示内容”一般是提示用户输入什么样的信息,每次运行例 1 中的程序时,依次输入-5,-4,-3,-2, -1,0,1,2,3,4,5,计算机每次都把新输入的值赋给变量“x”,并按“x”新获得的值计算变量“y”的值. 例 2 给一个变量重复赋值. 解:程序: A=10 A=A+15 PRINT A END 点评:给一个变量重复赋值,变量只保存最后一次赋值,比如此程序的输出值是 25. 例 3 编写程序,计算一个学生数学、语文、英语三门课的平均成绩. 算法分析:
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先写出解决本例的算法步骤: 第一步,输入该学生数学、语文、英语三门课的成绩 a,b,c. 第二步,计算 y= 第三步,输出 y. 程序框图如下:

a?b?c . 3

由于 PRINT 语?句还可以用于输出数值计算的结果,所以这个算法可以写成下列程序. 程序: INPUT “Maths=”;a INPUT “Chinese=”;b INPUT “English=”;c PRINT “The average=”;(a+b+c)/3 END 点评:例 3 中的第 4 行的?PRINT 语?句是输出语句,它的一般形式是

PRINT“提示内容”;表达式
PRINT 语句可以在计算机的屏幕上输出常量、变量的值和系统信息,同输入语句一样,这里的表达式前也 可以有“提示内容”. 例 4 变换两个变量 A 和 B 的值,并输出交换前后的值. 解:程序: INPUT A,B PRINT A,B x=A A=B B=x PRINT A,B END 思路 2 例 1 写出求三个数 a,b,c 的方差的程序. 分析:方差是在初中统计内容中学习过的知识,计算所有数的方差首先计算所有数的平均数 x ,通过公式 s2=

( x1 ? x ) 2 ? ( x 2 ? x ) 2 ? ? ? ( x n ? x ) 2 来计算. n
a?b?c . 3

算法步骤: 第一步,计算平均数 x ?

(a ? x ) 2 ? (b ? x ) 2 ? (c ? x ) 2 第二步,计算方差 s = . 3
2

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第三步,得到的结果即为所求. 程序如下: INPUT a,b,c y=(a+b+c)/3 S=((a-y)2+ (b-y)2+ (c-y)2)/3 PRINT S END 点评:套用公式求值问题是传统数学求值问题的一种,它是一种典型的顺序结构,也就是说只通过输入、 输出和赋值语句就可以完成任务.解决这类问题的关键是先分析这种问题的解法,即构造计算的过程,再写 出算法步骤和流程图,再翻译成算法语句即可. 例 2 编写一个程序,要求输入两个正数 a 和 b 的值,输出 ab 和 ba 的值. 分析:可以利用?INPUT 语?句输入两个正数,然后将 ab 和 ba 的值分别赋给两个变量输出即可.也可以将 ab 和 ba 的底数和幂数进行交换,故还可以利用赋值语句,采用将两个变量的值互换的办法实现. 解:程序 1: INPUT “a,b:”;a,b A=a^b B=b^a PRINT “a^b=”;A,“b^a=”;B END 程序 2: INPUT “a,b:”;a,b A=a^b PRINT “a^b=”;A x=a a=b b=x A=a^b PRINT “b^a=”;A END 点评:交换 a,b 的值可通过下面三个语句来实现: t=a a=b b=t 通过引进一个中间变量 t 实现变量 a 和 b 的值的交换,因此只需用赋值语句即可实现算法.在一些较为复杂 的问题算法中经常需要对两个变量的值进行交换,因此应熟练掌握这种方法. 知能训练 1.判断下列给出的输入语句、输出语句和赋值语句是否正确?为什么? (1)输入语句 INPUT a;b;c (2)输出语句 A=4 (3)赋值语句 3=B (4)赋值语句 A=B=-2 解: (1)错,变量之间应用“,”号隔开. (2)错,PRINT 语句不能用赋值号“=”. (3)错,赋值语句中“=”号左右不能互换. (4)错,一个赋值语句只能给一个变量赋值. 点评:输入语句、输出语句和赋值语句基本上对应于算法中的顺序结构.输入语句、输出语句和赋值语句都
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不包括“控制转移”,由它们组成的程序段必然是顺序结构. 2.请写出下面运算输出的结果. (1)a=5 b=3 c=(a+b)/2 d=c*c PRINT“d=”;d (2)a=1 b=2 c=a+b b=a+c-b PRINT “a=,b=,c=”;a,b,c (3)a=10 b=20 c=30 a=b b=c c=a PRINT “a=,b=,c=” ;a,b,c 解: (1)16;语句 c=(a+b)/2 是将 a,b 和的一半赋值给变量 c,语句 d=c*c 是将 c 的平方赋值给 d,最后输 出 d 的值. (2)1,2,3;语句 c=a+b 是将 a,b 的和赋值给 c,语句 b=a+c-b 是将 a+c-b 的值赋值给了 b. (3)20,30,20;经过语句 a=b 后 a,b,c 的值是 20,20,30.经过语句 b=c 后 a,b,c 的值是 20,30, 30.经过语句 c=a 后 a,b,c 的值是 20,30,20. 点评:语句的识别问题是一个逆向性思维,一般我们认为我们的学习是从算法步骤(自然语言)至程序框 图,再到算法语言(程序).如果将程序摆在我们的面前时,我们要先识别每个语句,再整体把握并概括出 程序的功能. 拓展提升 已知某生某三科的成绩为 80、75、95 分,求三科的总分及平均分. 分析:将三科成绩赋给三个变量 A,B,C,然后对三个变量进行操作、运算,求其总分、平均分.变量的 起名规则:由字母、数字、下划线组成,但第一个字符必须是字母(大、小写皆可) ,起名时尽量做到见 名知义,如本例中我们可用变量?ZF 表示总分,PJF 表?示平均分. 解:程序框图如下图:

程序: A=80
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B=75 C=95 ZF=A+B+C PJF=ZF/3 PRINT ZF,PJF END 课堂小结 (1)输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法. (2)用输入语句、输出语句和赋值语句编写算法语句. 作业?习题 1.2A 组 2. 设计感想 本节的引入阐明了程序框图与算法语句的关系,本节利用框图与语句的对应关系降低了本节的学习难 度.由于本节是算法语句的开始,所以本节选用了大量难度较低的算法语句供学生练习,让学生充分体会程 序框图与算法语句的关系,为今后的学习打好基础并树立信心.

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1.2.2 条件语句
整体设计 教学分析 通过上一节的学习,学生学会了输入语句、输出语句和赋值语句的基本用法,本节介绍条件语句的用 法. 程序中的条件语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系,这种对应关系对于学生理解条件语句 的结构,进一步理解算法中的条件结构都是很有帮助的.我们可以给出条件语句的一般格式,让学生自己画 出相应的程序框图,也可以给出程序框图,让学生写出算法语句. 三维目标 1.理解学习基本算法语句的意义. 2.学会条件语句的基本用法. 3.理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系,学会算法语句的写法. 重点难点 教学重点:条件语句的基本用法. 教学难点:算法语句的写法. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1(情境导入) 一位老农平整了一块良田, 种瓜好呢, 还是种豆好呢, 他面临着一个选择.如果他选择种瓜, 他会得瓜, 如果他选择种豆,他会得豆.人的一生面临许多选择,我们要做出正确的选择.前面我们学习了条件结构, 今天我们学习条件语句. 思路 2(直接导入) 前面我们学习了程序框图的画法,为了让计算机能够理解算法步骤、程序框图,上一节我们学习了输入 语句、输出语句、赋值语句,今天我们开始学习条件语句. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)回忆程序框图中的两种条件结构. (2)指出条件语句的格式及功能. (3)指出两种条件语句的相同点与不同点. (4)揭示程序中的条件语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系. 讨论结果: (1)一个算法中,经常会遇到一些条件的判断,算法的流程根据条件是否成立有不同的流向.条件结构就 是处理这种过程的结构. 用程序框图表示条件结构如下图:

(2)条件语句 1°“IF—THEN—ELSE”语句 格式:
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IF 条件 THEN 语句体 1 ELSE 语句体 2 END IF 功能: 在“IF—THEN—ELSE”语句中, “条件”表示判断的条件, “语句体 1”表示满足条件时执行的操作内容; “ 语 句 体 2” 表 示 不 满 足 条 件 时 执 行 的 操 作 内 容 ; END IF 表 示 条 件 语 句 的 结 束 . 计 算 机 在 执 行 “IF—THEN—ELSE”语句时, 首先对 IF 后的条件进行判断, 如果符合条件, 则执行 THEN 后面的“语句 1”; 若不符合条件,则执行 ELSE 后面的“语句 2”. 2°“IF—THEN”语句 格式: IF 条件 THEN 语句体 END IF 功能:“条件”表示判断的条件;“语句”表示满足条件时执行的操作内容,条件不满足时,直接结束判断过 程;END IF 表示条件语句的结束.计算机在执行“IF—THEN”语句时,首先对 IF 后的条件进行判断,如果 符合条件就执行 THEN 后边的语句,若不符合条件则直接结束该条件语句,转而执行其他后面的语句. (3)相同点:首先对 IF 后的条件进行判断,如果符合条件就执行 THEN 后边的语句. 不同点:对于“IF—THEN—ELSE”语句,若不符合条件,则执行 ELSE 后面的“语句体 2”. 对于“IF—THEN”语句,若不符合条件则直接结束该条件语句,转而执行其他后面的语句. (4)程序中的条件语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系如下图:

应用示例 思路 1 例 1 编写一个程序,求实数 x 的绝对值. 算法分析:首先,我们来设计求实数 x 的绝对值的算法,因为实数 x 的绝对值为 |x|= ?

? x( x ? 0), ?? x( x ? 0),

所以算法步骤可以写成: 第一步,输入一个实数 x. 第二步,判断 x 的符号.若 x≥0,则输出 x;否则,输出-x. 显然,“第二步”可以用条件结构来实现. 程序框图如下图:
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程序: INPUT x IF x>=0 THEN PRINT x ELSE PRINT -x END IF END 点评:通过本题我们看到算法步骤可以转化为程序框图,程序框图可以转化为算法语句.本题揭示了它们之 间的内在联系,只要理解了程序框图与算法语句的对应关系,把程序框图转化为算法语句就很容易了. 变式训练 阅读下面的程序,你能得出什么结论? INPUT x IF x<0 THEN x=-x END IF PRINT x END 解:由程序得出,该程序是输出 x 的绝对值. 例 2 把前面求解一元二次方程 ax2+bx+c=0 的程序框图转化为程序. 解: 由程序框图可以发现, 其中包含着两个条件结构, 而且内层的条件结构是外层的条件结构的一个分支, 所以,可以用“IF—THEN—ELSE—END IF”来完成转化. 程序: INPUT “a,b,c=”;a,b,c d=b^2-4*a*c IF d>=0 THEN p=-b/(2*a) q=SQR(d)/(2*a) IF d=0 THEN PRINT “x1=x2=”;p ELSE PRINT “x1,x2=”;p+q,p-q END IF ELSE PRINT“No real root” END IF END 例 3 编写程序,使任意输入的 3 个整数按从大到小的顺序输出.
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算法分析:用 a,b,c 表示输入的 3 个整数.为了节约变量,把它们重新排列后,仍用 a,b,c 表示,并使 a≥b≥c.具体操作步骤如下: 第一步,输入 3 个整数 a,b,c. 第二步,将 a 与 b 比较,并把小者赋给 b,大者赋给 a. 第三步,将 a 与 c 比较,并把小者赋给 c,大者赋给 a(此时 a 已是三者中最大的). 第四步,将 b 与 c 比较,并把小者赋给 c,大者赋给 b(此时 a,b,c 已按从大到小的顺序排列好). 第五步,按顺序输出 a,b,c. 如下图所示,上述操作步骤可以用程序框图更直观地表达出来.

根据程序框图,写出相应的计算机程序. INPUT “a,b,c=”;a,b,c IF b>a THEN t=a a=b b=t END IF IF c>a THEN t=a a=c c=t END IF IF c>b THEN t=b b=c c=t END IF PRINT a,b,c END 思路 2
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例 1 编写程序,输出两个不相等的实数 a、b 的最大值. 分析:要输出两个不相等的实数 a、b 的最大值,从而想到对 a,b 的大小关系进行判断,a,b 的大小关系 有两种情况: (1)a>b; (2)b>a.这也就用到了我们经常提及的分类讨论的方式,找出两个数的最大值. 解:算法一: 第一步,输入 a, b 的数值. 第二步,判断 a,b 的大小关系,若 a>b,则输出 a 的值,否则,输出 b 的值. (程序框图如下图)

程序如下: (“IF—THEN—ELSE”语句) INPUT “a,b”;a,b IF a>b THEN PRINT a ELSE PRINT b END IF END 算法二: 第一步,输入 a,b 的数值. 第二步,判断 a,b 的大小关系,若 b>a,则将 b 的值赋予 a;否则,直接执行第三步. 第三步,输出 a 的值,结束. (程序框图如下图)

程序如下: (“IF—THEN”语句) INPUT “a,b”;a,b IF b>a THEN a=b END IF PRINT a END 点评:设计一个“好”的算法需要在大量的算法设计中积累经验.我们也可以先根据自己的思路设计算法,再 与 “成形”的、高效的、优秀的算法比较,改进思路,改进算法,以避免重复计算等问题,提高算法设计的 水平.
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(2)我们在平常的训练中尽可能地少引用变量,过多的变量不仅会使得算法和程序变得复杂,而且不利 于计算机的执行.为此,我们在练习中要尽可能少引入变量并且要积极思考才能少引入变量.

?1, x ? 0, ? 例 2 高等数学中经常用到符号函数,符号函数的定义为 y= ?0, x ? 0, 试编写程序输入 x 的值,输出 y 的 ?? 1, x ? 0, ?
值. 解:程序一: (嵌套结构) 程序框图: (下图)

程序如下: INPUT x IF x>0 THEN y=1 ELSE IF x=0 THEN y=0 ELSE y=-1 END IF END IF PRINT y END 程序二: (叠加结构) 程序框图(右图) :

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程序如下: INPUT x IF x>0 THEN y=1 END IF IF x=0 THEN y=0 END IF IF x<0 THEN y=-1 END IF PRINT y END 点评: (1)条件结构的差异,造成程序执行的不同.当代入 x 的数值时,“程序一”先判断外层的条件,依次 执行不同的分支,随后再判断内层的条件;而“程序二”中执行了对“条件 1”的判断,同时也对“条件 2”进行 判断,是按程序中条件语句的先后依次判断所有的条件,满足哪个条件就执行哪个语句. (2)条件语句的嵌套可多于两层,可以表达算法步骤中的多重限制条件. 知能训练 中国网通规定:拨打市内电话时,如果不超过 3 分钟,则收取话费 0.22 元;如果通话时间超过 3 分钟,则 超出部分按每分钟 0.1 元收取通话费, 不足一分钟按以一分钟计算.设通话时间为 (分钟)通话费用 y 元) t , ( , 如何设计一个程序,计算通话的费用. 解:算法程序如下: INPUT “请输入通话时间:”;t IF t<=3 THEN y=0.22 ELSE IF INT(t)=t THEN y=0.22+0.1*(t-3) ELSE y=0.22+0.1*(INT(t-3)+1) END IF END IF PRINT “通话费用为:”;y END 拓展提升

?2 x,0 ? x ? 4, ? 函数 y= ?8,4 ? x ? 8, 写出求函数的函数值的程序. ?2(12 ? x ),8 ? x ? 12, ?
解:INPUT x=”;x IF x>=0 and x<=4 THEN y=2*x ELSE IF x<=8 THEN y=8 ELSE y=2*(12-x) END IF
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END IF PRINT y END 课堂小结 (1)条件语句的用法. (2)利用条件语句编写算法语句. 作业 习题 1.2 B 组 1. 设计感想 条件语句是算法语句的基础和核心,本节设计以条件结构和条件语句的对应关系为基础,引导学生将 程序框图转化为算法语句.本节的难点是正确区分叠加结构和镶嵌结构,并会应用它们编写算法语句.本节 选用大量精彩题目让学生反复训练,使学生熟练掌握程序框图与算法语句的关系,达到解决本节难点的目 的.

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1.2.3 循环语句
整体设计 教学分析 通过前面的学习,学生学会了输入语句、输出语句、赋值语句和条件语句的基本用法,本节将介绍循 环语句的用法. 程序中的循环语句与程序框图中的循环结构存在一一对应关系,这种对应关系对于学生理 解循环语句的结构,进一步理解算法中的循环结构都是很有帮助的.我们可以给出循环语句的一般格式,让 学生自己画出相应的程序框图,也可以给出程序框图,让学生写出算法语句,提高学生的应用能力. 三维目标 1.理解学习基本算法语句的意义. 2.学会循环语句的基本用法. 3.理解算法步骤、程序框图和算法语句的关系,学会算法语句的写法. 重点难点 教学重点:循环语句的基本用法. 教学难点:循环语句的写法. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1(情境导入) 一位同学不小心违反了学校纪律,班主任令其写检查,他写完后交给班主任,班主任看后说: “认识 不深刻,拿回去重写,直到认识深刻为止”.这位同学一想,这不是一个循环结构吗?可惜我还没学循环语 句,不然可以写一个算法语句输入计算机了.同学们,今天我们开始学习循环语句. 思路 2(直接导入) 前面我们学习了程序框图的画法,为了让计算机能够理解算法步骤、程序框图,上一节我们学习了输入 语句、输出语句、赋值语句和条件语句,今天我们开始学习循环语句. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)试用程序框图表示循环结构. (2)指出循环语句的格式及功能. (3)指出两种循环语句的相同点与不同点. (4)揭示程序中的循环语句与程序框图中的条件结构存在一一对应关系. 讨论结果: (1)循环结构 循环结构有两种形式:当型循环结构和直到型循环结构. 1°当型循环结构,如图(1)所示 2°直到型循环结构,如图(2)所示,

(1)当型循环结构 (2)循环语句 1°当型循环语句 当型(WHILE 型)语句的一般格式为:
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(2)直到型循环结构

WHILE 条件 循环体 WEND 功能:计算机执行此程序时,遇到 WHILE 语句,先判断条件是否成立,如果成立,则执行 WHILE 和 WEND 之间的循环体;然后返回到 WHILE 语句再判断上述条件是否成立,如果成立,再执行循环体, 这个过程反复执行,直到一次返回到 WHILE 语句判断上述条件不成立为止,这时不再执行循环体,而是 跳到 WEND 语句后,执行 WEND 后面的语句.因此当型循环又称“前测试型”循环,也就是我们经常讲的 “先测试后执行” “先判断后循环”. 2°直到型循环语句 直到型(UNTIL 型)语句的一般格式为: DO 循环体 LOOP UNTIL 条件 功能: 计算机执行 UNTIL 语句时, 先执行 DO 和 LOOP UNTIL 之间的循环体, 然后判断 “LOOP UNTIL” 后面的条件是否成立,如果条件不成立,返回 DO 语句处重新执行循环体.这个过程反复执行,直到一次判 断 “LOOP UNTIL” 后面的条件成立为止, 这时不再返回执行循环体, 而是跳出循环体执行 “LOOP UNTIL 条件”下面的语句. 因此直到型循环又称“后测试型”循环,也就是我们经常讲的“先执行后测试” “先循环后判断”. (3)相同点:都是反复执行循环体语句. 不同点:当型循环语句是先判断后循环,直到型循环语句是先循环后判断. (4)下面为循环语句与程序框图中的条件结构的一一对应关系. 1°直到型循环结构:

2°当型循环结构:

应用示例 思路 1 例 1 修改前面编写过的求函数 y=x3+3x2-24x+30 的值的程序,连续输入 11 个自变量的取值,输出相应的 函数值. 算法分析:与前面不同的是,本例要求连续输入 11 个自变量的取值.并输出相应的函数值,先写出解决本 例的算法步骤: 第一步,输入自变量 x 的值.
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第二步,计算 y=x3+3x2-24x+30. 第三步,输出 y. 第四步,记录输入次数. 第五步,判断输入的次数是否大于 11.若是,则结束算法;否则,返回第一步. 显然,可以用计数变量 n(1≤n≤11)记录次数,通过循环结构来实现算法. 程序框图如下图:

程序: n=1 DO INPUT x y=x^3+3*x^2-24*x+30 PRINT y n=n+1 LOOP UNTIL n>11 END 例 2 教材中的用“二分法”求方程 x2-2=0(x>0)的近似解的程序框图(见教材图 1.120)包含了顺序结 构、条件结构和循环结构.下面,我们把这个程序框图转化为相应的程序. 解:程序为: INPUT “a,b,d=” ;a,b,d DO m=(a+b)/2 g=a^2-2 f=m^2-2 IF g*f<0 THEN b=m ELSE a=m END IF LOOP UNTIL ABS(a-b)<d OR f=0 PRINT m END 点评:ABS()是一个函数,用来求某个数的绝对值,即 ABS(x)=|x|. 例 3 设计一个计算 1×3×5×7×?×99 的算法,编写算法程序.
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解:算法如下: 第一步,s=1. 第二步,i=3. 第三步,s=s×i. 第四步,i=i+2. 第五步,如果 i≤99,那么转到第三步. 第六步,输出 s. 程序如下:“WHILE 型”循环语句) ( s=1 i=3 WHILE i<=99 s=s*i i=i+2 WEND PRINT s END 点评:前面我们已经学过“求和”问题,这是一个“求积”问题,这两个问题都是典型的算法问题,注意 它们的联系与区别. 例 4 编写一个程序,求 1!+2!+?+10!的值(其中 n!=1×2×3×?×n). 分析:这个问题可以用“WHILE+ WHILE”循环嵌套语句格式来实现. 程序结构要做到如下步骤: ①处理“n! ”的值; (注:处理 n!的值的变量是一个内循环变量) ②累加“n! ”的值.(注:累加 n!的值的变量是一个外循环变量) 显然,通过 10 次循环可分别求出 1!、2!、?、10!的值,并同时累加起来, 可求得 S 的值.而求 T=n! ,又可 以用一个循环(内循环)来实现. 解:程序为: s=0 i=1 WHILE i<=10 j=1 t=1 WHILE j<=i t=t*j j=j+1 WEND s=s+t i=i+1 WEND PRINT s END 思考:上面程序中哪个变量是内循环变量,哪个变量是外循环变量? 解答:内循环变量:j,t.外循环变量:s,i. 上面的程序是一个的“WHILE+WHILE”型循环嵌套语句格式.这是一个比较好想的方法,但实际上对 于求 n! ,我们也可以根据求出的(n-1)!乘上 n 即可得到,而无需重新从 1 再累乘到 n. 程序可改为: s=0
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i=1 j=1 WHILE i<=10 j=j*i s=s+j i=i+1 WEND PRINT s END 显然第二个程序的效率要比第一个高得多.第一程序要进行 1+2+?+10=55 次循环, 而第二程序进行 10 次循环.如题目中求的是 1!+2!+?+1 000! ,则两个程序的效率区别会更明显. 点评:解决具体的构造循环语句的算法问题,要尽可能地少引入循环变量,否则较多的变量会使得设计程 序比较麻烦,并且较多的变量会使得计算机占用大量的系统资源,致使系统缓慢.另外,也尽可能使得循环 嵌套的层数少,否则也浪费计算机的系统资源. 变式训练 某种蛋白质是由四种氨基酸组合而成.这四种氨基酸的相对分子质量分别是 57,71,97,101.实验测定 蛋白质的相对分子质量为 800.问这种蛋白质的组成有几种可能? 分析:该问题即求如下不定方程的整数解:设四种氨基酸在蛋白质的组成中分别各有 x,y,z,w 个.则由 题意可得 57x+71y+97z+101w=800, (x,y,z,w 是非负整数) 这里 0≤x≤14,0≤y≤11,0≤z≤8,0≤w≤7,利用穷取法,考虑一切可能出现的情况.运用多层循 环嵌套处理即可. 解:编写程序如下: w=0 WHILE w<=7 z=0 WHILE z<=8 y=0 WHILE y<=11 x=0 WHILE x<=14 IF 57*x+71*y+97*z+101*w=800 THEN PRINT x,y,z,w END IF x=x+1 WEND y=y+1 WEND z=z+1 WEND w=w+1 WEND END 知能训练 设计算法求

1 1 1 1 ? ? ??? 的值.要求画出程序框图,写出用基本语句编写的程序. 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ? 100
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解:这是一个累加求和问题,共 99 项相加,可设计一个计数变量,一个累加变量,用循环结构实现这一

算法.程序框图如下图所示:

程序如下: s=0 i=1 Do s=s+1/(i*(i+1)) i=i+1 LOOP UNTIL i>99 PRINT s END 拓展提升 青年歌手电视大赛共有 10 名选手参加,并请了 12 名评委,在计算每位选手的平均分数时,为了避免 个别评委所给的极端分数的影响, 必须去掉一个最高分和一个最低分后再求平均分.试设计一个算法解决该 问题,要求画出程序框图,写出程序(假定分数采用 10 分制,即每位选手的分数最高分为 10 分,最低分 为 0 分). 解:由于共有 12 位评委,所以每位选手会有 12 个分数,我们可以用循环语句来完成这 12 个分数的输入, 同时设计累加变量求出这 12 个分数的和,本问题的关键在于从这 12 个输入分数中找出最大数与最小数, 以便从总分中减去这两个数.由于每位选手的分数都介于 0 分和 10 分之间,我们可以先假设其中的最大数 为 0,最小数为 10,然后每次输入一个评委的分数,就进行一次比较,若输入的数大于 0,就将之代替最大 数,若输入的数小于 10,就用它代替最小数,依次下去,就能找出这 12 个数中的最大数与最小数,循环 结束后,从总和中减去最大数与最小数,再除以 10,就得到该选手最后的平均分. 程序框图如右图:

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程序如下:s=0 i=1 max=0 min=10 DO INPUT x s=s+x IF max<=x THEN max=x END IF IF min>=x THEN min=x END IF i=i+1 LOOP UNTIL i>12 s1=s-max-min a=s1/10 PRINT a END 课堂小结 (1)学会两种循环语句的应用. (2)熟练应用两种循环语句编写计算机程序,巩固算法应用. 作业 习题 1.2A 组 3. 设计感想 本节的导入符合学生心理要求, 能够激发学生的学习兴趣.算法像一个故事, 循环语句就是故事的高潮, 它以前面的内容为基础, 是前面内容的总结和发展.本节选用了大量的精彩例题为故事高潮的到来作好了铺 垫,精彩的点评把本节推向了高潮,所以本节教案值得期待.
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1.3 算法案例
整体设计 教学分析 在学生学习了算法的初步知识,理解了表示算法的算法步骤、程序框图和程序三种不同方式以后,再 结合典型算法案例,让学生经历设计算法解决问题的全过程,体验算法在解决问题中的重要作用,体会算 法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表达能力. 三维目标 1.理解算法案例的算法步骤和程序框图. 2.引导学生得出自己设计的算法程序. 3. 体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表达能力. 重点难点 教学重点:引导学生得出自己设计的算法步骤、程序框图和算法程序. 教学难点:体会算法的基本思想,提高逻辑思维能力,发展有条理地思考与数学表达能力. 课时安排 3 课时 教学过程 第 1 课时 案例 1 辗转相除法与更相减损术 导入新课 思路 1(情境导入) 大家喜欢打乒乓球吧,由于东、西方文化及身体条件的不同,西方人喜欢横握拍打球,东方人喜欢直 握拍打球,对于同一个问题,东、西方人处理问题方式是有所不同的.在小学,我们学过求两个正整数的最 大公约数的方法:先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是互质数为止,然后把所有的除 数连乘起来. 当两个数公有的质因数较大时(如?8 251?与 6 105) ,使用上述方法求最大公约数就比较困 难.下面我们介绍两种不同的算法——辗转相除法与更相减损术,由此可以体会东、西方文化的差异. 思路 2(直接导入) 前面我们学习了算法步骤、 程序框图和算法语句.今天我们将通过辗转相除法与更相减损术来进一步体 会算法的思想. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)怎样用短除法求最大公约数? (2)怎样用穷举法(也叫枚举法)求最大公约数? (3)怎样用辗转相除法求最大公约数? (4)怎样用更相减损术求最大公约数? 讨论结果: (1)短除法 求两个正整数的最大公约数的步骤:先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所得的商是两个互 质数为止,然后把所有的除数连乘起来. (2)穷举法(也叫枚举法) 穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤:从两个数中较小数开始由大到小列举,直到找到公约 数立即中断列举,得到的公约数便是最大公约数. (3)辗转相除法 辗转相除法求两个数的最大公约数,其算法步骤可以描述如下: 第一步,给定两个正整数 m,n.
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第二步,求余数 r:计算 m 除以 n,将所得余数存放到变量 r 中. 第三步,更新被除数和余数:m=n,n=r. 第四步,判断余数 r 是否为 0.若余数为 0,则输出结果;否则转向第二步继续循环执行. 如此循环,直到得到结果为止. 这种算法是由欧几里得在公元前 300 年左右首先提出的,因而又叫欧 几里得算法. (4)更相减损术 我国早期也有解决求最大公约数问题的算法,就是更相减损术. 《九章算术》是中国古代的数学专著, 其中的“更相减损术”也可以用来求两个数的最大公约数,即“可半者半之,不可半者,副置分母、子之数, 以少减多,更相减损,求其等也.以等数约之.”翻译为现代语言如下: 第一步,任意给定两个正整数,判断它们是否都是偶数,若是,用 2 约简;若不是,执行第二步. 第二步,以较大的数减去较小的数,接着把所得的差与较小的数比较,并以大数减小数,继续这个操 作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数. 应用示例 例 1 用辗转相除法求 8 251 与 6 105 的最大公约数,写出算法分析,画出程序框图,写出算法程序. 解:用两数中较大的数除以较小的数,求得商和余数:8 251=6 105× 1+2 146. 由此可得, 105 与 2 146 的公约数也是 8 251 与 6 105 的公约数, 6 反过来, 251 与 6 105 的公约数也是 6 105 8 与 2 146 的公约数,所以它们的最大公约数相等. 对 6 105 与 2 146 重复上述步骤:6 105=2 146× 2+1 813. 同理,2 146 与 1 813 的最大公约数也是 6 105 与 2 146 的最大公约数.继续重复上述步骤: 2 146=1 813× 1+333, 1 813=333× 5+148, 333=148× 2+37, 148=37× 4. 最后的除数 37 是 148 和 37 的最大公约数,也就是 8 251 与 6 105 的最大公约数. 这就是辗转相除法.由除法的性质可以知道,对于任意两个正整数,上述除法步骤总可以在有限步之后 完成,从而总可以用辗转相除法求出两个正整数的最大公约数. 算法分析:从上面的例子可以看出,辗转相除法中包含重复操作的步骤,因此可以用循环结构来构造算法. 算法步骤如下: 第一步,给定两个正整数 m,n. 第二步,计算 m 除以 n 所得的余数为 r. 第三步,m=n,n=r. 第四步,若 r=0,则 m,n 的最大公约数等于 m;否则,返回第二步. 程序框图如下图:

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程序: INPUT m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END 点评:从教学实践看,有些学生不能理解算法中的转化过程,例如:求 8 251 与 6 105 的最大公约数,为什 么可以转化为求 6 105 与 2 146 的公约数.因为 8 251=6 105× 1+2 146, 可以化为 8 251-6 105× 1=2 164,所以公约数能够整除等式两边的数,即 6 105 与 2 146 的公约数也是 8 251 与 6 105 的公约数. 变式训练 你能用当型循环结构构造算法,求两个正整数的最大公约数吗?试画出程序框图和程序. 解:当型循环结构的程序框图如下图:

程序: INPUT m,n r=1 WHILE r>0 r=m MOD n m=n n=r WEND PRINT m END 例 2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数. 解:由于 63 不是偶数,把 98 和 63 以大数减小数,并辗转相减,如下图所示. 98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21
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21-7=14 14-7=7 所以,98 和 63 的最大公约数等于 7. 点评:更相减损术与辗转相除法的比较:尽管两种算法分别来源于东、西方古代数学名著,但是二者的算 理却是相似的,有异曲同工之妙.主要区别在于辗转相除法进行的是除法运算,即辗转相除;而更相减损 术进行的是减法运算,即辗转相减,但是实质都是一个不断的递归过程. 变式训练 用辗转相除法或者更相减损术求三个数 324,243,135 的最大公约数. 解:324=243× 1+81, 243=81× 3+0, 则 324 与 243 的最大公约数为 81. 又 135=81× 1+54,81=54× 1+27, 54=27× 2+0, 则 81 与 135 的最大公约数为 27. 所以,三个数 324、243、135 的最大公约数为 27. 另法:324-243=81,243-81=162,162-81=81,则 324 与 243 的最大公约数为 81. 135-81=54,81-54=27,54-27=27,则 81 与 135 的最大公约数为 27. 所以,三个数 324、243.135 的最大公约数为 27. 例 3 (1)用辗转相除法求 123 和 48 的最大公约数. (2)用更相减损术求 80 和 36 的最大公约数. 解: (1)辗转相除法求最大公约数的过程如下: 123=2× 48+27, 48=1× 27+21, 27=1× 21+6, 21=3× 6+3, 6=2× 3+0, 最后 6 能被 3 整除,得 123 和 48 的最大公约数为 3. (2)我们将 80 作为大数,36 作为小数,因为 80 和 36 都是偶数,要除公因数 2. 80÷ 2=40,36÷ 2=18. 40 和 18 都是偶数,要除公因数 2. 40÷ 2=20,18÷ 2=9. 下面来求 20 与 9 的最大公约数, 20-9=11, 11-9=2, 9-2=7, 7-2=5, 5-2=3, 3-2=1, 2-1=1, 可得 80 和 36 的最大公约数为 22× 1=4. 点评:对比两种方法控制好算法的结束,辗转相除法是到达余数为 0,更相减损术是到达减数和差相等. 变式训练 分别用辗转相除法和更相减损术求 1 734,816 的最大公约数. 解:辗转相除法: 1 734=816× 2+102,816=102× 8(余 0) , ∴1 734 与 816 的最大公约数是 102.
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更相减损术:因为两数皆为偶数,首先除以 2 得到 867,408,再求 867 与 408 的最大公约数. 867-408=459, 459-408=51, 408-51=357, 357-51=306, 306-51=255, 255-51=204, 204-51=153, 153-51=102, 102-51=51. ∴1 734 与 816 的最大公约数是 51× 2=102. 利用更相减损术可另解: 1 734-816=918, 918-816=102, 816-102=714, 714-102=612, 612-102=510, 510-102=408, 408-102=306, 306-102=204, 204-102=102. ∴1 734 与 816 的最大公约数是 102. 知能训练 求 319,377,116 的最大公约数. 解:377=319× 1+58, 319=58× 5+29, 58=29× 2. ∴377 与 319 的最大公约数为 29,再求 29 与 116 的最大公约数. 116=29× 4. ∴29 与 116 的最大公约数为 29. ∴377,319,116 的最大公约数为 29. 拓展提升 试写出利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的程序. 解:更相减损术程序: INPUT “m,n=”;m,n WHILE m<>n IF m>n THEN m=m-n ELSE m=n-m END IF WEND PRINT m END 课堂小结 (1)用辗转相除法求最大公约数.
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(2)用更相减损术求最大公约数. 思想方法:递归思想. 作业 分别用辗转相除法和更相减损术求 261,319 的最大公约数. 分析:本题主要考查辗转相除法和更相减损术及其应用.使用辗转相除法可依据 m=nq+r,反复执行,直 到 r=0 为止;用更相减损术就是根据 m-n=r,反复执行,直到 n=r 为止. 解:辗转相除法: 319=261× 1+58, 261=58× 4+29, 58=29× 2. ∴319 与 261 的最大公约数是 29. 更相减损术: 319-261=58, 261-58=203, 203-58=145, 145-58=87, 87-58=29, 58-29=29, ∴319 与 261 的最大公约数是 29. 设计感想 数学不仅是一门科学,也是一种文化,本节的引入从东、西方文化的不同开始,逐步向学生渗透数学 文化.从知识方面主要学习用两种方法求两个正整数的最大公约数,从思想方法方面,主要学习递归思想. 本节设置精彩例题, 不仅让学生学到知识, 而且让学生进一步体会算法的思想, 培养学生的爱国主义情操. 第 2 课时 案例 2 秦九韶算法 导入新课 思路 1(情境导入) 大家都喜欢吃苹果吧,我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃,而虫子却是先钻到苹果里面从里到外 一口一口的吃,由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式 f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1 当 x=5 时的 值呢?方法也是多种多样的,今天我们开始学习秦九韶算法. 思路 2(直接导入) 前面我们学习了辗转相除法与更相减损术, 今天我们开始学习秦九韶算法. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)求多项式 f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1 当 x=5 时的值有哪些方法?比较它们的特点. (2)什么是秦九韶算法? (3)怎样评价一个算法的好坏? 讨论结果: (1)怎样求多项式 f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1 当 x=5 时的值呢? 一个自然的做法就是把 5 代入多项式 f(x),计算各项的值,然后把它们加起来,这时,我们一共做了 1+2+3+4=10 次乘法运算,5 次加法运算. 另一种做法是先计算 x2 的值,然后依次计算 x2· (x2· x,(x2· x)· 的值,这样每次都可以利 x, x)· ( x)· x 用上一次计算的结果,这时,我们一共做了 4 次乘法运算,5 次加法运算. 第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,因而能够提高运算效率,对于计算机来说, 做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多,所以采用第二种做法,计算机能更快地得到结果. (2)上面问题有没有更有效的算法呢?我国南宋时期的数学家秦九韶(约 1202~1261)在他的著作《数书
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九章》中提出了下面的算法: 把一个 n 次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 改写成如下形式: f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+ a0 =( nxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 (a =… =(…( nx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. (a 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即 v1=anx+an-1, 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, … vn=vn-1x+a0, 这样,求 n 次多项式 f(x)的值就转化为求 n 个一次多项式的值. 上述方法称为秦九韶算法.直到今天,这种算法仍是多项式求值比较先进的算法. (3)计算机的一个很重要的特点就是运算速度快,但即便如此,算法好坏的一个重要标志仍然是运算的 次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数, 那么这样的算法就只能是一个理论的 算法. 应用示例 例 1 已知一个 5 次多项式为 f(x)=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8, 用秦九韶算法求这个多项式当 x=5 时的值. 解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: f(x)=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8, 按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当 x=5 时的值: v0=5; v1=5× 5+2=27; v2=27× 5+3.5=138.5; v3=138.5× 5-2.6=689.9; v4=689.9× 5+1.7=3 451.2; v5=3 415.2× 5-0.8=17 255.2; 所以,当 x=5 时,多项式的值等于 17 255.2. 算法分析:观察上述秦九韶算法中的 n 个一次式,可见 vk 的计算要用到 vk-1 的值,若令 v0=an,我们可以 得到下面的公式:

?v0 ? an , ? ?vk ? vk ?1 x ? an?k (k ? 1,2,?, n).
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环结构来实现. 算法步骤如下: 第一步,输入多项式次数 n、最高次的系数 an 和 x 的值. 第二步,将 v 的值初始化为 an,将 i 的值初始化为 n-1. 第三步,输入 i 次项的系数 ai. 第四步,v=vx+ai,i=i-1. 第五步,判断 i 是否大于或等于 0.若是,则返回第三步;否则,输出多项式的值 v. 程序框图如下图:
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程序: INPUT “n=”;n INPUT “an=”;a INPUT “x=”;x v=a i=n-1 WHILE i>=0 PRINT “i=”;i INPUT “ai=”;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END 点评:本题是古老算法与现代计算机语言的完美结合,详尽介绍了思想方法、算法步骤、程序框图和算法 语句,是一个典型的算法案例. 变式训练 请以 5 次多项式函数为例说明秦九韶算法,并画出程序框图. 解:设 f(x)=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0 首先,让我们以 5 次多项式一步步地进行改写: f(x)=(a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1)x+a0 =( 5x3+a4x2+ a3x+a2)x+a1)x+a0 (a =((a5x2+a4x+ a3)x+a2)x+a1)x+a0 ( =(( 5x+a4)x+ a3)x+a2)x+a1)x+a0. ((a 上面的分层计算,只用了小括号,计算时,首先计算最内层的括号,然后由里向外逐层计算,直到最外层的 括号,然后加上常数项即可. 程序框图如下图:

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k 例 2 已知 n 次多项式 Pn(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an,如果在一种算法中,计算 x0 (k=2,3,4,…,n)

的值需要 k-1 次乘法,计算 P3(x0)的值共需要 9 次运算(6 次乘法,3 次加法) ,那么计算 P10(x0)的值共需 要__________次运算.下面给出一种减少运算次数的算法:P0(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1(k=0,1,2,?,n -1) .利用该算法,计算 P3(x0)的值共需要 6 次运算,计算 P10(x0)的值共需要___________次运算. 答案:65 20 点评: 秦九韶算法适用一般的多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可 到达

( n ? 1) n ,加法最多 n 次.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多 n 次,加法最多 n 次. 2

例 3 已知多项式函数 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7,求当 x=5 时的函数的值. 解析:把多项式变形为:f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 =((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7. 计算的过程可以列表表示为:

最后的系数 2 677 即为所求的值. 算法过程: v0=2; v1=2× 5-5=5; v2=5× 5-4=21; v3=21× 5+3=108; v4=108× 5-6=534; v5=534× 5+7=2 677. 点评:如果多项式函数中有缺项的话,要以系数为 0 的项补齐后再计算. 知能训练 当 x=2 时,用秦九韶算法求多项式 f(x)=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6 的值. 解法一:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12)x-6. 按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当 x=2 时的值. v0=3; v1=v0× 2+8=3× 2+8=14; v2=v1× 2-3=14× 2-3=25; v3=v2× 2+5=25× 2+5=55; v4=v3× 2+12=55× 2+12=122; v5=v4× 2-6=122× 2-6=238. ∴当 x=2 时,多项式的值为 238.
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解法二:f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12)x-6, 则 f(2)=((((3× 2+8)× 2-3)× 2+5)× 2+12)× 2-6=238. 拓展提升 用秦九韶算法求多项式 f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x 当 x=3 时的值. 解:f(x)=((((((7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x v0=7; v1=7× 3+6=27; v2=27× 3+5=86; v3=86× 3+4=262; v4=262× 3+3=789; v5=789× 3+2=2 369; v6=2 369× 3+1=7 108; v7=7 108× 3+0=21 324. ∴f(3)=21 324. 课堂小结 1.秦九韶算法的方法和步骤. 2.秦九韶算法的计算机程序框图. 作业 已知函数 f(x)=x3-2x2-5x+8,求 f(9)的值. 解:f(x)=x3-2x2-5x+8=(x2-2x-5)x+8=((x-2)x-5)x+8 ∴f(9)=((9-2)× 9-5)× 9+8=530. 设计感想 古老的算法散发浓郁的现代气息,这是一节充满智慧的课.本节主要介绍了秦九韶算法. 通过对秦九韶算法的学习,对算法本身有哪些进一步的认识? 教师引导学生思考、讨论、概括,小结时要关注如下几点: (1)算法具有通用的特点,可以解决一类 问题; (2)解决同一类问题,可以有不同的算法,但计算的效率是不同的,应该选择高效的算法; (3)算 法的种类虽多,但三种逻辑结构可以有效地表达各种算法等等. 第 3 课时 案例 3 进位制 导入新课 情境导入 在日常生活中,我们最熟悉、最常用的是十进制,据说这与古人曾以手指计数有关,爱好天文学的古 人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制,至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十分 的历法.今天我们来学习一下进位制. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)你都了解哪些进位制? (2)举出常见的进位制. (3)思考非十进制数转换为十进制数的转化方法. (4)思考十进制数转换成非十进制数及非十进制之间的转换方法. 活动:先让学生思考或讨论后再回答,经教师提示、点拨,对回答正确的学生及时表扬,对回答不准确的 学生提示引导考虑问题的思路. 讨论结果: (1)进位制是人们为了计数和运算方便而约定的计数系统,约定满二进一,就是二进制;满十进一,就 是十进制;满十二进一,就是十二进制;满六十进一,就是六十进制等等.也就是说:“满几进一”就是几进 制,几进制的基数(都是大于 1 的整数)就是几.
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(2)在日常生活中,我们最熟悉、最常用的是十进制,据说这与古人曾以手指计数有关,爱好天文学的 古人也曾经采用七进制、十二进制、六十进制,至今我们仍然使用一周七天、一年十二个月、一小时六十 分的历法. (3)十进制使用 0~9 十个数字.计数时,几个数字排成一行,从右起,第一位是个位,个位上的数字是几, 就表示几个一;第二位是十位,十位上的数字是几,就表示几个十;接着依次是百位、千位、万位…… 例如:十进制数 3 721 中的 3 表示 3 个千,7 表示 7 个百,2 表示 2 个十,1 表示 1 个一.于是,我们得到下 面的式子: 3 721=3× 3+7× 2+2× 1+1× 0. 10 10 10 10 与十进制类似,其他的进位制也可以按照位置原则计数.由于每一种进位制的基数不同,所用的数字个数也 不同.如二进制用 0 和 1 两个数字,七进制用 0~6 七个数字. 一般地,若 k 是一个大于 1 的整数,那么以 k 为基数的 k 进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式 anan-1…a1a0(k) (0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k). 其他进位制的数也可以表示成不同位上数字与基数的幂的乘积之和的形式,如 110 011(2)=1× 5+1× 4+0× 3+0× 2+1× 1+1× 0, 2 2 2 2 2 2 3 2 1 0 7 342(8)=7× +3× +4× +2× . 8 8 8 8 非十进制数转换为十进制数比较简单,只要计算下面的式子值即可: anan-1…a1a0(k)=an× n+an-1× n-1+…+a1× 0. k k k+a 第一步:从左到右依次取出 k 进制数 anan-1…a1a0(k)各位上的数字,乘以相应的 k 的幂,k 的幂从 n 开始取 值,每次递减 1,递减到 0,即 an× n,an-1× n-1,…,a1× 0× 0; k k k,a k 第二步:把所得到的乘积加起来,所得的结果就是相应的十进制数. (4)关于进位制的转换,教科书上以十进制和二进制之间的转换为例讲解,并推广到十进制和其他进制 之间的转换.这样做的原因是,计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的,而一般我们传输给计算机 的数据是十进制数据,因此计算机必须先将十进制数转换为二进制数,再处理,显然运算后首次得到的结 果为二进制数,同时计算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出. 1°十进制数转换成非十进制数 把十进制数转换为二进制数,教科书上提供了“除 2 取余法”,我们可以类比得到十进制数转换成 k 进制数 的算法“除 k 取余法”. 2°非十进制之间的转换 一个自然的想法是利用十进制作为桥梁.教科书上提供了一个二进制数据与 16 进制数据之间的互化的方 法,也就是先由二进制数转化为十进制数,再由十进制数转化成为 16 进制数. 应用示例 思路 1 例 1 把二进制数 110 011(2)化为十进制数. 解:110 011(2)=1× 5+1× 4+0× 3+0× 2+1× 1+1× 0=1× 2 2 2 2 2 2 32+1× 16+1× 2+1=51. 点评:先把二进制数写成不同位上数字与 2 的幂的乘积之和的形式,再按照十进制的运算规则计算出结果. 变式训练 设计一个算法,把 k 进制数 a(共有 n 位)化为十进制数 b. 算法分析:从例 1 的计算过程可以看出,计算 k 进制数 a 的右数第 i 位数字 ai 与 ki-1 的乘积 ai·i-1,再将其 k 累加,这是一个重复操作的步骤.所以,可以用循环结构来构造算法. 算法步骤如下: 第一步,输入 a,k 和 n 的值. 第二步,将 b 的值初始化为 0,i 的值初始化为 1. 第三步,b=b+ai·i-1,i=i+1. k 第四步,判断 i>n 是否成立.若是,则执行第五步;否则,返回第三步. 第五步,输出 b 的值. 程序框图如下图:
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程序: INPUT “a,k,n=”;a,k,n b=0 i=1 t=a MOD 10 DO b=b+t*k^(i-1) a=a\\10 t=a MOD 10 i=i+1 LOOP UNTIL i>n PRINT b END 例 2 把 89 化为二进制数. 解:根据二进制数“满二进一”的原则,可以用 2 连续去除 89 或所得商,然后取余数.具体计算方法如下: 因为 89=2× 44+1,44=2× 22+0, 22=2× 11+0, 11=2× 5+1, 5=2× 2+1, 2=2× 1+0, 1=2× 0+1, 所以 89=2× (2× (2× (2× (2× 2+1)+1)+0)+0)+1 2 =2× (2× (2× (2× (2 +1)+1)+0)+0)+1 6 5 =…=1×2 +0× +1× 4+1× 3+0× 2+0× 1+1× 0 2 2 2 2 2 2 =1 011 001(2). 这种算法叫做除 2 取余法,还可以用下面的除法算式表示:

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把上式中各步所得的余数从下到上排列,得到 89=1 011 001(2). 上述方法也可以推广为把十进制数化为 k 进制数的算法,称为除 k 取余法. 变式训练 设计一个程序,实现“除 k 取余法”. 算法分析:从例 2 的计算过程可以看出如下的规律: 若十制数 a 除以 k 所得商是 q0,余数是 r0,即 a=k·0+r0,则 r0 是 a 的 k 进制数的右数第 1 位数. q 若 q0 除以 k 所得的商是 q1,余数是 r1,即 q0=k·1+r1,则 r1 是 a 的 k 进制数的左数第 2 位数. q …… 若 qn-1 除以 k 所得的商是 0,余数是 rn,即 qn-1=rn,则 rn 是 a 的 k 进制数的左数第 1 位数. 这样,我们可以得到算法步骤如下: 第一步,给定十进制正整数 a 和转化后的数的基数 k. 第二步,求出 a 除以 k 所得的商 q,余数 r. 第三步,把得到的余数依次从右到左排列. 第四步,若 q≠0,则 a=q,返回第二步;否则,输出全部余数 r 排列得到的 k 进制数. 程序框图如下图:

程序: INPUT “a,k=”;a,k b=0 i=0 DO q=a\\k r=a MOD k b=b+r*10^i i=i+1 a=q
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LOOP UNTIL q=0 PRINT b END 思路 2 例 1 将 8 进制数 314 706(8)化为十进制数,并编写出一个实现算法的程序. 解:314 706(8)=3× 5+1× 4+4× 3+7× 2+0× 1+6× 0=104 902. 8 8 8 8 8 8 所以,化为十进制数是 104 902. 点评:利用把 k 进制数转化为十进制数的一般方法就可以把 8 进制数 314 706(8)化为十进制数. 例 2 把十进制数 89 化为三进制数,并写出程序语句. 解:具体的计算方法如下: 89=3× 29+2, 29=3× 9+2, 9=3× 3+0, 3=3× 1+0, 1=3× 0+1, 所以:89(10)=10 022(3). 点评:根据三进制数满三进一的原则,可以用 3 连续去除 89 及其所得的商,然后按倒序的顺序取出余数 组成数据即可. 知能训练 将十进制数 34 转化为二进制数. 分析:把一个十进制数转换成二进制数,用 2 反复去除这个十进制数,直到商为 0,所得余数(从下往上 读)就是所求. 解:

即 34(10)=100 010(2) 拓展提升 把 1 234(5)分别转化为十进制数和八进制数. 解:1 234(5)=1× 3+2× 2+3× 5 5 5+4=194.

则 1 234(5)=302(8) 所以,1 234(5)=194=302(8) 点评:本题主要考查进位制以及不同进位制数的互化.五进制数直接利用公式就可以转化为十进制数;五 进制数和八进制数之间需要借助于十进制数来转化. 课堂小结 (1)理解算法与进位制的关系. (2)熟练掌握各种进位制之间转化. 作业 习题 1.3A 组 3、4. 设计感想 计算机是以二进制的形式进行存储和计算数据的,而一般我们传输给计算机的数据是十进制数据,因
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此计算机必须先将十进制数转换为二进制数,再处理,显然运算后首次得到的结果为二进制数,同时,计 算机又把运算结果由二进制数转换成十进制数输出.因此学好进位制是非常必要的,另外,进位制也是高考 的重点,本节设置了多种题型供学生训练,所以这节课非常实用.

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第 2 课时 导入新课 思路 1 客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系,但实际上更多存在的是一种非因果关系.比如 说:某某同学的数学成绩与物理成绩,彼此是互相联系的,但不能认为数学是“因”,物理是“果”,或者反过来说. 事实上数学和物理成绩都是“果”,而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度.所以说,函数关系存在着 一种确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系——相关关系.为表示这种相关关系,我们接着学习两个变 量的线性相关——回归直线及其方程. 思路 2 某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系,随机统计并制作了某 6 天卖出热茶的杯数与当天气 温的对照表: 气温/℃ 杯数 26 20 18 24 13 34 10 38 4 50 -1 64

如果某天的气温是-5 ℃,你能根据这些数据预测这天小卖部卖出热茶的杯数吗?为解决这个问题我们 接着学习两个变量的线性相关——回归直线及其方程. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)作散点图的步骤和方法? (2)正、负相关的概念? (3)什么是线性相关? (4)看人体的脂肪百分比和年龄的散点图,当人的年龄增加时,体内脂肪含量到底是以什么方式增加的呢? (5)什么叫做回归直线? (6)如何求回归直线的方程?什么是最小二乘法?它有什么样的思想? (7)利用计算机如何求回归直线的方程? (8)利用计算器如何求回归直线的方程? 活动:学生回顾,再思考或讨论,教师及时提示指导. 讨论结果: (1)建立相应的平面直角坐标系,将各数据在平面直角坐标中的对应点画出来,得到表示两个变 量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图.(a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来 描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系. b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就 有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系) (2)如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角 到右下角的区域内,称为负相关. (3)如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关的关系. (4)大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加,呈正相关的趋势,我们可以从散点图上来 进一步分析. (5)如下图:

从散点图上可以看出,这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线附近.如果散点图中点的分布从整
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体 上 看 大致 在 一条 直 线附 近 , 我 们就 称 这两 个 变量 之 间 具有 线 性相 关 关系 , 这 条 直线 叫 做回 归直线 (regression line).如果能够求出这条回归直线的方程(简称回归方程),那么我们就可以比较清楚地了解年龄与 体内脂肪含量的相关性.就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样,这条直线可以作为两个变量具有 线性相关关系的代表. (6)从散点图上可以发现,人体的脂肪百分比和年龄的散点图,大致分布在通过散点图中心的一条直线. 那么,我们应当如何具体求出这个回归方程呢? 有的同学可能会想,我可以采用测量的方法,先画出一条直线,测量出各点与它的距离,然后移动直线,到 达一个使距离的和最小的位置,测量出此时的斜率和截距,就可得到回归方程了.但是,这样做可靠吗? 有的同学可能还会想,在图中选择这样的两点画直线,使得直线两侧的点的个数基本相同.同样地,这样 做能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗? 还有的同学会想,在散点图中多取几组点,确定出几条直线的方程,再分别求出各条直线的斜率、截距的 平均数,将这两个平均数当成回归方程的斜率和截距. 同学们不妨去实践一下,看看这些方法是不是真的可行? (学生讨论:1.选择能反映直线变化的两个点.2.在图中放上一根细绳,使得上面和下面点的个数相同或基本 相同.3.多取几组点对,确定几条直线方程.再分别算出各个直线方程斜率、截距的算术平均值,作为所求直线 的斜率、截距.)教师:分别分析各方法的可靠性.如下图:

上面这些方法虽然有一定的道理,但总让人感到可靠性不强. 实际上,求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看,各点与此直线的距离最小”.人们经 过长期的实践与研究,已经得出了计算回归方程的斜率与截距的一般公式

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n ? ? ( xi ? x )( yi ? y ) ? i ?1 ? ? ?b ? n 2 ? ? ( xi ? x ) ? i ?1 ? ?a ? y ? bx. ?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y , (1) ? nx
2

?x
i ?1

2 i

其中,b 是回归方程的斜率,a 是截距. 推导公式①的计算比较复杂,这里不作推导.但是,我们可以解释一下得出它的原理. 假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),
^

且所求回归方程是 y =bx+a, 其中 a、b 是待定参数.当变量 x 取 xi(i=1,2,…,n)时可以得到 y =bxi+a(i=1,2,…,n),
^ ^

它与实际收集到的 yi 之间的偏差是 yi- y =yi-(bxi+a)(i=1,2,…,n).

^

这样,用这 n 个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的.由于(yi- y )可正可负,为了避 免相互抵消,可以考虑用

? | yi ? y i | 来 代 替 , 但 由 于 它 含 有 绝 对 值 , 运 算 不 太 方 便 , 所 以 改 用
i ?1

n

^

Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2 ② 来刻画 n 个点与回归直线在整体上的偏差. 这样,问题就归结为:当 a,b 取什么值时 Q 最小,即总体偏差最小.经过数学上求最小值的运算,a,b 的值由 公式①给出. 通过求②式的最小值而得出回归直线的方法, 即求回归直线, 使得样本数据的点到它的距离的平方和最小, 这一方法叫做最小二乘法(method of least square). (7)利用计算机求回归直线的方程. 根据最小二乘法的思想和公式①,利用计算器或计算机,可以方便地求出回归方程. 以 Excel 软件为例,用散点图来建立表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的线性回归方程,具体步骤 如下: ①在 Excel 中选定表示人体的脂肪含量与年龄的相关关系的散点图 (如下图) ,在菜单中选定“图表”中的“添 加趋势线”选项,弹出“添加趋势线”对话框. ②单击“类型”标签,选定“趋势预测/回归分析类型”中的“线性”选项,单击“确定”按钮,得到回归直线. ③双击回归直线,弹出“趋势线格式”对话框.单击“选项”标签,选定“显示公式”,最后单击“确定”按钮,得到回归
^

直线的回归方程 y =0.577x-0.448.

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(8)利用计算器求回归直线的方程. 用计算器求这个回归方程的过程如下:

^

所以回归方程为 y =0.577x-0.448. 正像本节开头所说的,我们从人体脂肪含量与年龄这两个变量的一组随机样本数据中,找到了它们之间关 系的一个规律,这个规律是由回归直线来反映的. 直线回归方程的应用: ①描述两变量之间的依存关系;利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系. ②利用回归方程进行预测;把预报因子(即自变量 x)代入回归方程对预报量(即因变量 Y)进行估计,即 可得到个体 Y 值的容许区间. ③利用回归方程进行统计控制规定 Y 值的变化,通过控制 x 的范围来实现统计控制的目标.如已经得到了空 气中 NO2 的浓度和汽车流量间的回归方程,即可通过控制汽车流量来控制空气中 NO2 的浓度. 应用示例 思路 1 例 1 有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计,得到一个卖出的热 饮杯数与当天气温的对比表: 摄氏温度/℃ 热饮杯数 -5 156 0 150 4 132 7 128 12 130 15 116 19 104 23 89 27 93 31 76 36 54

(1)画出散点图; (2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律; (3)求回归方程; (4)如果某天的气温是 2 ℃,预测这天卖出的热饮杯数. 解: (1)散点图如下图所示:
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(2)从上图看到,各点散布在从左上角到右下角的区域里,因此,气温与热饮销售杯数之间呈负相关, 即气温越高,卖出去的热饮杯数越少. (3)从散点图可以看出,这些点大致分布在一条直线的附近,因此,可用公式①求出回归方程的系数.
^

利用计算器容易求得回归方程 y =-2.352x+147.767.
^

(4)当 x=2 时, y =143.063.因此,某天的气温为 2 ℃时,这天大约可以卖出 143 杯热饮. 思考 气温为 2 ℃时,小卖部一定能够卖出 143 杯左右热饮吗?为什么? 这里的答案是小卖部不一定能够卖出 143 杯左右热饮,原因如下: 1.线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的,存在随机误差,这种误差可以导致预测结果的 偏差. 2.即使截距和斜率的估计没有误差,也不可能百分之百地保证对应于 x 的预报值,能够与实际值 y 很接近. 我们不能保证点(x,y)落在回归直线上,甚至不能百分之百地保证它落在回归直线的附近,事实上,
^

y=bx+a+e= y +e.
^

这里 e 是随机变量,预报值 y 与实际值 y 的接近程度由随机变量 e 的标准差所决定. 一些学生可能会提出问题:既然不一定能够卖出 143 杯左右热饮,那么为什么我们还以“这天大约可 以卖出 143 杯热饮”作为结论呢?这是因为这个结论出现的可能性最大.具体地说,假如我们规定可以选择 连续的 3 个非负整数作为可能的预测结果,则我们选择 142,143 和 144 能够保证预测成功(即实际卖出 的杯数是这 3 个数之一)的概率最大. 例 2 下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料. 机动车辆数 x/千台 交通事故数 y/千件 95 6.2 110 7.5 112 7.7 120 8.5 129 8.7 135 9.8 150 10.2 180 13

(1)请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系,如果不具有线性相关关系,说明理由; (2)如果具有线性相关关系,求出线性回归方程. 解: (1)在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.

直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系.
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(2)计算相应的数据之和:

? xi =1 031, ? y i =71.6,
i ?1 8 i ?1

8

8

? xi2 =137 835, ? xi yi =9 611.7.
i ?1 i ?1

8

将它们代入公式计算得 b≈0.077 4,a=-1.024 1, 所以,所求线性回归方程为=0.077 4x-1.024 1. 思路 2 例 1 给出施化肥量对水稻产量影响的试验数据: 施化肥量 x 水稻产量 y 15 330 20 345 25 365 30 405 35 445 40 450 45 455

(1)画出上表的散点图; (2)求出回归直线的方程. 解:(1)散点图如下图.

(2)表中的数据进行具体计算,列成以下表格: i xi yi xiyi 1 15 330 4 950 2 20 345 6 900
7

3 25 365 9 125
7

4 30 405 12 150

5 35 445 15 575
7

6 40 450 18 000

7 45 455 20 475

x ? 30, y ? 399.3, ? xi2 ? 7000 ? yi2 ? 1132725? xi yi ? 87175 , ,
i ?1 i ?1 i ?1

故可得到 b=

87175 ? 7 ? 30 ? 399 .3 ≈4.75, 7000 ? 7 ? 30 2
^

a=399.3-4.75×30≈257. 从而得回归直线方程是 y =4.75x+257. 例 2 一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间. 为此进行了 10 次试验,测得数据如下: 零件个数 x(个) 加工时间 y(分) 10 62 20 68 30 75 40 81 50 89 60 95 70 102 80 108 90 115 100 122

请判断 y 与 x 是否具有线性相关关系,如果 y 与 x 具有线性相关关系,求线性回归方程. 解:在直角坐标系中画出数据的散点图,如下图.

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直观判断散点在一条直线附近,故具有线性相关关系.由测得的数据表可知:

x ? 55, y ? 91.7, ? xi2 =38 500, ? yi2 =87 777, ? xi yi =55 950.
i ?1 i ?1 i ?1

10

10

10

?x y
b=
i ?1 10 i

10

i

? 10x y ? ? 10x 2

?x
i ?1

2 i

55950? 10 ? 55 ? 91.7 ≈0.668. 38500? 10 ? 552

a= y ? bx =91.7-0.668×55≈54.96.
^

因此,所求线性回归方程为 y =bx+a=0.668x+54.96. 例 3 已知 10 条狗的血球体积及红血球数的测量值如下: 血球体积 x(mL) 红血球数 y(百万) 45 6.53 42 6.30 46 9.52 48 7.50 42 6.99 35 5.90 58 9.49 40 6.20 39 6.55 50 8.72

(1)画出上表的散点图; (2)求出回归直线的方程. 解: (1)散点图如下.

(2) x ?

1 (45+42+46+48+42+35+58+40+39+50)=44.50, 10

y?

1 (6.53+6.30+9.52+7.50+6.99+5.90+9.49+6.20+6.55+8.72)=7.37. 10
^

?x y
i ?1 10 i

10

i

? 10x y
=0.175,a= y ? bx =-0.418,

设回归直线方程为 y =bx+a,则 b=

?x
i ?1

2 i

? 10x

2

^

所以所求回归直线的方程为 y =0.175x-0.148. 点评:对一组数据进行线性回归分析时,应先画出其散点图,看其是否呈直线形,再依系数 a,b 的计算公式,算
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出 a,b.由于计算量较大,所以在计算时应借助技术手段,认真细致,谨防计算中产生错误,求线性回归方程的 步骤:计算平均数 x, y ;计算 xi 与 yi 的积,求∑xiyi;计算∑xi2;将结果代入公式求 b;用 a= y ? bx 求 a;写 出回归直线方程. 知能训练 1.下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系( ) A.角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积 C.正n边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高 答案:D 2.三点(3,10),(7,20),(11,24)的线性回归方程是( )
^ ^

A. y =5.75-1.75x
^

B. y =1.75+5.75x
^

C. y =1.75-5.75x

D. y =5.75+1.75x

答案:D 3.已知关于某设备的使用年限 x 与所支出的维修费用 y(万元),有如下统计资料: 使用年限 x 维修费用 y 2 2.2
^

3 3.8

4 5.5

5 6.5

6 7.0

设 y 对 x 呈线性相关关系.试求: (1)线性回归方程 y =bx+a 的回归系数 a,b; (2)估计使用年限为 10 年时,维修费用是多少? 答案: (1)b=1.23,a=0.08; (2)12.38. 4.我们考虑两个表示变量 x 与 y 之间的关系的模型,δ 为误差项,模型如下: 模型 1:y=6+4x;模型 2:y=6+4x+e. (1)如果 x=3,e=1,分别求两个模型中 y 的值; (2)分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型. 解: (1)模型 1:y=6+4x=6+4× 3=18; 模型 2:y=6+4x+e=6+4× 3+1=19. (2)模型 1 中相同的 x 值一定得到相同的 y 值,所以是确定性模型;模型 2 中相同的 x 值,因 δ 的不同,所得 y 值不一定相同,且 δ 为误差项是随机的,所以模型 2 是随机性模型. 5.以下是收集到的新房屋销售价格 y 与房屋大小 x 的数据: 房屋大小 x(m2) 销售价格 y (万元) 80 18.4 105 22 110 21.6 115 24.8 135 29.2

(1)画出数据的散点图; (2)用最小二乘法估计求线性回归方程. 解: (1)散点图如下图.

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(2)n=5,

? xi =545, x =109, ? y i =116, y =23.2,
i ?1 i ?1 5 i ?1

5

5

? xi2 =60 952, ? xi yi =12 952,
i ?1

5

b=

5 ? 12952 ? 545 ? 116 ≈0.199,a=23.2-0.199×109≈1.509, 5 ? 60952 ? 545 2

所以,线性回归方程为 y=0.199x+1.509. 拓展提升 某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出(Xi)与公司所获得利润(Yi)的统计资料如下表: 科研费用支出(Xi)与利润(Yi)统计表 单位:万元 年份 1998 1999 2000 2001 2002 2003 合计
^ ^

科研费用支出 5 11 4 5 3 2 30
^

利润 31 40 30 34 25 20 180

要求估计利润(Yi)对科研费用支出(Xi)的线性回归模型. 解:设线性回归模型直线方程为: Y i ? ? 0 ? ? 1 X i , 因为: x ?

?X
n
Xi 5 11 4 5 3 2 30

i

?

30 =5, Y ? 6
Yi 31 40 30 34 25 20 180

?Y
n

i

?

180 =30, 6
Xi2 25 121 16 25 9 4 200 Xi- X 0 6 -1 0 -2 -3 0 Yi- Y 1 10 0 4 -5 -10 0 (Xi- X )2 0 36 1 0 4 9 50 (Xi- X )(Yi- Y ) 0 60 0 0 10 30 100

根据资料列表计算如下表: 年份 1998 1999 2000 2001 2002 2003 合计 XiYi 155 440 120 170 75 40 1 000

现求解参数 β0、β1 的估计值: 方法一: ? 1 ?
^ ^
^

n? X ? (? X i )
2 i

n? X i Yi ? ? Yi

2

?

6 ? 1000 ? 30 ? 180 6000 ? 5400 600 ? ? =2, 1200 ? 900 300 6 ? 200 ? 30 2

? 0 ? Y ? ? 1 x =30-2×5=20.
方法二: ? 1 ?
^ ^
^

? X Y ? nx Y ? X ? n( x )
i i 2 i

2

?

1000 ? 6 ? 5 ? 30 100 ? =2, 50 200 ? 6 ? 5 2

? 0 ? Y ? ? 1 x =30-2×5=20.
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方法三: ? 1 ?
^ ^

^

? ( X ? x )(Y ? Y ) ? 100 =2, 50 ? ( X ? x)
i i 2 i
^

? 0 ? Y ? ? 1 x =30-2×5=20.
所以利润(Yi)对科研费用支出(Xi)的线性回归模型直线方程为: Y i =20+2Xi. 课堂小结 1.求线性回归方程的步骤: (1)计算平均数 x, y ; (2)计算 xi 与 yi 的积,求∑xiyi; (3)计算∑xi2,∑yi2,
n ? ? ( xi ? x )( yi ? y ) ? ?b ? i ?1 n ? ? (4)将上述有关结果代入公式 ? 2 ? ( xi ? x ) ? i ?1 ? ?a ? y ? bx ?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y , ? nx
2

?x
i ?1

2 i

求 b,a,写出回归直线方程. 2.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程.知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程 系数公式建立线性回归方程. 作业 习题 2.3A 组 3、4,B 组 1、2. 设计感想 本节课在上节课的基础上,利用实例分析了散点图的分布规律,推导出了线性回归直线的方程的求法,并 利用回归直线的方程估计可能的结果,本节课讲得较为详细,实例较多,便于同学们分析比较.思路 1 和思路 2 的例题对知识进行了巩固和加强,另外,本节课通过选取一些学生特别关心的身边事例,对学生进行思想情 操教育、意志教育和增强学生的自信心,养成良好的学习态度,树立时间观,培养勤奋、刻苦的精神.

第二章

统计

本章教材分析 现代社会是信息化的社会,数字信息随处可见,因此专门研究如何收集、整理、分析数据的科学—— 统计学就备受重视. 统计学是研究如何收集、 整理、 分析数据的科学, 它可以为人们制定决策提供依据. 在 客观世界中,需要认识的现象无穷无尽.要认识某现象的第一步就是通过观察或试验取得观测资料,然后 通过分析这些资料来认识此现象.如何取得有代表性的观测资料并能够正确地加以分析,是正确地认识未 知现象的基础,也是统计所研究的基本问题.本章主要介绍最基本的获取样本数据的方法,以及几种从样 本数据中提取信息的统计方法,其中包括用样本估计总体分布、数字特征和线性回归等内容. 从义务教育阶段来看, 统计知识的教学从小学到初中分为三个阶段, 在每个阶段都要学习收集、 整理、 描述和分析数据等处理数据的基本方法,教学目标随着学段的升高逐渐提高.在义务教育阶段的统计与概 率知识的基础上, 《课程标准》要求通过实际问题及情境,进一步介绍随机抽样、样本估计总体、线性回 归的基本方法, 了解用样本估计总体及其特征的思想, 体会统计思维与确定性思维的差异; 通过实习作业, 较为系统地经历数据收集与处理的全过程,进一步体会统计思维与确定性思维的差异. 本章教学时间约需 7 课时,具体分配如下(仅供参考) :

2.1.1 2.1.2

简单随机抽样 系统抽样
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约 1 课时 约 1 课时

2.1.3 2.2.1 2.2.2 2.3

分层抽样 用样本的频率分布估计总体分布 用样本的数字特征估计总体的数字特征 变量间的相关关系 本章复习

约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时 约 1 课时

2.1 随机抽样 2.1.1 简单随机抽样
整体设计 教学分析 教材是以探究一批小包装饼干的卫生是否达标为问题导向,逐步引入简单随机抽样概念.并通过实例 介绍了两种简单随机抽样方法:抽签法和随机数法. 值得注意的是为了使学生获得简单随机抽样的经验,教学中要注意增加学生实践的机会.例如,用抽 签法决定班里参加某项活动的代表人选,用随机数法从全年级同学中抽取样本计算平均身高等等. 三维目标 1.能从现实生活或其他学科中推出具有一定价值的统计问题,提高学生分析问题的能力. 2.理解随机抽样的必要性和重要性,提高学生学习数学的兴趣. 3.学会用抽签法和随机数法抽取样本,培养学生的应用能力. 重点难点 教学重点:理解随机抽样的必要性和重要性,用抽签法和随机数法抽取样本. 教学难点:抽签法和随机数法的实施步骤. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 抽样的方法很多,某个抽样方法都有各自的优越性与局限性,针对不同的问题应当选择适当的抽样方 法.教师点出课题:简单随机抽样. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)在 1936 年美国总统选举前,一份颇有名气的杂志(Literary Digest)的工作人员做了一次民意测验.调 查兰顿(A.Landon)(当时任堪萨斯州州长)和罗斯福(F.D.Roosevelt)(当时的总统)中谁将当选下一届总统.为了 了解公众意向,调查者通过电话簿和车辆登记簿上的名单给一大批人发了调查表(注意在 1936 年电话和汽车 只有少数富人拥有).通过分析收回的调查表,显示兰顿非常受欢迎,于是此杂志预测兰顿将在选举中获胜. 实际选举结果正好相反,最后罗斯福在选举中获胜,其数据如下:

候选人 Roosevelt Landon

预测结果% 43 57

选举结果% 62 38

你认为预测结果出错的原因是什么?由此可以总结出什么教训? (2)假设你作为一名食品卫生工作人员,要对某食品店内的一批小包装饼干进行卫生达标检验,你准备 怎样做?显然,你只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本.那么,应当怎样获取样本呢? (3)请总结简单随机抽样的定义. 讨论结果: (1)预测结果出错的原因是:在民意测验的过程中,即抽取样本时,抽取的样本不具有代表性.1936 年拥 有电话和汽车的美国人只是一小部分,那时大部分人还很穷.其调查的结果只是富人的意见,不能代表穷 人的意见.
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由此可以看出,抽取样本时,要使抽取出的样本具有代表性,否则调查的结果与实际相差较大. (2)要对这批小包装饼干进行卫生达标检查,只能从中抽取一定数量的饼干作为检验的样本,用样本的卫生 情况来估计这批饼干的卫生情况.如果对这批饼干全部检验,那么费时费力,等检查完了,这批饼干可能 就超过保质期了,再就是会破坏这批饼干的质量,导致无法出售. 获取样本的方法是: 将这批小包装饼干, 放入一个不透明的袋子中, 搅拌均匀, 然后不放回地摸取 (这 样可以保证每一袋饼干被抽到的可能性相等) ,这样就可以得到一个样本.通过检验样本来估计这批饼干 的卫生情况.这种抽样方法称为简单随机抽样. (3)一般地,设一个总体含有 N 个个体,从中逐个不放回地抽取 n 个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时 总体内的各个个体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样.最常用的简单随机抽样方 法有两种:抽签法和随机数法. 提出问题 (1)抽签法是大家最熟悉的,也许同学们在做某种游戏,或者选派一部分人参加某项活动时就用过抽签 法.例如,高一(2)班有 45 名学生,现要从中抽出 8 名学生去参加一个座谈会,每名学生的机会均等.我们可以把 45 名学生的学号写在小纸片上,揉成小球,放到一个不透明袋子中,充分搅拌后,再从中逐个抽出 8 个号签,从 而抽出 8 名参加座谈会的学生. 请归纳抽签法的定义.总结抽签法的步骤. (2)你认为抽签法有什么优点和缺点?当总体中的个体数很多时,用抽签法方便吗? (3)随机数法是利用随机数表或随机骰子或计算机产生的随机数进行抽样. 我们仅学习随机数表法即利用随 机数表产生的随机数进行简单随机抽样的方法. 怎样利用随机数表产生样本呢?下面通过例子来说明. 假设我们要考察某公司生产的 500 克袋装牛奶的质量是否达标,现从 800 袋牛奶中抽取 60 袋进行检验. 利用随机数表抽取样本时,可以按照下面的步骤进行. 第一步,先将 800 袋牛奶编号,可以编为 000,001,…,799. 第二步,在随机数表中任选一个数.例如选出第 8 行第 7 列的数 7(为了便于说明,下面摘取了附表 1 的第 6 行至第 10 行.) 16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28 第三步,从选定的数 7 开始向右读(读数的方向也可以是向左、向上、向下等),得到一个三位数 785,由于 785<799,说明号码 785 在总体内,将它取出;继续向右读,得到 916,由于 916>799,将它去掉.按照这种方法继续 向右读,又取出 567,199,507,…,依次下去,直到样本的 60 个号码全部取出.这样我们就得到一个容量为 60 的 样本. 请归纳随机数表法的步骤. (4)当 N=100 时,分别以 0,3,6 为起点对总体编号,再利用随机数表抽取 10 个号码.你能说出从 0 开始 对总体编号的好处吗? (5)请归纳随机数表法的优点和缺点. 讨论结果: (1)一般地,抽签法就是把总体中的 N 个个体编号,把号码写在号签上,将号签放在一个容器中,搅拌均匀后, 每次从中抽取一个号签,连续抽取 n 次,就得到一个容量为 n 的样本. 抽签法的步骤是: 1°将总体中个体从 1—N 编号; 2°将所有编号 1—N 写在形状、大小相同的号签上; 3°将号签放在一个不透明的容器中,搅拌均匀; 4°从容器中每次抽取一个号签,并记录其编号,连续抽取 n 次;
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5°从总体中将与抽取到的签的编号相一致的个体取出. (2)抽签法的优点是简单易行,缺点是当总体的容量非常大时,费时、费力,如果标号的签搅拌得不均匀, 会导致抽样不公平.因此说当总体中的个体数很多时,用抽签法不方便.这时用随机数法. (3)随机数表法的步骤: 1°将总体中个体编号; 2°在随机数表中任选一个数作为开始; 3°规定从选定的数读取数字的方向; 4°开始读取数字,若不在编号中,则跳过,若在编号中则取出,依次取下去,直到取满为止; 5°根据选定的号码抽取样本. (4)从 0 开始编号时,号码是 00,01,02,…,99;从 3 开始编号时,号码是 003,004,…,102;从 6 开 始编号时,号码是 006,007,…,105.所以以 3,6 为起点对总体编号时,所编的号码是三位,而从 0 开 始编号时,所编的号码是两位,在随机数表中读数时,读取两位比读取三位要省时,所以从 0 开始对总体 编号较好. (5)综上所述可知,简单随机抽样有操作简便易行的优点,在总体个数不多的情况下是行之有效的.但是, 如果总体中的个体数很多时,对个体编号的工作量太大,即使用随机数表法操作也并不方便快捷.另外,要 想“搅拌均匀”也非常困难,这就容易导致样本的代表性差. 应用示例 例 1 某车间工人加工一种轴共 100 件,为了了解这种轴的直径,要从中抽取 10 件轴在同一条件下测量, 如何采用简单随机抽样的方法抽取样本? 分析:简单随机抽样有两种方法:抽签法和随机数表法,所以有两种思路. 解法一(抽签法) : ①将 100 件轴编号为 1,2,…,100; ②做好大小、形状相同的号签,分别写上这 100 个号码; ③将这些号签放在一个不透明的容器内,搅拌均匀; ④逐个抽取 10 个号签; ⑤然后测量这 10 个号签对应的轴的直径的样本. 解法二(随机数表法) : ①将 100 件轴编号为 00,01,…99; ②在随机数表中选定一个起始位置,如取第 22 行第 1 个数开始(见教材附录 1:随机数表); ③规定读数的方向,如向右读; ④依次选取 10 个为 68,34,30,13,70,55,74,77,40,44, 则这 10 个号签相应的个体即为所要抽取的样本. 点评:本题主要考查简单随机抽样的步骤.抽签法的关键是为了保证每个个体被抽到的可能性相等而必须 搅拌均匀,当总体中的个体无差异,并且总体容量较小时,用抽签法;用随机数表法读数时,所编的号码 是几位,读数时相应地取连续的几个数字,当总体中的个体无差异,并且总体容量较多时,用抽签法. 变式训练 1.下列抽样的方式属于简单随机抽样的有____________. (1)从无限多个个体中抽取 50 个个体作为样本. (2)从 1 000 个个体中一次性抽取 50 个个体作为样本. (3)将 1 000 个个体编号,把号签放在一个足够大的不透明的容器内搅拌均匀,从中逐个抽取 50 个个体 作为样本. (4)箱子里共有 100 个零件,从中选出 10 个零件进行质量检验,在抽样操作中,从中任意取出一个零件 进行质量检验后,再把它放回箱子. (5)福利彩票用摇奖机摇奖. 解析: (1)中,很明显简单随机抽样是从有限多个个体中抽取,所以(1)不属于; (2)中,简单随机抽
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样是逐个抽取,不能是一次性抽取,所以(2)不属于;很明显(3)属于简单随机抽样; (4)中,抽样是 放回抽样,但是简单随机抽样是不放回抽样,所以(4)不属于;很明显(5)属于简单随机抽样. 答案: (5) (3) 2.要从某厂生产的 30 台机器中随机抽取 3 台进行测试,写出用抽签法抽样样本的过程. 分析:由于总体容量和样本容量都较小,所以用抽签法. 解:抽签法,步骤: 第一步,将 30 台机器编号,号码是 01,02,…,30. 第二步,将号码分别写在一张纸条上,揉成团,制成号签. 第三步,将得到的号签放入不透明的袋子中,并充分搅匀. 第四步,从袋子中依次抽取 3 个号签,并记录上面的编号. 第五步,所得号码对应的 3 台机器就是要抽取的样本. 例 2 人们打桥牌时,将洗好的扑克牌随机确定一张为起始牌,这时按次序搬牌时,对任何一家来说,都 是从 52 张牌中抽取 13 张牌,问这种抽样方法是否是简单随机抽样? 解:简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本,而这里只是随机确定了起始张,其他各张牌虽 然是逐张起牌,但是各张在谁手里已被确定,所以不是简单随机抽样. 点评:判断简单随机抽样时,要紧扣简单随机抽样的特征:逐个、不放回抽取且保证每个个体被抽到的可 能性相等. 变式训练 现在有一种“够级”游戏,其用具为四副扑克,包括大小鬼(又称为花)在内共 216 张牌,参与人数为 6 人并坐成一圈.“够级”开始时,从这 6 人中随机指定一人从已经洗好的扑克牌中随机抽取一张牌(这叫 开牌) 然后按逆时针方向, , 根据这张牌上的数字来确定谁先抓牌, 6 人依次从 216 张牌中抓取 36 张牌, 这 问这种抓牌方法是否是简单随机抽样? 解:在这里只有抽取的第一张扑克牌是随机抽取的,其他 215 张牌已经确定,即这 215 张扑克牌被抽取的 可能性与第一张扑克牌可能性不相同,所以不是简单随机抽样. 知能训练 1.为了了解全校 240 名学生的身高情况,从中抽取 40 名学生进行测量,下列说法正确的是( ) A.总体是 240 B.个体 C.样本是 40 名学生 D.样本容量是 40 答案:D 2.为了了解所加工一批零件的长度,抽测了其中 200 个零件的长度,在这个问题中,200 个零件的长度是 ( ) A.总体 B.个体 C.总体的一个样本 D.样本容量 答案:C 3.一个总体中共有 200 个个体,用简单随机抽样的方法从中抽取一个容量为 20 的样本,则某一特定个体 被抽到的可能性是____________. 答案:

1 10

4.为了检验某种产品的质量,决定从 40 件产品中抽取 10 件进行检查,如何用简单随机抽样抽取样本? 解:方法一(抽签法) : ①将这 40 件产品编号为 1,2,…,40; ②做好大小、形状相同的号签,分别写上这 40 个号码; ③将这些号签放在一个不透明的容器内,搅拌均匀; ④连续抽取 10 个号签; ⑤然后对这 10 个号签对应的产品检验. 方法二(随机数表法) : ①将 40 件产品编号,可以编为 00,01,02,…,38,39; ②在随机数表中任选一个数作为开始,例如从第 8 行第 9 列的数 5 开始, ;
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③从选定的数 5 开始向右读下去,得到一个两位数字号码 59,由于 59>39,将它去掉;继续向右读,得 到 16,将它取出;继续下去,又得到 19,10,12,07,39,38,33,21,随后的两位数字号码是 12,由于它在前面 已经取出,将它去掉,再继续下去,得到 34.至此,10 个样本号码已经取满,于是,所要抽取的样本号 码是 16,19,10,12,07,39,38,33,21,34. 拓展提升 现有一批编号为 10,11,…,99,100,…,600 的元件,打算从中抽取一个容量为 6 的样本进行质 量检验.如何用随机数法设计抽样方案? 分析:重新编号,使每个号码的位数相同. 解:方法一: 第一步,将元件的编号调整为 010,011,012,…,099,100,…,600. 第二步,在随机数表中任选一数作为开始,任选一方向作为读数方向.比如,选第 6 行第 7 个数“9”,向右 读. 第三步,从数“9”开始,向右读,每次读取三位,凡不在 010—600 中的数跳过去不读,前面已经读过的也跳 过去不读,依次可得到 544,354,378,520,384,263. 第四步,以上这 6 个号码所对应的 6 个元件就是所要抽取的对象. 方法二: 第一步,将每个元件的编号加 100,重新编号为 110,111,112,…,199,200,…,700. 第二步,在随机数表中任选一数作为开始,任选一方向作为读数方向.比如,选第 8 行第 1 个数“6”,向右读. 第三步,从数“6”开始,向右读,每次读取三位,凡不在 110—700 中的数跳过去不读,前面已经读过的也跳 过去不读,依次可得到 630,163,567,199,507,175. 第四步,这 6 个号码分别对应原来的 530,63,467,99,407,75.这些号码对应的 6 个元件就是要抽取的 对象. 课堂小结 1.简单随机抽样是一种最简单、最基本的抽样方法,简单随机抽样有两种选取个体的方法:放回和不放 回,我们在抽样调查中用的是不放回抽样,常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数法. 2.抽签法的优点是简单易行,缺点是当总体的容量非常大时,费时、费力,又不方便,如果标号的签搅 拌得不均匀,会导致抽样不公平,随机数表法的优点与抽签法相同,缺点是当总体容量较大时,仍然不是 很方便,但是比抽签法公平,因此这两种方法只适合总体容量较小的抽样类型. 3.简单随机抽样每个个体入样的可能性都相等,均为

n ,但是这里一定要将每个个体入样的可能性、第 N

n 次每个个体入样的可能性、特定的个体在第 n 次被抽到的可能性这三种情况区分开来,避免在解题中出 现错误. 作业 课本本节练习 2、3. 设计感想 本节教学设计以课程标准的要求为指导, 重视引导学生参与到教学中, 体现了学生的主体地位. 同时, 根据高考的要求,适当拓展了教材,做到了用教材,而不是教教材.

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2.1.2 系统抽样
整体设计 教学分析 教材通过探究“学生对教师教学的意见”过程,介绍了一种最简单的系统抽样——等距抽样,并给出实 施等距抽样的步骤. 值得注意的是在教学过程中,适当介绍当

N 不是整数时,应如何实施系统抽样. n

三维目标 1.理解系统抽样,会用系统抽样从总体中抽取样本,了解系统抽样在实际生活中的应用,提高学生学习 数学的兴趣. 2.通过自学课后“阅读与思考”,让学生进一步了解虚假广告是淡化总体和抽样方法、强化统计结果来夸大 产品的有效性,以提高学生理论联系实际的能力. 重点难点 教学重点:实施系统抽样的步骤. 教学难点:当 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1 上一节我们学习了简单随机抽样,那么简单随机抽样的特点是什么?简单随机抽样是最简单和最基本 的抽样方法,当总体中的个体较少时,常采用简单随机抽样.但是如果总体中的个体较多时,怎样抽取样 本呢?教师点出课题:系统抽样. 思路 2 某中学有 5 000 名学生,打算抽取 200 名学生,调查他们对奥运会的看法,采用简单随机抽样时,无 论是抽签法还是随机数法,实施过程很复杂,需要大量的人力和物力,那么有没有更为方便可行的抽样方 法呢?这就是今天我们学习的内容:系统抽样. 推进新课 新知探究 提出问题 (1) 某学校为了了解高一年级学生对教师教学的意见, 打算从高一年级 500 名学生中抽取 50 名进行调查, 除了用简单随机抽样获取样本外,你能否设计其他抽取样本的?方法?? (2)请归纳系统抽样的定义和步骤. (3)系统抽样有什么特点? 讨论结果: (1)可以将这 500 名学生随机编号 1—500,分成 50 组,每组 10 人,第 1 组是 1—10,第二组 11—20,依次 分下去,然后用简单随机抽样在第 1 组抽取 1 人,比如号码是 2,然后每隔 10 个号抽取一个,得到 2,12, 22,…,492. 这样就得到一个容量为 50 的样本. 这种抽样方法称为系统抽样. (2)一般地,要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本,可将总体分成均衡的若干部分,然后按照预先制 定的规则,从每一部分抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样的方法叫做系统抽样. 其步骤是: 1°采用随机抽样的方法将总体中的 N 个个体编号;
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N 不是整数,如何实施系统抽样. n

2°将整体按编号进行分段,确定分段间隔 k(k∈N,l≤k); 3°在第 1 段用简单随机抽样确定起始个体的编号 l(l∈N,l≤k); 4°按照一定的规则抽取样本.通常是将起始编号 l 加上间隔 k 得到第 2 个个体编号(l+k), 再加上 k 得到第 3 个个体编号(l+2k),这样继续下去,直到获取整个样本. 说明:从系统抽样的步骤可以看出,系统抽样是把一个问题划分成若干部分分块解决,从而把复杂问题简 单化,体现了数学转化思想. (3)系统抽样的特点是: 1°当总体容量 N 较大时,采用系统抽样; 2°将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段,分段的间隔要求相等,因此,系统抽样又称等距抽样, 这时间隔一般为 k=[

N ] . n

3°预先制定的规则指的是:在第 1 段内采用简单随机抽样确定一个起始编号,在此编号的基础上加上分 段间隔的整倍数即为抽样编号. 应用示例 例 1 为了了解参加某种知识竞赛的 1 000 名学生的成绩,应采用什么抽样方法较恰当?简述抽样过程. 解:适宜选用系统抽样,抽样过程如下: (1)随机地将这 1 000 名学生编号为 1,2 ,3,…,1000. (2)将总体按编号顺序均分成 50 部分,每部分包括 20 个个体. (3)在第一部分的个体编号 1,2,3,…,20 中,利用简单随机抽样抽取一个号码,比如 18. (4)以 18 为起始号码,每间隔 20 抽取一个号码,这样得到一个容量为 50 的样本:18,38,58,…,978, 998. 点评:系统抽样与简单随机抽样一样,每个个体被抽到的概率都相等,从而说明系统抽样是等概率抽样,它 是公平的.系统抽样是建立在简单随机抽样的基础之上的,当将总体均分后对每一部分进行抽样时,采用 的是简单随机抽样. 变式训练 1.下列抽样不是系统抽样的是( ) A.从标有 1—15 号的 15 个小球中任选 3 个作为样本,按从小号到大号排序,随机确定起点 i,以后为 i+5, i+10(超过 15 则从 1 再数起)号入样 B.工厂生产的产品,用传送带将产品送入包装车间前,检验人员从传送带上每隔五分钟抽一件产品检验 C.搞某一市场调查,规定在商场门口随机抽一个人进行询问,直到调查到事先规定的调查人数为止 D.电影院调查观众的某一指标,通知每排(每排人数相等)座位号为 14 的观众留下来座谈 分析:C 中,因为事先不知道总体,抽样方法不能保证每个个体按事先规定的概率入样,所以不是系统抽样. 答案:C 2.某校高中三年级的 295 名学生已经编号为 1,2,…,295,为了了解学生的学习情况,要按 1∶5 的比例 抽取一个样本,用系统抽样的方法进行抽取,并写出过程. 分析:按 1∶5 分段,每段 5 人,共分 59 段,每段抽取一人,关键是确定第 1 段的编号. 解:抽样过程是: (1)按照 1∶5 的比例,应该抽取的样本容量为 295÷ 5=59,我们把 259 名同学分成 59 组,每组 5 人,第 一组是编号为 1—5 的 5 名学生,第 2 组是编号为 6—10 的 5 名学生,依次下去,59 组是编号为 291—295 的 5 名学生; (2)采用简单随机抽样的方法,从第一组 5 名学生中抽出一名学生,不妨设编号为 l(l≤5); (3)按照一定的规则抽取样本.抽取的学生编号为 l+5k(k=0,1,2,…,58),得到 59 个个体作为样本,如当 k=3 时的样本编号为 3,8,13,…,288,293. 例 2 为了了解参加某种知识竞赛的 1 003 名学生的成绩,请用系统抽样抽取一个容量为 50 的样本. 分析:由于

1003 不是整数,所以先从总体中随机剔除 3 个个体. 50
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步骤: (1)随机地将这 1003 个个体编号为 1,2,3,…,1003. (2)利用简单随机抽样,先从总体中剔除 3 个个体(可利用随机数表) ,剩下的个体数?1 000?能被样本 容量 50 整除,然后再重新编号为 1,2,3,…,1000. (3)确定分段间隔.

1000 =20,则将这 1 000 名学生分成 50 组,每组 20 人,第 1 组是 1,2,3,…,20; 50

第 2 组是 21,22,23,…,40;依次下去,第 50 组是 981,982,…,1000. (4)在第 1 组用简单随机抽样确定第一个个体编号 l(l≤20). (5)按照一定的规则抽取样本.抽取的学生编号为 l+20k (k=0,1,2,…,19),得到 50 个个体作为样本,如 当 k=2 时的样本编号为 2,22,42,…,982. 点评:如果遇到

N 不是整数的情况,可以先从总体中随机地剔除几个个体,使得总体中剩余的个体数能 n

被样本容量整除. 变式训练 1.某校高中三年级有 1 242 名学生,为了了解他们的身体状况,准备按 1∶40 的比例抽取一个样本,那么 ( ) A.剔除指定的 4 名学生 B.剔除指定的 2 名学生 C.随机剔除 4 名学生 D.随机剔除 2 名学生 分析:为了保证每名学生被抽到的可能性相等,必须是随机剔除学生,由于

1242 的余数是 2,所以要剔 40

除 2 名学生. 答案:D 2.从 2 005 个编号中抽取 20 个号码,采用系统抽样的方法,则抽样的分段间隔为( ) A.99 B.99.5 C.100 D.100.5 答案:C 例 3 从已编号为 1—50 的 50 枚最新研制的某种型号的导弹中随机抽取 5 枚来进行发射实验, 若采用每部 分选取的号码间隔一样的系统抽样方法,则所选取 5 枚导弹的编号可能是( ) A.5,10,15,20,25 B.3,13,23,33,43 C.1,2,3,4,5 D.2,4,6,16,32 分析:用系统抽样的方法抽取到的导弹编号应该为 k,k+d,k+2d,k+3d,k+4d,其中 d=50/5=10,k 是 1 到 10 中用 简单随机抽样方法得到的数,因此只有选项 B 满足要求. 答案:B 点评:利用系统抽样抽取的样本的个体编号按从小到大的顺序排起来,从第 2 个号码开始,每一个号码与 前一个号码的差都等于同一个常数,这个常数就是分段间隔. 变式训练 某小礼堂有 25 排座位,每排 20 个座位,一次心理学讲座,礼堂中坐满了学生,会后为了了解有关情 况,留下座位号是 15 的所有 25 名学生进行测试,这里运用的是_________抽样方法. 答案:系统 知能训练 1.从学号为 0—50 的高一某班 50 名学生中随机选取 5 名同学参加数学竞赛,采用系统抽样的方法,则所 选 5 名学生的学号不可能是( ) A.1,2,3,4,5 B.5,15,25,35,45 C.2, 12, 22, 32, 42 D.9,19,29,39,49 答案:A 2.采用系统抽样从个体数为 83 的总体中抽取一个样本容量为 10 的样本,那么每个个体入样的可能性为 ( )
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A.

1 83

B.

1 80

C.

1 10

D.不相等

答案:A 3.某单位的在岗工人为 624 人,为了调查工作上班时从家到单位的路上平均所用的时间,决定抽取 10% 的工人调查这一情况,如何采用系统抽样的方法完成这一抽样? 答案:先随机剔除 4 人,再按系统抽样抽取样本. 4.某学校有学生 3 000 人,现在要抽取 100 人组成夏令营,怎样抽取样本? 分析:由于总体人数较多,且无差异,所以按系统抽样的步骤来进行抽样. 解:按系统抽样抽取样本,其步骤是: ①将 3 000 名学生随机编号 1,2,…,3000; ②确定分段间隔 k=

3000 =30,将整体按编号进行分 100 组,第 1 组 1—30,第 2 组 31—60,依次分下去, 100

第 100 组 2971—3000; ③在第 1 段用简单随机抽样确定起始个体的编号 l(l∈N,0≤l≤30) ; ④按照一定的规则抽取样本,通常是将起始编号 l 加上间隔 30 得到第 2 个个体编号 l+30,再加上 30,得 到第 3 个个体编号 l+60, 这样继续下去, 直到获取整个样本. 比如 l=15, 则抽取的编号为: 45, …, 15, 75, 2985. 这些号码对应的学生组成样本. 拓展提升 将参加数学竞赛的 1 000 名学生编号如下 000,001,002,…,999,打算从中抽取一个容量为 50 的 样本,按系统抽样方法分成 50 个部分,第一组编号为 000,002,…,019,如果在第一组随机抽取的一个 号码为 015,则抽取的第 40 个号码为_____________. 分析:利用系统抽样抽取样本,在第一组抽取号码为 l=015,分段间隔为 k=

1000 =20,则在第 i 组中抽 50

取的号码为 015+20(i-1).则抽取的第 40 个号码为 015+(40-1)× 20=795. 答案:795 课堂小结 通过本节的学习,应明确什么是系统抽样,系统抽样的适用范围,如何用系统抽样获取样本. 作业 习题 2.1A 组 3.

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2.1.3 分层抽样
整体设计 教学分析 教材从“了解某地区中小学生的近视情况及其形成原因”的探究中引入的概念.在探究过程中,应该引 导学生体会:调查者是利用事先掌握的各种信息对总体进行分层,这可以保证每一层一定有个体被抽到, 从而使得样本具有更好的代表性.为了达到此目的,教材利用右栏问题“你认为哪些因素可能影响到学生 的视力?设计抽样方法时,需要考虑这些因素吗?”来引导学生思考,在教学中要充分注意这一点. 教材在探究初中和小学的抽样个数时, 在右栏提出问题“想一想, 为什么要这样取各个学段的个体数?” 用意是向学生强调:含有个体多的层,在样本中的代表也应该多,即样本在该层的个体数也应该多.这样 的样本才具有更好的代表性. 三维目标 1.理解分层抽样的概念,掌握其实施步骤,培养学生发现问题和解决问题的能力; 2.掌握分层抽样与简单随机抽样和系统抽样的区别与联系,提高学生的总结和归纳能力,让学生领会到 客观世界的普遍联系性. 重点难点 教学重点:分层抽样的概念及其步骤. 教学难点:确定各层的入样个体数目,以及根据实际情况选择正确的抽样方法. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1 中国共产党第十七次代表大会的代表名额原则上是按各选举单位的党组织数、党员人数进行分配的, 并适当考虑前几次代表大会代表名额数等因素.按照这一分配办法,各选举单位的代表名额,比十六大时 都有增加.另外,按惯例,中央将确定一部分已经退出领导岗位的老党员作为特邀代表出席大会.这种产 生代表的方法是简单随机抽样还是系统抽样?教师点出课题:分层抽样. 思路 2 我们已经学习了两种抽样方法:简单随机抽样和系统抽样,本节课我们学习分层抽样. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)假设某地区有高中生 2 400 人,初中生 10 900 人,小学生 11 000 人,此地教育部门为了了解本地区中小 学的近视情况及其形成原因, 要从本地区的小学生中抽取 1%的学生进行调查, 你认为应当怎样抽取样本? (2)想一想为什么这样取各个学段的个体数? (3)请归纳分层抽样的定义. (4)请归纳分层抽样的步骤. (5)分层抽样时如何分层?其适用于什么样的总体? 讨论结果:(1)分别利用系统抽样在高中生中抽取 2 400× 1%=24 人,在初中生中抽取 10 900× 1%=109 人, 在小学生中抽取 11 000× 1%=110 人.这种抽样方法称为分层抽样. (2)含有个体多的层,在样本中的代表也应该多,即样本从该层中抽取的个体数也应该多.这样的样本才有 更好的代表性. (3)一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个 体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样的方法叫分层抽样. (4)分层抽样的步骤: ①分层:按某种特征将总体分成若干部分(层) ;
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②按抽样比确定每层抽取个体的个数; ③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本; ④综合每层抽样,组成样本. (5)分层抽样又称类型抽样,应用分层抽样应遵循以下要求: ①分层时将相似的个体归入一类,即为一层,分层要求每层的各个个体互不交叉,即遵循不重复、不遗漏 的原则,即保证样本结构与总体结构一致性. ②分层抽样为保证每个个体等可能入样,需遵循在各层中进行简单随机抽样,每层样本数量与每层个体数 量的比与这层个体数量与总体容量的比相等. ③当总体个体差异明显时,采用分层抽样. 应用示例 例 1 一个单位有职工 500 人,其中不到 35 岁的有 125 人,35 岁至 49 岁的有 280 人,50 岁以上的有 95 人,为了了解这个单位职工与身体状况有关的某项指标,要从中抽取 100 名职工作为样本,职工年龄与这 项指标有关,应该怎样抽取? 分析:由于职工年龄与这项指标有关,所以应选取分层抽样来抽取样本. 解:用分层抽样来抽取样本,步骤是: (1)分层:按年龄将 150 名职工分成三层:不到 35 岁的职工;35 岁至 49 岁的职工;50 岁以上的职工.

100 1 1 ? ,则在不到 35 岁的职工中抽 125× =25 人;在 35 岁至 500 5 5 1 1 49 岁的职工中抽 280× =56 人;在 50 岁以上的职工中抽 95× =19 人. 5 5
(2)确定每层抽取个体的个数.抽样比为 (3)在各层分别按抽签法或随机数表法抽取样本. (4)综合每层抽样,组成样本. 点评: 本题主要考查分层抽样及其实施步骤. 如果总体中的个体有差异时, 那么就用分层抽样抽取样本. 用 分层抽样抽取样本时,要把性质、结构相同的个体组成一层. 变式训练 1.某市的 3 个区共有高中学生 20 000 人,且 3 个区的高中学生人数之比为 2∶3∶5,现要从所有学生中抽 取一个容量为 200 的样本,调查该市高中学生的视力情况,试写出抽样过程. 分析:由于该市高中学生的视力有差异,按 3 个区分成三层,用分层抽样来抽取样本.在 3 个区分别抽取 的学生人数之比也是 2∶3∶5,所以抽取的学生人数分别是 200× 200×

2 3 =40;200× =60; 2?3?5 2?3?5

5 =100. 2?3?5

解:用分层抽样来抽取样本,步骤是: (1)分层:按区将 20 000 名高中生分成三层. (2)确定每层抽取个体的个数.在这 3 个区抽取的学生数目分别是 40、60、100. (3)在各层分别按随机数表法抽取样本. (4)综合每层抽样,组成样本. 2.某单位有老年人 28 人,中年人 54 人,青年人 81 人,为了调查他们的身体状况,从他们中抽取容量为 36 的样本,最适合抽取样本的方法是( ) A.简单随机抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.先从老年人中剔除 1 人,再用分层抽样 分析:总人数为 28+54+81=163.样本容量为 36,由于总体由差异明显的三部分组成,考虑用分层抽样.若 按 36∶163 取样,无法得到整解,故考虑先剔除 1 人,抽取比例变为 36∶162=2∶9,则中年人取 12 人, 青年人取 18 人,先从老年人中剔除 1 人,老年人取 6 人,组成 36 的样本. 答案:D 例 2 某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有 40 种、10 种、30
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种、20 种,现从中抽取一个容量为 20 的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽 取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 分析:抽样比为

20 1 1 = ,则抽取的植物油类种数是 10× =2,则抽取的果蔬类食品种数是 40 ? 10 ? 30 ? 20 5 5

20× =4,所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是 2+4=6. 答案:C 点评:如果 A、B、C 三层含有的个体数目分别是 x、y、z,在 A、B、C 三层应抽取的个体数目分别是 m、 n、p,那么有 x∶y∶z=m∶n∶p;如果总体有 N 个个体,所抽取的样本容量为 n,某层所含个体数目为 a,在该 层抽取的样本数目为 b,那么有

1 5

n b ? . N a

变式训练 1.(2007 浙江高考,文 13)某校有学生 2 000 人,其中高三学生 500 人.为了解学生的身体素质情况,采 用 按 年 级 分 层 抽 样 的 方 法 , 从 该 校 学 生 中 抽 取 一 个 200 人 的 样 本 . 则 样 本 中 高 三 学 生 的 人 数 为 ______________. 分析:抽样比为

200 1 1 ? ,样本中高三学生的人数为 500× =50. 2000 10 10

答案:50 2.甲校有 3 600 名学生,乙校有 5 400 名学生,丙校有 1 800 名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划 采用分层抽样法,抽取一个容量为 90 人的样本,应在这三校分别抽取学生( ) A.30 人,30 人,30 人 B.30 人,45 人,15 人 C.20 人,30 人,10 人 D.30 人,50 人,10 人 分析:抽样比是 400=45 人,

90 1 1 1 ? ,则应在这三校分别抽取学生: × 600=30 人, 3 × 5 3600 ? 5400 ? 1800 120 120 120

1 × 800=15 人. 1 120

答案:B 知能训练 1.某城区有农民、工人、知识分子家庭共计 2 000 家,其中农民家庭 1 800 户,工人家庭 100 户.现要从 中抽取容量为 40 的样本,调查家庭收入情况,则在整个抽样过程中,可以用到下列抽样方法( ) ①简单随机抽样 ②系统抽样 ③分层抽样 A.②③ B.①③ C.③ D.①②③ 分析:由于各家庭有明显差异,所以首先应用分层抽样的方法分别从农民、工人、知识分子这三类家庭中 抽出若干户,即 36 户、2 户、2 户.又由于农民家庭户数较多,那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样; 而工人、知识分子家庭户数较少,宜采用简单随机抽样法.故整个抽样过程要用到①②③三种抽样法. 答案:D 2.某地区有 300 家商店,其中大型商店有 30 家 ,中型商店有 75 家,小型商店有 195 家.为了掌握各商 店的营业情况,要从中抽取一个容量为 20 的样本.若采用分层抽样的方法,抽取的中型商店数是 ______________. 答案:5 3.某校 500 名学生中,O 型血有 200 人,A 型血有 125 人,B 型血有 125 人,AB 型血有 50 人,为了研 究血型与色弱的关系,需从中抽取一个容量为 20 的样本.怎样抽取样本? 分析:由于研究血型与色弱的关系,按血型分层,用分层抽样抽取样本.利用抽样比确定抽取各种血型的 人数. 解:用分层抽样抽取样本.
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20 2 2 ? ,即抽样比为 . 500 50 50 2 2 2 ∴200× =8,125× =5,50× =2. 50 50 50
∵ 故 O 型血抽 8 人,A 型血抽 5 人,B 型血抽 5 人,AB 型血抽 2 人. 抽样步骤: ①确定抽样比

2 ; 50

②按比例分配各层所要抽取的个体数,O 型血抽 8 人,A 型血抽 5 人,B 型血抽 5 人,AB 型血抽 2 人; ③用简单随机抽样分别在各种血型中抽取样本,直至取出容量为 20 的样本. 拓展提升 某高级中学有学生 270 人,其中一年级 108 人,二、三年级各 81 人,现要利用抽样方法抽取 10 人参 加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时, 将学生按一、二、三年级依次统一编号为 1,2,…,270;使用系统抽样时,将学生统一随机编号 1,2,…, 270,并将整个编号依次分为 10 段.如果抽得号码有下列四种情况: ①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250; ②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265; ③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254; ④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270. 关于上述样本的下列结论中,正确的是( ) A.②③都不能为系统抽样 B.②④都不能为分层抽样 C.①④都可能为系统抽样 D.①③都可能为分层抽样 分析:如果按分层抽样时,在一年级抽取 108×

10 10 =4 人,在二、三年级各抽取 81× =3 人,则在号码 270 270

段 1,2,…,108 抽取 4 个号码,在号码段 109,110,…,189 抽取 3 个号码,在号码段 190,191,…, 270 抽取 3 个号码,①②③符合,所以①②③可能是分层抽样,④不符合,所以④不可能是分层抽样;如 果按系统抽样时,抽取出的号码应该是“等距”的,①③符合,②④不符合,所以①③都可能为系统抽样, ②④都不能为系统抽样. 答案:D 点评:根据样本的号码判断抽样方法时,要紧扣三类抽样方法的特征.利用简单随机抽样抽取出的样本号 码没有规律性; 利用分层抽样抽取出的样本号码有规律性,即在每一层抽取的号码个数 m 等于该层所含个 体数目与抽样比的积,并且应该恰有 m 个号码在该层的号码段内; 利用系统抽样取出的样本号码也有规律 性,其号码按从小到大的顺序排列,则所抽取的号码是:l,l+k,l+2k,…,l+(n-1)k.其中,n 为样本容量,l 是第一组中的号码,k 为分段间隔=总体容量/样本容量. 课堂小结 本节课学习了分层抽样的定义及其实施步骤. 作业 习题 2.1A 组 5. 设计感想 本节课重视从学生的生活经验和已有知识中学习数学和理解数学.首先为教材内容选择生活背景, 让学 生体验数学问题来源于生活实际;其次,大胆调用学生熟知的生活经验,使数学学习变得易于理解掌握;第 三,善于联系生活实际有机改编教材习题,让学生在实践活动中理解掌握知识,变“学了做”为“做中学”.

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2.2 用样本估计总体 2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布
整体设计 教学分析 教科书通过探究栏目引导学生思考居民生活用水定额管理问题,引出总体分布的估计问题,该案例贯穿 于本节始终.通过对该问题的探究,使学生学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率分布折线图.教科书 在这里主要介绍有关频率分布的列表和画图的方法,而关于频率分布的随机性和规律性方面则给教师留下 了较大的发挥空间.教师可以通过初中有关随机事件的知识,也可以利用计算机多媒体技术,引导学生进一步 体会由样本确定的频率分布表和频率分布直方图的随机性; 通过初中有关频率与概率之间的关系,了解频率 分布直方图的规律性,即频率分布与总体分布之间的关系,进一步体会用样本估计总体的思想. 由于样本频率分布直方图可以估计总体分布,因此可以用样本频率分布特征来估计相应的总体分布特 征,这就提供了估计总体特征的另一种途径,其意义在于:在没有原始数据而仅有频率分布的情况下,此方法 可以估计总体的分布特征. 三维目标 1.通过实例体会分布的意义和作用,通过对现实生活的探究,感知应用数学知识解决问题的方法. 2.在表示样本数据的过程中,学会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图,理解数形结合的 数学思想和逻辑推理的数学方法. 3.通过对样本分析和总体估计的过程,感受数学对实际生活的需要,通过实例体会频率分布直方图、 频率折线 图、茎叶图的各自特征,从而恰当地选择上述方法分析样本的分布,准确地作出总体估计,认识到数学知识源 于生活并指导生活的事实,体会数学知识与现实世界的联系. 重点难点 教学重点:会列频率分布表,画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图. 教学难点:能通过样本的频率分布估计总佒的分布. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1 在 NBA 的 2006 赛季中,甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕ 甲运动员得分:12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50 乙运动员得分:8,13,14,16,23,26,28,38,39,51,31,29,33 请问从上面的数据中你能否看出甲、乙两名运动员哪一位发挥比较稳定? 如何根据这些数据作出正确的判断呢?这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率 分布估计总体分布(板书课题). 思路 2 如下样本是随机抽取近年来北京地区 7 月 25 日至 8 月 24 日的日最高气温. 7 月 25 日至 8 月 10 日 8月8日 至8月 24 日 41.9 32.5 28.6 32.8 37.5 34.6 31.5 29.8 35.7 33.0 28.8 25.6 35.4 30.8 33.2 24.7 37.2 31.0 32.5 30.0 38.1 28.6 30.3 30.1 34.7 31.5 30.2 29.5 33.7 28.8 29.8 30.3 33.1 33.3

怎样通过上表中的数据,分析比较两时间段内的高温(≥33 ℃)状况?这就是我们这堂课要研究、学习 的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布. 思路 3 讨论:我们要了解我校学生每月零花钱的情况,应该怎样进行抽样?
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提问:学习了哪些抽样方法?一般在什么时候选取什么样的抽样方法呢? 讨论:通过抽样方法收集数据的目的是什么?(从中寻找所包含的信息,用样本去估计总体) 指出两种估计手段:一是用样本的频率分布估计总体的分布,二是用样本的数字特征(平均数、标准差等) 估计总体的数字特征.这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布. 推进新课 新知探究 提出问题 (1) 我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出,某市政府为了节约生活用水,计划在本市试 行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量标准 a,用水量不超过 a 的部分按平价收费,超出 a 的部分 按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响,那么标准 a 定为多少比较合理呢?你认为,为了较合 理地确定出这个标准,需要做哪些工作?(让学生展开讨论) (2)什么是频率分布? (3)画频率分布直方图有哪些步骤? (4)频率分布直方图的特征是什么? 讨论结果: (1)为了制定一个较为合理的标准 a,必须先了解全市居民日常用水量的分布情况,比如月均用水量在哪个 范围的居民最多,他们占全市居民的百分比情况等.因此采用抽样调查的方式,通过分析样本数据来估计全市 居民用水量的分布情况. 分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来,或者用紧凑的表格改变数据的排列方式,作图可以达到 两个目的,一是从数据中提取信息,二是利用图形传递信息.表格则是通过改变数据的构成形式,为我们提供 解释数据的新方式. 下面我们学习的频率分布表和频率分布图,则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度,来 表示数据分布的规律.可以让我们更清楚地看到整个样本数据的频率分布情况. (2)频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小;一般用频率分布直方图反映样本的频 率分布. (3)其一般步骤为: ①计算一组数据中最大值与最小值的差,即求极差; ②决定组距与组数; ③将数据分组; ④列频率分布表; ⑤画频率分布直方图. (4)频率分布直方图的特征: ①从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势. ②从频率分布直方图得不出原始的数据内容,把数据表示成直方图后,原有的具体数据信息就被抹掉了. 同样一组数据,如果组距不同,横轴、纵轴的单位不同,得到的图和形状也会不同.不同的形状给人以不同 的印象,这种印象有时会影响我们对总体的判断,分别以 0.1 和 1 为组距重新作图,然后谈谈你对图的印象. 提出问题 (1)什么是频率分布折线图? (2)什么是总体密度曲线? (3)对于任何一个总体,它的密度曲线是否一定存在?是否可以被非常准确地画出来? (4)什么叫茎叶图?画茎叶图的步骤有哪些? (5)茎叶图有什么特征? 讨论结果: (1)连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图. (2)在样本频率分布直方图中,相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线,统计中称这条光滑曲线为 总体密度曲线.它能够精确地反映总体在各个范围内取值的百分比,它能给我们提供更加精细的信息.
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(3) 实际上,尽管有些总体密度曲线是客观存在的,但一般很难像函数图象那样准确地画出来,我们只能用样 本的频率分布对它进行估计,一般来说,样本容量越大,这种估计就越?精确?. (4)当数据是两位有效数字时,用中间的数字表示十位数,即第一个有效数字,两边的数字表示个位数,即第 二个有效数字,它的中间部分像植物的茎,两边部分像植物茎上长出来的叶子,因此通常把这样的图叫做茎叶 图. 画茎叶图的步骤如下: ①将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分,在此例中,茎为十位上的数字,叶为个位上的数字; ②将最小茎和最大茎之间的数按大小次序排成一列,写在左(右)侧; ③将各个数据的叶按大小次序写在其茎右(左)侧. (5)①用茎叶图表示数据有两个优点:一是从统计图上没有原始数据信息的损失,所有数据信息都可以从 茎叶图中得到;二是茎叶图中的数据可以随时记录,随时添加,方便记录与表示. ②茎叶图只便于表示两位有效数字的数据,而且茎叶图只方便记录两组的数据,两个以上的数据虽然能够记 录,但是没有表示两个记录那么直观,清晰. 茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的.茎叶图由所有样本数据构成, 没有损失任何样本信息,可以在抽样的过程中随时记录(这对于教练员发现运动员现场状态特别有用);而频 率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息,必须在完成抽样后才能制作. 正确利用三种分布的描述方法, 都能得到一些有关分布的主要特点(如分布是否具有单峰性、 是否具有对称 性、样本点落在各分组中的频率等),这些主要特点受样本的随机性的影响比较小,更接近于总体分布的相应 的特点. 频率分布表和频率分布直方图之间的密切关系是显然的,它们只不过是相同的数据的两种不同的表达方式, 茎叶图和频率分布表极为类似,事实上,茎相当于频率分布表中的分组;茎上叶的数目相当于频率分布表中指 定区间组的频数. 应用示例 思路 1 例 1 有 100 名学生,每人只能参加一个运动队,其中参加足球队的有 30 人,参加篮球队的有 27 人,参加排球 队的有 23 人,参加乒乓球队的有 20 人. (1)列出学生参加运动队的频率分布表. (2)画出频率分布条形图. 解:(1)参加足球队记为 1,参加篮球队记为 2,参加排球队记为 3,参加乒乓球队记为 4,得频率分布表如下: 试验结果 参加足球队(记为 1) 参加篮球队(记为 2) 参加排球队(记为 3) 参加乒乓球队(记为 4) 合 计 (2)由上表可知频率分布条形图如下: 频数 30 27 23 20 100 频率 0.30 0.27 0.23 0.20 1.00

例 2 为了了解中学生的身体发育情况,对某中学 17 岁的 60 名女生的身高进行了测量,结果如下: (单位: cm)
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154 156 158 162 160 162

159 166 169 159 156 166 162 158 166 160 164 160 157 151 157 161 153 158 164 158 163 158 153 157 159 154 165 166 157 151 146 151 165 158 163 163 162 161 154 165 159 157 159 149 164 168 159 153 列出样本的频率分布表;绘出频率分布直方图. 解:第一步,求极差:上述 60 个数据中最大为 169,最小为 146. 故极差为:169-146=23 cm. 第二步,确定组距和组数,可取组距为 3 cm,则组数为

23 2 ? 7 ,可将全部数据分为 8 组. 3 3

第三步,确定组限: [145.5,148.5),[148.5,151.5),[151.5,154.5),[154.5,157.5),[157.5,160.5),[160.5,163.5), [163.5,166.5),[166.5,169.5). 第四步,列频率分布表: 分组 [145.5,148.5) [148.5,151.5) [151.5,154.5) [154.5,157.5) [157.5,160.5) [160.5,163.5) [163.5,166.5) [166.5,169.5) 合计 第五步,根据上述数据绘制频率分布直方图如下图: 个数累计 频数 1 3 6 8 18 11 10 3 60 频率 0.017 0.050 0.100 0.133 0.300 0.183 0.167 0.050 1.000

以上例 1 和例 2 两种情况的不同之处在于,前者的频率分布表列出的是几个不同数值的频率,相应的条 形图是用其高度表示取各个值的频率; 后者的频率分布表列出的是在不同区间内取值的频率,相应的直方图 是用图表面积的大小来表示在各个区间内取值的频率. 我们在处理一个数理问题时可以采用样本的频率分布估计总体分布的方法,这是因为,频率分布随着样 本容量的增大更加接近于总体分布,当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小时,频率分布的直方图就演 变成一条光滑的曲线——总体密度曲线.这条曲线是客观

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